CN102054296A - 一种局部刚性网格变形方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于计算机图形学数字几何处理领域，特别涉及一种基于局部刚性原则来进行三维网格模型变形编辑的方法。目的在于提供一种具有良好变形效果与较好变形交互速度的变形编辑方法，对模型进行重用。方法中采用网格分割和流形调和变换来提高局部刚性变形编辑速度，网格分割将三维模型分割为几个部分，之后针对需要变形的部分作变形处理，再将几个部分进行拼接，大大加快变形速度，同时可以避免连接处的扭曲情况；流形调和变换可以使对应变形的线性方程组的维数大大降低，结果的可控性更高。

Description

一种局部刚性网格变形方法

技术领域

本发明属于计算机图形学数字几何处理领域，特别涉及一种基于局部刚性原则来进行三维网格模型变形编辑的方法。通过高效的模型变形编辑技术达到模型的重用目的，在几何造型、计算机动画、影视游戏、虚拟现实等计算机图形学应用领域具有重要的应用价值。

背景技术

随着计算机图形学技术在计算机动画、影视游戏等领域的深入的应用，三维模型的应用越来越广泛，依赖于激光扫描和数码摄像等信息获取技术的进步，从现实世界快速获取三维几何数据已变得非常容易，用户可以由获取的高精度数据重建出复杂的几何模型，通过进一步处理以重用已有几何模型，提高几何设计效率。而三维模型重用的核心在于模型变形编辑技术，并且变形编辑技术在动画制作、虚拟现实等领域也有很高的应用价值。

目前变形编辑研究较多的两个类别是：自由变形技术(也称空间变形技术)和基于曲面变形技术。其中一类称为基于Cage的自由变形技术：所述的Cage本质是得到变形网格模型的一个粗糙近似的多边形网格模型，将Cage作为控制对象来间接对原始模型变形，这类方法是利用Cage顶点信息来插值计算变形后的模型顶点坐标。自由变形方法的特点是计算速度快，控制模型与变形效果有很大关系，但控制模型对于一般用户来说较难创建，对用户的要求较高。而基于曲面的变形方法往往只要求设置一些操纵点，然后模型的其余顶点随着操纵点的操作而变化，这与自由变形方法相比，对用户而言带来极大的方便，最经典的两类曲面的变形方法是多分辨率变形方法和基于微分坐标变形方法。多分辨率编辑方法通过在低分辨率模型上进行变形然后添加回细节信息的方式来对模型进行变形编辑，在大尺度的变形下仍然有问题，如自交现象，而且如果编辑几何和拓扑复杂的模型，为得到好的几何细节变形效果，需要设置更复杂的多分辨率层级；基于微分坐标的变形方法是一类将模型的空间坐标表示转化为微分属性表示形式，再在微分域上进行编辑变形操作，最后才又重构回变形后的模型，其核心思想是基于微分属性的不变性用非。在要求大尺度的旋转和平移变形的情况下，上面所述的基于微分坐标表示的线性方法不能实现良好的变形效果，都会出现自交或扭曲现象。

目前对三维模型的变形方法研究主要集中在上述线性方法上，并且是将三维模型作为一个整体进行变形处理。线性方法会导致局部非刚性的结果，而将三维模型作为整体进行变形会导致变形速度慢，出现局部扭曲。

发明内容

本发明的目的在于提供一种具有良好变形交互速度与变形效果的局部刚性网格变形编辑方法，提高局部刚性非线性变形方法的速度并达到模型重用目的。

本发明的基本构思是利用网格分割和流形调和变换来提高局部刚性变形编辑速度。网格分割可以将三维模型分割为几个部分，每个部分均为凸集，之后针对需要变形的部分作变形处理，最后再将几个部分进行拼接，这样可以加快变形速度，还可以避免连接处的扭曲情况；流形调和变换就是在流形网格(只有凸集才是流形网格)上作傅立叶变换，对需要变形的部分(经过网格分割得到的凸集)进行变换，可以使对应变形的线性方程组的维数大大降低，结果的可控性更高。所述方法具体通过下列步骤实现：

