CN114372332B - 一种基于子集模拟的多目标稳健设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于子集模拟的多目标稳健设计方法，首先将多目标优化问题进行分解，转化成多个单目标子问题；对设计变量使用拉丁超立方抽样方法产生初始样本点，并计算该样本点目标函数及约束函数对应的响应值，从而构建设计变量与目标函数、约束函数的kriging代理模型；随机抽取权重向量以抽取对应的子问题，对子问题的代理模型进行优化，对子问题不断循环抽取，直到满足收敛准则或者达到最大迭代次数，输出最优样本储存集中的非支配解的函数值作为帕累托解解集的近似。

Description

一种基于子集模拟的多目标稳健设计方法

技术领域

本发明涉及稳健设计领域，特别设计一种基于子集模拟的多目标稳健设计方法。

背景技术

随着世界经济的快速发展，用户对产品的能够稳定安全的工作的需求，生产工艺、设计方法和经营理念的不断进步，开发“物美价廉”的产品已经是各企业赢得迫在眉睫的问题。各发达工业国家把产品质量、生产成本以及交货时间归结为现代产品生产的三个要素。产品质量是三要素之中的核心因素。产品质量主要被两个阶段所影响：1.产品制造生产阶段；2.产品设计阶段。产品设计阶段是保证产品质量的源头，产品制造生产阶段的实质是为了保证产品的设计质量。传统确定性设计方法在设计过程中不考虑不确定性因素对产品质量的影响，而产品在其设计、生产以及使用的整个过程中都充满了不确定性，这些不确定性深刻地影响着产品的质量。因此为了克服现有确定性设计方法的不足，国内外学者都在积极寻找和发展各种有效的不确定性建模、分析和优化方法，例如可靠性设计方法、质量功能展开法、稳健设计方法等。其中稳健设计方法在诸多领域都已经获得了应用并取得了良好的效果。

航空用发动机作为一个复杂的产品，其在设计、制造和使用过程中同样存在着大量不确定性,现代发动机设计不仅需要较好的动力学性能,而且还需要其具有良好的可靠性和稳定性,这也就设计提出了更高的要求。稳健设计作为一种有效的不确定性设计分析方法,对于提高发动机设计水平具有重要意义。但是对发动机进行动力学建模本身具有较大的难度,需要能够准确揭示和预示发动机系统的动力学现象,而基于动力学模型进行稳健优化设计则进一步提高了问题的难度。

航空航天领域进行稳健设计问题都涉及带有约束条件的多个目标同时优化，因此稳健设计不可避免地要涉及到多目标优化问题，尽管多目标优化算法已经在多个工程设计领域得到了应用，但是对于不确定条件下的隐式函数多目标优化问题，目前还缺乏相应的研究，其原因在于：1.隐式函数多目标优化问题的序列加点较为困难；2.由于不确定性因素的存在，优化过程中加入了不确定性分析的过程往往都是一个嵌套优化问题。这两个问题相互耦合造成了现有的多目标优化算法都很难在不确定条件下的隐式函数多目标优化问题上得到良好的效果。

发明内容

为了克服现有方法的技术和不足，解决不确定性条件下的隐式函数稳健优化问题，本发明提出了一种基于子集模拟的多目标稳健设计方法。该方法首先将多目标优化问题分解为多个单目标子问题，然后在多层模拟中构建双重代理模型，并且利用单目标优化算法进行子问题的目标函数优化，满足收敛条件后获得最优解。

步骤1，确定优化模型，使用拉丁超立方抽样方法对该优化模型中的设计变量进行抽样，产生初始样本点；利用有限元计算样本点对应的响应值，形成初始训练样本集T₁；

步骤2，根据步骤1得到的初始训练样本集T₁，构建目标函数与设计变量之间的代理模型，同时构建约束函数的代理模型；

步骤3，对发动机稳健设计的多目标优化问题进行分解，转化成多个单目标子问题；

步骤4，随机抽取权重向量以抽取对应的子问题，对子问题的代理模型进行优化；基于该权重向量构造子问题函数，对该函数进行求解优化得到最优解，将最优解输入最优样本储存集中；

