CN103093019B - 一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法 - Google Patents

Abstract

本发明属电路分析领域，涉及一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布的分析方法。本发明结合模拟电路符号仿真技术、控制论中的Routh Table等稳定性判别方法、区间计算方法、高维空间切分技术和重要性采样蒙特卡洛方法，建立一个完整的模拟电路在多参数空间中鲁棒稳定性分布分析方法。该方法克服了现有技术的不足，采用区间计算方法，得到的稳定性结论是确定性的结论；采用参数轴相关性优先的切分技术，有效地提升高维参数空间中的切分效率；针对无法判定稳定性的电路参数向量集合，采用基于体积的重要性采样蒙特卡洛方法对其稳定百分比进行估算。该方法可解决模拟电路在参数空间中稳定性分布问题和稳定百分比等统计问题。

Description

一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法

技术领域

本发明属电路分析方法领域，具体涉及一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法。

背景技术

现有技术公开的集成电路生产制造工艺中，流片所得到器件的几何和电学参数与设计标称值之间的相对误差不大，但随着集成电路半导体制造技术向65nm/45nm/32nm工艺节点发展，复杂工艺如纳米工艺下亚波长光刻、大马士革铜互连和化学机械抛光(ChemicalMechanical Polishing,CMP)等被广泛采用，使得实际制造出的硅片图案与设计版图偏差日益严重[1,2]。光刻工艺中光波的干涉和衍射效应使得硅片上的版图在水平方向发生严重畸变，CMP工艺则会导致铜或介质在垂直高度方向发生偏差。例如在45纳米工艺中，CD的三倍标准偏差已可达其均值的35％以上[3]。在集成电路制造过程中，由于工艺扰动等原因，导致实际制造出来的电路参数与设计的标称值之间存在明显的不一致，这将对电路的稳定性产生显著影响，从而最终影响成品率。

因此，针对模拟集成电路稳定性分析，仅分析电路参数在标称值一点处的稳定状况已不能满足设计者的需求，他们更关心当多个电路参数同时发生变化时，在整个参数变化空间中电路稳定性的分布状况，即找到在参数变化空间中的哪些区域系统稳定，哪些区域系统不稳定，并由此计算稳定区域体积与总的参数空间的体积比，称为稳定百分比。但是，在高维多参数空间中，分析模拟电路的稳定性分布并不容易。如一个经典的RAFFC放大器[4]含有11个电路元件参数，约减后仍有7个参数。为计算该电路在整个参数空间中的稳定性分布，若每个参数轴上仅采10个点，张量积后总的采样次数将达到10⁷，这种计算量随着维度指数膨胀是高维稳定性分布分析的瓶颈问题。因此，针对模拟电路稳定性分布问题，必须采用高效的分析方法解决高维下计算量大的难题。

目前，针对模拟电路多参数鲁棒稳定性分布的分析方法主要有：控制理论中鲁棒稳定性分析、蒙特卡洛分析方法、模拟电路符号仿真与敏感性分析方法以及区间计算方法等，但这些方法都有各自的适用范围。

目前，关于鲁棒稳定性，控制理论中有考虑特征多项式系数之间完全独立的Kharitonov定理、系数之间呈线性相关的棱边定理(Edge Theorem)等理论结果[5]。但电路设计者关心的并不是多项式系数扰动而是实际电路参数的扰动，将电路参数转化为特征多项式的系数后，系数之间将呈现复杂的非线性关系而不再保留独立性。遗憾的是，当特征多项式系数之间呈非线性相关性时，控制理论中关于鲁棒稳定性问题并没有相应的理论结果。

蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法是在参数空间进行随机采样，并对每一个采样电路，应用稳定性的“点分析”方法获得该采样点处的稳定状况，通过大量采样点得到参数空间中稳定性的分布状况，并统计得到稳定百分比[6]。蒙特卡洛方法优点在于实现简单，可以反复调用确定系统的求解方法获得稳定性分布。但它的缺点也非常明显：首先，为满足精度要求需大量采样，且计算量随参数维度的增加呈指数膨胀，难以适用于高维的稳定性分布分析。其次，离散的“点采样”方式不可能取尽连续空间中的所有值，因此它属于非确定性方法，它给出的统计结论是概率意义下的。例如，在一个很小区域内，即使进行100万次蒙特卡洛采样且得到100万个采样系统均稳定的结果，也不能判断系统在该区域是稳定的。

模拟电路的符号仿真和敏感性分析方法是一类高效的电路分析方法，它可用于电路参数变化时稳定性分布的分析。在SPICE等传统的电路仿真工具中，电路参数为数值并进行数值矩阵运算。符号型仿真工具与此不同，其电路参数为符号，通过符号矩阵方法如DDD[7,8]或直接利用电路拓扑进行符号化分析如GRASS[9,10]，得到模拟电路的传递函数表达式，并在此基础上求得频域中传递函数关于任意电路参数、版图尺寸等参数的导数的符号表示，即频域敏感度[11]。获得传递函数和频域敏感度的符号表达式有助于设计者对电路关键参数进行优化，通过敏感度的直观显示，让设计者洞察电路参数变化是如何影响电路性能的。但是，并非所有电路的稳定性都可采用符号表达。依据控制理论中关于系统稳定性的定义，电路稳定即要求传递函数的分母特征多项式的根均在左半平面[12]，但只有四阶以内的多项式，其根才有显式的表达式[13]。因此，对于大于四阶的特征多项式，无法从传递函数得到稳定性的解析表达式，即高阶电路的稳定性分析难以应用符号化方法。第二，即使得到稳定性的符号表达式，但在高维参数空间中统计其稳定百分比也绝非易事。例如，对于一个有7个电路参数(p1,…,p7)的二阶带通滤波器，每个参数在一个区间范围内变化，需要计算电路参数变化空间中稳定电路的百分比。由于电路阶数低，可直接得到传递函数分母D(s)的根的实部关于电路参数的解析表达式记为f(p1,…,p7)，稳定性问题转变为计算一个7维电路参数向量中，满足f(p1,…,p7)<0部分的参数空间的体积与总参数变化空间的体积之比。由于隐函数f(p1,…,p7)＝0代表一个高维空间中复杂非线性曲面，计算它两侧的体积并不容易。因此对于这样一个“简单”问题的稳定性分布分析也绝非易事，需要寻找其它高效的方法。

