CN114186446A - 中厚壳结构随机振动响应的精确分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于随机振动分析领域，公开了一种中厚壳结构随机振动响应的精确分析方法。针对考虑横向剪切变形和转动惯量影响的中厚圆柱壳结构，高效解析地给出了各类平稳及非平稳激励下的精确随机振动响应功率谱密度函数及响应均方根，包括：开展简支中厚圆柱壳的自由振动解析推导，精确求得各阶固有频率和封闭振型函数；利用虚拟激励法和振型叠加法，构造虚拟激励，将精确固有频率和振型函数引入随机振动分析，导出中厚圆柱壳的随机振动响应解析解；为提高计算效率，将空间积分解析求解，频域和时域数值求解，高效精确地获得中厚圆柱壳随机振动响应的离散解析解。本发明能够在保证计算效率的前提下给出中厚壳结构随机振动的精确响应，为相应的数值分析方法及实验参数设计提供基准解。

Description

中厚壳结构随机振动响应的精确分析方法

技术领域

本发明涉及连续体结构的随机振动分析领域，高效解析地给出了各类平稳及非平稳随机激励下中厚圆柱壳结构的精确随机振动响应基准解。

背景技术

作为工程实际中常见的结构形式，圆柱壳得益于优良的结构特性和力学性能，被广泛应用于潜艇、火箭、导弹、飞机、储液罐等工程结构中。其中，考虑横向剪切变形和转动惯量影响的中厚圆柱壳结构在实际工程中的应用广泛。由于服役环境复杂，中厚圆柱壳会受到各类随机激励作用，如随机地震动、风载、噪声激励等，而产生随机振动响应。因此，中厚圆柱壳随机振动分析和不确定性传播研究对其设计和安全服役具有重要意义。

自Love建立壳体基本方程以来，已有许多学者和工程师对中厚圆柱壳结构的自由振动特性进行了分析。然而，截至目前，仅有简支边界中厚圆柱壳能获得自由振动精确解析解。

实际工程中，中厚壳结构会承受来自环境的各类动力荷载。由于服役环境的复杂性，动力荷载普遍具有随机性，通常采用随机过程对其进行表征。最近几年，随机激励作用下中厚圆柱壳结构的动力响应研究已经得到了广泛关注，不过相关研究工作均基于数值近似求解。值得注意的是，传统谱分析中的振型互相关项对随机振动响应具有不可忽视的作用。在离散多自由度系统，虚拟激励法能够精确考虑振型互相关项，得到了国内外研究学者的广泛应用。

本发明针对中厚圆柱壳，基于虚拟激励法和振型叠加法，将解析固有频率和封闭振型函数带入到中厚圆柱壳解耦的随机振动分析中，高效获得平稳及非平稳随机激励作用下中厚壳振动响应的基准解，为相应的数值分析方法及实验参数设计提供了解析基准解。

发明内容

本发明解决了目前现有的中厚圆柱壳结构随机振动响应分析缺乏解析基准解的问题，基于虚拟激励法，在连续体框架下给出了平稳及非平稳随机激励作用下中厚圆柱壳振动响应的解析功率谱密度函数。为了在不影响精度的前提下提高计算效率，将解析运算转化为矩阵运算，对空间域先解析积分后离散，频域和时域数值积分，为中厚圆柱壳随机振动响应分析提供了高效的离散解析解，为相关数值分析及实验设计提供了解析基准解。

为了达到上述目的，本发明的技术方案为：

步骤100：针对考虑横向剪切变形和转动惯量影响的中厚圆柱壳，基于简支中厚圆柱壳无阻尼自由振动的解析推导，获得精确固有频率及封闭振型函数，包括以下子步骤：

步骤100-1：针对简支边界条件的封闭中厚圆柱壳，给出基于分离变量形式的自由振动精确解形式：

u₁(x,θ,t)＝U_1,mn(x,θ)cosωt＝Acosα_mxcosnθcosωt,u₂(x,θ,t)＝U_2,mn(x,θ)cosωt＝Bsinα_mxsinnθcosωt

u₃(x,θ,t)＝U_3,mn(x,θ)cosωt＝Fsinα_mxcosnθcosωt,u₄(x,θ,t)＝U_4,mn(x,θ)cosωt＝Mcosα_mxcosnθcosωt

u₅(x,θ,t)＝U_5,mn(x,θ)cosωt＝Nsinα_mxsinnθcosωt

其中轴向位移u₁、环向位移u₂、径向位移u₃、轴向转角u₄及环向转角u₅分别为五个广义独立位移，U_s,mn(x,θ)为与第s个广义位移相应的第mn阶振型函数，m和n分别为轴向和环向的半波数，α_m＝mπ/L，A、B、F、M和N为待求常数。