步骤5，不断抽取子问题进行优化，直到满足收敛准则或者达到最大迭代次数，此时停止迭代，输出最优样本储存集中的非支配解的函数值作为帕累托解集的近似。

有益效果

1、本发明的多目标稳健设计方法采用相对改进期望作为序列加点准则，它与最大期望改进类似，但不同点在于其在选择加点样本时同时考虑多个函数，选择对它们的精度同时影响都较大的样本点。

2、本发明针对隐式稳健设计模型求解的复杂性，将子集模拟优化算法、Kriging代理模、以及单目标优化算法结合，将子集模拟优化作为优化函数，提出单目标优化算法进行稳健设计优化。同时，面对多目标隐式稳健设计模型的求解问题，通过多目标分解方法，将所提出的单目标优化算法进行扩展求解多目标优化问题。

3、本发明的抽样方法采用拉丁超立方试验设计方法进行试验设计采样，结合Kriging代理模型和序列加点准则，利用子集模拟算法进行迭代优化，大大的提高了计算效率。

附图说明

图1为本发明一个实施例的多目标优化算法流程图；

图2为本发明一个实施例的单目标优化算法流程图；

图3为本发明一个实施例的最优解组成的Pareto前沿面图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

为验证稳健设计方法的作用，以及随机因素对设计结构产生波动的影响，首先对结构系统进行确定性设计，再进行稳健设计，对比结果验证稳健设计方法的作用以及必要性。

确定性设计：

不考虑环境影响、加工精度和装配因素等随机因素时，根据发动机转静间隙变化量最小的目标以及临界转速安全裕度要求，对发动机支承刚度和阻尼直接进行确定性优化，优化模型为：

1e⁷N·m≤k₁,k₂≤1e⁸N·m

1e³N·s/m≤c₁,c₂≤1e⁴N·s/m

其中，

为发动机转静间隙变化量，n为第n阶临界转速，c为阻尼，k为支撑刚度。

首先对优化模型的设计变量，采用拉丁超立方抽样方法，从中随机选出43个样本点作为初始训练样本，抽样成功后将样本代入到有限元模型中计算其转静间隙变化量，再进行归一化计算出初始样本所对应的目标函数的值。根据样本点及其对应的目标值，构建Kriging代理模型建立前后支承刚度、阻尼和转静间隙变化量之间的关系，结果如表所示。

并且由于在转子系统动力学稳健设计中的目标函数与约束函数具有相同的设计变量，为了简便计算，直接利用第一重训练样本计算出初始样本所对应的第二阶以及第三阶临界转速的值。再分别建立设计变量与第二阶临界转速、第三阶临界转速之间的Kriging代理模型。

表1初始样本点

代理模型构造完成之后，利用子集模拟优化方法进行单目标隐式函数优化，其中子集模拟层间概率为P₀设置为自适应的值，即初始模拟层取0.5，当样本序列方差小于0.1时，P₀缩减为0.2，进一步当方差小于0.01时，P₀缩减为0.1；最大迭代次数为100次；每层样本点数为100个。以EI加点准则作为优化过程中目标函数的序列加点准则，进行迭代优化，当EI＜ε_k＝1e-5时，则终止序列优化输出最优值。整个优化过程迭代了13次，添加了13个更新样本点如表所示。

表2更新样本点

最后得到的优化结果如表所示：

表3确定性优化结果

对于确定性优化结果，将求解出的最优点代入有限元仿真模型中求取目标函数以及约束函数值，求得转静变化量大小为0.7019，二阶临界转速为22626rpm，三阶临界转速为52324rpm。通过式(4.2)对误差进行计算

其中，y_ture为真实响应值，

为代理模型响应值。

对应的误差大小分别为：0.057％、3.814％和3.943％，这是可以接受的。相应的对转静间隙变化量的标准差进行计算，此时标准差大小为0.0103。利用直接Monte Carlo法求解最优点处的约束函数失效概率求得：P₁{n_c2-22400≤0}＝0.9883，P₂{43200-n_c3≤0}＝1。

稳健设计：

步骤1，确定优化模型，考虑环境影响、加工精度和装配精度等多种随机因素影响时，根据发动机转静间隙变化量最小且波动尽量小的目标以及临界转速安全裕度要求，对发动机支承刚度以及阻尼进行稳健设计优化，优化模型为：

