CN110457823A - 超弹性圆柱薄壳强非线性振动的mlp方法 - Google Patents

Abstract

超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，属于材料分析领域，为了解决由不可压缩超弹性材料构成的薄壁圆柱壳内表面受到径向简谐激励作用时的强非线性振动问题，技术要点是基于Donnell非线性浅壳理论、拉格朗日方程以及小应变假设，得到描述圆柱壳大挠度振动的非线性微分方程组；基于自由度凝聚法，将非线性方程组简化为含有大参数的强非线性Duffing方程；利用适当的参数变换以及改进的MLP法，得出相应的幅频和相频响应曲线，效果是由大挠度振动引起的几何非线性特性使得材料具有硬化行为，而超弹性材料的非线性则会导致软化效应。

Description

超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法

技术领域

本发明属于材料分析领域，涉及一种超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法。

背景技术

由于壳体结构具有简单的形态特征和优异的机械性能，使其在许多领域中都有着广泛的应用，如机械，建筑和医疗设备等方面。例如，在机械工程领域，薄壁橡胶套管常用作精密轴类产品的内防护，起着密封和隔振保护的重要作用；在结构工程领域，各种薄壳结构更是由于其优良的力学性能与美观的外形而备受青睐；除此之外，在医疗设备领域，各种软管结构也广泛的应用于各种医疗器械以及人造器官产品中。在这些实际应用中，壳体结构经常受到周期载荷的作用，进而不可避免会产生大变形和动力学响应，因此对于壳体结构振动特性有关的研究具有重大的现实意义。

根据大多数实际壳体结构的特点，经典理论通常利用薄壁假设来简化振动问题。关于薄壳小挠度振动的研究，已经有了非常坚实的理论基础，详见文献[1-3]。基于线性本构关系的板壳大挠度变形理论也在不断的发展之中，其中vonKármán理论，Novozhilov理论，Flügge理论以及Donnell理论[4-6]是几个比较有代表性的大挠度变形理论。基于哈密顿原理、von Kármán非线性理论以及一阶剪切变形理论，Sheng等[7]研究了旋转功能梯度圆柱壳的非线性振动，并分析了该结构在受到简谐横向外激励作用下的主共振、拟周期和混沌响应等非线性动力学行为。基于Novozhilov理论，通过利用忽略面内惯性的假设以及引入应力函数的方法，Chu[8]研究了大振幅对圆柱薄壳弯曲自由振动的影响，其结果表明由非线性项所产生的附加面内力对圆柱壳振动行为的影响较小。Heydarpour等[9]研究了壳体受到组合静态周期轴向力作用时，旋转功能梯度碳纳米管增强复合材料组成的圆柱壳的动态稳定性行为。基于Flügge理论，Han等[10]提出了一种预测含内压流体的功能梯度圆柱薄壳的自由振动和弹性临界载荷的分析方法。通过将位移函数展开成傅里叶级数和辅助函数的形式，Dai等[11]推导出了可以应用于具有任意复杂边界条件的圆柱壳振动分析的精确级数解，并给出了不同边界条件下壳体模态参数计算的数值算例，同时验证了该解法的可靠性。基于Donnell壳理论以及假设模态法，Han等[12]研究了时变转速的周期轴向载荷作用下圆柱壳的非线性动力学稳定性。基于Donnell非线性浅壳理论，Wang[13]研究了旋转层合复合圆柱壳在最低共振附近受到径向简谐激励作用时的大幅振动问题。

有关薄壁圆柱壳大挠度振动的研究，大多数是基于线性本构关系，而考虑材料非线性的研究相对较少。然而，随着高分子材料(如橡胶、类橡胶材料)的应用日益广泛，研究材料非线性特性对振动特性影响的理论需求也在不断增加。因此，一些学者开始对材料非线性有关的问题产生了兴趣。Shahinpoor等[14]基于弹性有限变形理论，分析了超弹性薄管的大振幅径向振动问题，并得到了其简化问题的精确解。Breslavsky等[15]基于Novozhilov理论，利用谐波平衡法研究了不同超弹性本构关系下薄板的自由和受迫振动，发现随着初始挠度的增大，在小振幅和大振幅之间的频移现象会减弱。除此之外，Akyüz等[16]利用neo-Hookean和Fung材料模型组合来模拟动脉血管，研究了在受到均匀径向拉伸或压缩静载荷作用时，一类均匀的各向同性可压缩超弹性圆柱壳的稳定性和小振幅径向自由振动问题。Wang等[17]分析了轴向加速超弹性梁的主参数共振问题，并且揭示出材料参数对主共振响应的影响。

发明内容

为了解决由不可压缩Mooney–Rivlin材料构成的薄壁圆柱壳内表面受到径向简谐激励作用时的强非线性振动问题，能对壳体结构，表达其振动特性，本发明提出如下技术方案：一种超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，包括

