CN113822540B - 多产品脉动装配线建模与性能评估方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提出了一种多产品脉动装配线建模与性能评估方法，涉及生产系统建模与性能评估领域。针对多产品脉动装配线，提出缓冲分割策略，并提供两工位脉动装配线性能评估的精确解析方法和多工位脉动装配线性能评估的聚合方法，用于评估脉动装配线的生产率和在制品水平等性能指标。具体地，针对考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，分析系统状态空间，通过提取系统状态之间相互转化的关系方程，基于马尔可夫过程建立解析模型，求解获得系统性能指标；针对考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线，提出性能评估的聚合方法以求解系统性能指标，并通过仿真实验验证了方法的正确性和有效性。
Description
技术领域
本发明涉及生产系统的建模与性能评估领域。
背景技术
生产系统性能评估旨在利用数学模型研究客观生产系统的基本性质和运行规律，并利用这些性质和规律对生产系统进行性能分析、持续改进和精益设计，其研究难点主要来自于机器的不可靠性和缓冲区容量的有限性。机器故障可能使上游机器因机器间缓冲无剩余空间而产生阻塞，同时使下游机器因无零件加工而产生饥饿，从而影响生产系统正常运行。机器故障使得系统具有随机性，机器间的缓冲使系统中各机器之间具有相依性。随机性和相依性两者相耦合使得生产系统内部各个组成部分之间的影响演化为非线性关系，在数学上可以归类为非线性随机系统。而机器间的缓冲能够降低系统发生饥饿、阻塞的频率，减少生产线的效率损失。
解析和仿真是生产系统工程中两种重要的性能评估方法。解析方法面向同一类问题，不仅能够快速地提供较为一致的解决方案，而且能够深入地揭示生产系统运作机理，但是一般只能分析较为简单的生产单元；仿真方法无法提供通用的解决方案，但能够考虑生产扰动等更多实际因素，并能够对现实中常见的更为复杂的生产系统进行模拟仿真与分析。
脉动装配线同时生产多种产品时，通过在每个装配工位内快速切换工艺设备来实现不同产品之间转换，这些产品共同占用工位间缓冲区以满足下游工位的生产需求。因此，工位间缓冲区的有限容量能否合理利用将直接关系到脉动装配线的效能，因此，考虑缓冲分割的的脉动装配线建模与性能评估，是进行脉动装配线分析的重要手段。
发明内容
要解决的技术问题
对于考虑缓冲分割策略的脉动装配线进行建模与性能评估，存在以下三个问题：
1、如何构建考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型；
2、如何求解考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型；
3、如何评估考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线性能。
技术方案
面对上述3个问题，本发明提出一种多产品脉动装配线建模与性能评估方法，针对多产品脉动装配线，提出根据产品类型对缓冲区进行划分的缓冲分割策略，综合利用解析和仿真方法分析缓冲分割策略对脉动装配线性能的影响，以最大限度地降低系统的产能损失，对揭示产线高效产出的运作机理、丰富生产与运作控制手段、提升生产效能等具有重要的支撑作用和研究应用价值。本发明分析思路与方法不仅为生产过程控制提供科学的客观的决策依据，而且为脉动装配线性能提升提供可操作的研究框架。
具体的，对于构建模型问题，本发明提出缓冲分割策略，针对考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，分析系统状态空间，通过提取系统状态之间相互转化的关系方程，并基于马尔可夫过程建立解析模型。
对于求解模型问题，本发明建立考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线的性能指标评估体系，提出性能指标的求解方法，并通过对比实验验证解析模型的有效性和准确性。
对于评估性能问题，本发明针对考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线，提出性能评估的聚合方法，评估脉动装配线的生产率和在制品水平等性能指标，并通过与仿真模型进行对比验证方法的有效性。
下面给出本发明的具体步骤：
步骤1：确定脉动装配线的结构布局和相关参数；
步骤2：针对考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，建立状态转移方程，构建解析模型；
步骤3：通过求解两工位脉动装配线的状态转移方程，获得系统稳态概率分布，计算生产率、在制品水平、阻塞率和饥饿率等系统性能指标；
步骤4：以两工位脉动装配线的解析模型为基础，提出考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线性能评估的聚合方法，求解多工位脉动装配线的生产率和在制品水平等系统性能指标。
(1)在步骤1的实施方式中，需要确定脉动装配线的结构布局和相关参数：
1)确定脉动装配线的结构布局，包括工位的数量，缓冲区的数量和布局；
2)确定脉动装配线的相关参数，包括工位的加工效率、产品的加工比例和缓冲区的容量。
(2)在步骤2的实施方式中，需要建立两工位脉动装配线的状态转移方程：
1)定义系统状态为(nA,nB)，其中nA和nB分别表示产品A和B对应缓冲区的缓冲水平；
2)根据两种产品对应缓冲区中缓冲水平的不同组合情况，将系统状态空间划分上边界状态、下边界状态、内部状态等9组状态，令p(nA,nB)表示系统处于状态(nA,nB)的概率，分别建立状态转移方程；以下边界状态转移方程为例：
当系统处于下边界状态，即nA＝0,nB＝0时，状态转移方程为：
p(0,0)＝(a(1-p1A)+(1-a)(1-p1B))p(0,0)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(0,1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(1,0)；
3)建立归一化方程：
(3)在步骤3的实施方式中，需要求解两工位脉动装配线的状态转移方程，计算系统性能指标：
1)将系统状态转移方程与归一化方程进行联合，构成变量与方程组数量相等的线性方程组，并利用克莱姆法则进行求解，得到系统稳态概率分布；
2)根据系统达到稳态时处于各个状态的概率值，计算两工位脉动装配线的生产率、在制品水平、阻塞率和饥饿率等系统性能指标。
(4)在步骤4的实施方式中，需要提出考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线性能评估的聚合方法，求解多工位脉动装配线的生产率和在制品水平等系统性能指标：
1)后向聚合和前向聚合过程迭代：将多工位脉动装配线中的两工位装配单元合并为单个等效工位，并沿着脉动装配线依次向前和向后进行多次递归迭代，得到产线参数的收敛结果；
2)当产线参数收敛时，利用解析模型计算出多工位脉动装配线的生产率和在制品水平等系统性能指标。
