CN113955153B - 一种燃料最优的连续小推力轨道转移方法 - Google Patents

一种燃料最优的连续小推力轨道转移方法 Download PDF

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CN113955153B CN202111566680.XA CN202111566680A CN113955153B CN 113955153 B CN113955153 B CN 113955153B CN 202111566680 A CN202111566680 A CN 202111566680A CN 113955153 B CN113955153 B CN 113955153B
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Abstract

本发明公开了一种燃料最优的连续小推力轨道转移方法，包括：步骤1，建立航天器轨道动力学模型；步骤2，建立轨道转移最优控制问题，并将控制输入离散化；步骤3，初始化各项参数以及基输入；步骤4，判断航天器是否已达到目标位置，是则结束，否则进入步骤5；步骤5，使用基于值函数近似的动态规划算法求解当前时刻的最优推力大小和方向角；步骤6，对航天器施加当前时刻的最优控制，航天器在轨运行至下一采样时刻，进入步骤4。本发明是一种基于值函数近似的动态规划算法，可以实现燃料最优的连续小推力航天器的轨道转移最优控制，相较于传统算法，理论上大幅度降低计算量的同时从仿真上也保证了算法的准确性。

Description

一种燃料最优的连续小推力轨道转移方法
技术领域
本发明涉及航天器轨道转移与最优控制领域，具体为一种燃料最优的连续小推力轨道转移方法。
背景技术
航天器轨道转移是我国乃至世界未来小行星探测、深空探测等任务所面临的关键技术。相比于传统的化学燃料脉冲推进方式，小推力航天器具有高比冲、可多次点火、发动机体积小等特点，可以大量节省燃料，因此更适合执行复杂的航天任务。
航天器轨道转移优化设计可以建模成一个最优控制问题，通过设计推力的大小和方向角，使得航天器的姿态和轨道可以达到目标姿态和轨道，同时实现燃料最优或时间最优。随着我国深空探测向更深处发展，航天器接收地球指令所需时间更长，因此航天器轨道机动更加依赖于实时在线自主控制。
传统的最优控制问题求解方法有直接法、间接法和动态规划算法。间接法求解的精度较高，但针对控制量和状态量均存在约束的问题，求解较为复杂，另外，间接法需要对邻接点的强初始猜测，这使得间接法对于复杂的空间任务计算来说并不理想。直接法可以直接对时间、状态量和控制量进行离散化，进行简单多步骤的求解，然而其计算量较大。动态规划方法则结合了直接法和间接法的优点，将复杂问题的最优解划分为多个小问题的最优解，但是随着状态数的增加，需要计算的中间状态量会以指数级增加。
针对传统动态规划求解算法存在的“维数灾难”的现象，本发明采用了一种基于值函数近似的动态规划算法，实现燃料最优的航天器轨道转移连续小推力控制的同时大大降低了计算的时间。
发明内容
本发明提供了一种基于值函数近似的动态规划方法，在保证轨道转移精度要求的情况下，可以实现燃料最优的小推力航天器的轨道转移。
本发明的技术方案如下：一种燃料最优的连续小推力轨道转移方法，以地球到火星的行星际轨道转移为例，仅考虑中心天体的引力作用，其实现步骤简单阐述如下：
步骤1，建立关于航天器状态变量x k 与控制输入u k 的离散时间归一化小推力航天器轨道动力学模型 f(x k ，u k )；
步骤2，结合实际需求，根据动力学模型建立轨道转移最优控制问题，并将控制输入离散化；
步骤3，确定采样时间△t和总采样次数N，初始化控制输入为基输入；
步骤4，根据实际测量数据，判断航天器是否已到达目标位置，是则结束，剩余控制输入为0，否则进入步骤5；
步骤5，定义关于瞬时代价函数的近似值函数，基于动力学模型、离散化的控制输入以及初始化参数，使用基于值函数近似的动态规划算法分别求解离散的各个单元内的近似值函数，比较并找到该近似值函数中的最优值以及其对应的最优推力大小序列和方向角序列，更新至基输入推力大小
Figure 835827DEST_PATH_IMAGE001
和推力方向角
Figure 180000DEST_PATH_IMAGE002
，更新基输入；
步骤6，根据基输入对航天器施加当前时刻的最优控制
Figure 100683DEST_PATH_IMAGE003
，航天器在轨运行至下一采样时刻，进入步骤4。
有益效果
本发明通过使用基于值函数近似的动态规划算法，实现连续小推力航天器轨道转移的燃料最优控制，在达到控制要求的前提下，提高计算速度，满足小推力航天器对于轨道转移控制的实时性要求。
附图说明
图1为本发明一个实施例的连续小推力航天器轨道转移方法流程图；
图2为本发明一个实施例的基于值函数近似的动态规划算法思路示意图；
图3(a)为本发明一个实施例的基于值函数近似的动态规划算法求解最优推力大小示意图；