基于Donnell非线性浅壳理论、拉格朗日方程以及小应变假设，得到描述圆柱壳大挠度振动的非线性微分方程组；

基于自由度凝聚法，将非线性方程组简化为含有大参数的强非线性Duffing方程；

利用参数变换以及改进的MLP法，得出相应的幅频和相频响应曲线。

进一步的，建立如下描述圆柱壳大挠度振动的非线性微分方程组的方法，即

在圆柱壳中面建立柱坐标系(x,θ,z)，其中x，θ和z分别表示轴向、环向和径向，u，v和w表示圆柱壳中面上一点的位移，u₁，u₂和u₃代表圆柱壳上任意质点的位移，l，h和R分别代表圆柱壳的初始长度、厚度以及中面半径；

圆柱壳上任意一质点位移(u₁,u₂,u₃)和中面上一点的位移(u,v,w)满足如下关系

壳体的位移-应变关系为

圆柱壳是由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成，相应的应变能函数为

其中μ₁和μ₂为材料参数；在Cartesian坐标系中，Lagrangian应变张量和右Cauchy-Green变形张量如下表示

右Cauchy-Green变形张量的三个主不变量的表达式为

基于小应变假设以及不可压缩条件J＝1，求得ε_zz，即

将式(2.5)和(2.6)代入式(2.3)，得不可压缩Mooney-Rivlin应变能函数的具体表达式，考虑到计算的复杂性，仅将应变能函数在三个小变量ε_xx，ε_θθ和ε_xθ处展开至四阶；

圆柱壳的动能及弹性势能的表达式如下：

其中h和ρ分别是薄壳厚度以及材料密度；

采用近似函数将无限自由度的连续系统离散为有限自由度系统，另外，对于两端简支的圆柱壳，当x＝0,l时，其边界条件为

v＝w＝0,N_x＝M_x＝0 (2.9)

其中N_x和M_x分别是单位长度的轴向力以及单位长度的弯矩，描述圆柱壳运动的Lagrange方程为

其中L＝T-P是系统的Lagrangian函数，Q_i是广义力，I是用于离散系统的自由度数，T和P分别为对应的动能和弹性势能，将周期外力所做的虚功记为F_e，并引入瑞利耗散函数描述非保守阻尼力所做的功F_d，具体表达式如下：

其中c是与阻尼有关的系数，F_x，F_θ和F_z分别为作用在圆柱壳x，θ以及z方向上的单位分布力；

利用中面位移的基函数对连续系统进行离散，其满足相同的几何边界条件，即

其中m为轴向半波数，n为环向波数，λ_m＝mπ/L，t表示时间，u_mn(t)，v_mn(t)和w_mn(t)为与时间t相关的广义坐标，对于模态展开的每一项，瑞利耗散函数的系数c都有不同的值，经过计算，式(2.12)可变为

其中c_m,n是与模态阻尼比有关的阻尼系数，令其中ω_m,n为模态(m,n)的固有频率，ρ_m,n为该模态的模态质量；

引入由广义坐标组成记号q＝(u_m,n,v_m,n,w_m,n)^T，与时间相关的向量q的元素记为q_i，广义力Q_i可由对瑞利耗散函数和外力所做虚功的微分得到，即

将相关表达式代入Lagrange方程(2.10)，得到描述圆柱壳运动的非线性微分方程组：

即

其中[M]，[K]和[K₃]分别是广义质量矩阵、广义线性刚度矩阵和广义非线性刚度矩阵；[C]为瑞利阻尼矩阵，且[C]＝β[K]+γ[M]，其中β和γ是通过实验测定的常数。

