CN102054090A - 基于改进自适应随机配置法的统计时序分析方法及装置 - Google Patents

基于改进自适应随机配置法的统计时序分析方法及装置 Download PDF

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曾璇
蔡伟
杨帆
陶俊
朱恒亮
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Abstract

本发明涉及一种统计静态时序分析方法。该方法基于改进的嵌套式稀疏网格积分法的自适应随机配置法MASCM来求解统计静态时序分析方法中的MAX逼近问题。在MASCM中，将MAX逼近按照输入端情况分为两类：线性输入条件和非线性输入条件。在线性输入条件下，MASCM选择具有最大均值的那个输入端作为MAX的输出。在非线性输入条件下，MASCM利用改进的嵌套式稀疏网格积分法来计算正交多项式展开系数。改进的嵌套式稀疏网格积分法提高了随机配置法中积分点的利用率，在保证积分精度的同时，减少了配置点的个数，降低了统计静态时序分析中的计算时间。本发明提出的MASCM方法具有与现有方法相当的计算精度，但所需要的积分点个数以及计算时间都大大降低。

Description

基于改进自适应随机配置法的统计时序分析方法及装置
技术领域：
本发明属于集成电路领域，具体涉及一种基于改进自适应随机配置法的统计静态时序分析方法。
背景技术
随着集成电路特征尺寸进入纳米量级，工艺偏差对电路性能的影响日趋严重。为了分析工艺偏差对集成电路时序的影响，统计静态时序分析方法（SSTA）被引入到时序分析当中参见Blaauw D, Chopra K, Srivastava A等人2008年发表于IEEE期刊《计算机辅助设计集成电路和系统》第27（4）期第589-607页的《统计时序分析：从基本原理到现有技术》。在统计静态时序分析中，由于随机工艺偏差的影响，电路的延时不再是确定值，而是具有某一分布的随机变量。统计静态时序分析通过在电路中传递延时的随机分布而不是确定的值来对电路时序进行分析，从而提供电路时序在工艺偏差影响下的随机分布。
统计静态时序分析方法可以分为基于路径的统计静态时序方法参见M. Orshansky和 K. Keutzer2002年6月发表于Proc.IEEE DAC的第556-561页的《一种用于最差情况时序分析的概率框架》以及A. Agarwal, D. Blaauw, V. Zolotov, S. Sundareswaran, M. Zhao, 和 K. Gala2003年1月发表于Proc.IEEE ASPDAC的第271-276页的《考虑到空间相关的统计延迟计算》和基于块的统计静态时序方法参见Chang H, Sapatnekar S S.2003年发表于IEEE Proc.ICCAD 的第621-625页的《通过类PERT（性能审评技术）遍历的考虑空间相关的统计时序分析》，Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于IEICE期刊《基本原则》第E91-A（12）期第3465-3473页的《二次时滞模型的参数化统计时序分析的自适应随机配置法》，Bhardwaj S, Ghanta P, Vrudhula S2006年发表于圣何塞的IEEE/ACM计算机辅助设计国际研讨会上的论文集第225-230页的《一种通过非线性延迟和旋转模型的统计时序分析的框架》，Feng Z, Li P, Zhan Y2007年发表于美国加利福利亚圣迭戈的IEEE/ACM设计自动化研讨会上的第244-249页的《应用参数降维的快速二阶统计静态时序分析》，Chang H, Zolotov V, Narayan S等人2005年发表于设计自动化研讨会的第71-76页的《基于块的非高斯参数，非线性延迟功能的参数化统计时序分析》，Singh J, Sapatnekar S2006年发表于IEEE PROC.DAC的第155-160页的《使用独立部件分析的非高斯参数相关的统计时序分析》，Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于圣何塞的电子设计质量国际研讨会的第62-67页的《用于有二次时滞模型的参数化时序分析的自适应随机配置法》。基于路径的统计静态时序方法需要穷举电路所有的路径。由于电路的路径数随着电路规模增加而指数增加，基于路径的统计静态时序方法不适合实际的大规模电路的时序分析。基于块的统计静态时序方法利用SUM(求和)和MAX(求最大值)两种操作来传递电路的延时的统计分布，其计算复杂度与电路规模成线性关系，是目前主流的统计静态时序分析方法。
基于块的统计静态时序分析在传递电路延时过程中，需要对SUM(求和)和MAX(求最大值)两种随机操作进行逼近参见Bhardwaj S, Ghanta P, Vrudhula S2006年发表于圣何塞的IEEE/ACM计算机辅助设计国际研讨会上第2250230页的《一种通过非线性延迟和旋转模型的统计时序分析的框架》。SUM操作是线性操作，比较容易计算；而MAX操作是非线性操作，是统计静态时序分析的关键。目前国际上的主流MAX操作逼近方法包括以下两种：矩匹配法参见Chang H, Zolotov V, Narayan S等人2005年发表于设计自动化研讨会的第71-76页的《基于块的非高斯参数，非线性延迟功能的参数化统计时序分析》，Singh J, Sapatnekar S2006年发表于IEEE PROC.DAC的第155-160页的《使用独立部件分析的非高斯参数相关的统计时序分析》和随机配置法参见Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于IEICE期刊《基本原则》的第3465-3473页的《二次时滞模型的参数化统计时序分析的自适应随机配置法》，Bhardwaj S, Ghanta P, Vrudhula S2006年发表于圣何塞的IEEE/ACM计算机辅助设计国际研讨会上的第225-230页的《一种通过非线性延迟和旋转模型的统计时序分析的框架》，Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于圣何塞的电子设计质量国际研讨会的第62-67页的《用于有二次时滞模型的参数化时序分析的自适应随机配置法》。矩匹配法一般只计算前两阶矩，其逼近精度不足以捕获MAX操作的非线性效应 参见Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于IEICE期刊《基本原则》第3465-3473页的的《二次时滞模型的参数化统计时序分析的自适应随机配置法》，Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于圣何塞的电子设计质量国际研讨会的第62-67页的《用于有二次时滞模型的参数化时序分析的自适应随机配置法》。在随机配置法中，电路中的门延时以及互连线延时都表示为二次随机正交多项式的形式。MAX操作也采用一个二次随机正交多项式来进行逼近，随机正交多项式的系数通过求解一组多维数值积分来实现。为了降低数值积分积分点的个数，在 Bhardwaj S, Ghanta P, Vrudhula S2006年发表于圣何塞的IEEE/ACM计算机辅助设计国际研讨会上的第225-230页的《一种通过非线性延迟和旋转模型的统计时序分析的框架》中提出了一种降维技术来降低数值积分的维数，从而降低积分点的个数。在基于降维技术的随机配置法中，由于降维技术的使用，其逼近精度较低，而且会带来额外的时间消耗，使得MAX逼近的效率很低 参见Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于IEICE期刊《基本原则》的第3465-3473页的《二次时滞模型的参数化统计时序分析的自适应随机配置法》，Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于圣何塞的电子设计质量国际研讨会的第62-67页的《用于有二次时滞模型的参数化时序分析的自适应随机配置法》。
