CN114002998B - 齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，包括如下步骤：步骤一：根据齿形磨床的拓扑结构，得到理想状态下的砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵步骤二：结合齿形磨床每个运动轴的几何误差分量，得到实际状态下的砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵步骤三：结合齐次坐标变换矩阵和齐次坐标变换矩阵得到误差矩阵步骤四：根据齿形磨床的Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分变换矩阵，分别得到Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；步骤五：根据Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵，得到综合微分运动误差矩阵；结合误差矩阵求解得到砂轮几何误差补偿值。
Description
技术领域
本发明属于机械误差分析技术领域，具体的为一种基于齿面误差与砂轮/工件位置误差相关性的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法。
背景技术
齿形磨床为经济发展和国防安全做出了巨大贡献，是实现高性能齿轮高效、高精度磨削的关键设备。一方面，齿轮成形磨床的磨削精度亟待提高，以提高高性能齿轮的几何精度。但在磨削过程中不可避免地会产生几何误差和热误差，阻碍了高性能齿轮的精度提高。几何误差和热误差是主要的误差源，是综合几何误差的重要组成部分。如果可以控制几何和热误差，则可以显着提高加工精度。但齿面几何精度与机床误差之间的映射关系不明确，导致难以进行精确的误差补偿。目前还没有研究几何误差和热误差的同步补偿方法，当其中一个得到补偿而另一个不受控制时，误差补偿效果较差。此外，当前的几何和热误差建模方法无法实现高度稳健的几何和热误差预测。因此，研究齿轮齿形磨床的几何误差和热误差同时控制是非常必要的。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的在于提供一种齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，通过建立齿面几何精度与机床误差的映射关系，实现对齿形磨床的几何误差和热误差同时控制，并提高齿形磨床的加工精度。
为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
一种齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，包括如下步骤：
步骤一：根据齿形磨床的拓扑结构，得到理想状态下的砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵
步骤二：结合齿形磨床每个运动轴的几何误差分量，得到实际状态下的砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵
步骤三：结合砂轮与工件之间在理想状态下的齐次坐标变换矩阵和在实际状态下的齐次坐标变换矩阵/>得到误差矩阵/>
其中，ηx、ηy、ηz、px、py和pz表示砂轮相对位置误差和相对旋转角度误差；
步骤四：根据齿形磨床的Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分变换矩阵，分别得到Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；
步骤五：根据Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵，得到综合微分运动误差矩阵E：
其中，E表示齿形磨床的综合微分运动误差矩阵；表示Y轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示A轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示Z轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示X轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；
JM表示磨齿机的雅可比矩阵；δX、δY和δZ分别表示X轴、Y轴和Z轴的位置误差；εA和εC分别表示A轴和C轴的旋转角度误差；
则误差补偿分量为：[δX,δY,δZ,εA,εC]T＝(JM T·JM)-1·JM T·E
由于砂轮的综合误差分量与砂轮的相对位置误差和相对旋转角度误差相等但方向相反，即：
E＝[δxg,δyg,δzg,εxg,εyg,εzg]T＝-[px,py,pz,ηx,ηy,ηz]T
其中，δxw、δyw、δzw、εxw、εyw和εzw表示砂轮的综合误差分量；
结合误差矩阵求解得到砂轮几何误差补偿值，分别为：δX、δY、δZ、εA和εC。
进一步，还包括步骤六：根据齿形磨床的齿形成型原理，得到齿面误差的广义模型为：
Rw(u,κ)＝rw[u,ζ(u,κ)；κ]
其中，ζ表示砂轮的转角参数；u表示砂轮的轮廓形状参数；κ为广义集合参数；
利用砂轮的位置误差Δxw、Δyw、Δzw；砂轮的安装角度误差工件的位置误差Δxg、Δyg、Δzg；工件的旋转角度误差Δθ替代广义集合参数κ，可得到各个误差项作用下的工件的实际齿面，将实际齿面与理论齿面进行比较，可知：误差项Δzw、Δzg和Δθ对齿形和齿向误差几乎没有影响；误差项Δxw、Δyw,、Δxg、Δyg和/>对齿面齿廓倾斜偏差有显着影响；其中，Δxw和Δxg对齿面齿廓倾斜偏差大小和方向的影响作用相同；Δyw和Δyg对齿面齿廓倾斜偏差大小的影响作用相同，但方向相反，且fHαl在误差范围内与Δxw、Δyw和/>成正比，符合叠加原理；
由于误差项引起的齿面齿廓倾斜偏差足够小，因此忽略误差项/>则：
由砂轮与工件的相对位置误差ΔxT和ΔyT引起的齿廓倾斜偏差fHαl(ΔxT,ΔyT)和fHαr(ΔxT,ΔyT)分别为：
其中：
其中，ΔxwT和ΔywT表示砂轮的热误差；ΔxgT和ΔygT表示工件的热误差；
可知：控制砂轮的热误差ΔxwT和ΔywT以及工件的热误差ΔxgT和ΔygT对齿形磨床的加工精度重要程度最高。
进一步，利用热误差预测模型分别对砂轮的热误差ΔxwT和ΔywT以及工件的热误差ΔxgT和ΔygT进行实时预测，以实现对齿形磨床的加工精度的控制；
所述热误差预测模型的构建方法，包括如下步骤：
1)对原始热误差数据进行预处理；
2)随机生成鲸鱼种群，判断鲸鱼种群的初始位置是否超出预设范围；若是，则将鲸鱼种群的初始位置更改为边界；若否，则保持鲸鱼种群的位置；
3)建立Bi-LSTM神经网络；
4)将鲸鱼种群的位置映射为Bi-LSTM神经网络的批处理大小和隐藏层神经元数量；
5)将预处理后的原始热误差数据输入Bi-LSTM神经网络中，以MAE(平均绝对误差)作为鲸鱼优化算法的适应度，通过Bi-LSTM神经网络的训练和预测得到MAE的值；
6)判断MAE是否满足预设要求；若是，则执行步骤8)；若否，则以鲸鱼优化算法更新鲸鱼种群的位置，若更新后的适应度小于更新前的最优适应度，则以搜索到的Xt+1替换更新前的最优的位置X*；
7)判断迭代次数是否达到最大值，若是，则终止迭代，得到最佳解；若否，则令t＝t+1，循环步骤4)和步骤7)；
8)输出MAE，以优化得到的鲸鱼种群的位置映射的批处理大小和神经元数量作为Bi-LSTM神经网络的超参数。
进一步，所述步骤1)中，采用SG(Savitzky-Golay)滤波方法对原始热处理数据进行预处理。
进一步，所述鲸鱼优化算法包括随机搜索猎物、包围目标猎物和捕食目标猎物三种行为，并分别表示为：
(1)鲸鱼优化算法的随机搜索猎物的行为表示为：D＝|X(t)-CXrand(t)|，X(t+1)＝Xrand(t)-A·D
其中，Xrand(t)表示从当前鲸鱼群中随机选择的位置向量；X(t)表示每个个体的位置向量：t表示当前迭代次数；A表示系数，D表示[0,1]范围内的随机数；且：C＝2r2，A＝2ar1-a
