CN113761678B - 一种外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法，其步骤为：1.采用基于再生颤振理论的外圆磨削通用模型算法，2.外圆磨削颤振稳定性分析，3.数值模拟计算与实验验证。本发明基于再生颤振理论建立了一种外圆磨削动力学通用模型，该通用模型引入与砂轮宽度相关的重叠因子充分考虑工件与砂轮的再生颤振关系，运用牛顿迭代法对带有时滞的超越方程进行数值求解，并结合高斯消元法提升迭代收敛速度，利用延拓算法连续提供有效初始值提高迭代结果的准确性，可获得准确的磨削稳定性边界。实验结果表明该通用模型可有效应用于外圆切入磨削颤振过程。通过该模型选择的磨削加工参数可有效避免磨削微振纹现象，可有效提高外圆磨削加工质量和加工效率。
Description
技术领域
本发明涉及一种外圆磨削颤振分析方法，尤其是一种外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法。
背景技术
随着近些年外圆磨削振纹加工质量要求不断提高，特别是一些外圆磨削产生的微振纹，其产生机理复杂且不易观察并对产品加工表面质量有着严重影响[1]。外圆磨削作为外圆精密加工的主要工序，其加工质量受到多种类型振动的影响，其中最常见的一类振动为再生颤振。当磨削力超过临界状态时，系统处于失稳状态，工件表面产生的振纹较为明显，而当磨削力处于临界边界附近时，工件表面往往会产生振纹。再生振纹通常难以通过肉眼直接观测，一般须通借助强光或白粉才能观测得到，由于振纹产生过程复杂且影响因素较多，一直是精密磨削加工急需解决的难题。因此，如要有效建立磨削颤振稳定性边界对抑制颤振和避免微振纹的产生具有重要意义。
目前国内外很多学者对磨削颤振进行了大量研究，其中R S Hahn将再生颤振理论引入到了磨削颤振并考虑了磨削过程中工件表面的再生现象。Snoey R和Brown D等同时考虑了工件和砂轮的再生现象并结合Nyquist图分析了磨削过程的颤振现象。此后，M Weck等基于再生颤振理论建立了外圆纵磨运动学模型并通过数值仿真讨论了外圆纵磨颤振现象。L Yuan等建立了外圆纵磨四自由度的磨削模型并通过理论分析和数值仿真探讨了外圆纵磨的影响因素。蒋永翔等基于再生颤振机理建立了外圆切入磨削动力学模型，提出了外圆切入磨削颤振评价方法。针对外圆磨削的复杂性，Kim P等在建立动力学模型时都考虑到了工件和砂轮的双再生现象。R A Thompson等利用建立的磨削颤振的模型探究了工件和砂轮转速、接触刚度等对磨削稳定性的影响。Li Hongqi和Shin Yung C对Thompson的模型进行了改进并采用数值仿真的方法得到了更加精确的结果。Liu Zhaoheng和Payre Guy简化了LYuan等的模型并通过系统特征值的办法讨论了系统各参数对磨削稳定性的影响。上述研究所建立的外圆磨削颤振模型主要针对外圆纵磨或切入式磨削中的一种，缺乏通用性。
随着现代工业的发展，很多产品外圆磨削加工往往需要用切入磨和纵磨相结合的综合磨削法进行磨削加工，若基于双再生颤振理论对综合磨削法分别建立切入磨和纵磨的动力学方程，其公式复杂且参数众多，推导过程繁琐，难以满足现代零件产品加工需求。因此，需要建立一个既适用于外圆纵磨又适用于外圆切入磨的外圆磨削通用模型，对抑制实际产品外圆磨削颤振现象具有重要意义。
发明内容
本发明提出一种外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法，该方法基于外圆磨削的再生颤振理论建立了外圆磨削通用动力学模型，可有效应用外圆纵向磨削和外圆切入式磨削，通过该模型选择的磨削加工参数可有效避免磨削微振纹现象,可有效提高外圆磨削加工质量和加工效率。