有益效果
1、两工位脉动装配线性能评估的解析模型有效
针对考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，分别用所建立的解析模型和仿真模型求解系统性能指标，通过对比实验结果验证了考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型的有效性。实验结果表明：
1)本发明建立的考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型为精确解析模型，与仿真模型偏差较小，两者吻合度高；
2)对于生产率，解析模型与仿真模型实验结果偏差不超过0.07％，最大偏差为0.067％。其中，有10组实验数据偏差为0％(精确到小数点后4位小数)；对于在制品水平，解析模型与仿真模型所得实验结果偏差不超过0.4％，最大偏差为0.31％，最小偏差为0％(精确到小数点后4位小数)；
3)对于阻塞率，最大偏差为1.7241％，最小偏差为0％(精确到小数点后4位小数)。在50组实验数据中，有25组数据偏差为0％(精确到小数点后4位小数)，有1组数据偏差超过1％。误差超过1％的1组数据，解析模型结果与仿真模型结果实际偏差很小；对于饥饿率，解析模型与仿真模型所得实验结果偏差不超过0.5％，最大偏差为0.4405％。其中，有9组实验数据偏差为0％(精确到小数点后4位小数)。
2、多工位脉动装配线性能评估的聚合方法有效
针对考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线，利用所提出的聚合方法和仿真模型求解生产率、在制品水平等主要性能指标，通过对比实验结果验证了考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线聚合方法的有效性和正确性。实验结果表明：
1)本发明提出的聚合方法与仿真模型求解性能指标所得结果偏差小，吻合度高，聚合方法正确有效；
2)对于生产率，聚合方法与仿真模型所得实验结果偏差不超过0.4％，最大偏差为0.3450％，最小偏差为0.0000％(精确到小数点后4位小数)；对于在制品水平，偏差不超过0.8％，最大偏差为0.7597％，最小偏差为0.0060％。
本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。
附图说明
本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：
图1考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线；
图2考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线状态转移图；
图3考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线；
图4多工位脉动装配线聚合过程示意图；(a)后向聚合，(b)前向聚合。
具体实施方式
本发明提出了考虑缓冲分割策略的脉动装配线性能评估方法，并通过仿真实验对其有效性进行了说明。具体过程如下：首先，提出缓冲分割策略，针对考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，基于马尔可夫模型建立解析模型；其次，对两工位脉动装配线解析模型进行求解，获得生产率、在制品水平、饥饿率和阻塞率等性能指标，并通过仿真实验验证解析模型的有效性；最后，针对考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线，提出聚合方法以评估产线性能，并利用仿真实验验证了方法的有效性。脉动装配线性能评估方法的具体实施方式如下：
1、缓冲分割策略定义
缓冲分割策略是指将脉动装配线中工位间的缓冲区按照产品类型进行划分，当某个工位装配完成的产品进入下游缓冲区时，将该类产品放置到相应的子缓冲区中进行排队。
2、模型定义及假设
2.1、产线基本定义及假设
考虑缓冲分割策略的两产品两工位脉动装配线如图1所示。工位M1加工完成的产品根据不同的类型运送到相应的缓冲区中，产品再从缓冲区运送到工位M2进行加工。对于不同的产品，每台工位的效率不同，工位Mi加工产品j的效率为pij,i＝1,2,j∈{A,B}。
[定义1]阻塞状态(Blockage)
阻塞状态：对脉动装配线中的工位Mi，其下游缓冲区Bi中的产品数量达到缓冲区的容量，即n＝N，则称工位Mi处于阻塞状态。
[定义2]饥饿状态(Starvation)
饥饿状态：对脉动装配线中的工位Mi，其上游缓冲区Bi-1中的产品数量n＝0，则称工位Mi处于饥饿状态。
[定义3]加工前阻塞(Blocking Before Service,BBS)
加工前阻塞：在一个时段内，如果工位Mi处于工作状态，但其下游缓冲区Bi在前一时段结束时已经处于充满状态，即n＝N，并且下游工位Mi+1在该时段开始时无法从该缓冲区中提取产品进行加工，则认为工位Mi在这一时段被阻塞而无法加工产品。
[定义4]时间相关故障(Time-Dependent Failure,TDF)
时间相关故障：工位在不装配产品的情况下(工位阻塞或饥饿)，仍然可能发生故障。
2.2、考虑休眠策略的两工位脉动装配线假设
考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线模型假设如下：
1)物料流呈离散状态，装配线上的产品数量为正整数。系统满足物料守恒的条件，即产品数量在加工或储运过程中不会增加或减少。
2)脉动装配线由两个工位Mi和两个缓冲区Bj组成，加工两种产品，记作产品j，每种产品都有一个专属的缓冲区Bj，i＝1,2；j∈{A,B}。
3)工位Mi以一定比例确定要加工的产品类型。工位Mi加工产品A的比例为a，加工产品B的比例为(1-a)。
4)缓冲区Bj的缓冲容量有限为Nj。当工位M1选择加工产品j时，若缓冲区Bj中的在制品数量达到其缓冲区容量，即nj＝Nj，且工位M2不加工产品j，则工位M1处于阻塞状态；当工位M2选择加工产品j时，若缓冲区Bj中的在制品数量nj＝0，则工位M2处于饥饿状态。
5)工位M1的原料供应充足，工位M1不会发生饥饿；工位M2后的库存容量无限，工位M2不会发生阻塞。
6)工位阻塞机制采用加工前阻塞(Blocking Before Service,BBS)的方式。
7)工位M1和M2的加工时间相同，以加工周期为单位时间可以将时间轴分段。在制品运输时间忽略不计，即所有工位同时开始并同时结束加工。
8)αi表示工位Mi所处状态。αi＝1表示工位Mi处于工作状态，αi＝0表示工位Mi处于故障状态。工位的状态变化发生在每个时间段的开端，缓冲区的状态变化发生在每个时间段的末尾。
9)工位的可靠性服从伯努利分布，即在每个时间段工位Mi处于工作状态的概率为pij，处于故障状态的概率为1-pij，与工位Mi之前任何时刻的状态无关。
10)工位的故障模式为时间相关故障(Time-Dependent Failure,TDF)。
11)工位在加工产品A和加工产品B之间转换时，不考虑生产准备时间。