图3(b)为本发明一个实施例的基于值函数近似的动态规划算法求解最优推力方向角示意图；
图4为本发明一个实施例的航天器转移轨迹图；
图5为本发明一个实施例的航天器转移半径图；
图6为本发明一个实施例的航天器质量变化图；
图7为本发明一个实施例的航天器切向和径向速度变化图；
图8为本发明一个实施例的航天器推力大小变化图；
图9为本发明一个实施例的航天器推力方向角变化图。
具体实施方式
下面将结合附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明公开了一种燃料最优的连续小推力轨道转移方法，以地球到火星的行星际轨道转移为例，仅考虑中心天体的引力作用，流程图如图1所示，算法包括以下步骤：
步骤1，建立离散时间归一化小推力航天器轨道动力学模型。模型坐标选取为共面圆轨道极坐标系，将航天器在以地球为极坐标中心的轨道半径和绕中心天体飞过的路径角分别记为r和θ，将航天器速度的径向和切向分量分别记为v r 和v t ，m表示航天器质量，控制输入是航天器的推力大小T和推力方向角η。
定义
Figure 902416DEST_PATH_IMAGE004
表示任意采样时刻t k =k△t，k=0,1,…N时的航天器的状态变量，△t表示采样时间，N表示总采样次数，
Figure 871116DEST_PATH_IMAGE005
表示任意t k =k△t时刻小推力航天器的控制输入，则离散时间归一化动力学模型可表示为f(x k ，u k )，其中
Figure 834524DEST_PATH_IMAGE006
，其中v e 为航天器发动机的有效排气速度，
Figure 242503DEST_PATH_IMAGE007
为常数参数，T max 为航天器发动机最大推力，
Figure 582348DEST_PATH_IMAGE008
为航天器初始径向距离，
Figure 920401DEST_PATH_IMAGE009
为航天器初始质量，
Figure 805443DEST_PATH_IMAGE010
为初始圆轨道速度，其中μ为中心天体的引力常数。
步骤2，结合实际需求，建立轨道转移最优控制问题，包括边界条件、过程约束、控制约束和燃料最优问题的瞬时代价函数，并将控制输入离散化。
以地球到火星轨道转移为例，边界条件包括：初始状态为
Figure 435139DEST_PATH_IMAGE011
时刻地球公转轨道的轨道参数，即
Figure 841325DEST_PATH_IMAGE012
，
Figure 240076DEST_PATH_IMAGE013
，
Figure 810866DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 459016DEST_PATH_IMAGE015
，目标状态为火星公转轨道的轨道参数，即
Figure 872155DEST_PATH_IMAGE016
，
Figure 407304DEST_PATH_IMAGE017
，
Figure 883416DEST_PATH_IMAGE018
，其中，R E 为地球公转轨道半径，R M 为火星公转轨道半径，t N 为轨道转移时间。在本发明的实施例中使用t N =355天，并考虑在轨道转移过程中，在任意时刻t k ，航天器状态x k 满足以下过程约束，[0.1；0；-10；-10；0]≤x k ≤[10；10；10；10；1]。控制输入u k 满足控制约束[0；-π] ≤u k ≤[1；π]。确定燃料最优问题的瞬时代价函数为，g k （x k ，u k ），k=0,1,…N。本发明的实施例使用g k （x k ，u k ）=0，k=0,1,…N- 1，
Figure 15932DEST_PATH_IMAGE019
，其中
Figure 235692DEST_PATH_IMAGE020
为实际初始时刻和终端时刻航天器的质量，
Figure 609036DEST_PATH_IMAGE021
为实际终端时刻航天器的状态，
Figure 787207DEST_PATH_IMAGE022
为目标状态，λ，γ为对应的加权系数。将控制输入离散化，即将推力大小在约束区间[0,1]内均分为d 1 段，将推力的方向角在约束区间[-π,π]内均分为d 2 段。
步骤3，初始化各项参数，确定采样时间△t和总采样次数N，初始化控制输入为基输入
Figure 892173DEST_PATH_IMAGE023
，其中
Figure 915624DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure 409054DEST_PATH_IMAGE025
分别表示N个采样时间上的推力大小和推力方向。
步骤4，根据实际测量数据，判断航天器是否已到达目标位置。是则结束，剩余控制输入变为0，否则进入步骤5。