为实现上述目的，本发明的技术方案是：一种外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法，具体步骤如下：
一、采用基于再生颤振理论的外圆磨削通用模型算法
将砂轮当做是一个具有质量的弹簧振子，该质量的弹簧振子具有质量mg(kg)、刚度kg(N·m-1)、阻尼cg(N·s·m-1)和转速ωg(r·min-1)，同时，工件则被当作一个简支于头架顶尖和尾架顶尖之间的Euler-Bernoulli梁，具有密度ρ(kg·m-3)、弹性模量E(N·m-2)、阻尼cw(N·s·m-1)、半径rw(m)和转速ωw(r·min-1)，为了方便建立该加工过程的动力学方程，分别用Xg(m)和Xw(m)表示砂轮和工件的位移，同时加工过程中砂轮的进给量f(m)也被考虑在内，此外，将工件轴向的坐标记为S(m)，砂轮处于位置P(m)而工件的总长为L(m)，因此，外圆磨削通用模型通过以下微分方程表示：
其中，
δ(S-P)代表砂轮和工件的接触位置。由于工件被简支于头架顶尖和尾架顶尖之间，故其边界条件应为：
此外，式(1)中Fg为砂轮和工件之间的法向磨削力，表示砂轮和工件之间的相互作用且决定了整个磨削加工过程的动力学特性，且在该外圆磨削通用模型中，Fg是区分外圆纵磨与外圆切入磨的关键，同时也对磨削颤振有重要影响作用，磨削力Fg与磨削深度Dg成正比，因此，其关系可表示为：
Fg＝kcDg (3)
式中，kc为砂轮与工件之间的接触刚度。而根据双再生理论可知，磨削深度Dg不仅与进给量f有关，还与砂轮和工件的相对位置有关，即
Dg＝f+Xw(t,P)-Xg(t)-αXw(t-Tw,P)+Xg(t-Tg) (4)
其中
式中，Tw，Tg分别表示工件和砂轮的旋转周期。公式(4)反映出磨削深度不仅与当前状态有关，还和上一个周期的状态有关，
式中，α是与砂轮宽度W相关的重叠因子，vg表示砂轮沿工件纵向运动速度，此处通过引入重叠因子，能有效获得时变的磨削力，使其成为一个外圆磨削通用模型；
根据公式(3)可知，当vg＝0，切入式磨削力表示为：
Fg＝kcDg＝kc(f+Xw(t,P)-Xg(t)-Xw(t-Tw,P)+Xg(t-Tg)) (7)
根据工件两端简支边界条件，将工件的位移Xw(t,S)表示为：
将式(8)代入模型并采用Galerkin截断的方法保留工作的第一阶模态(i＝1)，可以得到化简后的磨削动力学模型为：
为了简化公式，引入新的无量纲的变量和参数
和
由此，可以将方程(9)简化为
其中
根据上述建立外圆切入式磨削的动力学方程，下面根据方程的平衡点对其磨削过程的稳定性进行分析；
二、外圆磨削颤振稳定性分析
磨削过程的稳定性取决于磨削力中的再生效应，需考虑无量纲化后的磨削刚度κ1以及时滞τw和τg对方程的平衡点的影响，为了分析方程的平衡点稳定性，式(11)的特征矩阵为：
相应的特征方程为：
det(M)＝0 (13)
将方程带入方程，得到：
其中，λ＝σ±iω表示系统的特征值；当其实部为正时，系统处于失稳状态，并能引发磨削颤振，因此，所有的特征值都具有负实部是磨削过程稳定的前提，对此，通过计算临界的情况，在参数空间中区别出磨削过程稳定和不稳定的区域；
为了得到磨削稳定性边界，将λ＝±iω带入方程(14)中并分离其实部和虚部，可得到：实部
虚部
方程(15)和方程(16)为两个带有不同时滞τw和τg的超越方程，存在磨削力参数κ1、τw和τg以及方程特征值ω四个需要求解的量，采用高斯消元法对牛顿迭代法进行改进，使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小，在求解复杂方程组时能大大提高迭代速度；
