CN114282348A - 基于隐式正则与算法bdca的相位恢复方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，根据算法BDCA求解基于隐式正则的相位恢复模型极小解，输出相位恢复的图像u；所述基于隐式正则的相位恢复模型计算公式如下：

其中：u为干净图像，u∈[0,1]，λ是一个正则参数，b是观察到的退化图像，

是傅里叶变换算子，

分别代表维度为n,m的复数域空间，控制参数∈＞0，<·,·>代表内积；

为Huber正则函数，

为线性算子，Huber正则函数为

本发明在图像具有高噪声的情形下有效的进行相位恢复。

Description

基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法

技术领域

本发明涉及基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，属于计算成像技术领域。

背景技术

在光学中，高频光波的信息很容易被光学设备记录下来。然而，获取这些光的相位信息是相当困难的，原因是衍射板只能捕获傅里叶变换样本的绝对值。此外，在采集过程中，得到的幅值信息总是受到严重噪声的影响，使问题更加复杂。由于图像的相位包含了丰富的信息，因此有必要对其进行重构。

假设图像被均值为0的高斯白噪声ζ退化，

则一般的相位恢复问题可以表达为：

其中：未知的干净图像

是我们观测到的图像，

是复数欧几里得空间中的线性算子，Ω为离散点阵,n＝n₁×n₂为图像尺寸。模型(1)显然是非凸非光滑的优化问题，我们可以明显观察到，如果没有先验信息，模型就不存在唯一解。

相位恢复的重点是考虑如何从带有噪声的傅里叶变换幅值中恢复图像或信号。为了解决该问题，现有的相位恢复算法常利用先验知识对图像进行恢复。例如，Gerchberg和Saxton首次提出error-reduction算法，即通过傅里叶与实数域之间的直接变换来重建相位。Candès、Li和Soltanolkotabi提出了一种Wirtinger flow算法，通过理论分析求解非凸函数的相位恢复问题。Wang等人提出了一种计算复杂度为k²nlogn的稀疏截断振幅流算法来重构一个n维稀疏度为k信号(k＜＜n)。Vaswani、Nayer和Eldar通过truncatedWirtinger flow和交替极小化技术来处理低秩相位恢复问题。还有许多其他的相位恢复方法，如phaselift方法，差分映射迭代方法，hybrid input-output算法等。

上述方法虽然能够通过傅里叶变换的幅值信息重建相位，但是针对具有高噪声的图像不一定适用。而且，现有的一些算法会使非凸模型收敛到一些局部最小值。因此，我们需要考虑在不改变非凸问题的非凸本质的情形下求得相位恢复任务的全局最优解。在这种情形下，需要设计一个针对非凸问题的快速有效并且保证收敛性的算法是有必要的。

发明内容

目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法。

技术方案：为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：

一种基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，包括如下步骤：

根据算法BDCA求解基于隐式正则的相位恢复模型极小解，输出相位恢复的图像u。

所述基于隐式正则的相位恢复模型计算公式如下：

其中：u为干净图像，u∈[0,1]，λ是一个正则参数，b是观察到的退化图像，

是傅里叶变换算子，

分别代表维度为n,m的复数域空间，控制参数∈＞0，<·,·>代表内积。

为连续可微的Huber正则函数，

为线性算子，具体的Huber正则函数为

作为优选方案，根据算法BDCA求解基于隐式正则的相位恢复模型的极小解，输出相位恢复的图像u，包括如下步骤：

步骤1：初始化参数u⁰,

v⁰＝u⁰,

对偶变量初始化参数q⁰＝0,w⁰＝0,d⁰＝0,后向搜索步骤参数α,ξ,r₁,r₂,r₃,λ,β,ρ,∈，设置最大内迭代次数Intmax，最大外迭代次数Outmax；

步骤2：当k＝1:Outmax时，通过式(3)计算h^k；

步聚3：当m＝1:Intmax时，通过式(8),(10),(15)-(17),(20)分别更新v^m+1,p^m+1,z^{m +1},u^m+1子问题，得到v^m+1,p^m+1,z^m+1,u^m+1,u^m；