步骤5，使用基于值函数近似的动态规划算法求解当前时刻的最优推力大小和方向角，其思路如图2所示。具体实施步骤如下：
步骤5.1，在当前时刻t k ，根据基输入
Figure 755197DEST_PATH_IMAGE026
，其中
Figure 599656DEST_PATH_IMAGE027
，
Figure 161218DEST_PATH_IMAGE028
，计算近似值函数
Figure 624053DEST_PATH_IMAGE029
，其中
Figure 409606DEST_PATH_IMAGE030
。推力大小有d 1 种选择
Figure 475782DEST_PATH_IMAGE031
，分别以
Figure 119997DEST_PATH_IMAGE032
作为控制输入计算下一时刻的状态
Figure 322439DEST_PATH_IMAGE033
；分别以
Figure 13315DEST_PATH_IMAGE034
作为初始状态计算近似值函数
Figure 566787DEST_PATH_IMAGE035
。
以
Figure 998381DEST_PATH_IMAGE036
为初始状态，计算
Figure 320909DEST_PATH_IMAGE037
步骤如下：
在控制空间内，随机生成R条推力大小序列，方向角由基输入
Figure 402260DEST_PATH_IMAGE038
生成，此时控制输入记为
Figure 440098DEST_PATH_IMAGE039
。根据
Figure 147154DEST_PATH_IMAGE040
，对任意
Figure 855347DEST_PATH_IMAGE041
计算近似值函数
Figure 622446DEST_PATH_IMAGE042
，则
Figure 147581DEST_PATH_IMAGE043
，并记录此时对应的控制推力的大小，则近似最优值函数
Figure 940219DEST_PATH_IMAGE044
，更新此时对应的最优控制大小序列
Figure 971760DEST_PATH_IMAGE045
至基输入
Figure 906830DEST_PATH_IMAGE046
，即令
Figure 922191DEST_PATH_IMAGE047
。算法思路如图3(a)所示。
步骤5.2，由步骤5.1得到更新后的基输入
Figure 236629DEST_PATH_IMAGE048
，对推力方向角优化思路与步骤5.1类似。
首先根据基输入计算近似值函数
Figure 136058DEST_PATH_IMAGE049
。推力方向角有d 2 种选择
Figure 244959DEST_PATH_IMAGE050
，分别以
Figure 482037DEST_PATH_IMAGE051
作为控制输入计算下一时刻的状态
Figure 334586DEST_PATH_IMAGE052
；分别以
Figure 603369DEST_PATH_IMAGE053
为初始状态计算近似值函数
Figure 883172DEST_PATH_IMAGE054
。
以
Figure 623857DEST_PATH_IMAGE055
为初始状态，计算
Figure 566185DEST_PATH_IMAGE056
步骤如下：
在控制空间内，随机生成R条推力方向角序列，推力大小由基输入
Figure 692403DEST_PATH_IMAGE057
确定，此时控制输入记为
Figure 408687DEST_PATH_IMAGE058
。根据
Figure 354777DEST_PATH_IMAGE059
，对任意
Figure 562511DEST_PATH_IMAGE053
计算近似值函数：
Figure 808816DEST_PATH_IMAGE060
，则
Figure 430421DEST_PATH_IMAGE061
，并记录此时对应的最优控制推力方向角。则近似最优值函数
Figure 860878DEST_PATH_IMAGE062
，更新此时对应的最优推力方向角序列
Figure 858921DEST_PATH_IMAGE063
至基输入
Figure 694153DEST_PATH_IMAGE064
，则此刻基输入更新为
Figure 500042DEST_PATH_IMAGE065
。算法思路如图3(b)所示。
步骤6，根据基输入对航天器施加当前时刻的最优控制
Figure 686303DEST_PATH_IMAGE066
，航天器在轨运行至下一采样时刻，进入步骤4。
在每一个采样时刻k, 都会对k,k+1,...., N 时刻的基输入进行一次优化，对航天器进行控制的时候施加当前时刻的最优控制
Figure 222458DEST_PATH_IMAGE067
； 其余
Figure 177776DEST_PATH_IMAGE068
、
Figure 403833DEST_PATH_IMAGE069