2.3、系统性能指标构建
考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型所需的主要性能指标有：生产率、在制品水平、阻塞率和饥饿率。
[定义5]生产率(Production Rate,PR)
生产率：生产线在稳态运行时，最后一个工位在一个加工周期内平均产出的工件数，或第一个工位在一个加工周期内平均加工的工件数。
生产系统满足物料守恒的条件，因此，利用工位M1和工位M2计算所得的两工位脉动装配线生产率相等。
生产率的表达式为：
[定义6]在制品水平(Work-in-process,WIP)
在制品水平：生产线在稳态运行时，缓冲区的平均占用量。
考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线有两个缓冲区，因此，该脉动装配线的在制品水平为两个缓冲区的总平均占用量：
[定义7]阻塞率(Blockage,BL)
阻塞率：生产线在稳态运行时，工位Mi处于工作状态，下游缓冲区充满且下游工位Mi+1无法提取产品的概率。
对于考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，阻塞率BL的表达式为：
[定义8]饥饿率(Starvation,ST)
饥饿率：生产线在稳态运行时，工位Mi处于工作状态且上游缓冲区为空的概率。
对于考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，饥饿率ST的表达式为：
3、两工位脉动装配线性能评估
3.1、解析模型建立
本实施例基于马尔可夫过程对考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线进行建模和分析。考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型工位状态具体描述如下：在任何时刻，工位Mi可以处于工作状态或故障状态。
工位M1的工作状态可以分为两种子状态：
1)加工状态：工位处于工作状态，并且上游缓冲区中存在产品可以加工，则称该工位处于加工状态；
2)阻塞状态：工位处于工作状态，但下游缓冲区中没有空间来存储加工完成的产品，则称该工位处于阻塞状态。
工位M2的工作状态可以分为两种子状态：
1)加工状态：工位处于工作状态，并且上游缓冲区中存在产品可以加工，则称该工位处于加工状态；
2)饥饿状态：工位处于工作状态，但上游缓冲区中没有产品可以加工，则称该工位处于饥饿状态。
系统状态包括工位状态和缓冲区状态，由于工位可靠性服从伯努利分布，该分布具有无记忆性，因此系统状态正好是缓冲区状态。对于考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，有两个缓冲区BA和BB，缓冲区Bj有Nj+1个状态(j∈{A,B})，因此，该系统的状态空间由(NA+1)(NB+1)个状态组成：(0,0),(0,1),...,(nA,nB),...,(NA,NB)。
本发明中系统状态空间用P表示，系统状态空间中具体状态用二维向量(nA,nB)表示，其中nA表示缓冲区BA的缓冲水平，nB表示缓冲区BB的缓冲水平。某一具体系统状态的概率值用p(nA,nB)表示。
根据系统状态(nA,nB)及其转化关系，考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线状态转移图如图2所示。
根据状态转移图及缓冲区BA和BB中缓冲水平的不同组合情况，将系统状态空间的状态转移方程划分为9组：上边界状态转移方程、下边界状态转移方程、内部状态转移方程以及三者两两组合情况下的状态转移方程。系统状态转移方程分组情况如表1所示。
表1系统状态转移方程分组情况
通过分析状态转移关系，分别写出9组状态转移方程如下：
Group 1 nA＝0,nB＝0(下边界状态转移方程)
p(0,0)＝(a(1-p1A)+(1-a)(1-p1B))p(0,0)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(0,1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(1,0) (5)
Group 2 1≤nA≤NA-1,nB＝0
p(nA,0)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A)p(nA-1,0)+a(1-a)p1Ap2Bp(nA-1,1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2(1-p1B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A)+a(1-a)(1-p1A))p(nA,0)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(nA,1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(nA+1,0) (6)
p(1,0)＝ap1Ap(0,0)+a(1-a)p1Ap2Bp(0,1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a2)(1-p1B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A)+a(1-a)(1-p1A))p(1,0)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(1,1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(2,0) (7)
Group 3 nA＝NA,nB＝0
p(NA,0)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A)p(NA-1,0)+a(1-a)p1Ap2Bp(NA-1,1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p2A)+(1-a)2(1-p1B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A)+a(1-a))p(NA,0)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)p2B)p(NA,1) (8)
Group 4 nA＝0,1≤nB≤NB-1
p(0,nB)＝((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B)p(0,nB-1)+((1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a2(1-p1A)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B))p(0,nB)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(0,nB+1)+a(1-a)p1Bp2Ap(1,nB-1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(1,nB)(9)