1e⁷N·m≤k₁,k₂≤1e⁸N·m

1e³N·s/m≤c₁,c₂≤1e⁴N·s/m

由式可得，对于该模型的概率约束P₁{n_c2-22400≤0}≥0.99，通过确定性优化得到的结果是不满足的，因此在考虑不确定条件下，使用确定性优化得到的结果是不稳健的，因此进行稳健优化设计是十分必要的。

确定优化模型后，使用拉丁超立方抽样方法对该优化模型中的设计变量进行抽样，产生初始样本点；利用有限元计算样本点对应的响应值，形成初始训练样本集T₁。

步骤2，根据步骤1得到的初始训练样本集T₁，构建目标函数与设计变量之间的代理模型，同时构建约束函数的代理模型。

对于稳健优化模型，设计变量依然为前后支承刚度、阻尼的设计空间，为了计算的方便以及缩短计算时间，采用确定性优化模型试验计算得到为初始训练样本。

根据训练样本，构建双重代理模型。

先用初始训练样本集中样本点及其对应的目标值，构建第一重Kriging代理模型建立前后支承刚度、阻尼和转静间隙变化量之间的关系。通过第一重Kriging代理模型，以一次训练样本的点作为均值，按照表4所示变量的方差在其周围选择20个样本，利用这20个样本的目标响应计算标准差。

表4

将所有样本对应的标准差值作为训练样本集的目标函数值，与训练样本一起构建第二重代理模型，建立起设计变量与目标响应标准差之间的关系，如表5所示

表5样本点对应方差

对于每一次迭代随机抽取的子问题，依然采用子集模拟优化作为优化函数，其中子集模拟层间概率为P₀设置为自适应的值，即初始模拟层取0.5，当样本序列方差小于0.1时，P₀缩减为0.2，进一步当方差小于0.01时，P₀缩减为0.1；最大迭代次数为100次；每层样本点数为100个。同样以EI加点准则作为优化过程中目标函数的序列加点准则，进行迭代优化，当EI＜ε_k＝1e-5时这个子问题将不再被抽取进行优化分析，并以ERI加点准则作为约束函数的序列加点准则。

步骤3，对发动机稳健设计的多目标优化问题进行分解，转化成多个单目标子问题。

如图1至图2所示：将多目标优化问题进行分解，分成11个子问题；产生均匀分布的权重矢量，将该权重矢量对应的单目标优化子函数作为目标函数，权重向量值如表6所示：

表6目标权重向量

λ<sub>1</sub>	1e-6	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
												λ<sub>2</sub>	1	0.9	0.8	0.7	0.6	0.5	0.4	0.3	0.2	0.1	1e-6

步骤4，随机抽取权重向量以抽取对应的子问题，对子问题的代理模型进行优化；基于该权重向量构造子问题函数，对该函数进行求解优化得到最优解，将最优解输入最优样本储存集中。

步骤4.1，通过随机选择一个权重向量λ_j选择其对应的子问题，并将该向量用于构造用于优化的子问题。以第一个循环为例：随机抽取一个权重向量λ＝[0.9,0.1]。

步骤4.2，对目标函数值进行归一化处理，然后利用增广切比雪夫函数构造子问题函数并求取响应值。将已有的训练样本点的响应值进行归一化处理：

式中f_j ^min为优化中训练样本第j个目标的最小值，f_j ^max为优化中训练样本第j个目标中的最大值，f_j(x)为样本x对应的第j个目标的响应值；随后再根据权重向量λ值，利用增广切比雪夫函数：

计算该权重向量下对应的子函数值，其中，f_j(x)、λ_j分别为样本x对应的第j个目标的响应值以及第j个权重向量,k为目标个数，ρ为一个很小的正值，设ρ＝0.05。

结果如表7所示：

表7

步骤4.3，使用单目标优化算法进行优化获得自适应样本点

及最优解：基于子问题函数，应用序列和可靠性评估方法进行优化，其中，在确定性优化过程中基于子问题函数及其响应值构造EI函数作为目标函数，采用子集模拟优化算法获得确定性解，对该确定性解进行可靠性分析，得到最优解。