进一步的，基于自由度凝聚法，将非线性方程组简化为含有大参数的强非线性Duffing方程的方法，即在不计面内惯性和阻尼的条件下，根据式(2.15)，导出如下关系

平面内位移关系的表达式为

其中

根据式(2.15)，得如下运动微分方程

将式(2.17)、(2.18)代入式(2.19)，则得壳体仅关于w的径向非线性运动微分方程，即

其中c_d为结构阻尼系数，且M_c＝K₁₃b+K₂₃d+M₃₃，K_c＝K₁₃a+K₂₃c+K₃₃，并引入下述记号

则(2.20)整理为如下具有大参数ε的Duffing形式的强非线性微分方程

其中ε、P_f和s分别为与阻尼有关的参数、非线性刚度、外激励幅值以及与外激励频率相关的参数，(·)′表示对于τ求微分。

进一步的，利用参数变换以及改进的MLP法，得出相应的幅频和相频响应曲线的方法是：

忽略面内惯性的可行性分析

首先对考虑面内惯性的系统的自由振动进行线性化，则有

对不考虑面内惯性的系统的自由振动进行线性化，有

对于不可压缩超弹性材料的线性化材料参数，μ₁＝416185.5Pa，μ₂＝-498.8Pa，ρ＝1100kgm^-3，薄壁圆柱壳的结构参数为L＝520×10^-3m，R＝150×10^-3m，h＝3×10^-3m，阻尼参数取结合这些参数及式(2.23)和(2.24)，得两种情况下圆柱壳径向振动的固有频率，最低频率并不出现在环向波数和轴向半波数同时取最小值的情形，此外，仅当环向波数n＝0时，忽略面内惯性的结果误差较大，随着环向波数n的增大，不计面内惯性所产生的误差就会越来越小，当环向波数n≥3时，不计面内惯性所产生的误差值低于5％，取轴向半波数m＝1，环向波数n＝4，并认为在该条件下不计面内惯性所产生的误差是可以接受的。

进一步的，MLP法摄动分析

自由振动

根据式(2.22)可圆柱壳非线性自由振动的微分方程，如下所示

W″+W+εW³＝0 (2.25)

令ω为圆柱壳自由稳态振动的角频率，采用MLP法对式(2.25)进行摄动分析，现引入新变量τ^*＝ωτ和如下定义的新参数α，即

将角频率ω展开成与ε和α有关的幂级数形式，如下所示

其中ω_i和δ_i是待定的未知常数，对于二阶摄动解，将径向位移展开成与α有关的幂级数形式，即W(τ,α)≈W₀+W₁α+W₂α²，联立W(τ,α)≈W₀+W₁α+W₂α²，τ^*＝ωτ，式(2.25)和式(2.27)，得

其中(·)′表示对τ^*求微分；令α不同次幂的系数等于零，得

W₀″+W₀＝0 (2.29)

各方程的初始条件变为

依次求解微分方程(2.29)～(2.31)，即得

将式(2.33)代入式(2.26)得

得如下的幅频关系

因此，式(2.25)的二阶近似解为

对于自由振动问题，其角频率的精确解形式为

其中，m＝εA²/[2(1+εA²)]；

对于不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的圆柱薄壳，其非线性振动行为呈现出明显的硬化行为，即其骨架线是向右弯曲的。

进一步的，MLP法摄动分析

受迫振动

对于二阶摄动解，式(2.22)中的阻尼参数和载荷幅值都应除以ε²，并引入如下变量变换

引入时间尺度变换，即τ^*＝sτ，假设阻尼系数与外激励频率是无关的，同时，由于阻尼的存在，稳态响应与激励之间存在相位差，令θ为激励的初始相位，则对应的稳态响应的初始相位为0，则式(2.22)整理为

s²W″+ε²μW′+W+εW³＝ε²Fcos(τ^*+θ) (2.39)

其中(·)′表示对τ^*求微分，依据MLP法，引入式(2.26)中的参数变换，给出如下展开关系

通过考虑径向位移的二阶近似展开，式(2.39)有如下表示式：

令α不同次幂的系数都等于零，得

W₀″+W₀＝0 (2.42)

各方程的初始条件变为

结合初始条件，依次求解微分方程(2.41)～(2.43)，即得

将式(2.46)代入式(2.38)和式(2.39)，即得如下幅频响应关系

相应地，相频特性方程为

下面给出阻尼受迫振动的稳态解，即

W(τ,α)＝W₀+W₁α+W₂α² (2.49)

与线性本构关系相比，采用非线性Mooney-Rivlin本构关系的壳的骨架线呈现软化效应，但在考虑超弹性薄壁圆柱壳大挠度振动的情况下，其响应仍表现出一般的硬化行为。

有益效果：本发明基于MLP法，用于解决明确超弹性薄壁圆柱壳的强非线性振动问题，本发明基于Donnell非线性浅壳理论和小应变假设，利用广义Lagrangian函数描述不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的薄壁圆柱壳在径向简谐激励作用下的运动状态，本发明基于自由度凝聚法，将非线性微分方程组简化为描述圆柱薄壳径向振动的一类具有大参数的强非线性Duffing方程，本发明通过恰当的参数变换及改进的Lindstedt-Poincaré法，得到了圆柱薄壳径向非线性振动的摄动解。本发明通过所述方法，明确了，对于薄壁圆柱壳，大挠度振动会引入一个正的非线性刚度，使得壳的响应表现为硬化型，而超弹性材料非线性在一定程度上会弱化非线性刚度。

