CN113947674A - 一种基于谱几何处理的三维网格模型风格化方法 - Google Patents

Abstract

一种基于谱几何处理的三维网格模型风格化方法，涉及三维模型处理。包括基于频域滤波的风格化方法和基于空间滤波的风格化方法。基于频域滤波的风格化方法：输入原模型，计算模型的MHB；在频域中，对模型进行滤波；输出风格化结果。基于空间滤波的风格化方法：输入网格模型，三角网格或四面体网格都可以作为输入，进行空间滤波；若三角网格没有自相交现象，先进行四面体剖分，再在四面体网格上实现空间滤波；若模型经过空间滤波后出现较大的噪声，则对模型进行3～5次拉普拉斯光顺，实现模型去噪；网格的输出。方法具有普适性，能使模型变得圆胖，并且基于空间滤波的风格化方法实现简单、耗时较短，基本可以达到实时。

Description

一种基于谱几何处理的三维网格模型风格化方法

技术领域

本发明涉及三维模型处理，尤其是涉及一种基于谱几何处理的三维网格模型风格化方法。

背景技术

三维网格模型的风格化即对三维模型进行处理，使它们发生形变，生成具有特定风格并保有原模型细节的新模型。改变网格的形状是对网格进行的基本操作之一，基于表面编辑的网格变形是其中最常用的方法；基于频谱的方法可以被用于实现网格变形。

基于流形调和基(Manifold Harmonics Basis，MHB)的谱几何处理方法是一个非常经典的算法([1]Bruno Vallet and Bruno Lévy.Spectral geometry processing withmanifold harmonics.Computer Graphics Forum,vol.27.2008,251–260.)，该方法能够将网格模型从三维空间域转换到频域，用一组MHB对网格模型进行表示，将三维几何信息当做信号来处理。利用频谱信息对三维几何进行处理，在频域中对MHB进行滤波，实现网格光顺、网格水印、网格压缩等方法。

基于流形调和基的谱几何处理方法具有耗时长、基函数过多等缺点。对于具有较多细节的模型，一般要计算1000个以上MHB，才能对模型进行比较准确的表示，计算MHB的耗时达到一个小时以上，效率非常低。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于谱几何处理的三维网格模型风格化方法。利用信号的低频分量和高频分量在三维空间域的含义，设计基于频域滤波的风格化方法和基于空间滤波的风格化方法，两种方法都具有普适性，能使模型变得圆胖，并且基于空间滤波的风格化方法实现简单、耗时较短，基本可以做到实时。

本发明所述一种基于谱几何处理的三维网格模型风格化方法，包括基于频域滤波的风格化方法和基于空间滤波的风格化方法。

基于频域滤波的风格化方法，包括以下步骤：

1)输入原模型，计算模型的MHB；

2)在频域中，对模型进行滤波；

3)输出风格化结果。

在步骤1)中，由于在曲面上，拉普拉斯算子Δ的特征值λ_k和特征向量H^k满足-ΔH^k＝λ_kH^k。但是离散拉普拉斯矩阵不是对称矩阵，其特征向量不是互相正交的，不适合作为函数基。为此，引入有限元法，建立有限元方程，求解特征值和特征向量，这样得到的函数基具有正交性，可以作为类傅里叶函数的函数基。有限元方程的解被称为MHB。原模型可以被表示成MHB的分量的线性组合，MHB的系数就是模型在频域中的坐标。根据MHB，得到模型从三维空间域转换到频域的流形调和变换，以及从频域转换到三维空间域的逆流形调和变换。

在步骤2)中，通过滤波函数，对MHB的低频分量进行放大，从而增强模型的大尺度信息，同时，高频分量也要进行适当放大，以避免大尺度信息的增强对细节的影响。使用的滤波函数是余弦函数。滤波函数改变MHB的系数，即模型在频域的坐标，通过逆流形调和变换，模型从频域转换到三维空间域。由于MHB的分量得到增强，模型体积增加、变得圆胖。