在 Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于IEICE期刊《基本原则》的第3465-3473页的《二次时滞模型的参数化统计时序分析的自适应随机配置法》，Wang Y, Zeng X, Tao J等人2008年发表于圣何塞的电子设计质量国际研讨会的第62-67页的《用于有二次时滞模型的参数化时序分析的自适应随机配置法》中，提出了一种自适应的随机配置法ASCM。这一方法将MAX操作按照输入情况分为三类：1）线性条件：MAX输入端的到达时间随机分布函数相隔很远；2）强非线性条件：MAX输入端的到达时间随机分布函数严重交叠在一起；3）弱非线性条件：除了线性及强非线性条件之外的所有其它条件。在线性条件下，ASCM选取到达时间均值最大的那个输入作为MAX的输出。在弱非线性条件下，ASCM利用基于传统Gauss-Hermite积分点的非嵌套式稀疏网格数值积分来计算多项式展开中的展开系数。在强非线性条件下，由于非嵌套式稀疏网格积分法的精度不够，ASCM利用具有更高计算精度的基于传统Gauss-Hermite积分点的多维张量积分法来求解MAX输出表达式中的展开系数。然而，张量积分法中的积分点个数随着随机变量个数指数增加。在实际应用中，强非线性情况出现的可能在30%左右，而随机变量个数则在十几到数十之间，这使得我们无法应用张量积分法来解决强非线性条件下的MAX操作逼近问题。
发明内容：
现有的自适应的随机配置法ASCM在求解统计静态时序分析中MAX逼近问题时，基于传统Gauss-Hermite积分点的非嵌套式稀疏网格数值积分计算复杂度较低但精度不高，而基于传统Gauss-Hermite积分点的多维张量积分法计算精度高但计算复杂度过高。
本发明提出了基于改进的嵌套式稀疏网格积分法的自适应随机配置法MASCM来求解MAX逼近问题。在MASCM中，将MAX逼近按照输入端情况分为两类：线性输入条件和非线性输入条件，其中非线性条件包括ASCM中的弱非线性和强非线性条件。在线性输入条件下，MASCM与ASCM一样选择具有最大均值的那个输入端作为MAX的输出。在非线性输入条件下，MASCM利用改进的嵌套式稀疏网格积分法来计算正交多项式展开系数。改进的嵌套式稀疏网格积分法提高了随机配置法中积分点的利用率，在保证积分精度的同时，减少了配置点的个数，降低了统计静态时序分析中的计算时间。与ASCM中的非嵌套式稀疏网格积分相比，本发明所提出的改进的嵌套式稀疏网格积分不仅计算精度更高，而且所用的积分点个数更少；与ASCM中的张量积积分方法比较，本发明所提出的改进的嵌套式稀疏网格积分具有与之相当的计算精度，同时积分点个数大为降低。改进的嵌套式稀疏网格积分可以用来求解强非线性和弱非线性条件下的MAX逼近问题。整体上来看，本发明提出的MASCM方法具有与ASCM相当的计算精度，但所需要的积分点个数以及计算时间都大大降低。
本发明基于改进的自适应随机配置法MASCM的统计静态时序分析方法如图1所示，包含以下步骤：
步骤一：建立基于随机正交多项式的门单元及互连线的统计时延模型。
步骤二：建立基于电路网表的时序图。电路网表中的门单元对应时序图中的节点，门单元之间的互连线则对应时序图中的边。
步骤三：将门单元及互连线延时模型分别映射到随机时序图中相应的节点和边，并添加一个虚拟的信号源点以及一个虚拟的信号接收点。虚拟的信号源点连接到所有主输入节点，所有主输出节点都连接到虚拟信号接收点。
步骤四：虚拟的信号源点处的延时记为零，从该节点出发以广度优先的方式遍历整个时序图。
步骤五：在遍历时序图时，对于时序图中边所对应的互连线，根据互连线输入端的到达时间和互连线的延时模型，利用SUM操作，求得信号经过互连线之后的到达时间，并将这一到达时间传递到下一级门单元。
步骤六：对于时序图中的节点所对应门单元，根据门单元各输入的到达时间，对门单元执行MAX操作，并对MAX操作进行逼近，求得信号经过门单元后的到达时间，表示为Hermite随机正交多项式的形式，并将输出到达时间传递到与这一门单元相连的互连线或门单元。
所述的步骤六包括如下分步骤：
分步骤一：判断门单元的输入是否满足线性条件。
分步骤二：门单元输入满足线性条件，直接选取均值较大的输入到达时间作为MAX的输出。
分步骤三：门单元输入不满足线性条件，利用改进的嵌套式稀疏网格积分法逼近MAX。
步骤七：判断是否遍历到信号接收点，如否，则转至步骤四；如是，则结束。
本发明基于改进的自适应随机配置法的统计静态时序分析方法具有如下优点：
本发明与现有的基于自适应随机配置法的统计静态时序分析方法ASCM相比，计算精度相当，计算时间大大减小。改进的嵌套式稀疏网格积分法提高了随机配置法中积分点的利用率，在保证积分精度的同时，减少了配置点的个数，降低了统计静态时序分析中的计算时间。与ASCM中的非嵌套式稀疏网格积分相比，本发明所提出的改进的嵌套式稀疏网格积分不仅计算精度更高，而且所用的积分点个数更少；与ASCM中的张量积积分方法比较，本发明所提出的改进的嵌套式稀疏网格积分具有与之相当的计算精度，同时积分点个数大为降低。实验 结果表明，本发明在保持与ASCM相当的计算精度下，计算时间降低了50%左右。
附图说明
图1是基于MASCM的统计静态时序分析算法流程；
图2是两输入MAX逼近中均值相对误差的比较；
图3是两输入MAX逼近中标准偏差相对误差的比较；
图4是两输入MAX逼近中计算时间的比较。
具体实施方式
本发明基于改进的自适应随机配置法MASCM的统计静态时序分析方法如图1所示，包含以下步骤：
步骤一：建立基于随机正交多项式的门单元及互连线的统计时延模型。首先对工艺参数扰动进行主元分析后得到的相互独立的d维正态分布的随机向量为                                                
Figure 182567DEST_PATH_IMAGE001
，这里
Figure 65073DEST_PATH_IMAGE002
表示随机变量个数。门单元和互连线的延时都可以表示为基于这些随机变量的二阶随机Hermite正交多项式展开的形式，即
       