作为k+1时刻的基输入，进入步骤4判断，判断到达目标位置则结束流程；判断未达到目标位置则进入步骤5，对基输入进行迭代更新。
本发明实施例具体如下：使用Matlab 2021a开展仿真实验，建立离散时间归一化小推力航天器轨道动力学模型。以燃料最优为控制目标，建立最优控制问题，选取推力大小和方向角输入离散数量d 1 =11，d 2 =13，即小推力发动机可能的输入集为：
Figure 77391DEST_PATH_IMAGE070
、
Figure 433548DEST_PATH_IMAGE072
，待优化的瞬时代价函数加权系数为
Figure 240443DEST_PATH_IMAGE073
。初始化各项参数如下：太阳引力参数
Figure 640331DEST_PATH_IMAGE074
，地球公转轨道半径
Figure 270027DEST_PATH_IMAGE075
，火星公转轨道半径
Figure 679143DEST_PATH_IMAGE076
，航天器初始质量m（t 0 ）=1000kg，发动机比冲I sp =1000s，最大推力T max =0.5N，归一化后的地球公转轨道半径R E =1，火星公转轨道半径R M =1.52，航天器初始质量m（t 0 ）=1。采样时间△t =5.81324(days)，总采样次数N=60，初始化基输入
Figure 356855DEST_PATH_IMAGE077
。
在任意时刻，航天器的实际位置为x k ,k=0,1,…，60，若未到达目标轨道，则根据基于值函数近似的动态规划算法，计算当前时刻的最优控制输入
Figure 927645DEST_PATH_IMAGE078
，其中随机生成控制的序列R=100条。对航天器施加控制，航天器由于受到扰动，设航天器受到的扰动为均值为0，协方差为Q=0.01的高斯白噪声，那么在下一时刻航天器实际到达的位置为x k+1 ，如果航天器轨道转移在规定时间t N 内完成，那么剩下时间的控制输入变为0。仿真结果如图4-9所示。
由图4和图5可以得知，在受到噪声干扰的情况下，航天器仍然可以在规定时间内到达轨道转移的目标轨道，实现了对小推力航天器轨道转移的实时控制；由图6可知，在航天器到达目标轨道的前提下，基于值函数近似的动态规划方法对航天器燃料消耗具有一定的优化效果；由图7可知，在航天器到达目标轨道的前提下，航天器的切向速度和径向速度满足轨道转移最优控制问题的边界条件和过程约束；图8和图9表示航天器实现轨道转移时的最优控制，即最优推力大小和推力方向角。
最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (8)

1.一种燃料最优的连续小推力轨道转移方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，建立关于航天器状态变量xk与控制输入uk的离散时间归一化小推力航天器轨道动力学模型xk+1＝f(xk，uk)，具体为：定义
Figure FDA0003495607260000011
表示任意采样时刻tk＝k△t，k＝0,1,…N时的航天器的状态变量，其中，r和θ分别表示航天器在以地球为极坐标中心的轨道半径和绕中心天体飞过的路径角，vr和vt分别表示航天器速度的径向、切向分量，m表示航天器质量，△t表示采样时间，N表示总采样次数；控制输入包括航天器的推力大小T和推力方向角η，任意tk＝k△t，k＝0,1,…N时刻小推力航天器的控制输入记为
Figure FDA0003495607260000012
则离散时间归一化动力学模型可表示为：xk+1＝f(xk，uk)；
步骤2，结合实际需求，根据动力学模型建立轨道转移最优控制问题，包括各种约束条件及瞬时代价函数，并将控制输入离散化；
步骤3，确定采样时间△t和总采样次数N，初始化控制输入为基输入；
步骤4，根据实际测量数据，判断航天器是否已到达目标位置，是则结束，剩余控制输入为0，否则进入步骤5；
步骤5，定义关于瞬时代价函数的近似值函数，基于动力学模型、离散化的控制输入以及初始化参数，使用基于值函数近似的动态规划算法分别求解离散的各个单元内的近似值函数，比较并找到该近似值函数中的最优值以及其对应的最优推力大小序列和方向角序列，更新推力大小
Figure FDA0003495607260000013
和推力方向角
Figure FDA0003495607260000014
至基输入，具体为：
步骤5.1，对推力大小进行优化，包括：
步骤5.11，在当前时刻tk，根据基输入
Figure FDA0003495607260000021
计算近似值函数
Figure FDA0003495607260000022
步骤5.12，保持推力的方向角
Figure FDA0003495607260000023
不变，分别以离散化后的d1种推力大小作为控制输入
Figure FDA0003495607260000024
根据动力学模型f计算下一时刻的状态
Figure FDA0003495607260000025