在步骤3)中，确定滤波后的顶点坐标和原模型的顶点间的连接关系，输出滤波后的网格模型。

基于空间滤波的风格化方法可以在三角网格或四面体网格上实现，包括以下步骤：

1)网格的输入：输入网格模型，三角网格或四面体网格都可以作为输入，进行步骤3)空间滤波；若三角网格没有自相交现象，转步骤2)，先进行四面体剖分，再在四面体网格上实现步骤3)空间滤波；

2)四面体剖分：基于Delaunay三角化，实现三角网格的四面体化，生成四面体网格；

3)空间滤波：计算网格模型在拉普拉斯光顺前后的坐标差值，给差值信息乘以特征增强参数，并增加到原模型的顶点坐标上；

4)去噪：若模型经过空间滤波后出现较大的噪声，则对模型进行3～5次拉普拉斯光顺，实现模型去噪；

5)网格的输出。

本发明基于谱几何处理的三维网格模型风格化方法，生成具有圆胖风格的新模型，涉及网格变形及三维模型风格化领域。方法一是基于频域滤波的风格化方法，计算模型的函数基，将模型从三维空间域转换到频域，在频域中对模型进行滤波操作，同时增强模型的低频分量和高频分量，从而使网格模型发生形变。方法二是基于空间滤波的风格化方法，计算模型在拉普拉斯光顺前后的顶点坐标差值，乘以一个参数，并增加到原模型的顶点坐标上。本发明利用信号的低频分量和高频分量在三维空间域的含义，设计基于频域滤波的风格化方法和基于空间滤波的风格化方法，两种方法都具有普适性，能使模型变得圆胖，并且基于空间滤波的风格化方法实现简单、耗时较短，基本可以做到实时。

附图说明

图1为基于频域滤波的风格化的滤波函数图像。

图2为基于频域滤波的风格化的结果。其中，(a)：原模型；(b)：使用MHB对模型进行重建的结果；(c)：基于频域滤波的风格化结果。

图3为对三角网格进行四面体剖分后，四面体网格的剖面图。

图4为基于空间滤波的风格化的结果图。其中，(a)：原模型；(b)：四面体网格上基于空间滤波的风格化方法，未经去噪的中间结果；(c)：四面体网格上基于空间滤波的风格化结果。

图5为基于频域滤波的风格化方法结果对比图。每行分别为原模型、风格化结果。

图6为基于空间滤波的风格化方法结果对比图。每行分别为三角网格上的基于空间滤波的风格化结果、四面体网格上的基于空间滤波的风格化结果、使用归一化方法的四面体网格上的基于空间滤波的风格化结果。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下实施例将结合附图对本发明作进一步的说明。

①基于频域滤波的风格化方法

该方法的输入是一个三维网格模型，如图2(a)。

在曲面上，拉普拉斯算子Δ的特征值λ_k和特征向量H^k满足-ΔH^k＝λ_kH^k，适用于用来定义类傅里叶函数的函数基。但是，离散拉普拉斯矩阵不是对称矩阵，其特征向量不是互相正交的，不适合作为函数基。为解决这一问题，创建有限元方程-Qh^k＝λDh^k，其中，Q是刚度矩阵，D是集中质量矩阵，λ表示特征值，h^k表示向量

因为有限元法建立在希尔伯特空间理论上，有限元方程保证网格的独立性和函数基的正交性。建立有限元方程后，求解得到特征值和特征向量，该方程的解就是MHB。这一组特征向量必然是正交的，可以作为基函数，通过线性组合对模型进行表示。

将模型的顶点坐标从三维空间域转换到频域，即用MHB表示顶点坐标(x,y,z)，被称为流形调和变换(Manifold Harmonics Transform，MHT)。在频域上用MHB对模型进行表示，频域坐标分别为：

将顶点坐标从频域转换到三维空间域，被称为逆流形调和变换(InverseManifold Harmonics Transform，IMHT)。

模型的顶点坐标在三维空间域是n个三维向量，在频域是m个三维向量。用500个MHB对模型进行重建，重建结果如图2(b)。

在三维空间域，信号的低频分量对应着较小的特征值，函数基的变化比较平滑而缓慢，即梯度较小。低频分量在三维模型中描述的是模型的整体姿态，即大尺度信息。而信号的高频分量对应着较大的特征值，相应的区域通常显示为急剧震荡，即梯度较大，它在三维模型中描述表面的几何特征。通过滤波函数在频域中对低频分量进行放大，同时，高频分量也要进行适当放大。对低频分量进行放大，可以增强模型的大尺度信息，使模型体积增加、更加圆胖；对高频分量进行放大，可以避免大尺度信息的增强对细节的影响。