Figure 479873DEST_PATH_IMAGE003
                 (1)
其中表示维Hermite随机正交多项式，Hermite正交多项式的具体形式见Janet Wang等人2004年发表在IEEE/ACM计算机辅助设计国际研讨会上的论文《现有过程变量中的内连性能的随机分析》。展开系数
Figure 94023DEST_PATH_IMAGE005
可以通过Satish Kumar. Y等人在IEEE/ACM 2005年设计自动化和测试欧洲国际研讨会和展览上发表的论文《一种考虑到过程变量和多输入转换的基于统计门延迟模型的概率配置方法》的建模方法获得。
步骤二：建立基于电路网表的时序图。电路网表中的门单元对应时序图中的节点，门单元之间的互连线则对应时序图中的边。
步骤三：将门单元及互连线延时模型分别映射到随机时序图中相应的节点和边，并添加一个虚拟的信号源点以及一个虚拟的信号接收点。虚拟的信号源点连接到所有主输入节点，所有主输出节点都连接到虚拟信号接收点。
步骤四：虚拟的信号源点处的延时记为零，从该节点出发以广度优先的方式遍历整个时序图。
步骤五：在遍历时序图时，对于时序图中边所对应的互连线，根据互连线输入端的到达时间和互连线的延时模型，利用SUM操作，求得信号经过互连线之后的到达时间，并将这一到达时间传递到下一级门单元。
假定互连线输入端的信号到达时间为
Figure 566592DEST_PATH_IMAGE006
                    (2)
互连线的延时模型为
Figure 476779DEST_PATH_IMAGE007
                  (3)
利用SUM操作可以计算出信号经过互连线之后的延时
Figure 402010DEST_PATH_IMAGE008
如下
Figure 436438DEST_PATH_IMAGE009
    (4)
步骤六：对于时序图中的节点所对应门单元，根据门单元各输入的到达时间，对门单元执行MAX操作，并对MAX操作进行逼近，求得信号经过门单元后的到达时间，表示为Hermite随机正交多项式的形式，并将输出到达时间传递到与这一门单元相连的互连线或门单元。
由于多输入门单元的MAX运算总可以通过逐对比较来得到，因此本发明以两输入的门单元的MAX操作逼近为例来进行说明。门单元的两个输入的到达时间模型可以用下式来表示：
           