p(0,1)＝(1-a)p1Bp(0,0)+((1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a2(1-p1A)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B))p(0,1)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(0,2)+a(1-a)p1Bp2Ap(1,0)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(1,1) (10)
Group 5 nA＝0,nB＝NB
p(0,NB)＝((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B)p(0,NB-1)+((1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p2B)+a2(1-p1A)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a))p(0,NB)+a(1-a)p1Bp2Ap(1,NB-1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)p2A)p(1,NB) (11)
Group 6 1≤nA≤NA-1,1≤nB≤NB-1(内部状态转移方程)
p(nA,nB)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(nA-1,nB)+a(1-a)p1Ap2Bp(nA-1,nB+1)+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(nA,nB-1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(nA,nB)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(nA,nB+1)+a(1-a)p1Bp2Ap(nA+1,nB-1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(nA+1,nB) (12)
p(1,nB)＝(a2p1A+a(1-a)p1A(1-p2B))p(0,nB)+a(1-a)p1Ap2Bp(0,nB+1)+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(1,nB-1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(1,nB)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(1,nB+1)+a(1-a)p1Bp2Ap(2,nB-1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(2,nB) (13)
p(nA,1)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(nA-1,1)+a(1-a)p1Ap2Bp(nA-1,2)+((1-a)2p1B+a(1-a)p1B(1-p2A))p(nA,0)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(nA,1)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(nA,2)+a(1-a)p1Bp2Ap(nA+1,0)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(nA+1,1) (14)
p(1,1)＝(a2p1A+a(1-a)p1A(1-p2B))p(0,1)+a(1-a)p1Ap2Bp(0,2)+((1-a)2p1B+a(1-a)p1B(1-p2A))p(1,0)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(1,1)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(1,2)+a(1-a)p1Bp2Ap(2,0)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(2,1) (15)
Group 7 nA＝NA,1≤nB≤NB-1
p(NA,nB)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(NA-1,nB)+a(1-a)p1Ap2Bp(NA-1,nB+1)+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(NA,nB-1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(NA,nB)+((1-a)2p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(NA,nB+1) (16)
p(NA,1)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(NA-1,1)+a(1-a)p1Ap2Bp(NA-1,2)+((1-a)2p1B+a(1-a)p1B(1-p2A))p(NA,0)+(a2p1Ap2A+a2(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(NA,1)+((1-a)2p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(NA,2)(17)
Group 8 1≤nA≤NA-1,nB＝NB
p(nA,NB)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(nA-1,NB)+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(nA,NB-1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p2A))p(nA,NB)+a(1-a)p1Bp2Ap(nA+1,NB-1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)p2A)p(nA+1,NB) (18)