用余弦函数对网格在频域中进行滤波。在计算网格模型的流形调和基时，最小的特征值λ₀无限接近于0，相应的特征向量表示网格的大尺度信息，最大的特征值λ_m所对应的特征向量表示网格的细节。在数值上，取

为一个周期T，将流形调和基的特征值所对应的频率分为一个低频区和一个高频区，并分别对每个分区的频率使用余弦函数进行滤波。滤波函数形如：

其中，参数a是频率分量增强系数，在实验中，一般取0.5～1。滤波函数的图像如图1，余弦函数的波峰分别对应着需要增强的网格模型的低频分量和高频分量，波谷对应着不需增强的中频分量，这样的滤波函数实现简单，并能够有效对网格进行风格化。

在曲面上，频率ω_k与特征值λ_k的关系满足

对频率进行滤波，滤波后，顶点在三维空间域的坐标为：

根据原模型的顶点间的连接关系，以及滤波后的顶点坐标，输出网格模型，基于频域滤波的风格化结果如图2(c)。

基于频域滤波的风格化方法具有很好的普适性，能够实现网格模型的圆胖风格化。

图5给出基于频域滤波的风格化方法结果对比图。每行分别为原模型、风格化结果。

②基于空间滤波的风格化方法

该方法的输入是一个三维网格模型，可以是一个三角网格，也可以是一个四面体网格，如图4(a)。若有需要，可以通过TetGen对三角网格进行四面体剖分([2]Si,Hang.TetGen,aDelaunay-based quality tetrahedral mesh generator[J].AcmTransactions on Mathematical Software.2015.41(2):1-36)，对三角网格进行四面体剖分后的结果如图3所示。

TetGen是一个常用的四面体网格生成工具，它结合经典的边界约束方法和Delaunay四面体剖分算法，能够生成质量优良、自适应的四面体网格。给定一个三维分段线性复形X，TetGen的实际输入是X的表面三角形网格，即对其边界三角化后的二维单纯复形。

四面体网格的生成可分为三个子步骤：

1、Delaunay四面体化。这一步仅考虑X的顶点。

2、生成约束网格。约束是X的表面三角形网格的边和三角面片。基于上一步Delaunay四面体化的结果，网格的边和面片或被完全保留，或被进一步细分。

3、生成优质网格。该步骤被分为两个子阶段。首先，通过插入新的顶点来改进步骤2中构造的四面体网格；其次，采用局部网格优化方案，进一步提高网格质量。在这一步，用户将会设置一组网格质量参数，根据用户的选择，网格的边和面片可以保持不变或进一步细分，以获得质量更好的网格。

接下来对网格模型M＝(V,F)进行空间滤波，空间滤波分为以下两个子步骤：

1、在网格上进行拉普拉斯光顺，得到光顺后的网格模型M＝(U,F)。

三角网格上的拉普拉斯光顺是基于拉普拉斯表面编辑([3]O.Sorkine,D.Cohen-Or,Y.Lipman,M.Alexa,C.

H.Seidel.Laplacian surface editing[C].EurographicsSymposium on Geometry Processing.2004,175–184)。对于网格模型M＝(V,F)，在网格上构造差分集Δ＝{δ_i}。δ_i表示顶点坐标与其邻居点坐标的平均值之差，即

其中，N(i)是顶点i的邻居点的集合。

为描述从网格顶点坐标V到差分集Δ之间的变化，引入矩阵L＝I-D^-1A，其中，D是度矩阵，A是邻接矩阵。此时有Δ＝LV。由于在计算中求逆矩阵的代价较大，常用矩阵L_S代替，记L_S＝DL＝D-A，将Δ＝LV转化为DΔ＝(D-A)V＝L_SV，L_S也常被称为网格的拓扑拉普拉斯矩阵。通过(I-λL_S)U＝V，可以对光顺后的顶点坐标U进行求解。