附图说明

图1圆柱壳示意图：

(a)相关尺寸与位移的符号定义；

(b)圆柱壳的横截面。

图2对不同的环向波数n与轴向半波数m，圆柱壳径向振动的固有频率示意图：

(a)当m＝1～5(从下往上)时，简支圆柱壳径向振动的固有频率，NIPI：忽略面内惯性，IPI：考虑面内惯性；

(b)当m＝1～5时，不计面内惯性的误差。

图3不同近似阶数与精确解结果的比较示意图：

(a)不同近似阶数的骨架线与精确解；

(b)不同阶数的解与精确解的相对误差。

图4不同本构关系下的响应曲线，LCMR：线性本构响应，HCMR：超弹性本构响应F_z＝3×10^-2N：

(a)骨架线和幅频曲线；

(b)相频曲线

图5F_z＝5 10^-3,1 10^-2,2 10^-2,3 10^-2N时的特性曲线：

(a)骨架线和不同激励幅值(从下到上)下的幅频响应；

(b)不同激励幅值(从左到右)下的相频响应。

具体实施方式

1发明目的

本发明研究了由不可压缩Mooney–Rivlin材料构成的薄壁圆柱壳内表面受到径向简谐激励作用时的强非线性振动问题。首先，基于Donnell非线性浅壳理论、拉格朗日方程以及小应变假设，得到了描述圆柱壳大挠度振动的非线性微分方程组；然后，基于自由度凝聚法，将非线性方程组简化为含有大参数的强非线性Duffing方程；最后，利用恰当的参数变换以及改进的Lindstedt-Poincaré法(MLP)，得出了相应的幅频和相频响应曲线。数值结果表明，由大挠度振动引起的几何非线性特性使得材料具有硬化行为，而超弹性材料的非线性则会导致软化效应。

2数学模型

2.1 Donnell非线性浅壳理论

在柱坐标系(x,θ,z)中，圆柱薄壳的草图如图1所示。在圆柱壳中面建立柱坐标系，x，θ和z分别表示轴向、环向和径向。u，v和w表示圆柱壳中面上一点的位移。u₁，u₂和u₃代表圆柱壳上任意质点的位移。l，h和R分别代表圆柱壳的初始长度、厚度以及中面半径。

根据Kirchhoff-Love假设[6]，圆柱壳上任意一质点位移(u₁,u₂,u₃)和中面上一点的位移(u,v,w)满足如下关系：

基于Donnell非线性浅壳理论，壳体的位移-应变关系如下[18]

一般而言，对于薄壁壳体，有ε_zz≈0,ε_xz≈0,ε_θz≈0。

2.2控制方程和边界条件

众所周知，超弹性材料的本构关系可以完全由其应变能函数来描述。本发明中，考察圆柱壳是由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成，相应的应变能函数为

其中μ₁和μ₂为材料参数。在Cartesian坐标系中，Lagrangian应变张量和右Cauchy-Green变形张量如下表示

进一步地，右Cauchy-Green变形张量的三个主不变量的表达式为

基于小应变假设以及不可压缩条件J＝1[19]，可以求得ε_zz，即

将式(2.5)和式(2.6)代入式(2.3)，可得不可压缩Mooney-Rivlin应变能函数的具体表达式。考虑到计算的复杂性，仅将应变能函数在三个小变量ε_xx，ε_θθ和ε_xθ处展开至四阶。

圆柱壳的动能及弹性势能的表达式如下：

其中h和ρ分别是薄壳厚度以及材料密度。

为了简化问题，采用近似函数将无限自由度的连续系统离散为有限自由度系统。另外，对于两端简支的圆柱壳，当x＝0,l时，其边界条件如下，

v＝w＝0,N_x＝M_x＝0 (2.9)

其中N_x和M_x分别是单位长度的轴向力以及单位长度的弯矩。于是，描述圆柱壳运动的Lagrange方程为

其中L＝T-P是系统的Lagrangian函数，Q_i是广义力，I是用于离散系统的自由度数，T和P分别为对应的动能和弹性势能。将周期外力所做的虚功记为F_e，并引入瑞利耗散函数描述非保守阻尼力所做的功F_d[20]，具体表达式如下：

其中c是与阻尼有关的系数，F_x，F_θ和F_z分别为作用在圆柱壳x，θ以及z方向上的单位分布力。

3圆柱壳的径向运动方程

利用中面位移的基函数对连续系统进行离散(满足相同的几何边界条件)，即

其中m为轴向半波数，n为环向波数，λ_m＝mπ/L，t表示时间，u_mn(t)，v_mn(t)和w_mn(t)为与时间t相关的广义坐标。对于模态展开的每一项，瑞利耗散函数的系数c都有不同的值。经过计算，式(3.1)可变为[20]

其中c_m,n是与模态阻尼比有关的阻尼系数，且可以通过实验测定。令其中ω_m,n为模态(m,n)的固有频率，ρ_m,n为该模态的模态质量。

进一步，引入由广义坐标组成记号q＝(u_m,n,v_m,n,w_m,n)^T。与时间相关的向量q的元素记为q_i。广义力Q_i可由对瑞利耗散函数和外力所做虚功的微分得到，即