p(1,NB)＝(a2p1A+a(1-a)p1A(1-p2B))p(0,NB)+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(1,NB-1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p2A))p(1,NB)+a(1-a)p1Bp2Ap(2,NB-1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)p2A)p(2,NB)(19)
Group 9 nA＝NA,nB＝NB(上边界状态转移方程)
p(NA,NB)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(NA-1,NB)+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(NA,NB-1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p2B)+a(1-a)(1-p2B)+a(1-a)(1-p2A))p(NA,NB) (20)
在稳定状态下，系统的状态空间中状态概率和满足归一化条件：
与图2所对应，式(5)～(20)为各个系统状态之间的转移方程。通过提取这些状态转移方程建立考虑缓冲分割策略的解析模型，为求解性能指标、进行系统性能分析提供基础。
3.2、解析模型求解
通过系统状态空间的状态转移关系得到一系列状态转移方程，所建立的状态转移方程组有(NA+1)(NB+1)+1个方程，(NA+1)(NB+1)个未知数。本实施例利用Matlab软件编程实现状态转移方程组的求解，得到系统状态的概率分布，进而求解出系统主要性能指标。
具体地，系统状态空间(NA+1)(NB+1)个状态组成，二维向量(nA,nB)表示形式如下：
在Matlab中输入状态转移矩阵元素时，需要对二维向量(nA,nB)进行降维处理，将其转化为一维向量(nA(NB+1)+nB+1)，此时系统所有可能出现的状态可表示为：
1,2,...,nA(NB+1)+nB+1,...,(NA+1)(NB+1)。
因此，解析模型的状态转移方程组转换为如下形式：
AP＝b
其中，
将矩阵A和b中的各个元素输入Matlab中，通过编程求得概率矩阵P，即可得到各系统状态的概率值p(nA,nB)。将求出的各系统状态概率值p(nA,nB)代入式(1)～(4)中即可求得考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线的生产率、在制品水平、阻塞率和饥饿率。
3.3、解析模型有效性分析
针对考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，分别用所建立的解析模型和仿真模型求解系统性能指标，通过对比实验结果验证考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型的有效性。以仿真实验结果为基准，计算该脉动装配线解析模型的系统性能指标的偏差，其计算公式为：
为了保证实验的合理性和准确性，共设计50组实验，每组参数下均进行20次实验，实验结果求平均值。具体来说，在缓冲区BA和BB的容量之和一定的条件下，给定NA+NB＝6，选取五种组合：
NA＝1,NB＝5；NA＝2,NB＝4；NA＝3,NB＝3；NA＝4,NB＝2；NA＝5,NB＝1
在每种组合下，分别选取5种工位加工产品A的比例；在每种比例下，分别选取两组不同的工位效率，所需实验参数如表2所示。
表2两工位脉动装配线解析模型有效性分析实验参数
考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型和仿真模型均利用Matlab软件编程实现。仿真实验在操作系统为windows10、处理器为Intel(R)Core(TM)i5-7500CPU(3.40GHz)、运行内存为8.0GB的实验平台上运行。
针对每组实验，利用本发明所建立的解析模型求解两工位脉动装配线的生产率、在制品水平、阻塞率和饥饿率等主要性能指标。为了确保系统运行至稳定状态，使仿真模型运行400000个时间单位，计算并记录主要性能指标。解析模型和仿真模型的对比实验结果如表3～7所示。
表3解析模型与仿真模型对比结果(NA＝1,NB＝5)
表4解析模型与仿真模型对比结果(NA＝2,NB＝4)
表5解析模型与仿真模型对比结果(NA＝3,NB＝3)
表6解析模型与仿真模型对比结果(NA＝4,NB＝2)
实验1
表7解析模型与仿真模型对比结果(NA＝5,NB＝1)
通过在不同实验参数下将解析模型与仿真模型进行对比，得出以下结论：
1)本发明建立的考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型为精确解析模型，与仿真模型偏差较小，两者吻合度高；
2)对于生产率，解析模型与仿真模型实验结果偏差不超过0.07％，最大偏差为0.067％。其中，有10组实验数据偏差为0％(精确到小数点后4位小数)；对于在制品水平，解析模型与仿真模型所得实验结果偏差不超过0.4％，最大偏差为0.31％，最小偏差为0％(精确到小数点后4位小数)；
3)对于阻塞率，最大偏差为1.7241％，最小偏差为0％(精确到小数点后4位小数)。在50组实验数据中，有25组数据偏差为0％(精确到小数点后4位小数)，有1组数据偏差超过1％。误差超过1％的1组数据，解析模型结果与仿真模型结果实际偏差很小；对于饥饿率，解析模型与仿真模型所得实验结果偏差不超过0.5％，最大偏差为0.4405％。其中，有9组实验数据偏差为0％(精确到小数点后4位小数)。
4、多工位脉动装配线性能评估
考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线如图3所示，原材料进入工位M1，工位M1加工完成的工件根据不同的产品类型运送到相应的缓冲区B1A或B1B中，工件再从缓冲区运送到工位M2进行加工，然后依次经过B2A或B2B、…、B(m-1)A或B(m-1)B、Mm，最终离开脉动装配线。对于不同的产品，每个工位的效率不同，工位Mi加工产品j的效率为pij；缓冲区Bij的容量为Nij,i＝1,2,…,m；j∈{A,B}。
4.1、聚合方法提出
针对考虑缓冲分割的多工位脉动装配线，本发明提出一种聚合方法对系统主要性能指标进行求解。聚合方法通过将多工位脉动装配线中的两工位生产单元合并为单个等效工位，并沿着脉动装配线进行多次递归迭代，得到最终的收敛结果。聚合过程由后向聚合和前向聚合两部分组成。
后向聚合：对于一条由m个工位组成的脉动装配线，将最后两个工位Mm和Mm-1聚合为一个工位
上标b代表后向聚合，其伯努利参数/>
和/>
等价于被聚合的两个原始工位组成的双机系统的生产率。接下来，将聚合后的工位/>
与Mm-2进行聚合，得到一个新的工位/>
重复上述过程，直到原脉动装配线所有工位都被聚合为/>
后向聚合过程结束。多工位脉动装配线的后向聚合过程如图4(a)所示。
前向聚合：将脉动装配线的第一个工位M1和后向聚合过程中得到的工位
(它代表了脉动装配线中工位M1下游工位聚合起来的总和)进行聚合，得到/>
上标f代表前向聚合，其伯努利参数/>