三、数值模拟计算与实验验证
1)实验条件设置
通过声发射传感器、振动传感器对外圆磨削颤振现象进行实验研究，以验证外圆磨削模型及磨削颤振稳定性理论实验机床为M1332B×1500的外圆磨床，砂轮直径为400mm，砂轮磨削加工速度为35m/s，磨削方式为外圆磨削，修整方式为金刚笔修整。该磨床适宜于磨削IT6至IT5精度的圆柱或圆锥形回转体工件，其最大磨削直径为320mm，最大磨削长度为1500mm。机床横向移动具有液压快速进退和手动微量进给，工件、砂轮、油泵和冷却泵分别以单独的电机驱动；为有效监测磨削加工过程实验机床不同部件与颤振现象关系，声发射传感器吸附在尾架外壳的左端面处，监测磨削过程中的声发射信号，第一三向振动传感器吸附在砂轮架上，第二三向振动传感器吸附在尾架外壳上，监测磨削过程中砂轮及尾架各自相互垂直的三个方向的振动信号；此外，第一单向振动传感器和第二单向振动传感器分别吸附在头架外壳和滑动导轨上，监测头架和导轨磨削方向的振动信号；
2)数值模拟计算
根据理论模型和实验设置，L为工件长度，P为砂轮位置，以及式中的无量纲参数：常系数ξw、常系数γ、常系数κw磨削刚度κ1、时滞参数τg、时滞参数τw、常系数ξg；确定固定的参数值以及变化参数后，需要有方程的的两个解作为延拓的起点，引入函数
F(ω)＝sin2(τwω)+cos2(τwω)-1
以消除方程中的τw，根据三角恒等式sin2(τwω)+cos2(τwω)＝1可知，将另外两个参数κ1和τg固定下来后，绘出F(ω)与ω的关系图，从F(ω)与ω的关系图中找到方程F(ω)＝0的解，从而计算出满足方程的ω的取值范围，将ω的值带入方程，则可求出参数τw的值；结合牛顿迭代延拓算法，能够在参数空间中依次找出分隔稳定和不稳定的区域的临界曲线，通过分析系统特征值找到了该磨削过程的稳定性边界以后，能够区分磨削加工过程的稳定性和不稳定区域；
3)实验结果验证
根据机床自身的基本参数及对工件加工的质量要求，运用上述磨削颤振稳定性理论求解得临界曲线磨削稳定和不稳定区域图，从中分别取一些磨削稳定和不稳定时的加工参数，将该参数依次运用到磨床的实际加工中，并对比分析每组参数磨削时各传感器的监测信号变化及工件加工表面振纹的产生情况；由振动信号的分析结果可见，用不同的不稳定的磨削参数加工时，砂轮架各向的振动信号的标准差都普遍大于用稳定磨削参数加工时的振动信号的对应值，表明用不稳定磨削参数加工时，砂轮架各向的振动信号差异较大，波动性较大，反映出砂轮和工件间存在颤振，从而验证了运用磨削颤振稳定性理论求解得到的参数的合理性。
进一步，在区分出磨削稳定和不稳定区，难以确定连续有效初始值时，采用延拓算法，延拓算法基于前两组相邻的有效初始值给出第三组初始值，通过多次改变延拓的方向进行多次求解，最终能在三维的参数空间κ1-τw-τg中得到系统的稳定性边界线，从而区分出磨削稳定和不稳定区域。
进一步，实验结果验证中为了精确地对加工表面振纹进行评定，利用轮廓仪对磨削加表面轮廓度进行检测。
进一步，为了从另一个角度说明磨削力对系统稳定性的影响，采用固定τg的值去研究κ1和τw对于磨削稳定性的影响，随着κ1的增大，可用的工件转速对应于τw的选择范围越来越小，故能得出减小砂轮与工件之间的磨削刚度对于维持磨削加工的稳定性具有极其重要的意义的结论。
本发明的有益效果是：