将相关表达式代入Lagrange方程(2.10)，即可得到描述圆柱壳运动的非线性微分方程组，

即

其中[M]，[K]和[K₃]分别是广义质量矩阵、广义线性刚度矩阵和广义非线性刚度矩阵。[C]为瑞利阻尼矩阵，且[C]＝β[K]+γ[M]，其中β和γ是通过实验测定的常数。广义质量矩阵和刚度矩阵详见附录。

本发明仅考虑圆柱壳在径向周期载荷作用下的径向振动问题，即有F_x＝F_θ＝0。此外，与径向位移相比，平面内位移相对较小，因此相应的面内惯性项和阻尼项的影响可以忽略不计。事实上，大多数文献通过引入应力函数，同时忽略面内的惯性与阻尼的影响进行简化上述方程。则上述微分方程组可简化为一个仅关于w的径向运动微分方程。然而在引入应力函数之后，计算过程将会变得更加复杂。为了简化分析过程，本发明基于自由度凝聚法来处理此问题。在不计面内惯性和阻尼的条件下，根据式(3.5)，可导出如下关系

进一步地，平面内位移关系的表达式为

其中

根据式(3.5)，可得如下运动微分方程

将式(3.7)、式(3.8)代入式(3.9)，则可得壳体仅关于w的径向非线性运动微分方程，即

其中c_d为结构阻尼系数，且M_c＝K₁₃b+K₂₃d+M₃₃，K_c＝K₁₃a+K₂₃c+K₃₃。进一步引入下述记号

则式(3.10)可整理为如下具有大参数ε的Duffing形式的强非线性微分方程

其中ε、P_f和s分别为与阻尼有关的参数、非线性刚度、外激励幅值以及与外激励频率相关的参数。(·)′表示对于τ求微分。

4数值和摄动解

4.1忽略面内惯性的可行性分析

从解析解的角度来看，考虑非线性振动的面内惯性的难度较大，而线性化的情况相对简单。接下来对是否考虑面内惯性进行对比分析。通过比较这两种情况，不难证明忽略薄壁壳体振动的面内惯性的假设是合理可行的。

作为线性振动分析的重要环节，系统固有频率的分析研究已经有着成熟的理论基础。通过对线性系统自由振动的研究，易得出系统的固有频率。首先对考虑面内惯性的系统的自由振动进行线性化，则有

对不考虑面内惯性的系统的自由振动进行线性化，有

考虑参考文献[15]中不可压缩超弹性材料的线性化材料参数，即μ₁＝416185.5Pa，μ₂＝-498.8Pa，ρ＝1100kgm^-3，薄壁圆柱壳的结构参数为L＝520×10^-3m，R＝150×10^-3m，h＝3×10^-3m。阻尼参数取结合这些参数及式(4.1)和(4.2)，可得两种情况下圆柱壳径向振动的固有频率，如图2(a)所示。

图2给出了是否考虑面内惯性对径向振动固有频率影响的比较。通过2(a)可以看出，最低频率(结构基频)并不出现在环向波数和轴向半波数同时取最小值的情形。此外，仅当环向波数n＝0时，忽略面内惯性的结果误差较大。随着环向波数n的增大，不计面内惯性所产生的误差就会越来越小。换句话说，面内惯性对于低阶模态有较大的影响。据图2(b)可知，当环向波数n≥3时，不计面内惯性所产生的误差值低于5％。因此可以断定，当环向波数足够大时，本发明不计面内惯性的假设是可行的。在本发明后续的研究中，取轴向半波数m＝1，环向波数n＝4，并认为在该条件下不计面内惯性所产生的误差是可以接受的。

4.2MLP法摄动分析

4.2.1自由振动

根据式(3.12)可得圆柱壳非线性自由振动的微分方程，如下所示

W″+W+εW³＝0 (4.3)

其中非线性刚度参数ε不一定为小参数。本发明主要研究ε＞1时的情形。对于大参数强非线性自由振动的情形，直接采用改进的Lindstedt-Poincaré(MLP)法是可行的，并不需要进行额外的预处理变换。令ω为圆柱壳自由稳态振动的角频率。采用MLP法对式(4.3)进行摄动分析，现引入新变量τ^*＝ωτ和如下定义的新参数α，即

将角频率ω展开成与ε和α有关的幂级数形式，如下所示[21]

其中ω_i和δ_i是待定的未知常数。对于二阶摄动解，可将径向位移展开成与α有关的幂级数形式，即W(τ,α)≈W₀+W₁α+W₂α²。联立W(τ,α)≈W₀+W₁α+W₂α²，τ^*＝ωτ，式(4.3)和式(4.5)，可得

