CN114065499B - 岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型及构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型及构建方法，属于岩石工程技术领域，通过对岩石试件开展单轴压缩蠕变试验，获得岩石蠕变曲线；根据岩石蠕变曲线，绘制岩石蠕变速率随时间的变化规律曲线；推测岩石蠕变全过程中其粘滞系数随时间的变化规律，并确定其函数表达式；以此代替常规模型本构方程中的粘滞系数，建立改进Maxwell模型的本构方程；并对其进行积分，获得蠕变方程；最后根据岩石单轴压缩蠕变试验结果，确定模型参数。该方法所建模型不仅能以一个统一的函数表达式描述岩石单轴压缩蠕变全过程的三个阶段，还能反映岩石力学性质在不同蠕变阶段的变化规律，并能很方便的在数值分析软件中进行程序化，便于其工程应用。

Description

岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型及构建方法

技术领域

本发明属于岩石工程技术领域，具体涉及一种岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型及构建方法。

背景技术

岩石蠕变模型研究中，元件组合模型由于参数物理意义明确，且能够直观反映岩石复杂的力学性质，因而在实际工程中得到了广泛应用。众所周知，岩石完整的蠕变过程通常包含衰减蠕变、稳态蠕变和加速蠕变等三个阶段。传统的元件组合模型中，由于假定模型参数是固定不变的常量，因此无论将基本元件如何组合整个模型都只能反映岩石蠕变的衰减和稳态蠕变阶段，而无法描述加速蠕变阶段。为了描述岩石蠕变的加速阶段，目前常用的方法是假定岩石粘滞系数在加速蠕变阶段随时间延长而不断减小。基于上述思路建立的蠕变模型存在以下缺点：1)需要将岩石本来连续的蠕变过程人为划分为三个阶段，并用三个不同的函数来分别描述岩石不同阶段的蠕变行为，如用Kelvin体描述衰减蠕变阶段，用粘滞体描述稳态蠕变阶段，用随时间劣化的粘滞体描述加速蠕变阶段等。因此，总的蠕变方程是三个函数的叠加，而无法用一个统一的函数来表示。2)只考虑了岩石力学性质在加速蠕变阶段的劣化行为，而实际上，在岩石加载后的蠕变初期即衰减蠕变阶段，外荷载的施加会导致岩石内部既有裂纹、孔隙等发生闭合；同时，随着时间延长，岩石矿物颗粒会不断调整位置，使得岩石更加密实。因此，在蠕变初期，岩石的力学性质是不断得到硬化增强的，这在以往的研究中并未考虑到。

此外，虽然申请号为201811197744.1的专利“基于S形函数建立岩石单轴压缩全过程蠕变模型的方法”、申请号为201910877486.X的“一种岩石单轴压缩全过程蠕变损伤模型的构建方法”等提供了利用一个统一的函数表达式来描述岩石蠕变全过程三阶段的蠕变模型的构建方法，但利用这些方法所建模型均为经验模型，这些经验模型无法在数值分析软件中进行程序化，因而也就无法用于实际岩石工程长期稳定性分析。

发明内容

为了克服上述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型及构建方法，以解决现有技术均为经验模型，无法在数值分析软件中进行程序化，因而也就无法用于实际岩石工程长期稳定性分析的问题。

为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：

本发明公开了一种岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型的构建方法，包括以下步骤：

步骤一，采用单级加载方式，对岩石试件开展不同轴向应力σ₁、σ₂…σ_i-1、σ_i作用下的单轴压缩蠕变试验，σ₁＜σ₂＜…＜σ_i-1＜σ_i，获得岩石在对应轴向应力下的蠕变曲线；

步骤二，根据出现加速蠕变的岩石单轴压缩全过程蠕变曲线，计算岩石在不同时间时的蠕变速率，并绘制岩石蠕变速率随时间的变化规律曲线；

步骤三，假设岩石蠕变速率符合元件组合蠕变模型中粘性元件的本构方程，根据岩石蠕变速率随时间的变化规律曲线和粘性元件的本构方程，推测岩石蠕变全过程中其粘滞系数随时间的变化规律，并确定粘滞系数随时间变化的函数表达式；