Figure 763514DEST_PATH_IMAGE010
                  (5)
           
Figure 110181DEST_PATH_IMAGE011
                  (6)
利用改进的自适应随机配置法对
Figure 522708DEST_PATH_IMAGE012
进行逼近，步骤六的具体分步骤如下：
分步骤一：判断门单元的输入是否满足线性条件。
计算MAX的两个输入延时模型的均值和
Figure 279760DEST_PATH_IMAGE014
，以及标准方差
Figure 735012DEST_PATH_IMAGE015
和
Figure 697152DEST_PATH_IMAGE016
。判断MAX输入端延时模型的均值之差的绝对值是否大于三倍的标准偏差之和，即判断
Figure 263262DEST_PATH_IMAGE017
是否大于
Figure 299351DEST_PATH_IMAGE018
，若满足这一条件，则为门单元输入为线性情况，采用下面的分步骤二方法逼近
Figure 738554DEST_PATH_IMAGE012
；否则为非线性条件，转到分步骤三，采用改进的嵌套式稀疏网格积分法逼近
Figure 125673DEST_PATH_IMAGE012
。 
分步骤二：门单元输入满足线性条件，直接选取均值较大的输入到达时间作为MAX的输出。
若
Figure 292212DEST_PATH_IMAGE019
，则门单元的输出到达时间表示为
      