步骤4.31，确定性优化：基于当前子函数构建用于优化选点的EI函数，对EI函数进行子集模拟优化，求得最优点。构建设计变量与子函数值之间的Kriging代理模型，然后利用子函数代理模型与符合约束的子函数值0.0528，构建用于接下来优化选点的EI函数，对EI函数进行单目标子集模拟优化，求得确定性变量的最优点为[8.007,7.107,5.555,1.473]，此时EI＝0.0335,目标函数值为0.7025，对应的第二阶临界转速为22827rpm，第三阶临界转速为53462rpm。

步骤4.32，将上述得到的最优点进行可靠性分析：先将正态随机变量等效变换为标准正态随机变量u，根据逆可靠度策略求取优化问题，得到最小功能目标点

其中g(u)为功能函数，β为可靠性指标。本实施例得到u⁽¹⁾ _MPP＝[-1.6569,-1.3108,-0.1160,-0.9669]，u⁽²⁾ _MPP＝[-4.9312,-4.7090,4.0447,5.2966]。

步骤4.33，将得到的u_MPP转换回原坐标，分别用X_MPP1和X_MPP2表示，其中X_MPP1＝[7.7088,6.9794,5.3670,1.2990]，X_MPP2＝[7.1190,6.2894,6.0950,2.4264]。计算其对应概率约束函数的响应值，即当前约束的最小值g_min，如果存在多个约束，则依次对每一个约束函数都进行求解，每个约束函数都将得到一个g_i,min其中，i＝1,2,…l。

步骤4.34，计算各个约束函数对应的相对期望改进ERI函数值：

其中，

g_min为当前约束的最小值，

为g(x)的预测值，

为g(x)的不确定性度量，Φ(·)和

分别是标准正态分布累计分布函数和概率密度函数。本实施例中，ERI₁＝0.0344，ERI₂＝0.0259，选择更新样本点X_MPP1＝[7.7088,6.9794,5.3670,1.2990]加入训练样本点，对应的第二阶临界转速为22315rpm，第二阶临界转速为52521rpm。

步骤4.35，取ERI函数值的最大值，判断其最大值是否小于给定收敛精度ε，若判断为是则输出g_min，否则返回步骤4.34。

步骤4.36，当满足条件：最优目标函数值变化很小或迭代达到最大次数即

时，停止迭代并输出最优解，否则根据加点准则对所述样本集进行加点，返回步骤3重新构建代理模型。判断此时并不满足迭代终止条件，继续进行序列迭代优化，进行优化加点。

加点准则包括对应目标函数的加点准则：EI加点准则以及对应约束函数的加点准则：ERI加点准则，根据加点准则对代理模型样本集进行加点。

步骤4.4，函数计算：将所述自适应样本点

及最优解代入到原代理模型当中，计算其对应的目标函数值；将点

及其目标响应值添加到样本集T₂中，用于下一次迭代建立代理模型。

步骤4.5，储存最优值：将求解得到的最优解及其目标响应值添加到最优样本储存集的矩阵中，存储当前子问题对应的最优值及其对应的设计变量值。

步骤5，返回步骤2进行循环迭代，直到满足终止判据或者达到最大迭代次数，此时停止迭代，输出最优样本储存集中的非支配解的函数值作为帕累托解集的近似。

最终优化得到最优解集如表8所示：

表8Pareto最优解集

最优解集组成的Pareto前沿面上，最优解集是一个凸集，且解的分布较为均匀，为了进一步验证多目标优化结果的准确性，本论文将优化得到的设计结果样本点代入到仿真模型中进行仿真计算得到结果，再与通过优化得到的结果进行对比，对比结果如表9所示

表9结果精度对比

从表中可以看出，对于优化得到的结果与试验得出的结果之间误差都比较小，其中最大的误差大小为4.705％，这是符合精度要求的，所以优化解是可以接受的。

最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于子集模拟的多目标稳健设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，确定优化模型，使用拉丁超立方抽样方法对该优化模型中的设计变量进行抽样，产生初始样本点；利用有限元计算样本点对应的响应值，形成初始训练样本集T₁；