区间计算最初由R.E.Moore博士在1966提出[14]。它把计算的数存储为区间这里分别代表区间X的上下界，并保证对这些区间进行运算时，区间计算的结果包含值域中所有可能取值，从而提高了计算结果的可靠性，具有重要的实用意义。由于区间计算仅在区间端点进行而不用涉及区间内部的点，因此区间计算效率非常高。

目前，区间计算方法已发展出一整套实函数方程区间迭代法，实非线性方程组区间迭代法，一致性方法(Consistencies)等数学方法，并应用于带扰动线性和非线性区间矩阵求解、无约束和不等式、等式约束的全局优化等数学问题中[15]。在电路分析中区间计算也有广泛的应用[16]。Kolev将区间计算方法引入鲁棒电路分析之中[16]，Dreyer将符号运算和区间运算用于模拟电路分析[17,18]。Kolev利用控制理论中的Routh准则和Frazer-Duncan准则并结合Affine算术(一种改进的区间计算方法)用于线性系统的鲁棒稳定性分析[19]。遗憾的是，由于该方法没有引入空间切分策略，无法直接应用于稳定性分布分析。Ratschek提出了切片、子切片和二分等切分策略用于求解一个9维电路设计问题的一个可行解[20]，但该方法无法直接应用于求解整个参数变化空间的稳定性分布问题。

综上所述，针对模拟电路参数空间中鲁棒稳定性分布分析的问题，现有的控制论方法无法解决参数之间的非线性相关性问题；蒙特卡洛方法计算量大，属于非确定性方法无法判断区域的稳定性，只能解决低维问题；符号仿真与敏感性分析方法只能处理低阶电路的稳定性问题；区间计算尚没有直接可用的方法。为克服现有技术方法的不足，本发明拟将利用模拟电路的符号仿真技术和区间计算方法，并结合控制论中的Routh Table稳定性判定法则[12]、高维空间切分技术和重要性采样(Important sampling)的蒙特卡洛方法，解决模拟电路在参数空间中稳定性分布问题和稳定百分比等统计问题。

与本发明相关的参考文献有：

[1]J.G.Bralla,“The Design for Manufacturability Handbook”,McGraw HillProfessional Publishing,1998.

[2]S.Borkar,et al.,“Parameter Variations and Impact on Circuits andMicroarchitecture,”IEEE/ACM DAC,pp.338-342,June 2003.

[3]S.Nassif,“Modeling and Analysis of Manufacturing Variations”,IEEECICC,pp.223-228,2001.

[4]Grasso,A.D.,Palumbo,G.and Pennisi,S.Advances in reversed nestedMiller compensation.IEEE Transactions on Circuits and Systems I:RegularPapers.vol.54(7),1459--1470,July 2007.

[5]S.P.Bhattacharyya,H.Chapellat&L.H.Keel.Robust Control–TheParametric Approach,Pretice Hall,Upper Saddle River,NJ,1995.

[6]P.Wambacq,G.Gielen,and W.Sansen.Symbolic network analysis methodsfor practical analog integrated circuits:a survey.IEEE Trans.on Circuits andSystems–II:Analog and Digital Signal Processing.vol.45(10),pp.1331–1341,1998.

[7]C.-J.Shi and X.-D.Tan.Canonical symbolic analysis of large analogcircuits with determinant decision diagrams.IEEE Trans.on Computer-AidedDesign of Integrated Circuits and Systems.vol.19,no.1,pp.1–18,January 2000.

[8]S.-D.Tan and C.-J.Shi.Efficient approximation of symbolicexpressions for analog behavioral modeling and analysis.IEEE Trans.onComputer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems,vol.23,no.6,pp.907–918,June 2004.

[9]Shi G,Chen W,Shi C J R.A graph reduction approach to symboliccircuit analysis.Proc.Asia South-Pacific Design Automation Conference(ASP-DAC),Yokohama,Japan:IEEE,2007:197-202

[10]G.Shi and X.Meng.Variational analog integrated circuit design viasymbolic sensitivity analysis.IEEE International Symposium on Circuits andSystems.pp.3002-3005.2009.

[11]Yang,H.Symbolic sensitivity analysis techniques and applicationsin analog circuit synthesis.Phd.Dissertation.University of Cincinnati.2006.

[12]Norman Nise.Control Systems Engineering.5th Ed.,Wiley.2007.

[13]Henning E.Matrix Approximation Techniques for Symbolic Extractionof Poles and Zeros.Analog Integrated Circuits and Signal Processing.31:81-100,2002.

[14]Moore,R.E.Interval Analysis,Prentice-Hall,Englewood Cliffs,NewJersey,1966.

[15]Eldon Hansen,G.William Walster.Global Optimization Using IntervalAnalysis.Marcel Dekker,Inc.NEW YORK 2004.

[16]L.V.Kolev.Interval methods for circuit analysis.World Scientificpublishing Co.Pte.Ltd.MA,USA.1993.