为有效解决外圆磨削微颤振问题,提高外圆磨削产品加工质量，本发明基于再生颤振理论建立了一种外圆磨削动力学通用模型，该通用模型引入与砂轮宽度相关的重叠因子充分考虑工件与砂轮的再生颤振关系，可通用于外圆纵向磨削和外圆切入式磨削；运用牛顿迭代法对带有时滞的超越方程进行数值求解，并结合高斯消元法提升迭代收敛速度，利用延拓算法连续提供有效初始值提高迭代结果的准确性，可获得准确的磨削稳定性边界。以复杂切入式磨削进行磨削颤振数值模拟计算和实验研究，实验结果表明该通用模型可有效应用于外圆切入磨削颤振过程。通过该模型选择的磨削加工参数可有效避免磨削微振纹现象,可有效提高外圆磨削加工质量和加工效率。
附图说明
图1为外圆磨削加工示意图；
图2为延拓算法框图；
图3为传感器安装位置图；
图4为F(ω)与ω的关系图；
其中：(a)κ1＝1,τg＝11.3，(b)κ1＝1,τg＝14.1；
图5为临界曲线磨削稳定(A)区域和不稳定(B)区域图；
其中：(a)κ1＝1，(b)κ1＝3，(c)κ1＝5，(d)κ1＝7；
图6为临界曲线磨削稳定(A)区域与不稳定(B)区域图；
其中：(a)τg＝13.7，(b)τg＝13.8，(c)τg＝13.9；
图7为κ1＝1,τg＝13.1,τw＝22时监测信号；
图8为κ1＝1,τg＝13.1,τw＝23时监测信号；
图9为κ1＝6,τg＝13.7,τw＝18时监测信号；
图10为κ1＝6,τg＝13.7,τw＝21时监测信号；
其中，图7-10中：(a)声发信号，(b)砂轮架上下方向振动信号，(c)砂轮架左右方向振动信号，(d)砂轮架前后方向振动信号；
图11为κ1＝1,τg＝13.1,τw＝22和κ1＝1,τg＝13.1,τw＝23稳定与不稳定参数的振动信号；
图12为κ1＝6,τg＝13.7,τw＝18和κ1＝6,τg＝13.7,τw＝21稳定与不稳定参数的振动信号；
图13为稳定和不稳定磨削加工参数加工表面轮廓度检测结果；
其中：(a)不稳定磨削加工参数加工工件，(b)磨削加工参数加工工件，(c)不稳定磨削加工参数加工表面轮廓度，(d)磨削加工参数加工表面轮廓度。
具体实施方式
下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。
本发明的一种外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法，具体步骤如下：
1.基于再生颤振理论的外圆磨削通用模型算法
外圆磨削过程示意图如图1所示。
可以看出，砂轮1可以当做是一个具有质量的弹簧振子，它具有质量mg(kg)、刚度kg(N·m-1)、阻尼cg(N·s·m-1)和转速ωg(r·min-1)。同时，工件2则被当作一个简支于头架顶尖和尾架3顶尖之间的Euler-Bernoulli梁，它具有密度ρ(kg·m-3)、弹性模量E(N·m-2)、阻尼cw(N·s·m-1)、半径rw(m)和转速ωw(r·min-1)。为了方便建立该加工过程的动力学方程，分别用Xg(m)和Xw(m)表示砂轮和工件的位移，同时加工过程中砂轮的进给量f(m)也被考虑在内。此外，将工件轴向的坐标记为S(m)，砂轮处于位置P(m)而工件的总长为L(m)，因此该外圆磨削模型可以通过以下微分方程表示：
其中，
δ(S-P)代表砂轮和工件的接触位置。由于工件被简支于头架顶尖和尾架顶尖之间，故其边界条件应为：
此外，式(1)中Fg为砂轮和工件之间的法向磨削力，表示砂轮和工件之间的相互作用且决定了整个磨削加工过程的动力学特性，且在该外圆磨削通用模型中，Fg是区分外圆纵磨与外圆切入磨的关键，同时也对磨削颤振有重要影响作用。根据Liu Zhaoheng和PayreGuy的模型，磨削力Fg与磨削深度Dg成正比，因此，其关系可表示为
Fg＝kcDg (3)