步骤四，以粘滞系数随时间变化的函数表达式代替常规Maxwell模型本构方程中的粘滞系数，建立改进Maxwell模型的本构方程；

步骤五，对改进Maxwell模型的本构方程进行积分，并结合Kachanov蠕变损伤定律，获得改进Maxwell模型的蠕变方程；

步骤六，根据岩石单轴压缩蠕变试验结果，确定改进Maxwell模型的参数。

优选地，步骤一中，不同轴向应力下的岩石总应变均由瞬时弹性应变和蠕变应变两部分组成；轴向应力σ_i-1和σ_i作用下岩石在试验时间内发生了加速蠕变，蠕变曲线包含衰减蠕变、稳态蠕变和加速蠕变三个阶段，包含三个阶段的蠕变曲线即为全过程蠕变曲线；其余轴向应力作用下岩石在试验时间内均未发生加速蠕变，蠕变曲线仅包含衰减蠕变和稳态蠕变两个阶段。

优选地，步骤二中，岩石蠕变速率随时间的变化规律可划分为“快速减小—基本不变—快速增大”三个阶段。

优选地，步骤三中，粘性元件的本构方程为

式中：η为粘滞系数，为蠕变速率。

由于岩石蠕变过程中轴向应力σ保持恒定，根据公式(1)可知，岩石蠕变速率和粘滞系数呈倒数关系。

优选地，步骤三中，岩石粘滞系数随时间的变化规律可划分为“快速增大—基本不变—快速减小”三个阶段，且粘滞系数随时间变化的函数表达式为

式中：t为时间，η_FN(t)为t时刻时的岩石粘滞系数，t_F为岩石蠕变破坏时间，m、n、η_FN均为材料参数。

优选地，步骤四中，常规Maxwell模型的本构方程为

式中：为轴向应力随时间的变化速率，E为岩石的弹性模量。

进一步的，改进Maxwell模型的本构方程为

优选地，步骤五中，改进Maxwell模型的蠕变方程为

进一步的，蠕变破坏时间t_F可根据Kachanov蠕变损伤定律确定，即

将公式(6)代入公式(5)，可得改进Maxwell模型蠕变方程的最终表达式为

其中，A和ν均为模型参数；

优选地，步骤六中，改进Maxwell模型参数的确定方法如下：

弹性模量E根据岩石加载完成后产生的瞬时弹性应变，利用公式(7)等号右边第一项确定；

参数A和ν根据最后两级轴向应力σ_i-1和σ_i作用下岩石发生蠕变破坏的时间t_F(i-1)和t_F(i)，利用公式(6)确定；

E、A和ν确定后，参数η_FN、m和n根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用曲线拟合法反演确定。

优选地，根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用曲线拟合法反演确定参数η_FN、m和n的方法如下：

第一步，以待反演的参数η_FN、m和n作为设计变量X，即X＝{η_FN，m，n}；

第二步，建立目标函数Y，取

式中：N为试验组数，为t时刻计算蠕变应变值，为t时刻试验实测蠕变应变值。

第三步，设定目标函数的控制精度并进行参数迭代求解，若目标函数满足精度要求，则停止迭代，输出计算结果；若不满足，则继续迭代，直到满足精度要求为止。

参数E、η_FN、m和n随轴向应力变化而变化，且参数E、η_FN、m和n随轴向应力的变化规律分别满足公式(8)－公式(11)：

E(σ)＝a₁exp(-b₁σ) (8)

m(σ)＝a₃exp(b₃σ) (10)

n(σ)＝a₄exp(b₄σ) (11)

式中：a₁、b₁、a₂、b₂、a₃、b₃、a₄和b₄均为拟合参数。

本发明还公开了一种岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型，该模型由上述方法构建而成。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明首先对岩石试件开展不同轴向应力下的单轴压缩蠕变试验，获得岩石蠕变曲线；其次，根据出现加速蠕变的岩石单轴压缩全过程蠕变曲线，计算岩石在不同时间时的蠕变速率，并绘制岩石蠕变速率随时间的变化规律曲线；第三，推测岩石蠕变全过程中其粘滞系数随时间的变化规律，并确定粘滞系数随时间变化的函数表达式；第四，以粘滞系数随时间变化的函数表达式代替常规Maxwell模型本构方程中的粘滞系数，建立改进Maxwell模型的本构方程；第五，对改进Maxwell模型的本构方程进行积分，并结合Kachanov蠕变损伤定律，获得改进Maxwell模型的蠕变方程；最后，根据岩石单轴压缩蠕变试验结果，确定改进Maxwell模型的参数。该方法所建模型不仅能以一个统一的函数表达式描述岩石单轴压缩蠕变全过程的三个阶段，还能反映岩石力学性质在不同蠕变阶段的变化规律，同时所建模型还能很方便的在数值分析软件中进行程序化，便于其工程应用。

进一步地，采用粘滞系数随时间变化的函数表达式代替常规Maxwell模型本构方程中的粘滞系数，从而形成改进Maxwell模型，岩石蠕变全过程的粘滞系数随时间的变化规律可划分为快速增大—基本不变—快速减小三个阶段，符合岩石单轴蠕变全过程的三个阶段，因此改进Maxwell模型可以描述岩石单轴蠕变全过程的三个阶段，还能反映岩石力学性质在不同蠕变阶段的变化规律。