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则等于由M1、B1A和B1B以及/>
组成的双机系统的生产率。接下来，将/>
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并重复这类过程直到所有工位都被聚合为/>
前向聚合过程结束。多工位脉动装配线的前向聚合过程如图4(b)所示。
经过一次迭代后，
的伯努利参数可能与原脉动装配线的生产率存在较大差距。为了消除这个差距，将后向和前向聚合过程进行不断的交替迭代，直到迭代过程收敛。
聚合方法的具体步骤如下：
Step 1初始化参数：
初始条件：
边界条件：
Step 2后向和前向聚合过程迭代：
对于i＝m-1,m-2,…,1按下列公式依次计算
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其中，p(nA,nB)为由
BiA和BiB、/>
组成的两工位脉动装配线系统状态(nA,nB)的概率值，可利用考虑缓冲分割的两工位脉动装配线解析模型求得。
对于i＝2,3,…,m按下列公式依次计算
其中，p(nA,nB)为由
BiA和BiB、/>
组成的两工位脉动装配线系统状态(nA,nB)的概率值，可利用考虑缓冲分割的两工位脉动装配线解析模型求得。
Step 3重复Step 2直到
收敛。
当
收敛时，对于由/>
NiA、NiB和/>
组成的两工位构建块，可以利用公式(1)、(2)计算出其生产率和在制品水平，即可得到多工位脉动装配线的生产率和在制品水平。
4.2、聚合方法有效性分析
针对考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线，利用所提出的聚合方法和仿真模型求解生产率、在制品水平等主要性能指标，通过对比实验结果验证考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线聚合方法的有效性和正确性。以仿真实验结果为基准，计算聚合方法求解所得系统性能指标的偏差，其计算公式为：
针对工位数量为3、5时，分别设置10组不同的系统参数来进行实验，所需实验参数如表8和表9所示。
表8工位数量为3时，聚合方法有效性分析实验参数
表9工位数量为5时，聚合方法有效性分析实验参数
考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线聚合方法与仿真模型求解所得的系统主要性能指标对比结果如表10～13所示。
表10工位数量为3时，聚合方法与仿真模型对比结果(a＝0.3)
表11工位数量为3时，聚合方法与仿真模型对比结果(a＝0.7)
表12工位数量为5时，聚合方法与仿真模型对比结果(a＝0.3)
表13工位数量为5时，聚合方法与仿真模型对比结果(a＝0.7)
通过在不同实验参数下将聚合方法与仿真模型求解所得的性能指标进行对比，可以得出如下结论：
1)本发明提出的聚合方法与仿真模型求解所得结果偏差小，吻合度高，聚合方法正确有效；
2)对于生产率，聚合方法与仿真模型所得实验结果偏差不超过0.4％，最大偏差为0.3450％，最小偏差为0.0000％(精确到小数点后4位小数)；对于在制品水平，偏差不超过0.8％，最大偏差为0.7597％，最小偏差为0.0060％。
尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。
Claims (5)
1.一种多产品脉动装配线建模与性能评估方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：确定脉动装配线的结构布局和相关参数；
步骤2：针对考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线，建立状态转移方程，构建解析模型；
所述考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线由两个工位Mi和两个缓冲区Bj组成，加工两种产品，记作产品j，每种产品都有一个专属的缓冲区Bj，i＝1,2；j∈{A,B}；
工位M1加工完成的产品根据不同的类型运送到相应的缓冲区中，产品再从缓冲区运送到工位M2进行加工；对于不同的产品，每台工位的效率不同，工位Mi加工产品j的效率为pij,i＝1,2,j∈{A,B}；
所述考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线具有如下限定：
物料流呈离散状态，装配线上的产品数量为正整数；系统满足物料守恒的条件，产品数量在加工或储运过程中不会增加或减少；
工位Mi以一定比例确定要加工的产品类型；工位Mi加工产品A的比例为a，加工产品B的比例为(1-a)；
缓冲区Bj的缓冲容量有限为Nj；当工位M1选择加工产品j时，若缓冲区Bj中的在制品数量达到其缓冲区容量：nj＝Nj，且工位M2不加工产品j，则工位M1处于阻塞状态；当工位M2选择加工产品j时，若缓冲区Bj中的在制品数量nj＝0，则工位M2处于饥饿状态；
工位M1的原料供应充足，工位M1不会发生饥饿；工位M2后的库存容量无限，工位M2不会发生阻塞；
工位阻塞机制采用加工前阻塞的方式：在一个时段内，如果工位Mi处于工作状态，但其下游缓冲区Bi在前一时段结束时已经处于充满状态：n＝N，并且下游工位Mi+1在该时段开始时无法从该缓冲区中提取产品进行加工，则认为工位Mi在这一时段被阻塞而无法加工产品；
工位M1和M2的加工时间相同，以加工周期为单位时间将时间轴分段；在制品运输时间忽略不计，所有工位同时开始并同时结束加工；
工位的状态变化发生在每个时间段的开端，缓冲区的状态变化发生在每个时间段的末尾；
工位的可靠性服从伯努利分布：在每个时间段工位Mi处于工作状态的概率为pij，处于故障状态的概率为1-pij，与工位Mi之前任何时刻的状态无关；
工位的故障模式为时间相关故障：工位在不装配产品的情况下，仍然可能发生故障；
工位在加工产品A和加工产品B之间转换时，不考虑生产准备时间
步骤3：通过求解两工位脉动装配线的状态转移方程，获得系统稳态概率分布，计算生产率、在制品水平、阻塞率和饥饿率性能指标；
步骤4：以两工位脉动装配线的解析模型为基础，利用考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线性能评估的聚合方法，求解多工位脉动装配线的生产率和在制品水平统性能指标；
所述聚合方法通过将多工位脉动装配线中的两工位生产单元合并为单个等效工位，并沿着脉动装配线进行多次递归迭代，得到最终的收敛结果；
所述聚合过程由后向聚合和前向聚合两部分组成：
后向聚合：对于一条由m个工位组成的脉动装配线，将最后两个工位Mm和Mm-1聚合为一个工位
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前向聚合过程结束。
2.根据权利要求1所述一种多产品脉动装配线建模与性能评估方法，其特征在于：步骤1中确定脉动装配线的结构布局和相关参数包括：
确定脉动装配线的结构布局，包括工位的数量、缓冲区的数量和布局；
确定脉动装配线的相关参数，包括工位的加工效率、产品的加工比例和缓冲区的容量。