其中，C表示系数；r1和r2为[0,1]范围内的两个随机生成参数；a表示控制参数；
(2)鲸鱼优化算法的包围目标猎物的行为表示为：Dbset＝|X(t)-CXbest(t)|，X(t+1)＝Xbest(t)-A·Dbset
其中，Xbest(t)表示当前最佳位置；Dbest表示当前位置与当前最佳位置之间的距离；
(3)鲸鱼优化算法的螺旋策略捕食目标猎物的行为表示为：X(t+1)＝Dbesteblcos(2πl)+Xbest(t)
其中，b表示螺旋形状控制参数；l表示[-1,1]范围内的随机数；
在所述鲸鱼优化算法中，座头鲸以螺旋路径移动到目标猎物并缩小其移动轨道，即包围目标猎物的行为和螺旋策略捕食目标猎物的行为会同时发生，因此表示为：
其中，p表示阈值。
进一步，在所述鲸鱼优化算法中提出了一种随迭代次数变化的自适应惯性权重w，并表示为：
因此，所述鲸鱼优化算法中的随机搜索猎物、包围目标猎物和捕食目标猎物三种行为的位置更新分别为：
X(t+1)＝w(t)Xrand(t)-A·D，X(t+1)＝w(t)Xbest(t)-A·Dbest,p＜0.5
X(t+1)＝w(t)Xbest(t)+Dbest·ebl·cos(2πl)，p≥0.5
若MAE不满足预设要求，则以鲸鱼优化算法更新鲸鱼种群的位置，同时更新影响鲸鱼优化算法的参数；且以鲸鱼优化算法更新鲸鱼种群位置的方法为：
若p＜0.5且|A|＞1，则采用随机搜索猎物的行为并启用自适应惯性权重；
若p＜0.5且|A|＜1，则采用包围目标猎物的行为并启用自适应惯性权重；
若p＞0.5，则采用螺旋策略捕食目标猎物的行为并启用自适应惯性权重。
进一步，所述步骤2)中，采用混沌映射方法随机生成鲸鱼种群，且混沌映射定义为：
其中，xn取值范围为[0,1]；μ表示系统参数，μ＝1.99。
进一步，所述控制参数采用非线性控制参数，并表示为：
其中，m和n表示确定控制参数对称中心的参数；k表示一个决定中心点变化率的参数；T表示迭代的最大次数；t表示当前迭代次数。
进一步，在所述鲸鱼优化算法中引入可变螺旋搜索策略，并将螺旋形状控制参数设置为随迭代次数变化的变量，为：
其中，b表示螺旋形状控制参数；
在所述鲸鱼优化算法中引入正弦和余弦搜索算法(SCSA)以提高其收敛精度，则：
其中，r3、r4、r5和r6均表示[0,1]范围内的四个随机生成的参数；α表示常数；表示当前最佳鲸鱼的位置；Dθ表示鲸鱼位置。
进一步，所述Bi-LSTM神经网络采用内部注意门来代替遗忘门和输入门，所述内部注意门定义为：
at＝δ(V·tanh(W·ct-1))
其中，V和W表示注意门的参数；则：
ft＝δ(Wf[ht-1,xt]+bf)，
其中，ft表示遗忘函数；it表示输入函数；ot表示输出函数；xt表示LSTM网络单元的输入向量；ht-1表示先前隐藏层的单元，它与xt结合以增加三个门的权重；表示t时刻临时单元的记忆状态；ct-1表示t-1时刻临时单元的记忆状态；ct表示t时刻记忆单元的记忆状态；Wf、Wi、Wc和Wo分别表示分别为遗忘门、输入门、单元状态和输出门单元的权重矩阵；bf、bi、bc和bo分别表示分别为遗忘门、输入门、单元状态和输出门单元的偏置向量；*表示哈达玛矩阵的乘积；δ表示激活函数；ht表示t时刻的隐藏状态。
本发明的有益效果在于：
本发明的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，构建了齿面几何精度与机器误差的映射关系，砂轮/工件的相对位置和角度误差是在理想和实际状态下获得的，然后实现误差解耦，根据微分变换得到不同运动轴的误差补偿分量，最后，研究了位置误差对齿面误差的影响，发现应该控制几何和热误差；结果表明，通过同时控制几何误差和热误差，总齿廓精度提高了ISO 3级，齿廓倾斜精度提高了ISO 5级。
本发明的热误差预测模型，因热误差数据作为时间序列，具有时变、不稳定、非线性和周期性不确定性的特点并受许多因素影响，首先对原始热误差数据进行预处理以剔除奇异值，而后利用鲸鱼优化算法对Bi-LSTM神经网络的批量大小和神经元数量进行优化，得到以MAE为适应度的全局最优超参数，再结合Bi-LSTM具有较强处理时间特征能力的特性，能够提高齿形磨齿机热误差的预测精度和鲁棒性。
本发明通过在Bi-LSTM网络内设计内部注意力门，以降低传统LSTM网络的时间复杂度；通过提出了一种基于注意力门的双向LSTM(AGBi-LSTM)神经网络，传统的输入门和遗忘门被新的专门设计的内部注意力门取代，以减少参与计算的参数，从而提高收敛速度；此外，为鲸鱼优化算法(WOA)设计了一种自适应螺旋搜索策略，然后提出了IMVWOA来优化AGBi-LSTM神经网络的批量大小和神经元数量等超参数，然后优化鲁棒性和SG-IMVWOA-AGBi-LSTM网络的预测精度得到提高；将本发明以提出的SG-IMVWOA-AGBi-LSTM网络为误差控制模型实现磨齿机的热误差控制，以SG-IMVWOA-AGBi-LSTM网络为控制模型，当磨齿机用于磨齿时，齿形总精度提高3级，左齿面齿廓倾斜精度等级提高5级。
附图说明
为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：
图1为本发明齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法的原理框图；
图2(a)为齿形磨床的各运动部件的坐标系示意图；图2(b)为齿形磨床的传动链的结构示意图；
图3为理论齿面与实际齿面位置误差(Δxw＝0.1mm)；
图4为位置误差与左齿面误差之间的关系图；
图5(a)为X方向的砂轮-工件相对位置误差；图5(b)为Y方向的砂轮-工件相对位置误差；
图6为热误差预测模型的构建方法流程图；
图7为AGBi-LSTMN神经网络的内部结构图；
图8为X轴、Y轴、Z轴和A轴的测量误差；
图9为C轴的测量误差；
图10为热误差测量传感器安装图；
图11为SG滤波算法降低原始误差数据的噪声效果图；(a)为样品曲线对比；(b)为降噪对比；
图12为SG-MVWOA-AGBi-LSTMN的设置图；
图13为拟合性能比较图；
图14为热伸长率预测性能比较图；
图15为误差控制效果图；(a)不做误差控制；(b)仅为几何误差控制；(c)通知进行几何误差和热误差控制。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好的理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。
如图1所示，为本发明齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法的原理框图。本实施例的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，包括如下步骤：
步骤一：根据齿形磨床的拓扑结构，得到理想状态下的砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵
具体的，从运动副的角度来看，齿形磨床包括五个主要运动副，包分别为X轴、Y轴、Z轴三个直线副以及A轴、C轴两个旋转副。四个辅助运动副为旋转副，即W、SP1、SP2和SP3轴。这些运动对都由SINAMICS S120数字驱动器控制，这些运动对的功能在表1中列出。
表1磨齿机运动轴的功能
各部件坐标系与机床坐标系一致，可设置各部件原坐标系零点与机床坐标系零点重合，以简化建模。另外，床身和转台
通过螺栓刚性连接，并通过地脚螺钉固定在地面上，因此被视为一个整体。图2(a)显示了主要运动部件的坐标系，坐标传输链由两个分支组成，如图2(b)所示，编号如下：0-床身；1-立柱；2-Z轴小车；3-A轴小车；4-Y轴小车；5-主轴；6-轮；7-转台；8-工件。砂轮和工件的运动可视为由运动轴驱动，当C轴相对于其初始坐标系旋转γ角时，C轴与床身F之间的齐次坐标变换矩阵表示为：
床身F和C轴之间的齐次坐标变换矩阵表示为：
当X轴相对于其初始坐标系移动x时，X轴与床身F之间的齐次坐标变换矩阵为：
当Z轴移动z时，Z轴和X轴之间的齐次坐标变换矩阵为：
当A轴旋转角度α时，A轴和Z轴之间的齐次坐标变换矩阵为：