Figure 448387DEST_PATH_IMAGE020
       (7)
否则若
Figure 245442DEST_PATH_IMAGE021
，则门单元的输出到达时间表示为
Figure 667327DEST_PATH_IMAGE022
       (8)
分步骤三：门单元输入不满足线性条件，利用改进的嵌套式稀疏网格积分法逼近。
子步骤一：构造改进的一维扩展Gauss-Hermite数值积分。
首先，将MAX输出用二阶Hermite多项式来表示，即
       (9)
其中
Figure 881774DEST_PATH_IMAGE024
为待计算的展开系数。
然后，利用多维Hermite随机正交多项式的正交性，式(9)中的展开系数可以表示为
           
Figure 782166DEST_PATH_IMAGE025
            (10)
其中
Figure 228191DEST_PATH_IMAGE026
和分别表示随机变量
Figure 435498DEST_PATH_IMAGE028
所在的随机空间和联合概率密度函数。
式(10)中的多维积分可以用具有l阶精度的嵌套式稀疏网格积分
Figure 831976DEST_PATH_IMAGE029
来计算
    (11)
其中
Figure 129282DEST_PATH_IMAGE031
，
Figure 439040DEST_PATH_IMAGE032
，符号
Figure 322814DEST_PATH_IMAGE033
表示张量，
Figure 376220DEST_PATH_IMAGE034
表示具有阶积分精度的一维扩展Gauss-Hermite数值积分，其积分点序列
Figure 758977DEST_PATH_IMAGE036
如下所示，
              
Figure 51418DEST_PATH_IMAGE037
               (12)
式(11)中的d维嵌套式稀疏网格积分点集合
Figure 718636DEST_PATH_IMAGE038
的定义如下： 
                                       (13)
其中
Figure 64483DEST_PATH_IMAGE040
表示在第
Figure 172117DEST_PATH_IMAGE041
个变量上阶数为
Figure 567326DEST_PATH_IMAGE042
的扩展Gauss-Hermite积分点所构成的集合。
嵌套式稀疏网格积分公式(11)与ASCM方法中基于传统Gauss-Hermite积分点的非嵌套式稀疏网格数值积分相比，一维的积分点序列具有嵌套特性，即
Figure 17210DEST_PATH_IMAGE043
。而传统的一维Gauss-Hermite积分点序列为
Figure 346560DEST_PATH_IMAGE044
这一积分点序列则不具有嵌套特性，即。积分点满足嵌套性质后，在低精度配置点上已经得到的门延时可以重复使用，与非嵌套式积分点的方法相比，基于嵌套式积分点的稀疏网格数值积分方法的计算效率和精度可以得到很大的提升。因此，基于嵌套式积分点的稀疏网格数值积分方法的积分精度要远远高于ASCM中基于传统Gauss-Hermite积分点的非嵌套式稀疏网格积分方法，达到ASCM中基于传统Gauss-Hermite积分点的多维张量积分法相当的积分精度。但是基于嵌套式积分点的稀疏网格数值积分方法的积分点个数要略高于ASCM中基于传统Gauss-Hermite积分点的非嵌套式稀疏网格积分方法。
     本发明通过观察MAX操作的特性，对(11)式基于嵌套式积分点的稀疏网格数值积分方法进行了改进，提出了改进的嵌套式稀疏网格积分法来逼近
Figure 948760DEST_PATH_IMAGE012
。改进的嵌套式稀疏网格积分法的积分精度仍然远远高于ASCM中基于传统Gauss-Hermite积分点的非嵌套式稀疏网格积分方法，但是积分点个数则要少于基于传统Gauss-Hermite积分点的非嵌套式稀疏网格积分方法。同时，改进的嵌套式稀疏网格积分法也可以达到ASCM中基于传统Gauss-Hermite积分点的多维张量积分法的积分精度，非常适合于统计静态时序分析中的MAX操作逼近问题的求解。
在W. H. Press等人1992年在剑桥大学出版社出版专著《C语言的数字算法：科学计算的艺术》中有关于数值积分多项式精度的定义。通过实验观察发现MAX操作采用具有5阶多项式精度的数值积分就可以很好的进行逼近。在基于嵌套式积分点的稀疏网格数值积分方法中，一维的积分点序列(12)中
Figure 20752DEST_PATH_IMAGE046
具有15阶的多项式精度，显然如此高的积分精度对于提高MAX操作逼近精度没有很大贡献，但增加了计算复杂度。因此，本发明提出改进的嵌套式稀疏网格积分法来计算(10)式中的
Figure 509502DEST_PATH_IMAGE024
  