更新乘子d^m+1＝d^m+r₁(z^m+1-Au^m+1)；

w^m+1＝w^m+r₂(u^m+1-v^m+1)；

当

阈值时，内迭代终止，并且令y^k＝u^m+1,u^k＝u^m；

步骤4：设置后向搜索方向d^k＝y^k-u^k；

步骤5：当d^k＝0时，终止外迭代，令u^k+1＝u^k，输出u^k+1；当d^k≠0时，执行步骤6；

步骤6：选择任意参数

并且令

当F(y^k+β_kd^k)＞F(y^k)-αβ_k ²||d^k||²条件成立时执行β_k＝ξβ_k，F(*)代表式(1)。

步骤7：令u^k+1＝y^k+β_kd^k，当u^k+1-u^k＝0时，终止外迭代，输出u^k+1；当u^k+1-u^k≠0时，执行步骤2。

由步骤5或者步骤7输出迭代结果u^k+1则为最终相位恢复结果u。

作为优选方案：所述公式(3)计算公式如下：

其中，

代表次微分，A^T代表A的共轭转置，h^k,u^k为第k次迭代的估计值，ρ是控制模型强凸程度的正参数。

作为优选方案，所述公式(8)计算公式如下：

其中，u^m、w^m分别代表第m次迭代的u,w的估计值，v^m+1代表第m+1次迭代的v估计值。r₂是拉格朗日参数。

作为优选方案，所述公式(10)计算公式如下：

代表第m+1次迭代的估计值，r₃是拉格朗日参数。

作为优选方案，所述公式(15)、(16)、(17)计算公式如下：

代表第m+1次迭代的估计值，

δ^m代表第m次迭代的估计值，

r₁是拉格朗日参数，sign(*)为符号函数。

作为优选方案，所述公式(20)计算公式如下：

其中，

代表

的复数共轭，

为线性算子，

代表

的共轭转置，

代表取实部，

代表取虚部，

整数s₁,s₂的质数为n₁,n₂，t₁,t₂为2维信号的位置，

是虚数单位。

作为优选方案，阈值设置为10^-5。

有益效果：本发明公开了基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，提出了一个基于隐式正则的相位恢复模型，该模型可以在图像具有高噪声的情形下有效的进行相位恢复。由于相位恢复的非凸本质，我们在求解过程中考虑该任务的非凸极小化模型。并且考虑到噪声在相位恢复任务中的不利影响，我们使用正则来平滑噪声，因此构造了隐式正则项。根据相位恢复模型的可分解性，我们使用了具有收敛性保证的算法BDCA对模型进行有效求解。其次，为了验证模型的鲁棒性和灵活性，使用了两种简单有效的全变分正则和紧框架正则来对噪声进行平滑。数值实验结果表明，我们所提出的模型在针对含有高噪声的退化图像进行相位恢复任务时是灵活高效的。

附图说明

图1为在噪声强度σ＝0的相位恢复结果。

图2为在噪声强度σ＝10的相位恢复结果。

图3为在噪声强度σ＝30的相位恢复结果。

图4为基于隐式正则的相位恢复模型的能量泛函曲线。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作更进一步的说明。

一种基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，包括如下步骤：

步骤1：建立基于隐式正则的相位恢复模型

假设干净图像u是非负有界实值，u∈[0,1]，为了尽可能去除退化图像b中存在的噪声，我们使用正则来对b进行平滑，则基于隐式正则的相位恢复模型为：

其中：λ是一个正参数，b是观察到的退化图像。

是傅里叶变换算子。

是一个隐式正则，对去除噪声具有高效的作用，

可以为梯度算子

小波算子

低秩算子等等。

Huber正则函数Φ_∈(u)形式如下

其中∈＞0，并且

是连续可微的。

步骤2：利用算法BDCA求解基于隐式正则的相位恢复的极小解

根据模型的可分解特点，基于隐式正则的相位恢复模型F(u)＝G(u)-H(u):

其中，系数ρ是控制模型强凸程度的正参数，G(u)和H(u)都是强凸项。

采用算法BDCA，我们求得下式

其中

代表次微分，A^T代表A的共轭转置，h^k,u^k为第k次迭代的估计值，u^k+1为第k+1次迭代的估计值，ρ为控制模型强凸程度的正参数。

考虑到u^k+1子问题的求解的难度，我们使用分裂算法ADMM求解该子问题。引入辅助变量后，u^k+1子问题写为以下约束形式表述为公式(5)：

其中z＝(z₀,z₁,z₂)，BOX约束

p＝(p_i,p_i+n)^T，p_i,p_i+n代表

的分量在两个不同方向上的两个分量，类似于梯度算子在水平与垂直方向上的分量，n为图像u的像素点个数，z₀,z₁,z₂代表z的三个通道。定义b:＝(b₀,b₁,b₂)，b₀,b₁,b₂图像b的三个通道。