当Y轴移动y时，Y轴和A轴之间的齐次坐标变换矩阵为：
得到砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵为：
其中，和/>分别表示C轴相对于工件的齐次坐标变换矩阵和砂轮相对于Y轴的齐次坐标变换矩阵。工件与C轴无相对运动，砂轮与主轴无相对运动，根据变换原理，/>和是单位矩阵，即/>
步骤二：结合齿形磨床每个运动轴的几何误差分量，得到实际状态下的砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵
实际状态下，X轴与床身之间的齐次坐标变换矩阵表示为：其中/>和/>表示具有热误差、旋转矩阵和X轴相对于床坐标系的位移矢量的齐次坐标变换矩阵，且：
其中x为柱的X方向位移，x＝[x,0,0]T；δx为X轴在X、Y、Z方向的移动误差，δx＝[δxx,δyx,δzx]T；sx为X轴相对于XY-和ZX-平面的垂直度误差，sx＝[0,syx,szx]T。
X轴相对于床身的齐次坐标变换矩阵为：
其中，δxx表示沿机床X方向的直线定位误差；δyx表示沿Y方向的垂直直线度误差；δzx表示沿Z方向的水平直线度误差；εxx表示绕X方向的转动误差；εyx表示绕Y方向的偏摆误差；εzx表示绕Z方向的俯仰误差；Z轴滑架相对于A轴的齐次坐标变换矩阵表示为：
其中，δxz表示沿机床X方向的水平直线度误差；δyz表示沿Y方向的垂直直线度误差；δzz表示沿Z方向的直线定位误差；εxz表示绕X方向的俯仰误差；εyz表示绕Y方向的偏摆误差；εzz表示绕Z方向的转动误差；szx表示XZ平面的垂直度；
Y轴滑架相对于A轴的齐次坐标变换矩阵表示为：
其中，δxy表示沿机床X方向的水平直线度误差；δyy表示沿Y方向的直线定位误差；δzy表示沿Z方向的垂直直线度误差；εxy表示绕X方向的偏摆误差；εyy表示绕Y方向的转动误差；εzy表示绕Z方向的俯仰误差；sxy表示XY平面的垂直度；
C轴相对床身的齐次坐标变换矩阵表示为：
其中，表示理想状态下C轴相对于床身坐标系的齐次坐标变换矩阵，为：
表示C轴与床身间的误差矩阵，为：/>
其中，δxc表示C轴沿机床坐标系X方向的直线误差；δyc表示C轴沿机床坐标系Y方向的直线误差；δzc表示C轴沿机床坐标系Z方向的直线误差；εxc表示C轴绕X方向的转动误差；εyc表示C轴绕Y方向的转动误差；εzc表示C轴绕Z方向的转动误差；
得到：
床身和C轴之间的齐次坐标变换矩阵表示为：
A轴滑架与Z轴之间的误差矩阵表示为：
其中，δxα表示A轴沿机床坐标系X方向的直线误差；δyα表示A轴沿机床坐标系Y方向的直线误差；δzα表示A轴沿机床坐标系Z方向的直线误差；εxα表示A轴沿机床坐标系X方向的转动误差；εyα表示A轴沿机床坐标系Y方向的转动误差；εzα表示A轴沿机床坐标系Z方向的转动误差；
得到实际状态下的砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵为：
其中和/>分别表示床身相对于工件的齐次坐标变换矩阵和砂轮相对于机器的齐次坐标变换矩阵，且/>
步骤三：结合砂轮与工件之间在理想状态下的齐次坐标变换矩阵和在实际状态下的齐次坐标变换矩阵/>得到误差矩阵/>
其中，ηx、ηy、ηz、px、py和pz表示砂轮相对位置误差和相对旋转角度误差。
px＝(δxx+δxy+δxz+δxα+δxc)·cosγ-(δyx+δyz+δyc)·sinγ+[(εzy+δzα)·sinα-(δyy+δyα)·cosα]·sinγ+x·[εzx+εzz+(εzy+εzα)·cosα+(εyy+εyα)·sinα]·sinγ+y·[(εzy-sxy)·cosγ-(εxy+syz)·sinα·sinγ]-z·[εyz·cosγ-(εzy+εzα)·sinα·cosγ+(εyy+εyα)·cosα·cosγ+(εxy+εxz+εxα)·sinγ]
py＝(δxx+δxy+δxz+δxα+δxc)·sinγ+(δyx+δyz+δyc)·cosγ+[δyα·cosα-(εzy+δzα)·sinα]·cosγ-x·[εzx+εzz+(εyy+εyα)·sinα+(εzy+εzα)·cosα]·cosγ+y·[(εzy-sxy)·sinγ+(εxy+syz)·sinα·cosγ]+z·{(εxy+εxz+εxα)·cosγ-εyz·sinγ+[(εzy+εzα)·sinα-(εyy+εyα)·cosα]·sinγ+(εzx+εzz+εzγ)·sinα·cosα·sinγ}
pz＝δzx+δzz+δzc+(δyy+δyα)·sinα+(εzy+δzα)·cosα-x·[szx-εyx-εyz-(εyy+εyα)·cosα+(εzy+εzα)·sinα]-y·(εxα+syz·cosα)
ηx＝[-(εyx+εyc+εyz)-(εyy+εyα)·cosα+(εzy+εzα)·sinα]·sinγ+(εxx+εxy+εxz+εxα+εxc)·cosγ
ηy＝[(εyx+εyz+εyc)+(εyα+εyy)·cosα-(εzα+εzy)·sinα]·cosγ+(εxx+εxy+εxz+εxα+εxc)·sinγ
ηz＝(εzx+εzz+εzc)+(εyy+εyα)·sinα+(εzy+εzα)·cosα
-[(εyx+εyz+εyc)·sinγ-(εxx+εxy+εxz+εxα+εxc)·cosγ]·sinα·sin(α-γ)
步骤四：根据齿形磨床的Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分变换矩阵，分别得到Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵。
Y轴小车、A轴小车、Z轴小车、立柱、床身、工件相对于砂轮的齐次坐标变换矩阵表示为：
Y-、A-、Z-、X-、C-轴相对于砂轮的微分变换矩阵表示为：
其中，x,y,z分别是X、Y和Z轴的理论位移；α和γ分别是A 轴和C轴的理论旋转角。
Y-、A-、Z-、X-和C-轴相对于砂轮的微分运动误差为：
其中，δX,δY和δZ分别表示X轴、Y轴和Z轴的位置误差，εA和εC分别表示A轴和C轴的旋转角度误差。
步骤五：根据Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵，得到综合微分运动误差矩阵E：
其中，E表示齿形磨床的综合微分运动误差矩阵；表示Y轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示A轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示Z轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示X轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；
JM表示磨齿机的雅可比矩阵；δX、δY和δZ分别表示X轴、Y轴和Z轴的位置误差；εA和εC分别表示A轴和C轴的旋转角度误差；
然后得到以下关系：JM T·E＝(JM T·JM)·[δX,δY,δZ,εA,εC]T
则误差补偿分量为：[δX,δY,δZ,εA,εC]T＝(JM T·JM)-1·JM T·E，E＝[δxw,δyw,δzw,εxw,εyw,εzw]T
其中，δxw、δyw、δzw、εxw、εyw和εzw表示砂轮的综合误差分量；
结合误差矩阵求解得到砂轮几何误差补偿值，分别为：
δX＝δxg+[y·(εxg-y·εyg)·sinα+εzg·(y2+1)·cosα]·(y·cosα+z·sinα)/(y2+cos2α)
δY＝δyg+δzg·tanα-x·[y·(εxg+y·εyg)·tanα-εzg·(y2+1)]·/(y2+cos2α)
δZ＝δzg·cscα-x·[y·(εxg+y·εyg)·tanα-εzg·(y2+1)]·sinα/(y2+cos2α)
εA＝[y·εxg+(εyg+εzg·tanα)·cos2α]/(y2+cos2α)
εC＝[y·(εxg-y·εyg)·sinα+εzg·(y2+1)·cosα]/(y2+cos2α)
由于砂轮的综合误差分量与砂轮的相对位置误差和相对旋转角度误差相等但方向相反，即：