步骤一，采用全局点特征的网格分割方法对读取的网格模型进行网格分割：

(1)网格模型的每一个顶点v_i的GPS(Global Point Signature)即全局点特征表示为：

$\mathrm{GPS}\left(v_i\right)=(\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}{H}_i^1,\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}{H}_i^2,...,\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_k}}{H}_i^k,...)$

其中λ_k为特征值，

为对应的在顶点v_i上的特征向量H^k值

(2)在网格模型的顶点v_i中选择K个顶点作为初始的类中心m_j；

(3)遍历网格模型所有顶点v_i，将其分配到距离其最近的类中心m_j；

(4)计算新的类中心m_j，以及误差值E；

(5)循环执行该步骤中的(3)，(4)直至最近两次迭代的误差值E之差的绝对值小于给定的阈值，

其中

x_j∈w_j表示被分配到类别j的样本顶点；类别j代表K个类别部分中的某一个类别；

步骤二，对分割后的网格模型分块采用流形调和变换：

(1)使用网格模型的拉普拉斯算子建立拉普拉斯矩阵，该矩阵表示的是基于待变形网格模型的离散线性算子，矩阵的每个元素是表征待变换的网格模型点对间的关系，所述关系或只是拓扑连接或是即有拓扑信息也有几何信息；

(2)对该步骤(1)得到的矩阵进行特征分解，得到特征值和特征向量，所得到的特征值与特征向量对(H^k，λ_k)即为流形调和基；

(3)将定义在笛卡尔坐标系下的函数投影到流形调和基上，完成流形调和变换；

步骤三，进行局部刚性变形：

(1)利用流形调和基作用于待变形网格模型的拉普拉斯矩阵，得到最终的要求解的式子

(式1)，其中H_M＝[H¹，...，H^K]表示为n×k大小的矩阵，为特征向量矩阵，n为变形区域顶点数，b为流形调和基下的顶点坐标，k为流形调和基数目，其中

为(n+m)×k大小的矩阵，m为约束点数目，从第n+1行开始后的m行，每一行元素值为k个流形调和基在对应该行的约束点上的值；

(2)利用拉普拉斯变形方法，计算待变形网格模型变形后的顶点位置初始值V′₀；

(3)在V′₀已知的情况下，利用

计算对应每个顶点的局部旋转R_i，其中w_ij为

和β_i，j是与边ij相对的两个夹角；

(4)利用该步骤中的(3)得到的R_i值更新(式1)中的b值，然后求解(式1)得到新的顶点位置值V′₁；

(5)将V′₁代替V′₀，重复该步骤中的(3)、(4)直至前后两次迭代计算的误差I小于给定的阈值，

其中

V′_j是V′₁的一邻接点，ω_ij为

步骤四，采用变形迁移，得到变形结果：

(1)建立源网格模型和目标网格模型之间的对应关系；

(2)计算由源网格模型的变形导致的变换；

(3)将该步骤(2)中得到的变换通过对应关系映射到目标网格模型，即产生了目标网格模型的变形结果。

步骤二中对分割后的网格模型分块采用流形调和变换过程中，根据精度的要求调整流形调和基的个数。

本发明针对三维模型变形方法中普通拉普拉斯方法不具备旋转不变性的缺点、多分辨率层级设置的复杂性和流形调和基缺乏表达局部特征能力的缺点，分别采用了局部刚性变形方法、流形调和变换方法和网格分割方法，即将流形调和变换和网格分割结合到基于局部刚性的变形方法中，从而既保证了局部细节特征，又大大提高了局部刚性非线性变形方法的速度。

附图说明

图1为实施例的网格分割效果图；

图2为本发明另一实施例中流形调和变换重构结果，其中(a)为原始模型，(b)为流形调和后模型；

图3为本发明又一实施例中局部刚性变形效果图，其中(a)为原始模型，(b)为变形后的模型。

以下结合实施例与附图对本发明作进一步说明。

具体实施方式

以下是发明人给出的一个具体实施例：

该实施例具体通过下列步骤来进行：

步骤一，采用全局点特征的网格分割方法对读取的网格模型进行自动或手动网格分割：

(1)对于网格模型的每一个顶点v_i的GPS(Global Point Signature)即全局点特征表示为：

$\mathrm{GPS}\left(v_i\right)=(\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_1}}{H}_i^1,\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_2}}{H}_i^2,...,\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\λ}}_k}}{H}_i^k,...)$