其中(·)′表示对τ^*求微分。令α不同次幂的系数等于零，可得

W₀″+W₀＝0 (4.7)

各方程的初始条件变为

依次求解微分方程(4.7)～(4.9)，即得

将式(4.11)代入式(4.4)得

进一步地，可得如下的幅频关系

因此，式(4.3)的二阶近似解为

对于自由振动问题，其角频率的精确解形式为[22]

其中，m＝εA²/[2(1+εA²)]。

如图3所示，随着外激励频率ω的不断增大，不同阶数的摄动解和精确解的相对误差逐渐达到一定值(即最大相对误差)。即使对于一阶摄动解，与精确解相比，其最大相对误差也不超过3％，这意味着一阶摄动分析是合理可行的。对于二阶摄动解，其最大相对误差极小，并且骨架线几乎与精确解重合。因此，可以认为本发明的二阶摄动分析具有足够的精度。此外，图3(a)还表明，对于不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的圆柱薄壳，其非线性振动行为呈现出明显的硬化行为，即其骨架线是向右弯曲的。

4.2.2受迫振动

众所周知，MLP方法总是用来处理某些特定形式的强非线性方程，然而，它不能直接用来分析本发明得到的这类方程。因此，对于本发明得到的用于描述含阻尼受迫振动的微分方程的稳态近似解析解，若截断(和近似)摄动展开阶数为N，则微分方程中的阻尼参数和载荷幅值都应除以ε^N后转换为新参数，然后应用MLP法对变换后的方程进行分析。

显然，对于二阶摄动解，式(3.12)中的阻尼参数和载荷幅值都应除以ε²，并引入如下变量变换

为了应用MLP方法求解该方程，首先引入时间尺度变换，即τ^*＝sτ。此外，由于阻尼系数通常非常小，且本发明仅考虑的是主共振附近的受迫振动，即激励频率与固有频率十分接近。因此可以假设即阻尼系数与外激励频率是无关的。同时，由于阻尼的存在，稳态响应与激励之间存在相位差。令θ为激励的初始相位，则对应的稳态响应的初始相位为0，则式(3.12)可整理为

s²W″+ε²μW′+W+εW³＝ε²Fcos(τ^*+θ) (4.17)

其中(·)′表示对τ^*求微分。依据MLP法，引入上述(4.4)中的参数变换，即给出如下展开关系

通过考虑径向位移的二阶近似展开，式(4.17)有如下表示式：

令α不同次幂的系数都等于零，可得

W₀″+W₀＝0 (4.20)

各方程的初始条件变为

结合初始条件，依次求解微分方程(4.20)～(4.22)，即得

显然，系数d₂与自由振动中的系数δ₂＝-1/24有关。当外激励和阻尼同时消失时，d₂和δ₂是完全相等的，这种渐进关系间接验证了(4.16)中变量变换处理的正确性。将式(4.24)代入式(4.18)和式(4.19)，即得如下幅频响应关系

相应地，相频特性方程为

文献[22]中给出了阻尼受迫振动的二阶近似解。与本发明相比，其解的形式较为复杂，并未给出相频关系。对于自由振动的情况，本发明与文献[22]得出的解的系数是相同的。

下面给出阻尼受迫振动的稳态解，即

W(τ,α)＝W₀+W₁α+W₂α² (4.27)

如图4(a)所示，与线性本构关系相比(即前者的非线性刚度较小)，采用非线性Mooney-Rivlin本构关系的壳的骨架线呈现软化效应，但在考虑超弹性薄壁圆柱壳大挠度振动的情况下，其响应仍表现出一般的硬化行为。这一现象表明，对于由Mooney-Rivlin材料组成的薄壁壳体大挠度振动的稳态周期解，基于小应变假设和线性化本构关系的定性分析是可接受的。

由图5可以看到，在特定频率范围内，一个外激励频率可能会对应多个幅值或相位，这是非线性系统中典型的多值现象。相频曲线的多值现象更为直观。根据振动理论稳定性的限制，在实验中只能观测到其中一种响应。激励频率与特定区域的响应是一一对应的，但对于不同扫频方向，其响应是不同的。此外，图5还表明，当外激励F_z＝5×10^-3N时，频率与幅值或相位仍然呈现出一一对应关系。则可以推断只有当激励足够大时，该系统才会出现多值现象。在实验中，通常是会观测到由非线性和稳定性引起的响应幅值的突增或突减，一般称为跳跃现象，并且该现象是非线性系统所具有的典型特征。

5结论

本发明基于Donnell非线性壳理论和改进的Lindstedt-Poincaré法，研究了由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的薄壁圆柱壳在径向简谐载荷作用下的非线性振动问题。结合拉格朗日方程和小应变假设，得到了描述圆柱壳运动的微分方程组。得到的主要结论如下：