E＝[δxg,δyg,δzg,εxg,εyg,εzg]T＝-[px,py,pz,ηx,ηy,ηz]T
则误差补偿元件为：
δX＝-px+[y·(y·ηy-ηx)·sinα-ηz·(y2+1)·cosα]·(y·cosα+z·sinα)/(y2+cos2α)
δY＝-py-pz·tanα+x·[y·(ηx+y·ηy)·tanα-ηz·(y2+1)]·/(y2+cos2α)
δZ＝-pz·cscα+x·[y·(ηx+y·ηy)·tanα-ηz·(y2+1)]·sinα/(y2+cos2α)
εA＝-[y·ηx+(ηy+ηz·tanα)·cos2α]/(y2+cos2α)
εC＝[y·(y·ηy-ηx)·sinα-ηz·(y2+1)·cosα]/(y2+cos2α)
步骤六：根据齿形磨床的齿形成型原理，得到齿面误差的广义模型
表面旋转rw(u,ζ)为：/>
式中，ζ为砂轮转角参数；u为砂轮的轮廓形状参数；rc(u)表示轴向理论齿廓形状，可根据齿轮的基本参数、砂轮直径、安装角度求得；Mwc(ζ)表示坐标系Sw到坐标系Sc的齐次坐标变换矩阵；
从理想砂轮到实际工件的齐次坐标变换矩阵是：
式中，为砂轮安装角度；/>表示砂轮安装角度误差；Δxg、Δyg和Δzg表示工件位置误差；Δθ表示工件角度误差。
从砂轮到理想工件的齐次坐标变换矩阵是：
式中，x为砂轮与工件的中心距；Lz表示砂轮的垂直行程运动。
从理想工件到实际工件的齐次坐标变换矩阵为：
其中，θ表示工件的旋转角度；Δθ表示工件旋转角度误差；Δxw、Δyw和Δzw表示砂轮位置误差；表示砂轮安装角度；/>表示砂轮安装角度误差。
此时，相对位置误差为砂轮-工件系统的Δx＝Δxw±Δxg,Δy＝Δyw±Δyg和Δz＝Δzw±Δzg，砂轮旋转表面rw所形成的曲面集为简写为rg。因此，砂轮回转面rw形成的曲面rg为：
其中：
渐开线端面的轮廓形状表示为：/>
其中，xwi,ywi和zwi表示离散点。
对于曲面集rg，计算接触线包络形成的曲面。从齿轮齿廓磨削方法可以看出，X、Y、A-轴是固定的，在磨削斜齿轮的一个行程中只有Z-和C-轴是联动的。为便于齿面误差建模，将齿面集合rg改写为：
rg(u,ζ,Lz)＝Mgw(Lz)·rw(u,ζ)
根据单参数曲面集的包络理论，当Lz为集合参数时，由曲面集rg形成的接触线包络面应满足以下关系：
其中，
可得砂轮回转面组rw与齿面啮合形成的接触线的包络面Rw(u,Lz)为：Rw(u,Lz)＝rw[u,ζ(u,Lz)；Lz]
若用广义集合参数κ代替Lz，则齿面误差的广义模型可表示为：Rw(u,κ)＝rw[u,ζ(u,κ)；κ]
如果用Δxw,Δyw,Δzw,Δxg,Δyg,Δzg,Δθ的误差项代替κ，就可以得到这些误差项下工件的实际齿面，因此构建齿面几何精度与机器误差的映射关系。以表2所列参数为例，便于分析评估上述车轮-工件位置误差项对齿面几何精度的影响。等式(40)用于计算所有误差项为零时齿面的理论几何精度。然后得到工件在不同误差项下的实际齿面，最后将实际齿面与理论齿面进行比较。
表2工件及砂轮参数
图3显示了理论齿面和实际齿面之间的位置误差。最大齿形倾斜偏差fHαl和fHαr，最大齿形偏差ffαl和ffαr，最大齿形倾斜偏差fHβl和fHβr以及最大齿形偏差ffβl和ffβr是主要的评价指标。
Δxw、Δyw、Δzw、Δxg、Δyg和Δzg的直线度误差设为0.1mm，和Δθ的旋转角度误差设为100弧秒，然后计算齿面误差，如表3所示。可以看出，上述8个位置误差项对齿形偏差ffαl和ffαr、齿形偏差ffβl和ffβr以及倾角没有影响，左右牙的齿向偏差fHβl和fHβr以及齿廓倾角偏差fHαl和fHαr是由Δzw、Δzg和Δθ引起的，也为零。结果表明，Δzw、Δzg和Δθ对齿形和齿向误差几乎没有影响。在实际的齿轮齿廓磨削过程中，对齿面在工件外圆的分布位置有影响，对任何齿面加工误差没有影响。直线度误差Δxw、Δyw、Δxg和Δyg和转角误差/>对齿面齿廓倾斜偏差有显着影响，Δxw和Δxg对齿面齿廓倾斜偏差大小和方向的影响作用相同，均为正值；Δyw和Δyg对齿面齿廓倾斜偏差大小的影响作用相同，但方向相反。以Δxw、Δyw和/>为例，分别设置它们的误差范围，如图3所示。可见fHαl在误差范围内与Δxw、Δyw和/>成正比。
表3位置误差引起的齿面误差
仅研究Δxw,Δyw,Δxg,andΔyg等误差项对齿形倾斜偏差的影响，由于误差项引起的齿面齿廓倾斜偏差足够小，因此忽略误差项/>的影响。根据图4和表3，左齿面齿廓偏差与砂轮Δxw、Δyw位置误差的比例关系表示为：/>/>
其中kxw和kyw表示比例系数；fHαl(Δxw)和fHαl(Δyw)表示左齿面的齿形偏差。
右齿面fHαr(Δxw)和fHαr(Δyw)的齿廓偏差表示为：
满足叠加原理，即：
然后得到以下关系：
式中，kx和ky分别表示左右齿面齿廓偏差Δx和Δy的比值系数，即：
根据表3，kx＝kxw和ky＝kyw，那么齿形磨床的误差补偿模型为：
其中，ΔxwT和ΔywT表示砂轮的热误差；ΔxgT和ΔygT表示工件的热误差。
当砂轮-工件在X方向有相对位置误差Δx时，产生的齿廓倾斜偏差fHαl和fHαr相等。即fHαl＝fHαr。当砂轮-工件在Y方向有相对位置误差Δy时，产生的齿廓倾斜偏差为fHαl＝-fHαr。Δx和Δy与fHαl和fHαr成正比，符合叠加原理。砂轮与工件的相对位置误差ΔxT和ΔyT引起的齿廓倾斜偏差fHαl(ΔxT,ΔyT)和fHαr(ΔxT,ΔyT)分别为：
得到热误差对齿面误差的影响为：
可以计算和修正砂轮的位置偏移，实现误差补偿。热误差对齿面几何精度有直接而显着的影响，如图5所示。因此，对热误差的研究是建立误差控制模型的前提。控制ΔxwT、ΔxgT、ΔywT和ΔygT的相对位置误差对保证加工精度很重要。
进一步，本实施例利用热误差预测模型分别对砂轮的热误差ΔxwT和ΔywT以及工件的热误差ΔxgT和ΔygT进行实时预测，以实现对齿形磨床的加工精度的控制。
轴对单个热源在轴向位置x和时间t处的温度响应为：
其中，C1和C2表示要识别的两个系数；T(x,t)表示温度；d和T∞分别表示直径和参考温度；h和λ分别表示对流系数和导热性；x和t分别表示轴向位置和运行时间；ρ和c分别表示密度和特定的比热容。在运行过程中，轴是加热的，固定支撑安装的热膨胀从固定端到支撑端持续增加。因此，热膨胀为：
/>
其中，α表示热膨胀系数；L表示轴的长度。
利用该式直接计算热误差困难重重，原因如下：一方面，系数C1和C2无法确定；另一方面，广义误差模型具有重要意义，该式为误差预测提供了一个有用的想法，以及等式所示的定积分是运行时间的指数函数，那么误差数据就是一个典型的时间序列数据。根据热差的行为，误差模型具有运行时间t和恒定时间τ的指数级性质。此外，该误差与初始状态下的热差δ0和稳定状态下的δt热差有关。然后将热差的通用形式写成：δ(t)＝δ0+(δt-δ0)(1-e-t/τ)
在以下推导过程中，Δt被设置为无限小。
在运行时间Δt，热差为：δ(Δt)＝δ0+(δΔt-δ0)(1-e-Δt/τ)
在运行时间2Δt，热差为：δ(2Δt)＝δ(Δt)+(δ2Δt-δ(Δt))(1-e-2Δt/τ)
在运行时间mΔt，热差为：δ(mΔt)＝δ((m-1)Δt)+(δmΔt-δ((m-1)Δt))(1-e-mΔt/τ)
由此可知，mΔt的热误差δ(mΔt)与δ((m-1)Δt)，δ((m-2)Δt)，δ((m-3)Δt)，……，δ(2Δt)，δ(Δt)和δ0相关。由此证明了热差的长期记忆行为。LSTM网络可以准确描述长期和短期记忆行为。因此，用LSTM网络建立热误差模型是合理的。
具体的，如图6所示，本实施例的热误差预测模型的构建方法，包括如下步骤：
1)对原始热误差数据进行预处理。本实施例采用SG(Savitzky-Golay)滤波方法对原始热处理数据进行预处理。在数据采集过程中，传感器受到高频噪声的干扰，含有高频噪声的数据不适合作为误差预测模型的输入，因此需要采用合适的滤波方法来滤除高频噪声。基于非对称高斯函数的拟合方法存在数值干涉问题。SG(Savitzky-Golay)滤波方法被广泛用于数据平滑和去噪，因为它可以最大程度地消除噪声并保留原始信号的形状和宽度。因此，本实施例采用SG滤波方法。