本发明还公开了一种Maxwell模型，该模型不仅能以一个统一的函数表达式描述岩石单轴压缩蠕变全过程的三个阶段，衰减蠕变阶段、稳态蠕变阶段和加速蠕变阶段，还能反映岩石力学性质在不同蠕变阶段的变化规律，如衰减蠕变阶段，岩石力学性质随时间硬化增强；加速蠕变阶段，岩石力学性质随时间不断劣化。且该模型可在数值分析软件中进行程序化，可以广泛应用于实际工程中。

附图说明

图1为本发明中不同轴向应力下的岩石单轴压缩蠕变曲线图；

图2为本发明中岩石蠕变全过程的蠕变速率随时间的变化规律曲线图；

图3为本发明中岩石蠕变全过程的粘滞系数随时间的变化规律示意图；

图4为本发明中岩石弹性模量E随轴向应力的变化规律曲线图；

图5为本发明中参数η_FN随轴向应力的变化规律曲线图；

图6为本发明中参数m随轴向应力的变化规律曲线图；

图7为本发明中参数n随轴向应力的变化规律曲线图；

图8为本发明中不同轴向应力下预测曲线和试验结果的对比图；其中：(a)为9.5MPa；(b)为17.5MPa；(c)为24MPa；(d)为26MPa。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本发明方案，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本发明保护的范围。

需要说明的是，本发明的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本发明的实施例能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。此外，术语“包括”和“具有”以及他们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包含，例如，包含了一系列步骤或单元的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或单元，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或单元。

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

本发明包括开展岩石单轴压缩蠕变试验，绘制岩石蠕变速率随时间的变化规律曲线，确定粘滞系数随时间变化的函数表达式，建立改进Maxwell模型的本构方程，获得改进Maxwell模型的蠕变方程，确定改进Maxwell模型的参数，模型验证七大步骤。

步骤一，开展岩石单轴压缩蠕变试验；

采用单级加载方式，对直径为50mm、高度为100mm的圆柱形盐岩试件开展不同轴向应力σ₁＝9.5、σ₂＝17.5、σ₃＝24和σ₄＝26MPa下的单轴压缩蠕变试验，获得盐岩在对应轴向应力下的蠕变曲线，参见图1。

参见图1，当轴向应力σ₁＝9.5MPa和σ₂＝17.5MPa时，盐岩总应变由加载过程产生的与时间无关的瞬时弹性应变和随时间逐渐增大的蠕变应变两部分组成，且盐岩在试验时间内均未发生加速蠕变，蠕变曲线仅包含衰减蠕变和稳态蠕变两个阶段；当轴向应力σ₃＝24MPa和σ₄＝26MPa时，盐岩总应变也由加载过程产生的与时间无关的瞬时弹性应变和随时间逐渐增大的蠕变应变两部分组成，但盐岩在试验时间内发生了加速蠕变，蠕变曲线包含衰减蠕变、稳态蠕变和加速蠕变三个阶段，包含三个阶段的蠕变曲线即为全过程蠕变曲线。

步骤二，绘制岩石蠕变速率随时间的变化规律曲线；

根据轴向应力σ₃＝24MPa和σ₄＝26MPa时的盐岩单轴压缩全过程蠕变曲线，计算盐岩在不同时间时的蠕变速率，并绘制盐岩蠕变速率随时间的变化规律曲线。参见图2，为轴向应力σ₄＝26MPa时盐岩蠕变速率随时间的变化规律曲线。

参见图2，盐岩蠕变速率随时间的变化规律可划分为快速减小—基本不变—快速增大三个阶段。

步骤三，确定粘滞系数随时间变化的函数表达式；

岩石元件组合蠕变模型中粘性元件的本构方程为

式中：η为粘滞系数，为蠕变速率。

假设岩石蠕变速率符合元件组合蠕变模型中粘性元件的本构方程，且由于岩石蠕变过程中轴向应力σ保持恒定，则根据公式(1)可知，岩石蠕变速率和粘滞系数呈倒数关系。

同时，结合盐岩蠕变全过程中其蠕变速率随时间变化呈现出快速减小—基本不变—快速增大的三阶段性，参见图2，可推测盐岩蠕变全过程中其粘滞系数随时间的变化规律可划分为快速增大—基本不变—快速减小三个阶段。