[17]Dreyer,A.Combination of symbolic and interval-numeric methods foranalysis of analog circuits.Proc.8th International Workshop on SymbolicMethods and Applications in Circuit Design(SMACD 2004).

[18]Dreyer,A.Interval Analysis of Linear Analog Circuits.ScientificComputing,Computer Arithmetic and Validated Numerics,SCAN 2006.12th GAMM-IMACS International Symposium.

[19]L.Kolev.Interval Raus criterion for stability analysis of linearsystems with dependent coefficients in the characteristic polynomial.27th IntSpring Seminar on Electronics Technology.2005,130-135.

[20]H.Ratschek.Experiments using interval analysis for solving acircuit design problem.Journal of Global Optimization.1993,501-518.

[21]Mingguang,Yi,Stability consideration for high-frequency activefilters.Acta elecronica sinica,vol.20(5),pp.81-84,1992.。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术的不足，针对模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的问题，提供一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法。

本发明利用模拟电路的符号仿真技术，并结合控制论中的Routh Table稳定性判别方法、区间计算方法和高维空间切分技术、重要性蒙特卡洛采样方法，形成一个在参数扰动空间中，模拟电路鲁棒稳定性分布的分析方法，该方法能解决模拟电路稳定性分布和稳定百分比等统计问题。

具体而言，本发明的一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法，其特征在于，结合区间计算方法和参数轴相关性优先的切分方法，依照稳定性对参数空间进行切分，其包括步骤：

(1)利用符号仿真工具，从电路网表计算得到电路传递函数；

(2)利用稳定性判定方法，将模拟电路的稳定性判定问题转化为为非线性不等式组的区间计算问题；

(3)利用区间计算方法和参数轴相关性优先的切分方法，采用递归的方式将参数空间切分为：电路为稳定、电路为不稳定、不能确定电路是否稳定三类不同的参数向量的集合；

(4)针对不确定的电路参数向量集合，以体积为权重，利用重要性蒙特卡洛采样方法估算其稳定性的百分比；

(5)利用稳定、不稳定电路参数向量的集合，以及不确定电路参数向量集合的稳定百分比，计算电路参数空间的稳定百分比；

最终，整个方法的输出为：稳定、不稳定和不确定这三类不同电路参数向量的集合，构成该电路的稳定性分布；同时获得电路参数空间的稳定百分比。

本发明中，

输入为：(1)模拟电路的网表或电路图；(2)电路参数的标称值和扰动范围；

输出为：(1)电路的稳定性分布，即电路为稳定、电路为不稳定、不能确定电路是否稳定(称为不确定)三类不同的参数空间的电路参数向量集合；(2)参数空间的稳定百分比。

本发明中，通过连续的五个步骤获得模拟电路的稳定性分布，具体包括：

第一步：输入模拟电路的网表，利用符号仿真工具，从电路网表计算得到模拟电路传递函数的符号表示H(s；p)；

第二步：利用Routh Table稳定性判定方法，将给定传递函数H(s；p)的电路稳定性判定问题转化为非线性不等式组的区间计算问题；

第三步：利用区间计算方法和参数轴相关性优先切分方法，利用递归的方式将参数向量p切分为：电路为稳定、电路为不稳定、不能确定电路是否稳定三类不同的参数向量的集合；

第四步：针对不能确定电路是否稳定的电路参数向量集合，以体积为权重，利用重要性采样蒙特卡洛方法估算其稳定性的百分比；

第五步：利用电路为稳定、电路为不稳定电路参数向量的集合，以及不确定电路参数向量集合的稳定百分比，计算参数空间的稳定百分比。

本发明方法的主要技术特点有：第一，属于确定性方法。该方法判定稳定性采用的是区间计算方法，因此，若参数空间中的一个电路参数向量被判定为稳定，则该电路参数向量内所有点均稳定，它是严格和确定的；而基于采样的蒙特卡洛方法，它的结果是概率意义下的，无法得出该立方体内全部稳定的结论。第二，本方法中，提出关于参数轴相关性优先的切分技术并结合参数空间的“二分法”，它有效地提升了高维参数空间中的切分效率。第三，对于最终无法判定稳定性的电路参数向量，提出采用基于体积的重要性蒙特卡洛采样方法对稳定百分比进行估算。

更具体的，本发明通过下述步骤建立模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法：

第一步：输入模拟电路的网表，利用符号仿真工具，从电路网表计算得到模拟电路传递函数的符号表示H(s；p)

利用符号仿真工具得到的电路传递函数的符号表示H(s；p)为：

$H(s;p)=\frac{N(s;p)}{D(s;p)},---\left(1\right)$

其中传递函数的分母为特征多项式：

这里，n为特征多项式的阶数，a₀,a₁,...,a_n是特征多项式的系数，s是谱域变量，p＝(p₁,...,p_j,...,p_m)是一个m维的电路参数向量，其中每个电路参数均在一定区间范围内扰动，即其中p _j和分别表示电路参数p_j扰动区间的下界和上界，是m个电路参数构成的m维实区间参数空间，简称参数空间，其中代表实数区间。

第二步：利用控制理论中的Routh Table稳定性判定法则，将给定传递函数H(s；p)的模拟电路稳定性判定问题转化为判定非线性不等式组是否满足的区间计算问题。

对于传递函数为H(s；p)＝N(s；p)/D(s；p)的模拟电路，当且仅当其n阶特征多项式D(s；p)的根均在左半平面时电路稳定，且电路稳定的必要条件是特征多项式D(s；p)的系数均为正数，即：

a_i＞0,i＝0,1,...,n. (3)