将公式(5)表达为拉格朗日函数形式表述为公式(6):

其中，w,q,d是拉格朗日乘子，r₁,r₂,r₃是拉格朗日参数，定义d＝(d₀,d₁,d₂)，d₀,d₁,d₂为参数d的三个通道。

根据ADMM算法对公式(6)进行变量分裂，分别对每个子问题w,p,z,u进行求解。

(1)v子问题可以表达为

可以求得闭式解为

v^m+1代表第m+1次迭代的v估计值。u^m、w^m分别代表什么第m次迭代的u,w的估计值。

(2)p子问题可以表达为

由于上式是可分裂的，可以写为(p_i,p_i+n)，我们定义

因此解为

代表第m+1次迭代的估计值。

(3)对z子问题求解要分别对其每个成分进行求解，我们以求解z₀为例：

分解最小化问题

为两个子问题，即|z₀|和sign(z₀)。

当z₀≠0时

否则sign(0)＝c，

是单位长度的任意常数，为了最小化|z₀|，我们有

求得闭式解为

令

则重新构造闭式解为

代表第m+1次迭代的估计值，

δ^m代表第m次迭代的估计值。

同理，z₁,z₂按照此流程求解。因此，我们求得

代表第m+1次迭代的估计值，sign(*)为符号函数。。

(4)对u子问题求解

通过计算||z-Au||²/2，我们得到

代表着傅里叶变换，

代表着逆傅里叶变换，

代表着z的复数共轭，

代表取实部，

代表取虚部，其中调幅

0≤t_j≤n_j-1,j＝1,2,整数s₁,s₂的质数为n₁,n₂，t₁,t₂为2维信号的位置，

是虚数单位。

其中

根据以上逐步求解过程，我们将该过程总结为算法1。

将正则框架模型(1)按照算法1中的迭代步骤进行迭代最终会由步骤5或者步骤7输出迭代结果，u^k+1则为最终相位恢复结果u。

为验证本章基于隐式正则与BDCA的相位恢复算法的有效性，我们选用了测试集Set18中的图像用做相位恢复算法的测试图片。并且我们考虑基于隐式正则的相位恢复模型在算子

为梯度算子

和小波算子

两种情形下的恢复结果。将隐式正则中的

算子使用梯度算子

替代时，记模型为TV模型；将隐式正则中的

算子使用小波算子

替代时，记模型为TF模型。

在实际应用中，受到不可控因素的干扰，会造成图像幅值观测值|Au|含有不同水平的噪声。为了测试相位恢复算法在不同水平噪声下的稳定性，我们使用参数σ在仿真实验中调控噪声水平。首先，在无噪声σ＝0情形下，测试我们相位恢复算法的稳定性。如图1所示，(a)为无噪声的图像，(b)为图像(a)的幅值信息。我们可以看出(b)中缺失了(a)中目标的结构信息与轮廓信息，因此相位恢复任务的进行是有难度的。根据(c)与(d)中的TV模型与TF模型实验结果展示，基于隐式正则的模型有较好的相位恢复结果，克服了全变分正则的阶梯效应，利用了小波算子带来的稀疏性优点。

为了体现基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法的去噪能力，本文选择了两张测试图像在高斯白噪声的噪声强度σ＝10,20下进行实验，两张图像大小固定为500×500。实验结果如图2与图3所示，本章的相位恢复算法能够保持图像纹理与细节，并且具有较好的去噪能力。在不同的噪声强度下，我们的方法复原结果更接近原图，复原细节更丰富。

对于非凸函数，我们通过实验来给出算法的收敛性展示。通过图4，我们发现目标方程(1)的能量泛函是单调递减的。并且曲线下降速率较快，没有发生剧烈震荡，实验迭代到20次左右就达到收敛。这些实验结果验证了我们算法具有良好的收敛性，反应了策略的鲁棒性。