(1)基于自由度凝聚法，可用一类具有大参数的Duffing方程来描述圆柱薄壳的大挠度径向振动。

(2)由于MLP方法不能对本发明所得到的微分方程进行直接分析，因此本发明指出方程中的阻尼参数和载荷幅值都需要转换为新参数。然后才能利用MLP法对变换之后的强非线性方程进行了二阶摄动分析，并得到了相应的幅频关系和相频关系。

(3)幅频响应和相频响应表明，对于薄壁圆柱壳，大挠度振动会引入一个正的非线性刚度，使得壳的响应表现为硬化型，而超弹性材料非线性在一定程度上会弱化非线性刚度。

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[22]A H.Nayfeh,Introduction to perturbation techniques,John Wiley &Sons(2011).

附录：

质量矩阵：

刚度矩阵：

非线性刚度矩阵：

以上所述，仅为本发明创造较佳的具体实施方式，但本发明创造的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明创造披露的技术范围内，根据本发明创造的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明创造的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，其特征在于：

基于Donnell非线性浅壳理论、拉格朗日方程以及小应变假设，得到描述圆柱壳大挠度振动的非线性微分方程组；

基于自由度凝聚法，将非线性方程组简化为含有大参数的强非线性Duffing方程；

利用参数变换以及改进的MLP法，得出相应的幅频和相频响应曲线。

2.如权利要求1所述的超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，其特征在于：建立如下描述圆柱壳大挠度振动的非线性微分方程组的方法，即

在圆柱壳中面建立柱坐标系(x,θ,z)，其中x，θ和z分别表示轴向、环向和径向，u，v和w表示圆柱壳中面上一点的位移，u₁，u₂和u₃代表圆柱壳上任意质点的位移，l，h和R分别代表圆柱壳的初始长度、厚度以及中面半径；

圆柱壳上任意一质点位移(u₁,u₂,u₃)和中面上一点的位移(u,v,w)满足如下关系

壳体的位移-应变关系为

圆柱壳是由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成，相应的应变能函数为

其中μ₁和μ₂为材料参数；在Cartesian坐标系中，Lagrangian应变张量和右Cauchy-Green变形张量如下表示

右Cauchy-Green变形张量的三个主不变量的表达式为

基于小应变假设以及不可压缩条件J＝1，求得ε_zz，即

将式(2.5)和(2.6)代入式(2.3)，得不可压缩Mooney-Rivlin应变能函数的具体表达式，考虑到计算的复杂性，仅将应变能函数在三个小变量ε_xx，ε_θθ和ε_xθ处展开至四阶；

圆柱壳的动能及弹性势能的表达式如下：

其中h和ρ分别是薄壳厚度以及材料密度；

采用近似函数将无限自由度的连续系统离散为有限自由度系统，另外，对于两端简支的圆柱壳，当x＝0,l时，其边界条件为

v＝w＝0,N_x＝M_x＝0 (2.9)

其中N_x和M_x分别是单位长度的轴向力以及单位长度的弯矩，描述圆柱壳运动的Lagrange方程为

其中L＝T-P是系统的Lagrangian函数，Q_i是广义力，I是用于离散系统的自由度数，T和P分别为对应的动能和弹性势能，将周期外力所做的虚功记为F_e，并引入瑞利耗散函数描述非保守阻尼力所做的功F_d，具体表达式如下：

其中c是与阻尼有关的系数，F_x，F_θ和F_z分别为作用在圆柱壳x，θ以及z方向上的单位分布力；

利用中面位移的基函数对连续系统进行离散，其满足相同的几何边界条件，即

其中m为轴向半波数，n为环向波数，λ_m＝mπ/L，t表示时间，u_mn(t)，v_mn(t)和w_mn(t)为与时间t相关的广义坐标，对于模态展开的每一项，瑞利耗散函数的系数c都有不同的值，经过计算，式(2.12)可变为

其中c_m,n是与模态阻尼比有关的阻尼系数，令其中ω_m,n为模态(m,n)的固有频率，ρ_m,n为该模态的模态质量；

引入由广义坐标组成记号q＝(u_m,n,v_m,n,w_m,n)^T，与时间相关的向量q的元素记为q_i，广义力Q_i可由对瑞利耗散函数和外力所做虚功的微分得到，即

将相关表达式代入Lagrange方程(2.10)，得到描述圆柱壳运动的非线性微分方程组：

即

其中[M]，[K]和[K₃]分别是广义质量矩阵、广义线性刚度矩阵和广义非线性刚度矩阵；[C]为瑞利阻尼矩阵，且[C]＝β[K]+γ[M]，其中β和γ是通过实验测定的常数。

3.如权利要求2所述的超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，其特征在于：基于自由度凝聚法，将非线性方程组简化为含有大参数的强非线性Duffing方程的方法，即在不计面内惯性和阻尼的条件下，根据式(2.15)，导出如下关系