其中λ_k为特征值，

为对应的在顶点v_i上的特征向量H^k值

(2)在网格模型的顶点v_i中选择K个顶点作为初始的类中心m_j；

(3)遍历网格模型所有顶点v_i，将其分配到与其最近的类中心m_j；

(4)计算新的类中心m_j，以及误差值E；

(5)循环执行该步骤中的(3)，(4)直至最近两次迭代的误差值E之差的绝对值小于给定的阈值，

其中

x_j∈w_j表示被分配到类别j的样本顶点，将三维模型分割为K个类别部分，每个部分有若干个顶点，类别j就是分割后的第j个类别部分，即类别j代表K个类别部分中的某一个类别；分割的过程就是取得哪些顶点属于这个部分；使用上述算法实现对网格模型分割的效果如图1所示；

步骤二，对分割后的网格模型分块采用流形调和变换：

(1)建立一个拉普拉斯矩阵，该矩阵表示的是基于待变形网格模型的一个离散线性算子，矩阵的每个元素是表征待变换的网格模型点对间的关系，该关系或只是拓扑连接或是即有拓扑连接又有几何信息，该过程使用了网格模型的拉普拉斯算子，定义在待变形的网格模型即流形曲面S上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值和特征向量满足：-ΔH^k＝λ_kH^k，其中(H^k，λ_k)是一对特征向量和特征值；

(2)对该步骤(1)得到的矩阵进行特征分解，得到特征值和特征向量，所得到的特征值与特征向量对(H^k，λ_k)即为流形调和基，将-ΔH^k＝λ_kH^k以矩阵形式表示是：-Qh^k＝λBh^k，

其中

和β_i，j是与边ij相对的两个夹角，t和t′是共享ij的两个三角形，|t|，|t′|分别是它们的面积，St(i)表示索引顶点i的所有三角形；

(3)将定义在笛卡尔坐标系下的函数投影到流形调和基上，完成流形调和变换，本实施例中流形调和变换是在流形上的傅立叶变换，H^k为流形调和基即新坐标系，将网格模型的坐标变为流形基下的坐标：

${\tilde{x}}_k=<x,H^k>=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i{D}_{\mathrm{ii}}{H}_i^k$

在变换过程中，可以根据精度的要求调整流形调和基的个数，即H^k的个数，调和基的个数越多，变换后模型的精度越高。

步骤三，进行局部刚性变形：

(1)首先对感兴趣的分割变形区域即待变形网格区域，利用流形调和基作用于待变形网格区域的拉普拉斯矩阵，得到最终的要求解的式子

(式1)，其中H_M＝[H¹，...，H^K]表示为n×k大小的矩阵，为特征向量矩阵，n为变形区域顶点数，，b为流形调和基下的顶点坐标，k为流形调和基数目，其中为(n+m)×k大小的矩阵，m为约束点数目，从第n+1行开始后的m行，每一行元素值为k个流形调和基在对应该行的约束点上的值；

(2)利用拉普拉斯变形方法，计算待变形网格模型变形后的顶点位置初始值V′₀；

(3)在V′₀已知的情况下，然后利用式子

来计算对应每个顶点的局部旋转R_i，其中w_ij为

和β_i，j是与边ij相对的两个夹角；

(4)利用该步骤中的(3)得到的R_i值更新(式1)右边的b值，然后求解(式1)，得到新的顶点位置值V′₁；

(5)将V′₁代替V′₀，重复该步骤中的(3)、(4)直至前后两次迭代计算的误差I小于给定的阈值，

其中

V′_j是V′₁的一邻接点，ω_ij为

步骤四，采用变形迁移，得到变形结果：

步骤三是将变形操作作用在利用K个流形基重构得到的光顺模型上，该步骤的目的是将步骤三的结果作用在原始网格模型上。

(1)利用待变形的网格模型即源网格模型与变形后模型即目标网格模型之间顶点个数相同、顶点的对应关系，建立源网格模型和目标网格模型之间的对应关系，本实施例中计算光顺模型的变形梯度S_j：