本章提出了基于隐式正则与算法BDCA的的相位恢复方法，利用图像本身的先验信息作为隐式正则项。根据该非凸模型可分裂的特点，本章使用了复合分裂算法BDCA+ADMM进行快速求解。将原问题分解为多个易于求解的子问题独立求解，加快了算法的收敛速度。实验结果表明，我们的相位恢复算法对还有不同噪声水平的退化图像具有鲁棒性，灵活处理含有不同的正则的相位恢复任务，并且具有良好的收敛性能。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (8)

1.基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，其特征在于：包括如下步骤：

根据算法BDCA求解基于隐式正则的相位恢复模型极小解，输出相位恢复的图像u；

所述基于隐式正则的相位恢复模型计算公式如下：

其中：u为干净图像，u∈[0,1]，λ是一个正则参数，b是观察到的退化图像，

是傅里叶变换算子，

分别代表维度为n,m的复数域空间，控制参数∈＞0，<·,·>代表内积；

为Huber正则函数，

为线性算子，Huber正则函数为

2.根据权利要求1所述的基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，其特征在于：根据算法BDCA求解基于隐式正则的相位恢复模型的极小解，输出相位恢复的图像u，包括如下步骤：

步骤1：初始化参数

v⁰＝u⁰,

对偶变量初始化参数q⁰＝0,w⁰＝0,d⁰＝0,后向搜索步骤参数α,ξ,r₁,r₂,r₃,λ,β,ρ,∈，设置最大内迭代次数Intmax，最大外迭代次数Outmax；

步骤2：当k＝1:Outmax时，通过式(3)计算h^k；

步聚3：当m＝1:Intmax时，通过式(8),(10),(15)-(17),(20)分别更新v^m+1,p^m+1,z^m+1,u^{m +1}子问题，得到v^m+1,p^m+1,z^m+1,u^m+1,u^m；

更新乘子d^m+1＝d^m+r₁(z^m+1-Au^m+1)；

w^m+1＝w^m+r₂(u^m+1-v^m+1)；

当

时，内迭代终止，并且令y^k＝u^m+1,u^k＝u^m；

步骤4：设置后向搜索方向d^k＝y^k-u^k；

步骤5：当d^k＝0时，终止外迭代，令u^k+1＝u^k，输出u^k+1；当d^k≠0时，执行步骤6；

步骤6：选择任意参数

并且令

当F(y^k+β_kd^k)＞F(y^k)-αβ_k ²||d^k||²条件成立时执行β_k＝ξβ_k，F(*)代表式(1)；

步骤7：令u^k+1＝y^k+β_kd^k，当u^k+1-u^k＝0时，终止外迭代，输出u^k+1；当u^k+1-u^k≠0时，执行步骤2；

由步骤5或者步骤7输出迭代结果u^k+1则为最终相位恢复结果u。

3.根据权利要求1所述的基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，其特征在于：所述公式(3)计算公式如下：

其中，

代表次微分，A^T代表A的共轭转置，h^k,u^k为第k次迭代的估计值，ρ是控制模型强凸程度的正参数。

4.根据权利要求1所述的基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，其特征在于：所述公式(8)计算公式如下：

其中，u^m、w^m分别代表第m次迭代的u,w的估计值，v^m+1代表第m+1次迭代的v估计值；r₂是拉格朗日参数。

5.根据权利要求1所述的基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，其特征在于：所述公式(10)计算公式如下：

代表第m+1次迭代的估计值，r₃是拉格朗日参数。

6.根据权利要求1所述的基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，其特征在于：所述公式(15)、(16)、(17)计算公式如下：

代表第m+1次迭代的估计值，

δ^m代表第m次迭代的估计值，

r₁是拉格朗日参数，sign(*)为符号函数。

7.根据权利要求1所述的基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，其特征在于：所述公式(20)计算公式如下：

其中，

代表

的复数共轭，

为线性算子，

代表

的共轭转置，

代表取实部，

代表取虚部，

整数s₁,s₂的质数为n₁,n₂，t₁,t₂为2维信号的位置，

是虚数单位。

8.根据权利要求1所述的基于隐式正则与算法BDCA的相位恢复方法，其特征在于：所述

为连续可微。

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