类似地，四边简支的开口中厚圆柱壳，开口角度为φ_T，其自由振动封闭形式解为：

u₁(x,θ,t)＝U_1,mn(x,θ)cosωt＝Acosα_mxsinβ_nθcosωt,u₂(x,θ,t)＝U_2,mn(x,θ)cosωt＝Bsinα_mxcosβ_nθcosωt

u₃(x,θ,t)＝U_3,mn(x,θ)cosωt＝Fsinα_mxsinβ_nθcosωt,u₄(x,θ,t)＝U_4,mn(x,θ)cosωt＝Mcosα_mxsinβ_nθcosωt

u₅(x,θ,t)＝U_5,mn(x,θ)cosωt＝Nsinα_mxcosβ_nθcosωt

其中β_n＝nπ/φ_T。

步骤100-2：将封闭或开口形式的中厚圆柱壳自由振动封闭解形式代入无阻尼自由振动微分方程，得到矩阵形式的对称齐次方程组。

步骤100-3：为保证步骤102的齐次方程组能够求得非平凡解，令其系数矩阵行列式为0；得到包含固有频率的十次方项的频率方程，求解频率方程，获得中厚圆柱壳的精确固有频率ω。

步骤100-4：将求得的精确固有频率ω回代到步骤102的齐次方程组中，确定步骤101的待求系数A、B、F、M和N之间的比值关系，获得中厚圆柱壳的解析振型函数。

步骤200：利用虚拟激励法和振型叠加法，构造虚拟激励，将精确的固有频率和振型函数引入中厚圆柱壳解耦的单自由度系统随机振动控制方程中；解析获得中厚圆柱壳结构响应的功率谱密度函数，包括以下子步骤：

步骤200-1：对于作用在中厚壳上的平稳随机激励q_i(x,θ,t)＝Γ_i(x,θ)X(t)，构造虚拟激励

其中Γ_i(x,θ)为作用在第i个方向的平稳随机激励X(t)的空间分布形式，

为X(t)的功率谱密度函数；将平稳随机振动分析转化为确定性的简谐振动频域分析，基于频率响应函数得到与第mn阶频率对应的虚拟正则坐标。

步骤200-2：对于作用在中厚壳上的时域非平稳随机激励q_i(x,θ,t)＝f(t)Γ_i(x,θ)X(t)，构造虚拟激励

其中f(t)为时间调制函数；将非平稳随机振动分析转化为确定性时域分析；基于单位脉冲响应函数，得到与第mn阶频率对应的虚拟正则坐标。

步骤200-3：在步骤201或202得到的虚拟正则坐标的基础上，获得中厚圆柱壳第i个方向的虚拟位移

进一步，基于虚拟激励法得到各个方向位移、速度及加速度响应功率谱密度函数

步骤200-4：在虚拟位移响应的基础上，根据壳结构的几何关系及材料本构关系，计算得到中厚圆柱壳应变、应力、薄膜内力及弯曲内力等待求量的解析响应功率谱密度函数。

步骤300：为充分发挥虚拟激励法在矩阵运算中具有的高效性优势，对空间域先解析积分后离散，频域和时域数值积分，将解析符号运算转化为矩阵运算，得到针对中厚壳结构随机振动响应的离散解析解。该发明不仅显著提高计算效率，而且能批量获得中厚圆柱壳随机振动响应的分布，便于研究参数变化对圆柱壳体随机响应全局影响。

本发明所提出的针对中厚壳结构随机振动响应分析的解析法能够在没有引入任何近似的前提下，解析地推导出平稳及非平稳随机激励作用下中厚圆柱壳的各类响应功率谱密度函数解析解。由于解析运算难以满足随机振动响应多点高效输出的需求，本发明进一步采用空间解析积分后离散的策略，提出了可看作解析解离散化求解的离散解析法。本发明提出的针对中厚壳随机振动响应分析的离散解析法具有极高精度，足以作为基准解验证数值方法。

附图说明

图1为中厚壳结构随机振动响应的精确分析方法的实现流程图。

图2(a)为本发明实施例提供的封闭中厚圆柱壳几何模型及载荷情况示意图。

图2(b)为本发明实施例提供的开口中厚圆柱壳几何模型及载荷情况示意图。

图3为本发明实施例提供的平稳随机点激励下封闭中厚壳挠度响应功率谱密度曲线。

图4为本发明实施例提供的平稳随机线激励下封闭中厚壳弯矩响应功率谱密度曲线。

图5为本发明实施例提供的非平稳随机面激励下开口中厚壳挠度响应均方根曲线。

图6为本发明实施例提供的非平稳随机面激励下开口中厚壳挠度响应功率谱密度曲线。

具体实施方式

图1为中厚壳结构随机振动响应的精确分析方法的实现流程图。

图2为本发明实施例提供的中厚圆柱壳的几何模型及载荷情况示意图，其中图2(a)为封闭形式壳结构，图2(b)为开口形式壳结构。随机激励施加形式包括点激励、线激励及面激励。