本研究采用SG滤波方法对误差数据进行预处理，进而保证IMVWOA-AGBi-LSTM模型的预测性能。它通过最小二乘卷积实现局部区间的多项式拟合，有效去除高频噪声。该方法有滑动窗口宽度N和多项式拟合阶数k这样两个关键参数。N太大会丢失有效信号，N太小会影响降噪性能。k太大时，可能会出现新的噪声，而k太小时，会出现信号失真。因此，应合理选择N和k的值，以实现随机降噪并保持有效信号的平衡。SG滤波方法的基本原理表示为：
其中，S表示原始信号；表示降噪后的jth个样本的信号；Ci表示第ith个降噪系数。
2)随机生成鲸鱼种群，判断鲸鱼种群的初始位置是否超出预设范围；若是，则将鲸鱼种群的初始位置更改为边界；若否，则保持鲸鱼种群的位置。本实施例采用混沌映射方法随机生成鲸鱼种群，且混沌映射定义为：
其中，xn取值范围为[0,1]；μ表示系统参数，μ＝1.99。
群体智能优化算法的全局收敛速度和求解质量受初始种群质量的影响。如果初始种群具有较高的多样性程度，则有利于提高优化性能。传统的WOA(鲸鱼优化算法)以随机方式初始化种群，无法实现种群在整个搜索空间的均匀分布，从而降低了传统WOA算法的搜索效率。混沌映射具有遍历性和随机性，可以在一定范围内更全面地探索搜索空间，然后用这两个行为来初始化鲸鱼种群，即本实施例采用混沌映射来初始化鲸鱼种群。
3)建立Bi-LSTM神经网络。
每个门在LSTM网络中都有特定且独特的功能。遗忘门ft用于丢弃前一状态的信息，输入门it的功能是允许或阻止输入信号更新设备状态，输出门ot是控制当前单元输出到下一个单元的长短期状态。现有的LSTM网络为：
ft＝δ(Wf[ht-1,xt]+bf)，
其中，ft表示遗忘函数；it表示输入函数；ot表示输出函数；xt表示LSTM网络单元的输入向量；ht-1表示先前隐藏层的单元，它与xt结合以增加三个门的权重；表示t时刻临时单元的记忆状态；ct-1表示t-1时刻临时单元的记忆状态；ct表示t时刻记忆单元的记忆状态；Wf、Wi、Wc和Wo分别表示分别为遗忘门、输入门、单元状态和输出门单元的权重矩阵；bf、bi、bc和bo分别表示分别为遗忘门、输入门、单元状态和输出门单元的偏置向量；*表示哈达玛矩阵的乘积；δ表示激活函数，包括sigmoid、softmax、tanh和Relu，这些激活函数影响三个门的输出；ht表示t时刻的隐藏状态，它只接受过去的信息，对未来一无所知。
本实施例的LSTM网络选用Relu激活函数是因为它可以忘记不同单元的行为。由于传统的输入和遗忘门仅由全连接层实现，因此LSTM网络应进行足够的训练以确保它注意到需要处理的相关信息，这些相关信息包括需要留下的细胞状态信息和需要添加的新输入信息。BI-LSTM网络的上述训练过程导致收敛速度较低。为了提高训练效率，在LSTM网络的内门结构中引入了注意力机制，提出了AGBi-LSTM网络，如图7所示。
在内门结构中引入注意力机制使AGBi-LSTM网络能够专注于输入数据中的有用信息，从而减少计算的时间成本。内部注意门定义为：at＝δ(V·tanh(W·ct-1))
其中，V和W表示注意门的参数。AGBi-LSTM网络允许前一时刻的细胞状态在每个时间步计算中确定需要注意的特征，并且使用注意门来代替传统的遗忘门和输入门。AGBi-LSTM网络中细胞状态的更新为：
如此，引入注意力机制后的LSTM网络为：
ft＝δ(Wf[ht-1,xt]+bf)，
由于Bi-LSTM网络的内部修改，参与计算的参数数量大大减少。提高了预测精度，大大减少了训练时间。
4)将鲸鱼种群的位置映射为Bi-LSTM神经网络的批量大小和隐藏层神经元数量。
5)将预处理后的原始热误差数据输入Bi-LSTM神经网络中，以MAE(平均绝对误差)作为鲸鱼优化算法的适应度，通过Bi-LSTM神经网络的训练和预测得到MAE的值。
6)判断MAE是否满足预设要求；若是，则执行步骤8)；若否，则以鲸鱼优化算法更新鲸鱼种群的位置，若更新后的适应度小于更新前的最优适应度，则以搜索到的Xt+1替换更新前的最优的位置X*。
传统的WOA是一种元启发式群智能优化算法，需要调整的参数少，操作简单，易于理解。该算法模仿了座头鲸使用的螺旋气泡网的搜索策略，主要有随机搜索猎物、包围目标猎物和捕食目标猎物三种行为。具体的，鲸鱼优化算法包括随机搜索猎物、包围目标猎物和捕食目标猎物三种行为，并分别表示为：
(1)鲸鱼优化算法的随机搜索猎物的行为表示为：D＝|X(t)-CXrand(t)|，X(t+1)＝Xrand(t)-A·D
其中，Xrand(t)表示从当前鲸鱼群中随机选择的位置向量；X(t)表示每个个体的位置向量：t表示当前迭代次数；A表示系数，D表示[0,1]范围内的随机数；且：C＝2r2，A＝2ar1-a
其中，C表示系数；r1和r2为[0,1]范围内的两个随机生成参数；a表示控制参数；
(2)鲸鱼优化算法的包围目标猎物的行为表示为：Dbset＝|X(t)-CXbest(t)|，X(t+1)＝Xbest(t)-A·Dbset
其中，Xbest(t)表示当前最佳位置；Dbest表示当前位置与当前最佳位置之间的距离；
(3)鲸鱼优化算法的螺旋策略捕食目标猎物的行为表示为：X(t+1)＝Dbesteblcos(2πl)+Xbest(t)
其中，b表示螺旋形状控制参数；l表示[-1,1]范围内的随机数；
在所述鲸鱼优化算法中，座头鲸以螺旋路径移动到目标猎物并缩小其移动轨道，即包围目标猎物的行为和螺旋策略捕食目标猎物的行为会同时发生，因此表示为：
其中，p表示阈值。
为了提高传统WOA的全局和局部搜索能力，本实施例提出了一种IMVWOA算法，在传统WOA的基础上引入了四种改进策略：①采用混沌初始化策略生成高质量的初始种群，提高了收敛效率和最优解的质量；②提出了WOA的非线性控制参数，并引入了自适应权重。利用非线性控制参数sigmoid和自适应惯性权重，在前期提高全局搜索能力，在后期降低收敛速度；③提出了可变螺旋搜索方法，增加了鲸鱼探索位置区域的能力，提高了全局搜索能力；④引入SCSA算法，利用其振荡特性跳出局部最优，进一步提高搜索精度。
具体的，第①种改进策略详见上述步骤2)，不再累述。
第②种改进策略：
现有的控制参数在运行过程中线性减小，其可表示为：其中，T为最大迭代次数，t为当前的迭代次数。即在传统的WOA算法中，控制参数随着迭代次数的增加而线性减小，很可能导致算法收敛缓慢。为了解决这个问题，本实施例采用非线性调整策略，可以提高全局搜索能力，加快收敛速度。
本实施例的控制参数采用非线性控制参数，并表示为：
其中，m和n表示确定控制参数对称中心的参数；k表示一个决定中心点变化率的参数；T表示迭代的最大次数；t表示当前迭代次数。
WOA算法中，找到最佳值的能力取决于控制参数，较大的控制参数可以提供强大的全局搜索能力。较小的控制参数可以赋予算法很强的局部搜索能力，并可以加快收敛速度，提高收敛效率。本实施例的非线性控制参数在迭代早期生成一个大的控制参数来提高全局搜索能力，在迭代后期生成一个小的控制参数来提高局部搜索能力，因此非线性控制参数的全局和局部搜索能力比线性控制参数更优秀。
惯性权重对全局探索和局部开发有很大影响。然而，传统WOA算法中的惯性权重在优化过程中是线性变化的，惯性权重的线性降低策略无法应用于实际的优化过程。本实施例提出了一种随迭代次数变化的自适应权重w。前期优化鲸鱼位置对当前个体位置调整的影响减弱，以提高前期全局搜索能力；随着迭代次数的增加，最优鲸鱼位置的影响逐渐增大，使得其他鲸鱼可以快速收敛到最优鲸鱼位置，进而提高收敛速度。本实施例在鲸鱼优化算法中提出了一种随迭代而变化的自适应惯性权重w，并表示为：
由此可知，前期自适应权重小，由于余弦函数的变化特性，变化速度快，后期自适应权重较大，变化率降低，可以充分保证收敛速度。鲸鱼优化算法中的随机搜索猎物、包围目标猎物和捕食目标猎物三种行为的位置更新分别为：
X(t+1)＝w(t)Xrand(t)-A·D，X(t+1)＝w(t)Xbest(t)-A·Dbest,p＜0.5
X(t+1)＝w(t)Xbest(t)+Dbest·ebl·cos(2πl)，p≥0.5。
随着自适应权重的引入，最佳鲸鱼位置Xbest在不同时间以不同方式引导其他鲸鱼。随着迭代次数的增加，鲸鱼群会接近最优位置，自适应权重也会加速鲸鱼位置的移动，能够提高收敛速度。
第③种改进策略：