控制论中著名的Routh Table稳定性法则给出了判定一个系数a_i＞0的系统稳定的充分必要条件。该方法定义一个称为Routh Table矩阵，形如：

其中，元素b_i和c_i定义为：

b_i＝(a_n-1a_n-2i-a_na_n-2i-1)/a_n-1,c_i＝(b₁a_n-2i-a_n-1b_i+1)/b₁ (5)

利用新产生的两行元素b_i和c_i替代原来的两行a_i结果，再利用(5)重新产生新的b_i和c_i两行元素，并反复迭代，从而最终计算得到所有Routh Table的(n+1)行的结果。

Routh Table稳定性法则指出：系统稳定的充分必要条件为系数a_i＞0且RouthTable中第一列的所有元素为正数，即：

$\begin{array}{c}{a}_i>0,i=\mathrm{0,1},...,n,\\ r_{\mathrm{ii},1}>0,\mathrm{ii}=3,...,n+1\end{array}---\left(6\right)$

其中，r_ii,1表示式(4)中第ii行的第一列元素。

系数a_i是关于电路参数p＝(p₁,...,p_j,...,p_m)的非线性函数。因此，非线性不等式组(6)可记为：

$\begin{array}{c}{f}_i\left(p\right)=a_i\left(p\right)>0,i=\mathrm{0,1},...,n\\ f_{n+1}\left(p\right)=r_{\mathrm{3,1}}\left(p\right)>0\\ ...\\ f_k\left(p\right)=r_{n+\mathrm{1,1}}\left(p\right)>0\end{array}---\left(7\right)$

其中k＝2n-1。

式(7)可简记为：

F(p)＞0,F∈{f₀,...,f_k}. (8)

由于电路参数p＝(p₁,...,p_j,...,p_m)^T在一定范围内扰动，而不是一个具体值，因此可由区间值表达，即其中p _j和分别表示电路参数p_j扰动范围的下界和上界。因此利用区间计算的性质，可得到电路在参数扰动情况下稳定的充分条件为：

[F](p)＞0,F∈{f₀,...,f_k}. (9)

其中，函数[F]为函数F的区间扩展函数(interval extension function)[14]。

相似地，可得到系统不稳定的充分条件为：

any[F](p)＜0,F∈{f₀,...,f_k}. (10)

式(9)和式(10)即为所得的稳定性判定方法，它将模拟电路鲁棒稳定性的判定问题转化为判定非线性不等式组是否满足的区间计算问题。

第三步：参数空间的切分

利用区间计算方法和参数轴相关性优先的切分方法，通过递归方式将原始参数向量p切分为三类参数向量的集合：稳定、不稳定和不确定。具体算法框图如图2所示。

稳定性分布计算的递归算法

输入：函数F(p),p＝(p₁,...,p_j,...,p_m),是m维的电路参数向量，参数空间总的体积V，最小阈值ε。

输出：三类参数向量的集合：稳定集合Φ_s、不稳定集合Φ_us、不确定集合Φ_uc。

第(0)步：初始化：设置稳定集合Φ_s、不稳定集合Φ_us、不确定集合Φ_uc为空集；

第(1)步：计算m维电路参数p张成的体积

第(2)步：计算式(9)，若满足式(9)不等式，则系统稳定，将p加入稳定集合Φ_s中并跳转至第(7)步；

第(3)步：计算式(10)，若满足式(10)不等式，则系统不稳定，将p加入不稳定集合Φ_us中并返回并跳转至第(7)步；

第(4)步：若满足vol/V<ε，将p加入不确定集合Φ_uc中并跳转至第(7)步；

第(5)步：调用CFBM(Correlation First Bisect Method)算法，将m维参数p构成的空间按照相关性优先的原则，采用二分法切分为子空间的集合ps；

第(6)步：对子空间集合ps中的每一个元素，递归调用本稳定性分布计算算法；

第(7)步：结束。

本发明中，所述的参数轴相关性优先的切割算法(CFBM)，通过如下步骤：

对于给定的函数f_i(p),i＝1,...,k.其中：p＝(p₁,...,p_j,...,p_m)，p_j为第j维上的区间变量(interval variable)，k与式(7)中定义一致。

引入另外一个区间变量p′_j满足则定义p_j与p′_j之间关于f_i(p)的长度比率(length ratio)为：

$l_{f_i}(p_j^{\&prime;},p_j)=\frac{w(\&lsqb;f_i\&rsqb;(p_1,...,p_j^{\&prime;},...p_m\left)\right)}{w(\&lsqb;f_i\&rsqb;(p_1,...,p_j,...p_m\left)\right)},---\left(11\right)$

其中，w是计算区间长度的函数，即：[f_i]是函数f_i的区间扩展函数。

若固定p′_j的左顶点与p_j的左顶点一致，则可定义：

$L_{f_i,p_j}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=l_{f_i}(\&lsqb;{\underset{\&OverBar;}{p}}_j,{\underset{\&OverBar;}{p}}_j+w(p_j)\&CenterDot;\mathrm{\&lambda;}\&rsqb;,\&lsqb;{\underset{\&OverBar;}{p}}_j,{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_j\&rsqb;),\mathrm{\&lambda;}\&Element;\&lsqb;0,1\&rsqb;.---\left(12\right)$

同理，固定p′_j的右顶点与p_j的右顶点一致，可定义：

$R_{f_i,p_j}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=l_{f_i}(\&lsqb;{\underset{\&OverBar;}{p}}_j+w(p_j)\&CenterDot;\mathrm{\&lambda;},{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_j\&rsqb;,\&lsqb;{\underset{\&OverBar;}{p}}_j,{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_j\&rsqb;),\mathrm{\&lambda;}\&Element;\&lsqb;0,1\&rsqb;.---\left(13\right)$