平面内位移关系的表达式为

其中

根据式(2.15)，得如下运动微分方程

将式(2.17)、(2.18)代入式(2.19)，则得壳体仅关于w的径向非线性运动微分方程，即

其中c_d为结构阻尼系数，且M_c＝K₁₃b+K₂₃d+M₃₃，K_c＝K₁₃a+K₂₃c+K₃₃，并引入下述记号

则(2.20)整理为如下具有大参数ε的Duffing形式的强非线性微分方程

其中ε、P_f和s分别为与阻尼有关的参数、非线性刚度、外激励幅值以及与外激励频率相关的参数，(·)′表示对于τ求微分。

4.如权利要求3所述的超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，其特征在于：利用参数变换以及改进的MLP法，得出相应的幅频和相频响应曲线的方法是：

忽略面内惯性的可行性分析

首先对考虑面内惯性的系统的自由振动进行线性化，则有

对不考虑面内惯性的系统的自由振动进行线性化，有

对于不可压缩超弹性材料的线性化材料参数，μ₁＝416185.5Pa，μ₂＝-498.8Pa，ρ＝1100kgm^-3，薄壁圆柱壳的结构参数为L＝520×10^-3m，R＝150×10^-3m，h＝3×10^-3m，阻尼参数取结合这些参数及式(2.23)和(2.24)，得两种情况下圆柱壳径向振动的固有频率，最低频率并不出现在环向波数和轴向半波数同时取最小值的情形，此外，仅当环向波数n＝0时，忽略面内惯性的结果误差较大，随着环向波数n的增大，不计面内惯性所产生的误差就会越来越小，当环向波数n≥3时，不计面内惯性所产生的误差值低于5％，取轴向半波数m＝1，环向波数n＝4，并认为在该条件下不计面内惯性所产生的误差是可以接受的。

5.如权利要求3所述的超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，其特征在于：

MLP法摄动分析

自由振动

根据式(2.22)可圆柱壳非线性自由振动的微分方程，如下所示

W″+W+εW³＝0 (2.25)

令ω为圆柱壳自由稳态振动的角频率，采用MLP法对式(2.25)进行摄动分析，现引入新变量τ^*＝ωτ和如下定义的新参数α，即

将角频率ω展开成与ε和α有关的幂级数形式，如下所示

其中ω_i和δ_i是待定的未知常数，对于二阶摄动解，将径向位移展开成与α有关的幂级数形式，即W(τ,α)≈W₀+W₁α+W₂α²，联立W(τ,α)≈W₀+W₁α+W₂α²，τ^*＝ωτ，式(2.25)和式(2.27)，得

其中(·)′表示对τ^*求微分；令α不同次幂的系数等于零，得

W₀″+W₀＝0 (2.29)

各方程的初始条件变为

依次求解微分方程(2.29)～(2.31)，即得

将式(2.33)代入式(2.26)得

得如下的幅频关系

因此，式(2.25)的二阶近似解为

对于自由振动问题，其角频率的精确解形式为

其中，m＝εA²/[2(1+εA²)]；

对于不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的圆柱薄壳，其非线性振动行为呈现出明显的硬化行为，即其骨架线是向右弯曲的。

6.如权利要求3所述的超弹性圆柱薄壳强非线性振动的MLP方法，其特征在于：

MLP法摄动分析

受迫振动

对于二阶摄动解，式(2.22)中的阻尼参数和载荷幅值都应除以ε²，并引入如下变量变换

引入时间尺度变换，即τ^*＝sτ，假设阻尼系数与外激励频率是无关的，同时，由于阻尼的存在，稳态响应与激励之间存在相位差，令θ为激励的初始相位，则对应的稳态响应的初始相位为0，则式(2.22)整理为

s²W″+ε²μW′+W+εW³＝ε²Fcos(τ^*+θ) (2.39)

其中(·)′表示对τ^*求微分，依据MLP法，引入式(2.26)中的参数变换，给出如下展开关系

通过考虑径向位移的二阶近似展开，式(2.39)有如下表示式：

令α不同次幂的系数都等于零，得

W₀″+W₀＝0 (2.42)

各方程的初始条件变为

结合初始条件，依次求解微分方程(2.41)～(2.43)，即得

将式(2.46)代入式(2.38)和式(2.39)，即得如下幅频响应关系

相应地，相频特性方程为

下面给出阻尼受迫振动的稳态解，即

W(τ,α)＝W₀+W₁α+W₂α² (2.49)

与线性本构关系相比，采用非线性Mooney-Rivlin本构关系的壳的骨架线呈现软化效应，但在考虑超弹性薄壁圆柱壳大挠度振动的情况下，其响应仍表现出一般的硬化行为。