四面体网格上的拉普拉斯光顺与三角网格上的拉普拉斯光顺相似。在光顺过程中，通过四面体网格的边信息构建邻接矩阵A和度矩阵D，其他步骤跟三角网格上的拉普拉斯光顺基本相同。

2、计算网格光顺前后的坐标差值V-U。一般来说，可以在坐标差值上乘以特征增强参数k，将细节信息增强后，再增加到原模型顶点上，即顶点坐标V'＝V+k·(V-U)。

除这种方法以外，也可以对网格光顺前后的坐标差值进行归一化，令

其中

是网格的平均边长。然后计算特征增强后的顶点坐标V'，即v′_i＝v_i+k·d_i。

对网格模型进行空间滤波后，一个三角面片的相对位置可能发生变化，引入噪声，出现表面粗糙、细节增强过大等缺点，影响模型的美观度，如图4(b)。此时可以对结果做3～5次拉普拉斯光顺，用以改善风格化结果的效果，如图4(c)。

图6为基于空间滤波的风格化方法结果对比图。每行分别为三角网格上的基于空间滤波的风格化结果、四面体网格上的基于空间滤波的风格化结果、使用归一化方法的四面体网格上的基于空间滤波的风格化结果。基于空间滤波的风格化方法实现简单、耗时较短，能够实现网格模型的圆胖风格化。

Claims (7)

1.一种基于谱几何处理的三维网格模型风格化方法，其特征在于利用信号的低频分量和高频分量在三维空间域的含义，设计三维网格模型风格化方法，包括基于频域滤波的风格化方法和基于空间滤波的风格化方法。

2.如权利要求1所述基于频域滤波的风格化方法，其特征在于包括以下步骤：

1)输入原模型，计算模型的MHB；

2)在频域中，对模型进行滤波；

3)输出风格化结果。

3.如权利要求2所述基于频域滤波的风格化方法，其特征在于在步骤1)中，所述计算模型的MHB的具体方法为：在曲面上，拉普拉斯算子Δ的特征值λ_k和特征向量H^k满足-ΔH^k＝λ_kH^k，而离散拉普拉斯矩阵不是对称矩阵，引入有限元法，建立有限元方程，求解特征值和特征向量，所得函数基具有正交性，作为类傅里叶函数的函数基，有限元方程的解为MHB；原模型被表示成MHB的分量的线性组合，MHB的系数为模型在频域中的坐标；根据MHB，得到模型从三维空间域转换到频域的流形调和变换，以及从频域转换到三维空间域的逆流形调和变换。

4.如权利要求2所述基于频域滤波的风格化方法，其特征在于在步骤2)中，所述对模型进行滤波，是通过滤波函数对MHB的低频分量进行放大，以增强模型的大尺度信息，同时放大高频分量，以避免大尺度信息的增强对细节的影响。

5.如权利要求4所述基于频域滤波的风格化方法，其特征在于所述滤波函数是余弦函数，滤波函数改变MHB的系数，即模型在频域的坐标，通过逆流形调和变换，模型从频域转换到三维空间域，由于MHB的分量得到增强，模型体积增加、变得圆胖。

6.如权利要求2所述基于频域滤波的风格化方法，其特征在于在步骤3)中，所述输出风格化结果的具体步骤为：确定滤波后的顶点坐标和原模型的顶点间的连接关系，输出滤波后的网格模型。

7.如权利要求2所述基于频域滤波的风格化方法，其特征在于包括以下步骤：

1)网格的输入：输入网格模型，三角网格或四面体网格都可以作为输入，进行步骤3)空间滤波；若三角网格没有自相交现象，转步骤2)，先进行四面体剖分，再在四面体网格上实现步骤3)空间滤波；

2)四面体剖分：基于Delaunay三角化，实现三角网格的四面体化，生成四面体网格；

3)空间滤波：计算网格模型在拉普拉斯光顺前后的坐标差值，给差值信息乘以特征增强参数，并增加到原模型的顶点坐标上；

4)去噪：若模型经过空间滤波后出现较大的噪声，则对模型进行3～5次拉普拉斯光顺，实现模型去噪；

5)网格的输出。

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