则在函数f_i(p)与轴p_j之间可以构造一个相关矩阵L_kxm，其中矩阵元素l(i,j)定义为：

$l(i,j)=1-\frac{L_{f_i,p_j}\left(0.5\right)+R_{f_i,p_j}\left(0.5\right)}{2}.---\left(14\right)$

则依据相关性优先，挑选将进行切分的轴j为：

$optaxisj=\underset{j=\mathrm{1..}m}{max}\underset{f_{i}straddlingover0,i=\mathrm{1..}k}{\mathrm{\&Sigma;}}l(i,j).---\left(15\right)$

因此，第(5)步调用的CFBM算法具体分为三个步骤,其算法框图如图3中所示。

输入：函数F(p),p＝(p₁,...,p_j,...,p_m)是m维的电路参数向量；

输出：切分后的子空间集合ps。

第(5.1)步：依式(14)计算相关矩阵L_kxm；

第(5.2)步：依据相关性优先，按照式(15)选择最优轴j；

第(5.3)步：沿轴j将电路参数向量p均匀分割为两个电路参数向量，即：

p_j1＝(p₁,...,[p _j,mid(p_j)],...,p_m),

$p_{j2}=(p_1,...,\&lsqb;mid(p_j),{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_j\&rsqb;,...,p_m),---\left(16\right)$

$mid\left(p_j\right)=\frac{{\underset{\&OverBar;}{p}}_j+{\stackrel{\&OverBar;}{p}}_j}{2}$

并将切分后的向量p_j1,p_j2存放在集合ps中，即ps＝{p_j1,p_j2}。

第四步：针对不确定参数向量的集合Φ_uc，以体积为权重，利用重要性采样蒙特卡洛方法估算其稳定性的百分比。

通过上述第三步后，最初的参数向量p被分解为稳定集合Φ_s、不稳定集合Φ_us、不确定集合Φ_uc。它们给出了参数空间中稳定性的分布状况。并显然有：

V＝V_stable+V_unstable+V_uncertain (17)

其中，V为原始参数空间的体积，V_stable，V_unstable和V_uncertain分别为稳定、不稳定和不确定集合内参数向量的体积。

如需要更准确地计算稳定性的百分比，需要针对不确定电路参数向量集合中的元素，以它们的体积作为权重，进行重要性蒙特卡洛采样。即每一个电路参数向量内采样点的个数为：

$N_i=\frac{V_i}{V_{uncertain}}\&CenterDot;N,V_{uncertain}=\underset{j=1}{\overset{\#uncertain}{\mathrm{\&Sigma;}}}{V}_j---\left(18\right)$

其中，N_i为不确定电路参数向量集合中第i个电路参数向量的采样点个数，V_uncertain为不确定电路参数向量集合中电路参数向量的总体积，N为总的采样点个数，V_i为第i个电路参数向量的体积，#uncertain为不确定电路参数向量集合中元素的个数。

针对不确定电路参数向量集合中的每个电路参数向量，进行随机蒙特卡洛采样，并对每个采样点，按照Routh Table稳定性判定法则判断其稳定性，最终得到每个电路参数向量的稳定百分比的计算公式为：

${\mathrm{Sp}}_i=\frac{S_i}{N_i}\&times;100\%---\left(19\right)$

其中，Sp_i为第i个电路参数向量的稳定百分比(stable percent)，S_i为第i个电路参数向量中稳定的采样点个数。

最终，不确定电路参数向量集合整体的稳定百分比Sp_uncertain的计算为：

${\mathrm{Sp}}_{uncertain}=\&lsqb;\underset{k=1}{\overset{\#uncertain}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{Sp}}_i\frac{V_i}{V_{uncertain}}\&rsqb;\&times;100\%.---\left(20\right)$

第五步：利用稳定集合Φ_s、不稳定集合Φ_us，以及不确定集合Φ_uc的稳定百分比，计算全参数空间的稳定百分比。

可得到参数空间中稳定百分比Sp为：

$Sp=\frac{V_{stable}+V_{uncertain}\&CenterDot;{\mathrm{Sp}}_{uncertain}}{V}\&times;100\%.---\left(21\right)$

最终，电路参数空间被分解为：稳定电路参数向量的集合、不稳定电路参数向量集合以及不确定电路参数向量的集合，它们就给出了参数空间中稳定性的分布状况；同时，式(21)给出了电路参数空间稳定的百分比。

应用本发明方法，可对模拟电路的分析与设计具有指导作用。1)该方法可给出当电路参数在标称值附近扰动时，电路稳定的百分比，该统计分析结论可用于电路成品率的分析中。2)由于该方法也给出了在参数空间中稳定性的分布状况，因此，可以为电路设计者优化电路参数、选择合适的电路工作点提供指导。

本发明方法的优点有：

1.本方法判定参数空间中电路参数向量的稳定性是结合Routh Table稳定性判定法则和区间计算方法，其结论是严格和精确的。即若参数空间中的一个电路参数向量被判定为稳定(或不稳定)，则表明该电路参数向量内所有点均稳定(或不稳定)。而蒙特卡洛方法，由于采样的原因，它的结论是概率意义下的。因此，不同于蒙特卡洛这类非确定方法，本方法属于确定性方法。