实施例1：

考虑平稳随机点激励作用下的封闭中厚圆柱壳，其中弹性模量E＝2.96Gpa、密度ρ＝0.733kg/m³、长度L＝14.4m、半径R＝3.6m、泊松比υ＝0.25、厚度h＝0.36m、阻尼比ζ＝0.05。在中厚壳(L/4,π/4)处施加径向随机点激励，激励形式为[20,2000]Hz内的限带白噪声，激励的功率谱密度为1N²/Hz。

表1径向随机点激励作用下中厚壳(L/2,0)处响应均方根

分别基于解析解、离散解析解及有限元结果，表1给出了(L/2,0)处的随机响应均方根及与各方法相应的CPU运行时间。离散解析法所得位移、加速度及弯矩M_x响应及均方根与解析法完全吻合，而有限元与解析法相比存在一定误差。此外，离散解析解法在保证计算精度的前提下，计算效率得到了极大提升，该方法的计算优越性得到了验证。值得注意的是，基于空间离散化建模的有限元结果的计算精度依赖于结构网格剖分形式，而离散解析解法是先获得精确振型后再将节点坐标代入其中，其空间离散点多寡并不会影响计算精度。

图3给出了平稳随机点激励作用下封闭中厚壳挠度响应功率谱密度曲线。可以看到，离散解析法和解析法得到的响应功率谱密度在[20,2000]Hz频率内完全吻合，有限元结果在低频范围内与解析解吻合良好，但是随着频率增加，有限元结果呈现了一定的偏差。由于解析法结果采用了精确振型，保证了没有错根和漏根。因此，这种偏差显然是由有限元法计算高阶固有频率的误差引起的。

除随机点激励外，考虑在封闭中厚壳的环线(L/2,0-2π)上施加平稳径向随机线激励。对于上述半径R＝3.6m的封闭中厚圆柱壳，分别取厚度h为0.1m、0.18m、0.36m，也就是说将厚径比分别取为1/36、1/20、1/10。图4给出了弯矩M_x响应的功率谱密度函数曲线。由于弯曲刚度D的表达式中包含厚度的三次方项。在虚拟激励法中，弯矩响应M_x的功率谱密度可由相应的虚拟弯矩与其自共轭相乘，即与D²呈正比。因此，随着中厚壳厚径比的增加，弯矩响应M_x的功率谱密度随之增大。

实施例2：

考虑时域非平稳随机均布荷载作用下的开口中厚圆柱壳，其中开口角度φ_T＝π、弹性模量E＝27.466GPa、密度ρ＝7850kg/m³、长度L＝14.4m、半径R＝3.6m、厚度h＝0.36m、泊松比υ＝0.2、阻尼比ζ＝0.05。时域非平稳激励q₃(x,θ,t)＝f(t)X(t)，其中随机激励X(t)为[0,100]Hz内功率谱密度函数1Pa²/Hz的高斯白噪声激励，时间调制函数f(t)＝Asin(πt/T)[η(t)-η(t-T)]，A＝10⁵为时间调制函数幅值，T＝9.6s为荷载施加时间，η(t)为Heaviside函数。

非平稳随机均布荷载作用下，图5给出了开口中厚壳中心点处的挠度响应均方根曲线。离散解析解与解析解吻合良好，但蒙特卡洛模拟曲线存在一定数值震荡。这证明本发明离散解析法除适用于平稳响应分析外，在非平稳随机振动分析领域同样具有极强的计算优越性。

不同厚径比下t＝4.8s时刻的中厚壳中心点处的挠度响应功率谱密度曲线如图6所示。挠度响应功率谱密度曲线的第一个峰值出现位置从约7.4Hz后移到约14.2Hz。这是由于中厚圆柱壳的基频随着中厚壳厚径比的增加而增大。这表明，在线性随机振动分析中，结构的固有频率精确与否将直接影响响应功率谱密度峰值出现的位置。此外，在径向激励作用下，中厚壳挠度响应功率谱密度的幅值整体减小。因此，随着结构厚径比的增加，挠度的均方根逐渐减小，也即响应的变异性减小，圆柱壳的安全性得到提高。

Claims (3)