S_j＝(p′₁-p′₃，p′₂-p′₃，n′)·(p₁-p₃，p₂-p₃，n)^-1

其中p_i，p′_i以及n，n′分别是源网格模型和目标网格模型的三角形面片的顶点坐标以及法向量；

(2)计算由源网格模型的变形导致的变换，本实施例中使用奇异值分解仅提取S_j的旋转部分；

(3)将变换通过对应关系映射到目标网格模型，本实施例中使用

的到变形网格的最终解，其中G是网格模型的三角形面片的梯度，D是一个对角阵，对角元素是三角形的面积。

图2为本发明另一实施例中流形调和变换重构结果，其中(a)为原始模型，(b)为流形调和后模型，是使用100个流形调和基将原始模型变换以后的结果，基本可以表示出原始模型，如需要提高精度，可以增加流形调和基的数量。

图3为本发明又一实施例中局部刚性变形效果图，其中(a)为原始模型，(b)为变形后的模型。

Claims (2)

1.一种局部刚性网格变形方法，其特征在于，所述方法通过下列步骤进行：

步骤一，采用全局点特征的网格分割方法对读取的网格模型进行网格分割：

（1）网格模型的每一个顶点                                                的全局点特征GPS表示为：

其中

为特征值，

为对应的在顶点上的特征向量

值

（2）在网格模型的顶点

中选择K个顶点作为初始的类中心

；

（3）遍历网格模型所有顶点

，将其分配到最近的类中心

；

（4）计算新的类中心

，以及误差值E；

（5）循环执行该步骤中的（3），（4）直至最近两次迭代的误差值E之差的绝对值小于给定的阈值，

其中

，

表示被分配到类别j的样本顶点；类别j代表K个类别部分中的某一个类别；

步骤二，对分割后的网格模型分块采用流形调和变换：

（1）使用网格模型的拉普拉斯算子建立拉普拉斯矩阵，该矩阵表示的是基于待变形网格模型的离散线性算子，矩阵的每个元素是表征待变形网格模型点对间的关系，所述关系或只是拓扑连接或是即有拓扑信息也有几何信息；

（2）对该步骤（1）得到的矩阵进行特征分解，得到特征值和特征向量，所得到的特征值与特征向量对

即为流形调和基；

（3）将定义在笛卡尔坐标系下的函数投影到流形调和基上，完成流形调和变换；

步骤三，进行局部刚性变形：

（1）利用流形调和基作用于待变形网格模型的拉普拉斯矩阵，得到最终的要求解的式子

（式1），其中：

表示为

大小的矩阵，为特征向量矩阵，n为变形区域顶点数，b为流形调和基下的顶点坐标，k为流形调和基数目，其中，

为大小的矩阵，m为约束点数目，从第n+1行开始后的m行，每一行元素值为k个流形调和基在对应该行的约束点上的值；

（2）利用拉普拉斯变形方法，计算待变形网格模型变形后的顶点位置初始值

；

（3）在

已知的情况下，利用

、

计算对应每个顶点的局部旋转

，其中为

，

和

是与边ij相对的两个夹角；

（4）利用该步骤中的（3）得到的

值更新（式1）中的b值，然后求解（式1）得到新的顶点位置值

；

（5）将

代替

，重复该步骤中的（3）、（4）直至前后两次迭代计算的误差小于给定的阈值，

其中，是

的一邻接点，

为

；

步骤四，采用变形迁移，得到变形结果：

（1）建立源网格模型和目标网格模型之间的对应关系；

（2）计算由源网格模型的变形导致的变换； 

（3）将该步骤（2）中得到的变换通过对应关系映射到目标网格模型，即产生了目标网格模型的变形结果。

2.如权利要求1所述的局部刚性网格变形方法，其特征在于，步骤二中对分割后的网格模型分块采用流形调和变换过程中，根据精度的要求调整流形调和基的个数。

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