2.在本方法中，采用关于参数轴相关性优先的切分技术，能有效地提升高维参数空间中的切分效率。

3.对于难以判定其稳定性的电路参数向量，本方法提出采用基于体积的重要性采样的蒙特卡洛方法对其稳定百分比进行估算，有效地提高了计算效率。

附图说明

图1一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布的分析方法流程图。

图2稳定性分布计算的递归算法框图。

图3参数轴相关性优先的空间切割算法(CFBM)框图。

图4采用RAFFC技术的三阶补偿电路图。

图5双二次带通滤波器电路图。

图6稳定百分比与切分次数(或采样点)个数之间。

具体实施方式

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面通过一些具体的实例进一步说明本发明。

实施例1

通过本实施例将本发明方法得到的稳定百分比与随机切分方法、蒙特卡洛方法之间的结果比较。

模拟电路采用的是一个逆主动反馈频率补偿(reversed active feedbackfrequency compensation,RAFFC)的三级运算跨导放大器(three-stage operationaltransconductance amplifier)[4](电路图如图4所示)。由于电路参数满足g_m2＝g_m3＝g_mf,r₀＝r₀₁r₀₂r₀₃，其中g_m2,g_m3,g_mf是跨导，r₀₁,r₀₂,r₀₃是电阻，电路参数个数可从11个缩减为7个。其中电路参数的标称值分别为：

g_m1＝140uA/V,g_mb＝340uA/V,g_mf＝390uA/V

C_C1＝11pF,C_C2＝0.35pF,C_L＝500pF

r₀＝[10¹⁵,10²⁰]

其中，g_m1,g_mb,g_mf,C_C1,C_C2,C_L在标称值附近给予±20％的扰动。需估算该电路的稳定百分比。按下述步骤进行分析：

第一步：利用符号仿真工具，计算该电路的传递函数。

利用SapWin符号仿真工具[17]，得到该电路的小信号开环传递函数为[4]：

$A_v\left(s\right)=\frac{A_0(1+{\mathrm{sb}}_1+s^2{b}_2)}{(1+s/{\mathrm{\&omega;}}_{P1})\&lsqb;1+{\mathrm{sa}}_1+s^2{a}_2\&rsqb;}---\left(22\right)$

其中：

$\begin{array}{c}{a}_1=C_{C2}\{(g_{m2}+g_{\mathrm{mf}}-g_{m3})C_{C1}+g_{m2}{C}_L\}/\left(g_{m2}{g}_{m3}{C}_{C1}\right)\\ a_2=C_{C2}{C}_L/\left(g_{\mathrm{mb}}{g}_{m3}\right),{\mathrm{\&omega;}}_{P1}\&cong;1/\left(C_{C1}{r}_{01}{g}_{m2}{r}_{02}{g}_{m3}{r}_{03}\right)\end{array}---\left(23\right)$

第二步：利用Routh Table稳定性判定方法，将稳定性判定问题转化为判定非线性不等式组是否满足的区间计算问题，得到的不等式组为F∈{f₁,...,f₅}，其中：

f₁＝1

f₂＝1/ω_P1+(C_C1+C_L)/(g_m3·C_C1)·C_C2

f₃＝1/ω_P1·(C_C1+C_L)/(g_m3·C_C1)·C_C2+(C_C2·CL)/(g_mb·g_m3) (24)

f₄＝1/ω_P1·(C_C2·C_L)/(g_mb·g_m3)

f₅＝f₂-f₁·f₄/f₃

第三步：利用区间计算和参数轴相关性优先切分方法，计算得到结果如下表I所示：

表I.电路参数向量的数目与体积百分比之间的比较

其中：CFBM即为参数轴相关性优先切分方法，而Bi_rand为随机选择参数轴进行切分的方法。

从表I可以看到，若采用随机选择参数轴的方法，需要进行2340次切割，而且最终确定稳定的百分比为89.81％，尚有10.19％的部分无法确定其稳定状况。而采用本方法的参数轴相关性优先切分方法后，仅需要进行2次切割，并且可以得到稳定百分比为100％(该电路的理论解为100％稳定)，不确定的部分为空集。

特别值得指出的是，本发明提出的方法属于确定性方法。即可以断言，在本实施例给出的扰动参数空间中，没有不稳定的点。蒙特卡洛方法尽管所有采样点均稳定，但它还是无法得出该结论的。

实施例2

例2给出一个高阶的双二次带通滤波器(Biquadratic Band Pass Filter)的计算结果，电路图如图5所示[21]。其中，理想电压放大器满足A₁＝A₂＝A₃，且逆传输系数(reverse transmission coefficient)满足μ＝1/A(s)，A(s)＝μ₀+s/ω_u，μ₀＝1/A₀，ω_u＝A₀ω₁。利用R＝R₁,R₃＝R₄关系，电路参数的个数可由7个降为5个。其电路参数的标称值为：

R＝10³Ω,R₂＝1.9e4Ω,R₃＝10⁴Ω,C＝1.6e3pF,ω_u＝30.16Mhz

并在标称值附近给予±15％的扰动。需要估算该电路的稳定百分比。

按本发明方法的步骤：

第一步：利用符号仿真工具，计算该电路的传递函数。

利用SapWin符号仿真工具，计算得到该电路的传递函数为：

$H\left(s\right)=-\frac{R_2}{R_1}\&CenterDot;\frac{{\mathrm{\&omega;}}_0}{Q}\&CenterDot;\frac{\&lsqb;s+{\mathrm{\&mu;}}_0({\mathrm{\&omega;}}_0+s)\&rsqb;}{D\left(s\right)}---\left(25\right)$

其中：ω₀＝1/(RC),Q＝(R₁+R₂)/(2R₁)，特征多项式D(s)为一个5阶多项式，其系数分别为：

$a_0\&ap;2/{\mathrm{\&omega;}}_u^3,a_1\&ap;5/{\mathrm{\&omega;}}_u^2,a_2\&ap;4/{\mathrm{\&omega;}}_u,a_3\&ap;1,a_4\&ap;{\mathrm{\&omega;}}_0/Q,a_5\&ap;{\mathrm{\&omega;}}_0^2---\left(26\right)$