1.一种中厚壳结构随机振动响应的精确分析方法，其特征在于以下步骤：

步骤100：考虑横向剪切变形和转动惯量影响的中厚圆柱壳，基于简支中厚圆柱壳无阻尼自由振动的解析推导，获得精确固有频率及封闭振型函数；

步骤200：利用虚拟激励法和振型叠加法，构造虚拟激励，将精确的固有频率和振型函数引入中厚圆柱壳解耦的单自由度系统随机振动控制方程中；解析获得中厚圆柱壳结构各类感兴趣响应的功率谱密度函数；

步骤300：为充分发挥虚拟激励法在矩阵运算中具有的高效性优势，对空间域先解析积分后离散，频域和时域数值积分，将解析符号运算转化为矩阵运算，从而得到针对中厚壳结构随机振动响应的离散解析解，高效批量获得中厚圆柱壳随机振动响应的分布。

2.根据权利要求1所述的一种中厚壳结构随机振动响应的精确分析方法，其特征在于，步骤100，包括以下子步骤：

步骤100-1：针对简支边界条件的封闭中厚圆柱壳，给出基于分离变量形式的自由振动精确解形式：

u₁(x,θ,t)＝U_1,mn(x,θ)cosωt＝A cosα_mxcosnθcosωt,u₂(x,θ,t)＝U_2,mn(x,θ)cosωt＝B sinα_mxsinnθcosωt

u₃(x,θ,t)＝U_3,mn(x,θ)cosωt＝F sinα_mxcosnθcosωt,u₄(x,θ,t)＝U_4,mn(x,θ)cosωt＝M cosα_mxcosnθcosωt

u₅(x,θ,t)＝U_5,mn(x,θ)cosωt＝N sinα_mxsinnθcosωt

其中轴向位移u₁、环向位移u₂、径向位移u₃、轴向转角u₄及环向转角u₅分别为五个广义独立位移，U_s,mn(x,θ)为与第s个广义位移相应的第mn阶振型函数，m和n分别为轴向和环向的半波数，α_m＝mπ/L，A、B、F、M和N为待求常数；

类似地，四边简支的开口中厚圆柱壳，开口角度为φ_T，其自由振动封闭形式解为：

u₁(x,θ,t)＝U_1,mn(x,θ)cosωt＝A cosα_mxsinβ_nθcosωt,u₂(x,θ,t)＝U_2,mn(x,θ)cosωt＝B sinα_mxcosβ_nθcosωt

u₃(x,θ,t)＝U_3,mn(x,θ)cosωt＝F sinα_mxsinβ_nθcosωt,u₄(x,θ,t)＝U_4,mn(x,θ)cosωt＝M cosα_mxsinβ_nθcosωt

u₅(x,θ,t)＝U_5,mn(x,θ)cosωt＝N sinα_mxcosβ_nθcosωt

其中β_n＝nπ/φ_T；

步骤100-2：将封闭或开口形式的中厚圆柱壳自由振动封闭解形式代入无阻尼自由振动微分方程，得到矩阵形式的对称齐次方程组；

步骤100-3：为保证步骤102的齐次方程组能够求得非平凡解，令其系数矩阵行列式为0；得到包含固有频率的十次方项的频率方程，求解频率方程，获得中厚圆柱壳的精确固有频率ω；

步骤100-4：将求得的精确固有频率ω回代到步骤102的齐次方程组中，确定步骤101的待求系数A、B、F、M和N之间的比值关系，获得中厚圆柱壳的解析振型函数。

3.根据权利要求1或2所述的一种中厚壳结构随机振动响应的精确分析方法，其特征在于，步骤200，包括以下子步骤：

步骤200-1：对于作用在中厚壳上的平稳随机激励q_i(x,θ,t)＝Γ_i(x,θ)X(t)，构造虚拟激励

其中Γ_i(x,θ)为作用在第i个方向的平稳随机激励X(t)的空间分布形式，

为X(t)的功率谱密度函数；将平稳随机振动分析转化为确定性的简谐振动频域分析，基于频率响应函数得到与第mn阶频率对应的虚拟正则坐标；

步骤200-2：对于作用在中厚壳上的时域非平稳随机激励q_i(x,θ,t)＝f(t)Γ_i(x,θ)X(t)，构造虚拟激励

其中f(t)为时间调制函数；将非平稳随机振动分析转化为确定性时域分析；基于单位脉冲响应函数，得到与第mn阶频率对应的虚拟正则坐标；

步骤200-3：在步骤201或202得到的虚拟正则坐标的基础上，获得中厚圆柱壳第i个方向的虚拟位移

进一步，基于虚拟激励法得到各个方向位移、速度及加速度响应功率谱密度函数

步骤200-4：在虚拟位移响应的基础上，根据壳结构的几何关系及材料本构关系，计算得到中厚圆柱壳应变、应力、薄膜内力及弯曲内力等待求量的解析响应功率谱密度函数。

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