Figure 574410DEST_PATH_IMAGE047
   (14)
其中
Figure 97795DEST_PATH_IMAGE031
，
Figure 262061DEST_PATH_IMAGE032
，符号
Figure 316735DEST_PATH_IMAGE033
表示张量，
Figure 857438DEST_PATH_IMAGE048
表示具有阶积分精度的改进的一维扩展Gauss-Hermite数值积分，其积分点序列如下所示，
                      
Figure 361735DEST_PATH_IMAGE050
                       (15)
     与(12)式相比，在(15)式中，本发明用积分点集合
Figure 522107DEST_PATH_IMAGE051
来代替(12)式中的积分点集合
Figure 20085DEST_PATH_IMAGE046
。积分点集合
Figure 588469DEST_PATH_IMAGE051
具有5阶的多项式精度，仍然可以保证MAX操作逼近的精度，但是积分点的个数相比减少很多。
子步骤二：利用嵌套式稀疏网格积分法构造d维数值积分的积分点集合。
式(14)中的改进的嵌套式稀疏网格积分点集合
Figure 687192DEST_PATH_IMAGE052
的定义如下： 
                   
Figure 852726DEST_PATH_IMAGE053
                    (16)
其中
Figure 529695DEST_PATH_IMAGE054
表示在第
Figure 29946DEST_PATH_IMAGE041
个变量上阶数为的扩展Gauss-Hermite积分点所构成的集合。利用改进的一维扩展Gauss-Hermite数值积分构造的改进的嵌套式稀疏网格积分点集合中积分点个数要远远小于(13)式中嵌套式稀疏网格积分点集合
Figure 849632DEST_PATH_IMAGE038
中积分点个数。
     子步骤三：根据积分点集合，数值求解积分。
积分公式(14)可表示为如下形式：
                  (17)
其中
Figure 61487DEST_PATH_IMAGE056
，
Figure 388563DEST_PATH_IMAGE057
表示积分点
Figure 672914DEST_PATH_IMAGE058
处的积分权重。
Figure 632911DEST_PATH_IMAGE057
可以通过求解下面的方程获得。
         