第二步：利用Routh Table稳定性判定方法，将稳定性判定问题转化为判定非线性不等式组是否满足的区间计算问题，

考虑到简化关系μ₀＜＜1,ω_u＞＞ω₀，简化后得到的不等式组为F∈{f₁}[21]，其中：

f₁＝R²*C*ω_u-2*(R+R₂) (27)

显然，参数空间降为一个4维的问题[R,R₂,C,ω_u]。

第三步：利用区间计算和参数轴相关性优先切分方法，计算得到结果如图6所示。其中：CFBM即为参数轴相关性优先切分方法，而Bi_rand为随机选择参数轴进行切分的方法。

如图6所示，在相同切割次数的前提下，本发明方法的参数轴相关性优先切分方法获得的稳定性电路参数向量集合的体积明显优于随机选择参数轴的方法。例如：当切分的电路参数向量的个数为5×10³个时，参数轴相关性优先切分方法可确定性的判定占总体积约66.4％的立方体为稳定，而随机选择参数轴的方法只能获得约60.7％。

第四步：针对不确定的电路参数向量集合，以体积为权重，利用重要性采样蒙特卡洛方法估算其稳定性的百分比。

表II.CFBM方法与BI_RAND方法在电路参数向量数目、精度与运行时间的比较

如表II所示，对于经过切分方法后得到的不确定集合，需要利用重要性采样蒙特卡洛方法估算稳定百分比。由于Bi_rand方法的不确定百分比(19.4％)比CFBM方法(29.5％)高，为了达到同样精度的稳定百分比，Bi_rand+MC方法中蒙特卡洛采样所需要的采样点(3x10⁵)比CFBM+MC方法(1.9x10⁵)多，从而导致总的计算时间更长。

第五步：利用稳定、不稳定电路参数向量的集合，以及不确定电路参数向量的稳定百分比，计算全参数空间的稳定百分比。

最终计算得到的总稳定百分比如表III所示。从表中可以看到，在保持同样采样精度的前提下，本发明方法的CFBM方法在时间效率上明显优于Bi_rand方法和Monte-Carlo方法。

表III.CFBM方法、BI_RAND方法和蒙特卡洛方法在切分次数或采样点数目、总稳定百分比与运行时间的比较

Claims (6)

1.一种模拟电路多参数鲁棒稳定性分布分析的方法，其特征是，结合区间计算方法和参数轴相关性优先的切分方法，依照稳定性对参数空间进行切分，其步骤包括：

(1)利用符号仿真工具，从电路网表计算得到电路传递函数；

(2)利用稳定性判定方法，将模拟电路的稳定性判定问题转化为非线性不等式组的区间计算问题；

对于传递函数为H(s；p)＝N(s；p)/D(s；p)的模拟电路，其中传递函数的分母为特征多项式：

D(s；p)＝a_n(p)sⁿ+...+a₁(p)s+a₀(p),p∈[R^-,R⁺]^m, (1)

这里，n为特征多项式的阶数，a₀,a₁,...,a_n是特征多项式的系数，s是谱域变量，p＝(p₁,...,p_j,...,p_m)是一个m维的电路参数向量，其中每个电路参数均在一定区间范围内扰动，即其中p _j和分别表示电路参数p_j扰动区间的下界和上界，[R^-,R⁺]^m是m个电路参数构成的m维实区间参数空间，简称参数空间，其中[R^-,R⁺]代表实数区间；

电路稳定的必要条件是特征多项式D(s；p)的系数均为正数，即：

a_i＞0,i＝0,1,...,n (2)

Routh Table稳定性方法定义一个称为Routh Table矩阵形如：

其中，元素b_i和c_i定义为：

b_i＝(a_n-1a_n-2i-a_na_n-2i-1)/a_n-1,c_i＝(b₁a_n-2i-a_n-1b_i+1)/b₁ (4)

利用新产生的两行元素b_i和c_i替代原来的两行a_i结果，再利用(4)重新产生新的b_i和c_i两行元素，并反复迭代，从而最终计算得到所有Routh Table的(n+1)行的结果；

Routh Table稳定性法则指出：系统稳定的充分必要条件为系数a_i＞0且Routh Table中第一列的所有元素为正数，即：

a_i＞0,i＝0,1,...,n,

(5)

r_ii,1＞0,ii＝3,…,n+1,

其中，r_ii,1表示式(3)中第ii行的第一列元素；

系数a_i是关于电路参数p＝(p₁,...,p_j,...,p_m)的非线性函数，因此，非线性不等式组(5)可记为：

f_i(p)＝a_i(p)＞0,i＝0,1,...,n

f_n+1(p)＝r_3,1(p)＞0 (6)

...

f_k(p)＝r_n+1,1(p)＞0

其中：k＝2n-1，f_i(p)为系数a_i(p)，可由式(3)中得到；

式(6)可简记为：

F(p)＞0,F∈{f₀,...,f_k} (7)

其中，F(p)为函数f_i,i＝0..k构成的函数向量；

利用区间计算的性质，可得到电路在参数扰动情况下稳定的充分条件为：

[F](p)＞0,F∈{f₀,...,f_k}. (8)

其中，函数[F]为函数F的区间计算扩展函数(interval extension function)；

相似地，可以得到系统不稳定的充分条件为：

any[F](p)＜0,F∈{f₀,...,f_k}. (9)