3.根据权利要求1所述一种多产品脉动装配线建模与性能评估方法，其特征在于：步骤2中建立两工位脉动装配线的状态转移方程为：
步骤2.1：定义系统状态为(nA,nB)，其中nA和nB分别表示产品A和B对应缓冲区的缓冲水平；
步骤2.2：根据两种产品对应缓冲区中缓冲水平的不同组合情况，将系统状态空间划分为9组状态，包括上边界状态、下边界状态、内部状态以及三者两两组合情况下的状态，令p(nA,nB)表示系统处于状态(nA,nB)的概率，分别建立状态转移方程：
Group 1nA＝0,nB＝0
p(0,0)＝(a(1-p1A)+(1-a)(1-p1B))p(0,0)
+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(0,1)
+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(1,0)
Group 2 1≤nA≤NA-1,nB＝0
p(nA,0)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A)p(nA-1,0)
+a(1-a)p1Ap2Bp(nA-1,1)
+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2(1-p1B)
+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A)+a(1-a)(1-p1A))p(nA,0)
+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(nA,1)
+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(nA+1,0)
p(1,0)＝ap1Ap(0,0)+a(1-a)p1Ap2Bp(0,1)
+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a2)(1-p1B)
+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A)+a(1-a)(1-p1A))p(1,0)
+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(1,1)
+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(2,0)
Group 3nA＝NA,nB＝0
p(NA,0)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A)p(NA-1,0)
+a(1-a)p1Ap2Bp(NA-1,1)
+(a2p1Ap2A+a2(1-p2A)+(1-a)2(1-p1B)
+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A)+a(1-a))p(NA,0)
+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)p2B)p(NA,1)
Group 4nA＝0,1≤nB≤NB-1
p(0,nB)＝((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B)p(0,nB-1)
+((1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a2(1-p1A)
+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B))p(0,nB)
+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(0,nB+1)
+a(1-a)p1Bp2Ap(1,nB-1)
+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(1,nB)
p(0,1)＝(1-a)p1Bp(0,0)+((1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a2(1-p1A)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B))p(0,1)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(0,2)+a(1-a)p1Bp2Ap(1,0)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(1,1)
Group 5 nA＝0,nB＝NB
p(0,NB)＝((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B)p(0,NB-1)+((1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p2B)+a2(1-p1A)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a))p(0,NB)+a(1-a)p1Bp2Ap(1,NB-1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)p2A)p(1,NB)
Group 6 1≤nA≤NA-1,1≤nB≤NB-1
p(nA,nB)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(nA-1,nB)+a(1-a)p1Ap2Bp(nA-1,nB+1)+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(nA,nB-1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(nA,nB)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(nA,nB+1)+a(1-a)p1Bp2Ap(nA+1,nB-1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(nA+1,nB)
p(1,nB)＝(a2p1A+a(1-a)p1A(1-p2B))p(0,nB)+a(1-a)p1Ap2Bp(0,nB+1)+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(1,nB-1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(1,nB)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(1,nB+1)+a(1-a)p1Bp2Ap(2,nB-1)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(2,nB)