Figure 660910DEST_PATH_IMAGE059
          (15)
上式中Hermite基函数的个数必须较大，满足方程最左边的矩阵的秩大于等于积分点的个数。
步骤七：判断是否遍历到信号接收点，如否，则转至步骤七；如是，则结束。
为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面通过两个具体的实例进一步说明本发明。
本发明的第一个实施例是两输入的随机MAX逼近，用于比较本发明所用的改进的嵌套式稀疏网格积分法与张量积积分法、非嵌套式稀疏网格积分和嵌套式稀疏网格积分法在计算精度和计算时间上的差别。本发明根据MAX的输入情况，将MAX逼近分为线性条件与非线性条件。线性条件下，MAX两输入的分布函数几乎无交叠。现有的ASCM方法将非线性条件进一步细分为强非线性条件和弱非线性条件。MAX两输入的分布函数严重交叠为强非线性条件，而弱非线性条件是指除了线性和强非线性条件之外的所有情况。在线性条件下，本发明与ASCM相同，均使用直接法来得到MAX输出；在弱非线性及强非线性条件下，ASCM分别使用非嵌套式稀疏网格积分法和张量积积分法来逼近MAX，而本发明在弱非线性以及强非线性条件下均使用改进的嵌套式稀疏网格积分法来逼近MAX。
图2和图3分别给出了在弱非线性以及强非线性条件下各种不同方法得到的MAX输出均值和标准偏差相对误差。图4和表1分别给出了两输入MAX逼近中各种方法在不同的随机变量数目情况下所用的计算时间以及配置点个数。由图2-4和表1可以看出：
1.            在弱非线性条件下，相比ASCM所用过的非嵌套式稀疏网格积分法，本发明所用的改进的嵌套式稀疏网格积分法不仅计算精度更高，所用的计算时间以及配置点个数更少；
2.            在强非线性条件下，ASCM所用的张量积积分法的精度很高，但其所用的计算时间以及配置点个数随着变量个数增加的速度很快，当变量个数超过8个以后，配置点个数及运行时间超过了Monte Carlo方法；相比ASCM所用的张量积方法，本发明所用的改进的嵌套式稀疏网格积分的精度与之相当，但计算时间以及配置点个数大为降低。
本发明的第二个实施例是基于65nm工艺的ISCAS85测试电路，用于比较本发明和ASCM方法之间计算精度和效率。表2给出了9个测试电路的实验结果，包括与基于10000次采样的蒙特卡罗方法相比较而得到的均值和方差相对误差和计算时间。从表2可以看出，与ASCM方法相比，本发明具有与之相当的计算精度，但计算时间有50%左右的降低。另外，与蒙特卡罗方法相比，本发明的计算误差在0.6%以内，而计算速度有30倍左右的提升。
表1
Figure 904809DEST_PATH_IMAGE060
表2
Figure 360062DEST_PATH_IMAGE061

Claims (3)

1.一种统计静态时序分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一：建立基于随机正交多项式的门单元及互连线的统计时延模型；
步骤二：读取电路网表，建立基于电路网表的时序图；
步骤三：将门单元及互连线延时模型分别映射到随机时序图中相应的节点和边，并添加一个虚拟的信号源点以及一个虚拟的信号接收点；
步骤四：虚拟的信号源点处的延时记为零，从该节点出发以广度优先的方式遍历整个时序图；
步骤五：在遍历时序图时，对于时序图中边所对应的互连线，根据互连线输入端的到达时间和互连线的延时模型，利用SUM操作，求得信号经过互连线之后的到达时间，并将这一到达时间传递到下一级门单元；
步骤六：对于时序图中的节点所对应门单元，根据门单元各输入的到达时间，对门单元执行MAX操作，并对MAX操作进行逼近，求得信号经过门单元后的到达时间，表示为Hermite随机正交多项式的形式，并将输出到达时间传递到与这一门单元相连的互连线或门单元；
步骤七：判断是否遍历到信号接收点，如否，则转至步骤四；如是，则结束。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤六所述门单元MAX操作逼近方法，包括以下分步骤：
分步骤一：判断门单元的输入是否满足线性条件；
分步骤二：门单元输入满足线性条件，直接选取均值较大的输入到达时间作为MAX的输出；
分步骤三：门单元输入不满足线性条件，利用改进的嵌套式稀疏网格积分法逼近MAX操作。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述的分步骤三的嵌套式稀疏网格积分法，包括以下子步骤：
   子步骤一：构造改进的一维扩展Gauss-Hermite数值积分，其积分点序列                                                
Figure 540036DEST_PATH_IMAGE001
如下所示，
                                  
Figure 919196DEST_PATH_IMAGE002
      
   子步骤二：利用嵌套式稀疏网格积分法构造d维数值积分的积分点集合如下：
                             
Figure 955285DEST_PATH_IMAGE003
   子步骤三：根据积分点集合，数值求解积分如下：
      
Figure 643755DEST_PATH_IMAGE004
(17)
其中
Figure 765295DEST_PATH_IMAGE005
表示积分点
Figure 948146DEST_PATH_IMAGE006
处的积分权重。
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