鲸鱼会根据目标位置和自身位置之间的螺旋形状调整每次位置更新时的移动距离来寻找猎物。传统的螺旋搜索模式是固定的，控制螺旋形状的参数b一般设置为常数。但是，如果控制螺旋形状的参数b设置为常数，鲸鱼在寻找猎物时的螺旋运动将是单一的，以固定螺旋接近目标会削弱全局搜索能力。为了使鲸鱼能够为位置更新开发更多样化的搜索路径，提出了一种可变螺旋搜索策略。即本实施例的控制螺旋形状的参数b被设计为随迭代次数变化的变量，动态调整鲸鱼搜索的螺旋形状，增加探索未知区域的能力，提高全局搜索能力。即本实施例在鲸鱼优化算法中引入可变螺旋搜索策略，并将螺旋形状控制参数设置为随迭代次数变化的变量，为：
其中，b表示螺旋形状控制参数。
在原有螺旋模型的基础上，引入迭代次数动态调整螺旋形状。随着迭代次数的增加，螺旋形状由小变大。前期，鲸鱼群搜索具有大螺旋形状的目标，鲸鱼群探索尽可能多的全局最优解，提高全局最优搜索能力。在后期，鲸鱼群搜索具有小螺旋形状的目标，以提高优化精度。
第④种改进策略：
为了进一步提高IMVWOA的收敛精度，在所述鲸鱼优化算法中引入正弦和余弦搜索算法(SCSA)以提高其收敛精度，则：
其中，r3、r4、r5和r6均表示[0,1]范围内的四个随机生成的参数；α表示常数，并设置为2；表示当前最佳鲸鱼的位置；Dθ表示鲸鱼位置。
时间复杂度是判断算法收敛时间的重要依据。传统WOA中，鲸鱼种群数量为N，最大迭代次数为T，待优化问题的维数为D。传统WOA的时间复杂度可表示为O(N*T*D)。IMVWOA中引入了四种改进策略。可以看出，混沌初始化、自适应权重、可变螺旋更新、SCSA并没有增加循环次数，算法时间复杂度也为O(N*T*D)，所以时间复杂度不会增加。
进一步，若MAE不满足预设要求，则以鲸鱼优化算法更新鲸鱼种群的位置，同时更新影响鲸鱼优化算法的参数；且以鲸鱼优化算法更新鲸鱼种群位置的方法为：
若p＜0.5且|A|＞1，则采用随机搜索猎物的行为并启用自适应惯性权重，也即：
X(t+1)＝w(t)Xrand(t)-A·D
若p＜0.5且|A|＜1，则采用包围目标猎物的行为并启用自适应惯性权重，也即：
X(t+1)＝w(t)Xbest(t)-A·Dbest,p＜0.5
若p＞0.5，则采用螺旋策略捕食目标猎物的行为并启用自适应惯性权重，也即：
X(t+1)＝w(t)Xbest(t)+Dbest·ebl·cos(2πl)，p≥0.5
具体的，影响鲸鱼优化算法的参数包括控制参数a、系数A和系数C等，不再累述。
7)判断迭代次数是否达到最大值，若是，则终止迭代，得到最佳解；若否，则令t＝t+1，循环步骤4)和步骤7)；
8)输出MAE，以优化得到的鲸鱼种群的位置映射的批量大小和神经元数量作为Bi-LSTM神经网络的超参数。
下面对本实施例的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法的技术效果进行说明和验证。
1、误差补偿验证
1.1、几何误差识别和补偿
几何误差补偿原理如下：A轴驱动的伺服电机根据螺旋角的方向，带动A轴溜板旋转一定角度，使砂轮达到相应的安装角度。砂轮与工件随C轴旋转形成相对螺旋运动。砂轮X方向回退，C轴分度到下一个齿槽。重复上述步骤，依次完成所有齿槽的加工。对于误差补偿，A轴的运动精度较低，C轴的几何误差只影响齿在工件圆周上的分布位置，对工件的几何误差没有影响。因此，关键是X、Y、Z轴几何误差的补偿。图1显示了几何误差的补偿策略。
实验平台为齿形磨床，图8显示了Renishaw XL-80激光干涉仪识别的几何误差项。图9显示了Renishaw QC10球杆识别的C轴几何误差。然后建立几何误差模型，并计算补偿值。最后，开发了几何误差实时补偿模块，将运行参数、补偿参数等相关参数输入到几何误差补偿模块中。
1.2、误差识别和建模
Δx和Δy主要影响齿廓偏差fHαl和fHαr。对偏差fHαl和fHαr的影响与Δx一致。因此，可以通过调整Δx、Δy和/>来修正齿廓倾斜偏差。Δxg和Δyg的热误差不受相应运动轴的调整。A轴溜板旋转精度低。砂轮安装角度误差/>无法准确调整。砂轮的Δxw和Δyw位置误差用作调整变量。然后补偿热误差并校正齿廓倾斜偏差fHαl和fHαr。实验对象是齿轮成型磨床的主轴。轴向和径向误差由位移传感器测量，如图10所示。
在主轴系统上进行热特性实验。位移传感器采集的热误差数据往往带有高频噪声。因此，采用SG滤波算法来降低原始误差数据的噪声。SG滤波算法的参数确定为：滑动窗口大小N设为2000，多项式拟合阶数k设为2。滤波后的热伸长率如图11所示，从图11(a)可以看出，异常值显着降低。此外，根据图11(b)，高频和低频噪声显着降低。
硬件和软件平台的详细信息如下：使用Windows 10操作系统，CPU为第11代IntelCore i5-1135G7@2.40GHz，RAM为16.0GB(15.8GB可用)。该程序由Python编程语言开发。开发环境为PyCharm Community Edition 2020.2.5，管理使用Anaconda。为方便机器学习建模，使用TensorFlow机器学习库和神经网络API Keras进行编程。具体信息见表4。
表4硬件和软件平台
超参数对预测性能和收敛速度有很大影响。批量大小和隐藏神经元的数量被认为是两种最重要的超参数。它们都通过建议的MVWOA进行了优化。鲸鱼的位置是一个一维数组，包含两个元素。它们都限制在[0,4]的范围内。在更新鲸鱼位置的子函数中，使用clip函数来限制鲸鱼的位置，防止鲸鱼的位置超出设定范围。放大倍数设为128，实现鲸鱼位置和超参数的映射。表5中列出了建议的MVWOA 的参数。
表5.IMVWOA参数
然后构造SG-MVWOA-AGBi-LSTMN。导入时间库以计算收敛时间。误差数据作为提出的误差模型的输入，然后特征维度值设为1，输入为单变量，可以省略归一化过程。为了节省训练时间，将epoch size设置为100，模型中还引入了回调函数的earlystopping子函数。早期停止子函数的耐心参数设置为5，然后模型的训练过程将在5次迭代中提前停止，以有效避免在适应度没有明显提高的情况下过拟合。MAE作为评价指标，定义为全局变量，可以在子函数中更新。最后，选择最佳预测数据。Bidirectional、Dense和Activation三层网络是从Keras库中调用的。然后调用改进的attention gate层与这三层结合构建SG-MVWOA-AGBi-LSTMN模型。优化器是Adam。最后，提出了SG-MVWOA-AGBi-LSTMN。SG-Bi-LSTMN和SG-AGBi-LSTMN的超参数和设置是相同的，批处理大小和神经元数量由随机函数随机生成，两者的值分别为464和512。启用MVWOA后，超参数将发生变化。SG-VWOA-AGBi-LSTMN和SG-MVWOA-AGBi-LSTMN的参数设置如图12所示。
然后以Y方向的热误差为例，用1#工况下的误差数据训练SG-MVWOA-AGBi-LSTMN，如图13所示。SG-Bi-LSTMN和SG-AGBi-LSTMN的拟合性能比SG-WOA-AGBi-LSTMN和SG-MVWOA-AGBi-LSTMN差。因此，WOA和MVWOA的优化是有效的。
此外，收敛时间也是评估模型性能的重要指标，因为时间消耗很重要。得到上述四种模型的时间成本，如表6所示。SG-AGBi-LSTMN的计算时间约为SG-Bi-LSTMN的56％，说明内部注意力门可以减少计算时间所需的时间。然后证明了所提出的内部注意门的有效性。对于Bi-LSTMN，随机生成的超参数太大，然后SG-AGBi-LSTMN和SG-Bi-LSTMN模型的训练过程既耗时又低效。所提出的SG-WOA-AGBi-LSTMN和SG-MVWOA-AGBi-LSTMN的超参数分别由WOA和MVWOA优化。SG-AGBi-LSTMN的拟合性能与SG-Bi-LSTMN差别不大，两者的拟合性能均小于90％。SG-WOA-AGBi-LSTMN和SG-MVWOA-AGBi-LSTMN的拟合性能分别为98.98％和99.13％。MVWOA的优化效果优于WOA，表明所提出的MVWOA的有效性。SG-Bi-LSTMN、SG-AGBi-LSTMN、SG-WOA-AGBi-LSTMN和SG-MVWOA-AGBi-LSTMN消耗的时间分别为53.3s、30.0s、110.3s和115.4s。补偿周期为五分钟，则以上四种机型均能满足执行效率的要求。SG-Bi-LSTMN和SG-AGBi-LSTMN运行一次以获取超参数。SG-WOA-AGBi-LSTMN和SG-MVWOA-AGBi-LSTMN运行九次以获得最佳超参数。但是，SG-WOA-AGBi-LSTMN和SG-MVWOA-AGBi-LSTMN的运行时间并不是SG-Bi-LSTMN或SG-AGBi-LSTMN的9倍。SG-WOA-AGBi-LSTMN和SG-MVWOA-AGBi-LSTMN的运行时间比SG-Bi-LSTMN和SG-AGBi-LSTMN的运行时间长，因为运行时间不同。