在此基础上，经过分析，确定了盐岩蠕变过程中粘滞系数随时间变化的函数表达式为

式中：t为时间，η_FN(t)为t时刻时的岩石粘滞系数，t_F为岩石蠕变破坏时间，m、n、η_FN均为材料参数。

进一步的，取η_FN＝500MPa·h，t_F＝80h，m＝0.9和n＝0.02，参见图3，为根据公式(2)做出的盐岩蠕变全过程的粘滞系数随时间的变化规律示意图。

参见图3，根据公式(2)做出的盐岩蠕变全过程的粘滞系数随时间的变化规律可划分为快速增大—基本不变—快速减小三个阶段，与推测结果一致。

步骤四，建立改进Maxwell模型的本构方程；

岩石元件组合蠕变模型中的常规Maxwell模型的本构方程为

式中：为轴向应力随时间的变化速率，E为岩石的弹性模量。

将盐岩蠕变过程中粘滞系数随时间变化的函数表达式(公式(2))代替常规Maxwell模型本构方程即公式(3)中的粘滞系数η，则可建立改进Maxwell模型的本构方程为

步骤五，获得改进Maxwell模型的蠕变方程；

对改进Maxwell模型的本构方程即公式(4)进行积分，可得改进Maxwell模型的蠕变方程为

公式(5)中，蠕变破坏时间t_F可根据Kachanov蠕变损伤定律确定，即

将公式(6)代入公式(5)，可得改进Maxwell模型蠕变方程的最终表达式为

步骤六，确定改进Maxwell模型的参数；

改进Maxwell模型中共有E、A、ν、η_FN、m和n等六个参数需要确定。

弹性模量E根据岩石加载完成后产生的瞬时弹性应变，利用公式(7)等号右边第一项确定；

参数A和ν根据最后两级轴向应力σ_i-1和σ_i作用下岩石发生蠕变破坏的时间t_F(i-1)和t_F(i)，利用公式(6)确定；

参见图1，在最后两级轴向应力σ₃＝24MPa和σ₄＝26MPa作用下，盐岩在试验时间内发生了蠕变破坏，对应的破坏时间分别为t_F(3)＝98.60h和t_F(4)＝28.62h。将(24，98.60)和(26，28.62)两组数据代入公式(6)，可建立如下二元一次方程组：

解该方程组，可得A＝2.89×10^-25，ν＝15.45。

E、A和ν确定后，参数η_FN、m和n根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用曲线拟合法反演确定。

进一步的，根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用曲线拟合法反演确定参数η_FN、m和n的方法如下：

以待反演的参数η_FN、m和n作为设计变量X，即X＝{η_FN，m，n}；

建立目标函数Y，取

式中：N为试验组数，为t时刻计算蠕变应变值，为t时刻试验实测蠕变应变值。

设定目标函数的控制精度并进行参数迭代求解，若目标函数满足精度要求，则停止迭代，输出计算结果；若不满足，则继续迭代，直到满足精度要求为止。

按照上述方法，基于盐岩单轴压缩蠕变试验结果，利用数学优化分析软件，采用曲线拟合法反演确定盐岩在不同轴向应力下的蠕变参数η_FN、m和n。

表1为不同轴向应力下蠕变参数的反演确定结果。

表1不同轴向应力下蠕变参数反演确定结果

可以看出，弹性模量E及参数η_FN、m和n随轴向应力变化而变化。参见图4，为弹性模量E随轴向应力的变化规律；参见图5，为参数η_FN随轴向应力的变化规律；参见图6，为参数m随轴向应力的变化规律；参见图7，为参数n随轴向应力的变化规律。总体而言，随轴向应力增大，弹性模量E和参数η_FN逐渐减小，而参数m和n逐渐增大。为了预测盐岩在不同轴向应力下的蠕变行为，需要建立弹性模量E及参数η_FN、m和n随轴向应力变化的定量关系表达式。

经过拟合分析，弹性模量E及参数η_FN、m和n随轴向应力的变化规律分别满足公式(8)－公式(11)：

E(σ)＝15711.46exp(-0.0972σ) (8)

η_FN(σ)＝114675σ^-1.36 (9)

m(σ)＝0.1239exp(0.0302σ) (10)

n(σ)＝0.0019exp(0.1377σ) (11)

步骤七，模型验证；

将A＝2.89×10^-25、ν＝15.45以及公式(8)－公式(11)代入公式(7)，即可预测盐岩在不同轴向应力下的蠕变行为。

参见图8，为轴向应力分别为9.5、17.5、24和26MPa时预测曲线和试验结果的对比情况。可以看出，不同轴向应力下的预测曲线均与试验结果吻合良好，且所建模型不仅能以一个统一的函数表达式描述岩石单轴压缩蠕变全过程的三个阶段，衰减蠕变阶段、稳态蠕变阶段和加速蠕变阶段，还能反映岩石力学性质在不同蠕变阶段的变化规律，如衰减蠕变阶段，岩石力学性质随时间硬化增强；加速蠕变阶段，岩石力学性质随时间不断劣化。