p(nA,1)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(nA-1,1)+a(1-a)p1Ap2Bp(nA-1,2)+((1-a)2p1B+a(1-a)p1B(1-p2A))p(nA,0)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(nA,1)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(nA,2)+a(1-a)p1Bp2Ap(nA+1,0)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(nA+1,1)
p(1,1)＝(a2p1A+a(1-a)p1A(1-p2B))p(0,1)+a(1-a)p1Ap2Bp(0,2)+((1-a)2p1B+a(1-a)p1B(1-p2A))p(1,0)+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(1,1)+((1-a)2(1-p1B)p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(1,2)+a(1-a)p1Bp2Ap(2,0)+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)(1-p1B)p2A)p(2,1)
Group 7 nA＝NA,1≤nB≤NB-1
p(NA,nB)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(NA-1,nB)+a(1-a)p1Ap2Bp(NA-1,nB+1)+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(NA,nB-1)+(a2p1Ap2A+a2(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(NA,nB)+((1-a)2p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(NA,nB+1)
p(NA,1)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(NA-1,1)+a(1-a)p1Ap2Bp(NA-1,2)+((1-a)2p1B+a(1-a)p1B(1-p2A))p(NA,0)+(a2p1Ap2A+a2(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B+(1-a)2(1-p1B)(1-p2B)+a(1-a)(1-p2B)+a(1-a)(1-p1B)(1-p2A))p(NA,1)+((1-a)2p2B+a(1-a)(1-p1A)p2B)p(NA,2)
Group 8 1≤nA≤NA-1,nB＝NB
p(nA,NB)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(nA-1,NB)
+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(nA,NB-1)
+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B
+(1-a)2(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)
+a(1-a)(1-p2A))p(nA,NB)+a(1-a)p1Bp2Ap(nA+1,NB-1)
+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)p2A)p(nA+1,NB)
p(1,NB)＝(a2p1A+a(1-a)p1A(1-p2B))p(0,NB)
+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(1,NB-1)
+(a2p1Ap2A+a2(1-p1A)(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B
+(1-a)2(1-p2B)+a(1-a)(1-p1A)(1-p2B)
+a(1-a)(1-p2A))p(1,NB)+a(1-a)p1Bp2Ap(2,NB-1)
+(a2(1-p1A)p2A+a(1-a)p2A)p(2,NB)
Group 9nA＝NA,nB＝NB
p(NA,NB)＝(a2p1A(1-p2A)+a(1-a)p1A(1-p2B))p(NA-1,NB)
+((1-a)2p1B(1-p2B)+a(1-a)p1B(1-p2A))p(NA,NB-1)
+(a2p1Ap2A+a2(1-p2A)+(1-a)2p1Bp2B
+(1-a)2(1-p2B)+a(1-a)(1-p2B)
+a(1-a)(1-p2A))p(NA,NB)
步骤2.3：建立归一化方程为：
4.根据权利要求1所述一种多产品脉动装配线建模与性能评估方法，其特征在于：步骤3中求解两工位脉动装配线的状态转移方程，计算系统性能指标过程为：
步骤3.1：将系统状态转移方程与归一化方程进行联合，构成变量与方程组数量相等的线性方程组，并利用克莱姆法则进行求解，得到系统稳态概率分布；
步骤3.2：根据系统达到稳态时处于各个状态的概率值，计算两工位脉动装配线的系统性能指标，具体计算公式如下：
生产率：
在制品水平：
阻塞率：
饥饿率：
5.根据权利要求1所述一种多产品脉动装配线建模与性能评估方法，其特征在于：步骤4中利用考虑缓冲分割策略的多工位脉动装配线性能评估的聚合方法，求解多工位脉动装配线的生产率和在制品水平统性能指标过程为：
步骤4.1：初始化参数：
初始条件：
边界条件：
步骤4.2：后向聚合：
对于i＝m-1,m-2,,1按下列公式依次计算
其中，p(nA,nB)表示由
BiA和BiB、/>
组成的两工位脉动装配线系统状态(nA,nB)的概率值，可利用考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型求得；
步骤4.3：前向聚合：
对于i＝2,3,,m按下列公式依次计算
其中，p(nA,nB)为由
BiA和BiB、/>
组成的两工位脉动装配线系统状态(nA,nB)的概率值，可利用考虑缓冲分割策略的两工位脉动装配线解析模型求得；
步骤4.4：重复迭代后向和前向聚合过程，直到
收敛；
步骤4.5：当
收敛时，对于由/>
NiA、NiB和/>
组成的两工位脉动装配线，利用两工位脉动装配线解析模型计算其生产率和在制品水平，得到多工位脉动装配线的生产率和在制品水平。
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| CN107194534A (zh) * | 2017-04-10 | 2017-09-22 | 西北工业大学 | 考虑休眠策略的两机器流水线性能评估方法 |
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