表6拟合性能评价
以上四种模型的预测结果如图14所示。SG-Bi-LSTMN、AGBi-LSTMN、SG-WOA-AGBi-LSTMN和SG-MVWOA-AGBi-LSTMN模型的预测准确率按升序排列。
然后计算评价指标，如表7所示。结果表明SG-MVWOA-AGBi-LSTMN的MAE远小于SG-WOA-AGBi-LSTMN。这表明所提出的MVWOA的优化是有效的。MVWOA可以帮助找到更好的超参数来降低MAE，这些优化后的超参数与错误数据的特征很好地匹配。此外，SG-WOA-AGBi-LSTMN的MAE远小于SG-AGBi-LSTMN，表明WOA对预测性能有很大影响。SG-AGBi-LSTMN的预测效果强于SG-Bi-LSTMN。在LSTMN中引入内部注意力门可以缩短训练时间，提高预测效果。值得一提的是，SG-Bi-LSTMN和SG-AGBi-LSTMN的MAE远小于拟合的MAE。原因如下：SG-Bi-LSTMN和SG-AGBi-LSTMN的超参数是随机产生的，随机超参数导致训练不足。此外，SG-MVWOA-AGBi-LSTMN的预测能力强于其他三个模型，证明了所提出的SG-MVWOA-AGBi-LSTMN的有效性。这表明SG-Bi-LSTMN具有出色的鲁棒性。
表7预测性能评估
根据齿轮测量软件的自动设置，对工件1#、21#、41#、61#齿的齿形偏差进行无误差控制、几何误差控制、几何与热误差同步控制，如图15所示。如图15(a)所示，左右齿面最大总齿廓偏差分别为47.5μm和42.7μm，几何精度为ISO 8级，无误差控制。最大齿廓倾斜偏差分别为37.4μm和30.5μm，几何精度为ISO 8级，无误差控制。如图15(b)所示，工件左右齿面总偏差分别减小到27.1μm和27.7μm，几何精度为ISO 6级，几何误差控制，对应的齿左右齿面轮廓倾斜偏差降低到12.5μm和12.6μm，几何精度为ISO 5级，几何误差控制，几何精度分别提高2级和3级，表明误差补偿效果明显，达到了预期的效果。表8显示了几何误差。各轴实际测量值均小于要求值，说明几何误差补偿效果突出。
表8实测几何误差
当齿形磨床达到热平衡状态时，根据图15(c)得到Δx和Δy的比系数kx和ky以及左右齿面的齿形偏差fHαl和fHαr。那么由热误差引起的工件齿廓倾斜偏差fHαl和fHαr分别为5.8μm和5.2μm。通过热误差控制，工件左齿面的最大齿廓倾斜偏差fHαl从12.5μm降低到5.8μm。通过热误差补偿，右齿面fHαr的最大齿廓倾斜偏差从12.6μm减少到5.2μm。工件齿廓偏差fHα几何精度从ISO 5级提高到ISO 3级，总齿廓偏差Fα几何精度也从ISO 6级提高到ISO 5级。由此可见热误差控制效果显着，减小了齿廓倾角偏差fHαl和总齿廓偏差Fα。这也证明了热误差和齿面误差的补偿模型和实验结果的一致性是突出的。可以发现，齿廓偏差ffα变化较小，与第2节得出的结论一致。工件位置误差引起的齿面误差分析结果与表3一致。最后，充分验证了同时几何和热误差控制方法。
2、结论
几何误差和热误差是显着影响磨削齿轮齿面几何精度的主要因素。基于齿面几何误差与砂轮/工件位置误差的相关性，提出了齿轮齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法。齐次坐标变换实现几何误差建模和几何误差解耦。此外，证明了热误差和几何误差补偿的必要性。最后，通过误差建模和预测实现同步误差控制。主要结论如下：
(1)研究了齿轮仿形磨床的几何误差建模和解耦，构建了齿面几何精度与机床误差的映射关系。揭示了几何误差对齿面误差的影响。砂轮-工件的相对位置误差对左右齿廓倾斜偏差有显着影响。当砂轮-工件在X方向有相对位置误差Δx时，产生的左右齿面的齿廓倾斜偏差fHαl和fHαr相等。即，fHαl＝fHαr。当砂轮-工件在Y方向有相对位置误差Δy时，产生的齿廓倾斜偏差为fHαl＝-fHαr。Δx和Δy的相对位置误差与fHαl和fHαr的齿廓倾斜偏差成正比，符合叠加原理。
(2)基于物理的误差机理建模方法揭示了热误差的记忆特性证明误差数据是典型的时间序列数据。热误差对历史热信息的长期依赖性非常强，为使用Bi-LSTMN进行误差预测提供了依据。因此，能够反映长期依赖历史信息的误差模型可以准确地预测误差。将注意力机制引入Bi-LSTMN，提出基于内部注意力门的AGBi-LSTMN网络。用于克服模型计算耗时的问题。结果表明，SG-MVWOA-AGBi-LSTMN在训练过程中的收敛时间是SG-MVWOA-Bi-LSTMN的56％。引入SG滤波算法来降低高频噪声。提出了具有内部注意力门的注意力机制，以提高模型对关键信息的注意力并减少超参数的数量。提出的MVWOA提高了优化效果和收敛速度，并且提出的MVWOA的优化效果远好于WOA。
(3)基于齿面几何误差与位置误差的相关性，实现了齿面磨床几何误差和热误差的同时控制，有效降低了齿面几何误差。误差控制实验验证了几何热误差和热误差同步控制模型的有效性。通过几何误差控制，齿面总偏差几何精度从ISO 8级提高到ISO 6级，齿廓倾斜偏差几何精度从ISO 8级提高到ISO 5级。通过热误差控制，齿形偏差几何精度从ISO 5级提高到ISO 3级，总齿形偏差几何精度也从ISO 6级提高到ISO 5级。
以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，本发明的保护范围不限于此。本技术领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换，均在本发明的保护范围之内。本发明的保护范围以权利要求书为准。
Claims (8)
1.一种齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤一：根据齿形磨床的拓扑结构，得到理想状态下的砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵
步骤二：结合齿形磨床每个运动轴的几何误差分量，得到实际状态下的砂轮与工件之间的齐次坐标变换矩阵
步骤三：结合砂轮与工件之间在理想状态下的齐次坐标变换矩阵和在实际状态下的齐次坐标变换矩阵/>得到误差矩阵/>
其中，ηx、ηy、ηz、px、py和pz表示砂轮相对位置误差和相对旋转角度误差；
步骤四：根据齿形磨床的Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分变换矩阵，分别得到Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；
步骤五：根据Y轴、A轴、Z轴、X轴和C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵，得到综合微分运动误差矩阵E：
其中，E表示齿形磨床的综合微分运动误差矩阵；表示Y轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示A轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示Z轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示X轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；/>表示C轴相对于砂轮的微分运动误差矩阵；
JM表示磨齿机的雅可比矩阵；δX、δY和δZ分别表示X轴、Y轴和Z轴的位置误差；εA和εC分别表示A轴和C轴的旋转角度误差；
则误差补偿分量为：
[δX,δY,δZ,εA,εC]T＝(JM T·JM)-1·JM T·E