式(8)和式(9)即为所得的稳定性判定方法，它将模拟电路鲁棒稳定性的判定问题转化为判定非线性不等式组是否满足的区间计算问题；

(3)利用区间计算方法和参数轴相关性优先的切分方法，采用递归的方式将参数空间切分为：电路为稳定、电路为不稳定、不能确定电路是否稳定三类不同的参数向量的集合；

(4)针对不确定的电路参数向量集合，以体积为权重，利用重要性蒙特卡洛采样方法估算其稳定性的百分比；

(5)利用稳定、不稳定电路参数向量的集合，以及不确定电路参数向量集合的稳定百分比，计算电路参数空间的稳定百分比；

最终，整个方法的输出为：稳定、不稳定和不确定这三类不同电路参数向量的集合，构成了该电路的稳定性分布；同时可获得电路参数空间的稳定百分比。

2.按权利要求1所述的方法，其特征是，所述的步骤(3)中，通过递归方式将原始参数向量p切分为三类参数向量的集合：稳定、不稳定和不确定，具体算法如下：

输入：函数F(p),p＝(p₁,...,p_j,...,p_m),是m维的电路参数向量，参数空间总的体积V，最小阈值ε；

输出：三类参数向量的集合：稳定集合Φ_s、不稳定集合Φ_us、不确定集合Φ_uc；

第0步：初始化：设置稳定集合Φ_s、不稳定集合Φ_us、不确定集合Φ_uc为空集；

第1步：计算m维电路参数p张成的体积

第2步：计算式(8)，若满足式(8)不等式，则系统稳定，将p加入稳定集合Φ_s中并跳转至第7步；

第3步：计算式(9)，若满足式(9)不等式，则系统不稳定，将p加入不稳定集合Φ_us中并返回并跳转至第7步；

第4步：若满足vol/V<ε，将p加入不确定集合Φ_uc中并跳转至第7步；

第5步：调用CFBM(Correlation First Bisect Method)算法，将m维参数p 构成的空间按照相关性优先的原则，采用二分法切分为子空间的集合ps；

第6步：对子空间集合ps中的每一个元素，递归调用本稳定性分布计算算法；

第7步：结束。

3.按权利要求1所述的方法，其特征是，所述的步骤(3)中，对参数空间采用参数轴相关性优先(CFBM)的切分方法，具体步骤如下：

对于给定的函数f_i(p),i＝1,...,k.其中：p＝(p₁,...,p_m)，p_j为第j维上的区间变量，k与式(6)中定义一致；

引入另外一个区间变量p′_j满足则定义p_j与p′_j之间关于f_i(p)的长度比率为：

其中，w是计算区间长度的函数，即：[f_i]是函数f_i的区间扩展函数；

定义：

则在函数f_i(p)与轴p_j之间可以构造一个相关矩阵L_kxm，其中矩阵元素l(i,j)定义为：

则依据相关性，挑选出进行切割的轴j为：

在上述定义和算法的基础上，调用的CFBM算法具体分为三个步骤：

第1步：依式(13)计算相关矩阵L_kxm；

第2步：依据相关性优先，按照式(14)选择最优轴j；

第3步：沿轴j将电路参数向量p均匀分割为两个电路参数向量，即：

p_j1＝(p₁，...，[p _j，mid(p_j)]，...，p_m)，

并将切分后的向量p_j1,p_j2存放在集合ps中，即ps＝{p_j1,p_j2}。

4.按权利要求1所述的方法，其特征是，所述的步骤(4)中，针对不确定的电路参数向量集合，以体积为权重，利用重要性采样蒙特卡洛方法估算其稳定性的百分比，具体算法如下：

通过步骤(3)后，最初的参数向量p被分解为稳定集合Φ_s、不稳定集合Φ_us、不确定集合Φ_uc，它们就给出了参数空间中稳定性的分布状况，并显然有：

V＝V_stable+V_unstable+V_uncertain (16)

其中，V为电路参数空间的体积，V_stable，V_unstable和V_uncertain分别为稳定、不稳定和不确定集合内参数向量的体积；

针对不确定电路参数向量集合中的元素，以它们的体积作为权重，进行蒙特卡洛采样，即每一个电路参数向量内采样点的个数为：

其中，N_i为不确定电路参数向量集合中第i个电路参数向量的采样点个数， V_uncertain为不确定电路参数向量集合中电路参数向量的总体积，N为总的采样点个数，V_i为第i个电路参数向量的体积，#uncertain为不确定电路参数向量集合中元素的个数；

针对不确定电路参数向量集合中每个电路参数向量，进行随机蒙特卡洛采样，并对每个采样点，按照Routh Table稳定性判定法则判断其稳定性，最终得到每个电路参数向量的稳定百分比的计算公式为：

其中，Sp_i为第i个电路参数向量的稳定百分比(stable percent)，S_i为第i个电路参数向量中稳定的采样点个数；

最终，不确定电路参数向量集合整体的稳定百分比Sp_uncertain的计算为：

5.按权利要求1所述的方法，其特征是，所述的步骤(5)中，利用稳定集合Φ_s、不稳定集合Φ_us，以及不确定集合Φ_uc的稳定百分比，计算全参数空间的稳定百分比，具体计算方法为：

可得到参数空间中稳定百分比Sp为：

6.按权利要求1所述的方法，其特征是，在完成所述的步骤(1)-(5)后，得到的最终结果如下：(1)初始参数空间被分解为：稳定电路参数向量的集合、不稳定电路参数向量集合以及不确定电路参数向量的集合，它们就给出了参数空 间中稳定性的分布状况；(2)式(20)给出了参数空间稳定的百分比。