步骤2，根据步骤1得到的初始训练样本集T₁，构建目标函数与设计变量之间的均值与标准差的双重代理模型，同时构建约束函数的代理模型，具体的，基于初始训练样本集中样本点及其对应的目标值构建第一重克里金代理模型，在第一重训练样本的点的周围选取样本点，并将样本点代入第一重克里金代理模型中得到目标响应值，基于所有选取的样本点的目标响应值计算标准差作为该第一重训练样本的点对应的标准差，循环此步骤，直到得到所有第一重训练样本对应的目标响应标准差，从而构建第二重克里金代理模型，并以EI加点准则作为优化过程中目标函数的序列加点准则，进行迭代优化，以ERI加点准则作为约束函数的序列加点准则；

步骤3，对发动机稳健设计的多目标优化问题进行分解，转化成多个单目标子问题；

步骤4，对所构建均值、标准差以及约束函数的代理模型进行加点更新：随机抽取权重向量以抽取对应的子问题，对子问题的代理模型进行优化；基于该权重向量构造子问题函数，对该函数进行求解优化得到最优解，将最优解输入最优样本储存集中；

步骤5，不断抽取子问题进行优化，直到满足收敛准则或者达到最大迭代次数，此时停止迭代，输出最优样本储存集中的非支配解的函数值作为帕累托解集的近似。

2.根据权利要求1所述的基于子集模拟的多目标稳健设计方法，其特征在于，步骤3对多目标优化问题分解过程为：假设有k个目标函数，对每个目标函数产生均匀分布的权重向量λ，并将每一个目标分成s份，单目标子问题表示为：

其中，Λ为单目标子问题向量的表达式，下标j表示第j个权重向量，在多目标优化问题的目标个数k确定时，s的数目决定了权重向量的个数。

3.根据权利要求1或2所述的基于子集模拟的多目标稳健设计方法，其特征在于，所述步骤4具体为：

步骤4.1，通过随机选择一个权重向量λ_j选择其对应的子问题，并将该向量用于构造用于优化的子问题；

步骤4.2，对目标函数值进行归一化处理，然后利用增广切比雪夫函数构造子问题函数并求取响应值；

步骤4.3，使用单目标优化算法进行优化：基于子问题函数，应用序列和可靠性评估方法进行优化，其中，在确定性优化过程中基于子问题函数及其响应值构造EI函数作为目标函数，采用子集模拟优化算法获得确定性解，对该确定性解进行可靠性分析，得到最优解；

步骤4.4，函数计算：将所述最优解代入到原代理模型当中，计算其对应的目标响应值；

步骤4.5，储存最优值：将求解得到的子问题的最优解及其目标响应值添加到最优样本储存集的矩阵中，存储当前子问题对应的最优值及其对应的设计变量值。

4.根据权利要求3所述的基于子集模拟的多目标稳健设计方法，其特征在于，所述步骤4.2中进行归一化处理具体为：

式中

为优化中训练样本第j个目标的最小值，

为优化中训练样本第j个目标中的最大值，f_j(x)为样本x对应的第j个目标的响应值。

5.根据权利要求4所述的基于子集模拟的多目标稳健设计方法，其特征在于，所述步骤4.2中利用增广切比雪夫函数计算各个子问题函数的响应值具体为：

其中，f_j(x)、λ_j分别为样本x对应的第j个目标的响应值以及第j个权重向量,k为目标个数，ρ为正系数。

6.根据权利要求5所述的基于子集模拟的多目标稳健设计方法，其特征在于，所述EI函数具体为:

式中，I(x)＝max{g_min-g(x),0}，φ(·)为标准正态分布的概率密度函数，Φ(·)为标准正态分布的累计分布函数，

为代理模型预测值，

为预测值的标准差，g_min为子问题函数响应值的最小值。

7.根据权利要求6所述的基于子集模拟的多目标稳健设计方法，其特征在于，为防止重复抽取的问题，定义步骤5所述的收敛准则为所有子问题的最大期望改进值EI都小于给定的阈值，即：

E[I(x)]≤ε_E或

其中，EI函数为期望函数，I(x)＝max{g_min-g(x),0}，ε_E和ε_r为给定的收敛精度，g_max为当前的最大响应值。

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