由于砂轮的综合误差分量与砂轮的相对位置误差和相对旋转角度误差相等但方向相反，即：
E＝[δxg,δyg,δzg,εxg,εyg,εzg]T＝-[px,py,pz,ηx,ηy,ηz]T
其中，δxw、δyw、δzw、εxw、εyw和εzw表示砂轮的综合误差分量；
结合误差矩阵求解得到砂轮几何误差补偿值，分别为：δX、δY、δZ、εA和εC；
还包括步骤六：根据齿形磨床的齿形成型原理，得到齿面误差的广义模型为：
Rw(u,κ)＝rw[u,ζ(u,κ)；κ]
其中，ζ表示砂轮的转角参数；u表示砂轮的轮廓形状参数；κ为广义集合参数；
利用砂轮的位置误差Δxw、Δyw、Δzw；砂轮的安装角度误差工件的位置误差Δxg、Δyg、Δzg；工件的旋转角度误差Δθ替代广义集合参数κ，可得到各个误差项作用下的工件的实际齿面，将实际齿面与理论齿面进行比较，可知：误差项Δzw、Δzg和Δθ对齿形和齿向误差几乎没有影响；误差项Δxw、Δyw,、Δxg、Δyg和/>对齿面齿廓倾斜偏差有显着影响；其中，Δxw和Δxg对齿面齿廓倾斜偏差大小和方向的影响作用相同；Δyw和Δyg对齿面齿廓倾斜偏差大小的影响作用相同，但方向相反，且fHαl在误差范围内与Δxw、Δyw和/>成正比，符合叠加原理；
由于误差项引起的齿面齿廓倾斜偏差足够小，因此忽略误差项/>则：
由砂轮与工件的相对位置误差ΔxT和ΔyT引起的齿廓倾斜偏差fHαl(ΔxT,ΔyT)和fHαr(ΔxT,ΔyT)分别为：
其中：
其中，ΔxwT和ΔywT表示砂轮的热误差；ΔxgT和ΔygT表示工件的热误差；
可知：控制砂轮的热误差ΔxwT和ΔywT以及工件的热误差ΔxgT和ΔygT对齿形磨床的加工精度重要程度最高；
利用热误差预测模型分别对砂轮的热误差ΔxwT和ΔywT以及工件的热误差ΔxgT和ΔygT进行实时预测，以实现对齿形磨床的加工精度的控制；
所述热误差预测模型的构建方法，包括如下步骤：
1)对原始热误差数据进行预处理；
2)随机生成鲸鱼种群，判断鲸鱼种群的初始位置是否超出预设范围；若是，则将鲸鱼种群的初始位置更改为边界；若否，则保持鲸鱼种群的位置；
3)建立Bi-LSTM神经网络；
4)将鲸鱼种群的位置映射为Bi-LSTM神经网络的批处理大小和隐藏层神经元数量；
5)将预处理后的原始热误差数据输入Bi-LSTM神经网络中，以MAE作为鲸鱼优化算法的适应度，通过Bi-LSTM神经网络的训练和预测得到MAE的值；
6)判断MAE是否满足预设要求；若是，则执行步骤8)；若否，则以鲸鱼优化算法更新鲸鱼种群的位置，若更新后的适应度小于更新前的最优适应度，则以搜索到的Xt+1替换更新前的最优的位置X*；
7)判断迭代次数是否达到最大值，若是，则终止迭代，得到最佳解；若否，则令t＝t+1，循环步骤4)和步骤7)；
8)输出MAE，以优化得到的鲸鱼种群的位置映射的批处理大小和神经元数量作为Bi-LSTM神经网络的超参数。
2.根据权利要求1所述的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，其特征在于：所述步骤1)中，采用SG滤波方法对原始热处理数据进行预处理。
3.根据权利要求1所述的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，其特征在于：所述鲸鱼优化算法包括随机搜索猎物、包围目标猎物和捕食目标猎物三种行为，并分别表示为：
(1)鲸鱼优化算法的随机搜索猎物的行为表示为：
D＝|X(t)-CXrand(t)|
X(t+1)＝Xrand(t)-A·D
其中，Xrand(t)表示从当前鲸鱼群中随机选择的位置向量；X(t)表示每个个体的位置向量：t表示当前迭代次数；A表示系数，D表示[0,1]范围内的随机数；且：
C＝2r2
A＝2ar1-a
其中，C表示系数；r1和r2为[0,1]范围内的两个随机生成参数；a表示控制参数；
(2)鲸鱼优化算法的包围目标猎物的行为表示为：
Dbset＝|X(t)-CXbest(t)|
X(t+1)＝Xbest(t)-A·Dbset
其中，Xbest(t)表示当前最佳位置；Dbest表示当前位置与当前最佳位置之间的距离；
(3)鲸鱼优化算法的螺旋策略捕食目标猎物的行为表示为：
X(t+1)＝Dbestebl cos(2πl)+Xbest(t)
其中，b表示螺旋形状控制参数；l表示[-1,1]范围内的随机数；
在所述鲸鱼优化算法中，座头鲸以螺旋路径移动到目标猎物并缩小其移动轨道，即包围目标猎物的行为和螺旋策略捕食目标猎物的行为会同时发生，因此表示为：
其中，p表示阈值。
4.根据权利要求3所述的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，其特征在于：在所述鲸鱼优化算法中提出了一种随迭代次数变化的自适应惯性权重w，并表示为：
因此，所述鲸鱼优化算法中的随机搜索猎物、包围目标猎物和捕食目标猎物三种行为的位置更新分别为：
X(t+1)＝w(t)Xrand(t)-A·D
X(t+1)＝w(t)Xbest(t)-A·Dbest,p＜0.5
X(t+1)＝w(t)Xbest(t)+Dbest·ebl·cos(2πl)，p…0.5
若MAE不满足预设要求，则以鲸鱼优化算法更新鲸鱼种群的位置，同时更新影响鲸鱼优化算法的参数；且以鲸鱼优化算法更新鲸鱼种群位置的方法为：
若p＜0.5且|A|＞1，则采用随机搜索猎物的行为并启用自适应惯性权重；
若p＜0.5且|A|＜1，则采用包围目标猎物的行为并启用自适应惯性权重；
若p＞0.5，则采用螺旋策略捕食目标猎物的行为并启用自适应惯性权重。
5.根据权利要求3所述的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，其特征在于：所述步骤2)中，采用混沌映射方法随机生成鲸鱼种群，且混沌映射定义为：
其中，xn取值范围为[0,1]；μ表示系统参数，μ＝1.99。
6.根据权利要求3所述的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，其特征在于：所述控制参数采用非线性控制参数，并表示为：
其中，m和n表示确定控制参数对称中心的参数；k表示一个决定中心点变化率的参数；T表示迭代的最大次数；t表示当前迭代次数。
7.根据权利要求3所述的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，其特征在于：在所述鲸鱼优化算法中引入可变螺旋搜索策略，并将螺旋形状控制参数设置为随迭代次数变化的变量，为：
其中，b表示螺旋形状控制参数；
在所述鲸鱼优化算法中引入正弦和余弦搜索算法(SCSA)以提高其收敛精度，则：
r4∈(0,360°)
其中，r3、r4、r5和r6均表示[0,1]范围内的四个随机生成的参数；α表示常数；表示当前最佳鲸鱼的位置；Dθ表示鲸鱼位置。
8.根据权利要求1所述的齿形磨床几何误差和热误差同步控制方法，其特征在于：所述Bi-LSTM神经网络采用内部注意门来代替遗忘门和输入门，所述内部注意门定义为：
at＝δ(V·tanh(W·ct-1))
其中，V和W表示注意门的参数；则：
ft＝δ(Wf[ht-1,xt]+bf)
其中，ft表示遗忘函数；it表示输入函数；ot表示输出函数；xt表示LSTM网络单元的输入向量；ht-1表示先前隐藏层的单元，它与xt结合以增加三个门的权重；表示t时刻临时单元的记忆状态；ct-1表示t-1时刻临时单元的记忆状态；ct表示t时刻记忆单元的记忆状态；Wf、Wi、Wc和Wo分别表示分别为遗忘门、输入门、单元状态和输出门单元的权重矩阵；bf、bi、bc和bo分别表示分别为遗忘门、输入门、单元状态和输出门单元的偏置向量；*表示哈达玛矩阵的乘积；δ表示激活函数；ht表示t时刻的隐藏状态。
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Legal Events
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| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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