此外，由于岩土工程领域常用的大型数值分析软件FLAC^3D软件中自带有常规Maxwell本构模型，因此，只需借助软件二次开发平台，以公式(2)代替常规Maxwell本构模型中的粘滞系数即可实现对所建模型的程序化，进而将其应用于大型岩石工程的长期稳定性分析。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims (7)

1.岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型的构建方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：采用单级加载方式，对岩石试件开展不同轴向应力σ ₁、σ ₂…σ _i-1、σ _i作用下的单轴压缩蠕变试验，获得岩石在对应轴向应力下的蠕变曲线，其中，σ ₁＜σ ₂＜…＜σ _i-1＜σ _i；

步骤二：根据岩石在对应轴向应力下的全过程蠕变曲线，计算岩石在不同时间点的蠕变速率，并绘制岩石蠕变速率随时间的变化规律曲线；

步骤三：假设岩石蠕变速率符合元件组合蠕变模型中粘性元件的本构方程，根据岩石蠕变速率随时间的变化规律曲线和粘性元件的本构方程，推测岩石蠕变全过程中其粘滞系数随时间的变化规律，并确定粘滞系数随时间变化的函数表达式；

步骤四：以粘滞系数随时间变化的函数表达式代替常规Maxwell模型本构方程中的粘滞系数，建立改进Maxwell模型的本构方程；

改进Maxwell模型的本构方程为

（4）

式中：为轴向应力随时间的变化速率，E为岩石的弹性模量，t为时间，η _FN(t)为t时刻时的岩石粘滞系数，t _F为岩石蠕变破坏时间，m、n、η _FN均为材料参数；

步骤五：对改进Maxwell模型的本构方程进行积分，并结合Kachanov蠕变损伤定律，获得改进Maxwell模型的蠕变方程；

改进Maxwell模型蠕变方程的最终表达式为

（7）

其中，A和ν均为模型参数；

步骤六：根据岩石单轴压缩蠕变试验结果，确定改进Maxwell模型的参数，改进Maxwell模型参数的确定方法如下：

弹性模量E根据岩石加载完成后产生的瞬时弹性应变确定；

参数A和ν根据最后两级轴向应力σ _i-1和σ _i作用下岩石发生蠕变破坏的时间确定；

E、A和ν确定后，参数η _FN、m和n根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用曲线拟合法反演确定。

2.根据权利要求1所述的岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型的构建方法，其特征在于，步骤一中，不同轴向应力下的岩石总应变均由瞬时弹性应变和蠕变应变两部分组成；轴向应力σ _i-1和σ _i作用下岩石在试验时间内发生了加速蠕变，蠕变曲线包含衰减蠕变、稳态蠕变和加速蠕变三个阶段，包含三个阶段的蠕变曲线即为全过程蠕变曲线；其余轴向应力作用下岩石在试验时间内均未发生加速蠕变，蠕变曲线仅包含衰减蠕变和稳态蠕变两个阶段。

3.根据权利要求1所述的岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型的构建方法，其特征在于，步骤二中，岩石蠕变速率随时间的变化规律划分为三个阶段。

4.根据权利要求1所述的岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型的构建方法，其特征在于，步骤三中，岩石蠕变速率和粘滞系数呈倒数关系。

5.根据权利要求1所述的岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型的构建方法，其特征在于，步骤三中，岩石粘滞系数随时间的变化规律划分为三个阶段。

6.根据权利要求1所述的岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型的构建方法，其特征在于，根据不同轴向应力下的蠕变试验数据利用曲线拟合法反演确定参数η _FN、m和n的方法如下：

第一步，以待反演的参数η _FN、m和n作为设计变量X，即X={η _FN，m，n}；

第二步，建立目标函数Y，取；

式中：N为试验组数，为t时刻计算蠕变应变值，为t时刻试验实测蠕变应变值；

第三步，设定目标函数的控制精度并进行参数迭代求解，若目标函数满足精度要求，则停止迭代，输出计算结果；若不满足，则继续迭代，直到满足精度要求为止；

且参数E、η _FN、m和n随轴向应力变化而变化。

7.根据权利要求1~6任意一项所述的岩石单轴蠕变全过程改进Maxwell模型的构建方法所构建的Maxwell模型，其特征在于，由权利要求1~6任意一项所述方法构建而成。