分别以
Figure FDA0003495607260000026
作为初始状态计算近似值函数
Figure FDA0003495607260000027
步骤5.13，取步骤5.11和步骤5.12中近似值函数的最小值为近似最优值函数，并更新此时对应的最优控制推力大小序列
Figure FDA0003495607260000028
至基输入
Figure FDA0003495607260000029
步骤5.2，对推力方向角进行优化，包括：
步骤5.21，根据步骤5.13得到更新后的基输入
Figure FDA00034956072600000210
计算近似值函数
Figure FDA00034956072600000211
步骤5.22，保持推力大小
Figure FDA00034956072600000212
不变，分别以离散化后的d2种推力方向角作为控制输入
Figure FDA00034956072600000213
计算下一时刻的状态
Figure FDA00034956072600000214
分别以
Figure FDA00034956072600000215
作为初始状态计算近似值函数
Figure FDA00034956072600000216
步骤5.23，取步骤5.21和步骤5.22中近似值函数的最小值为近似最优值函数，并更新此时对应的最优推力方向角序列
Figure FDA00034956072600000217
至基输入
Figure FDA00034956072600000218
更新基输入为
Figure FDA00034956072600000219
步骤6，根据基输入对航天器施加当前时刻的最优控制
Figure FDA00034956072600000220
航天器在轨运行至下一采样时刻xk+1，进入步骤4。
2.根据权利要求1所述的燃料最优的连续小推力轨道转移方法，其特征在于，步骤2中，建立最优控制问题包括确定从当前轨道到目标轨道转移需满足的条件，包括边界条件，航天器状态、控制输入分别需要满足的过程约束、控制约束条件以及燃料最优问题的瞬时代价函数gk(xk,uk),k＝0,1,…,N。
3.根据权利要求2所述的燃料最优的连续小推力轨道转移方法，其特征在于，所述边界条件为初始状态为t0时刻当前公转轨道的轨道参数以及目标公转轨道的轨道参数。
4.根据权利要求3所述的燃料最优的连续小推力轨道转移方法，其特征在于，所述步骤2中将控制输入离散化具体为：将推力大小T在约束区间内均分为d1段，将推力的方向角在约束区间内均分为d2段。
5.根据权利要求4所述的燃料最优的连续小推力轨道转移方法，其特征在于，所述步骤3具体为：根据任务需求确定采样时间△t和总采样次数N；初始化控制输入为基输入
Figure FDA0003495607260000031
其中
Figure FDA0003495607260000032
分别表示N个采样时间上的推力大小和推力方向的集合。
6.根据权利要求5所述的燃料最优的连续小推力轨道转移方法，其特征在于，定义所述tk时刻的近似值函数为瞬时代价函数在k+1至总采样次数N内的求和函数，其中k＝0,1,…N。
7.根据权利要求1或6所述的燃料最优的连续小推力轨道转移方法，其特征在于，步骤5.12中计算近似值函数
Figure FDA0003495607260000033
步骤如下：
在控制空间内，随机生成R条推力大小序列，方向角由基输入
Figure FDA0003495607260000034
生成，控制输入记为
Figure FDA0003495607260000035
根据
Figure FDA0003495607260000036
对任意
Figure FDA0003495607260000037
计算
Figure FDA0003495607260000038
比较并选择其中的最小值作为近似值函数
Figure FDA0003495607260000039
并记录此时对应的控制推力的大小。
8.根据权利要求7所述的燃料最优的连续小推力轨道转移方法，其特征在于，步骤5.22中计算近似值函数
Figure FDA0003495607260000041
步骤如下：
在控制空间内，随机生成R条推力方向角序列，推力大小由基输入
Figure FDA0003495607260000042
确定，此时控制输入记为
Figure FDA0003495607260000043
根据
Figure FDA0003495607260000044
对任意
Figure FDA0003495607260000045
计算
Figure FDA0003495607260000046
比较并选择其中的最小值作为近似值函数
Figure FDA0003495607260000047
并记录此时对应的控制推力的方向角。
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