式中，kc为砂轮与工件之间的接触刚度。而根据双再生理论可知，磨削深度Dg不仅与进给量f有关，还与砂轮和工件的相对位置有关，即
Dg＝f+Xw(t,P)-Xg(t)-αXw(t-Tw,P)+Xg(t-Tg) (4)
其中
式中，Tw，Tg分别表示工件和砂轮的旋转周期。公式(4)反映出磨削深度不仅与当前状态有关，还和上一个周期的状态有关。
式中，α是与砂轮宽度W相关的重叠因子，vg表示砂轮沿工件纵向运动速度，此处通过引入重叠因子，可有效获得时变的磨削力，使其成为一个外圆磨削通用模型。当vg≠0时，表示外圆纵磨，当vg＝0时，表示外圆切入磨。相较于纵磨，切入式磨削时，工件和砂轮的接触面积更大，其磨削力也更大，且磨削再生颤振受磨削力及其特性的影响很大。
因此，根据公式(3)可知，当vg＝0，切入式磨削力可表示为
Fg＝kcDg＝kc(f+Xw(t,P)-Xg(t)-Xw(t-Tw,P)+Xg(t-Tg)) (7)
根据工件两端简支边界条件，将工件的位移Xw(t,S)表示为
将式(8)代入模型并采用Galerkin截断[23]的方法保留工作的第一阶模态(i＝1)，可以得到化简后的磨削动力学模型为
为了简化公式，引入新的无量纲的变量和参数
和
由此，可以将方程(9)简化为
其中
根据上述建立外圆切入式磨削的动力学方程，下面根据方程的平衡点对其磨削过程的稳定性进行分析。
2.外圆磨削颤振稳定性分析
磨削过程的稳定性取决于磨削力中的再生效应，需考虑无量纲化后的磨削刚度κ1以及时滞τw和τg对方程的平衡点的影响。为了分析方程的平衡点稳定性，式(11)的特征矩阵为
相应的特征方程为
det(M)＝0 (13)
将方程带入方程，得到：
其中，λ＝σ±iω表示系统的特征值。当其实部为正时，系统处于失稳状态，并能引发磨削颤振。因此，所有的特征值都具有负实部是磨削过程稳定的前提。对此，可以通过计算临界的情况，在参数空间中区别出磨削过程稳定和不稳定的区域。
为了得到磨削稳定性边界，将λ＝±iω带入方程(14)中并分离其实部和虚部，可得到：实部
虚部
方程(15)和方程(16)为两个带有不同时滞τw和τg的超越方程，存在磨削力参数κ1、τw和τg以及方程特征值ω四个需要求解的量，为了在三维参数空间找到系统的稳定性边界，需要提供有效的初始值进行求解[25-26]。所以，本文采用高斯消元法对牛顿迭代法进行改进[27]，该方法使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小，在求解复杂方程组时能大大提高迭代速度。针对难以确定连续有效初始值的问题，本发明采用如图2所示的延拓算法。
延拓算法基于前两组相邻的有效初始值给出第三组初始值，通过多次改变延拓的方向进行多次求解，最终能在三维的参数空间κ1-τw-τg中得到系统的稳定性边界线，从而区分出磨削稳定和不稳定区域。
3.数值模拟计算与实验验证
3.1实验条件设置
本发明通过声发射传感器、振动传感器对外圆磨削颤振现象进行实验研究，以验证外圆磨削模型及磨削颤振稳定性理论。如图3所示，实验机床为M1332B×1500的外圆磨床，砂轮1直径为400mm，砂轮1磨削加工速度为35m/s，磨削方式为外圆磨削，修整方式为金刚笔修整。该磨床适宜于磨削IT6至IT5精度的圆柱或圆锥形回转体工件，其最大磨削直径为320mm，最大磨削长度为1500mm。机床横向移动具有液压快速进退和手动微量进给，工件2、砂轮1、油泵和冷却泵分别以单独的电机驱动。机床的基本信息如下表1所示。
表1机床基本信息
为有效监测磨削加工过程实验机床不同部件与颤振现象关系，本实验传感器安装位置如图3所示。声发射传感器9利用自身的强磁特性，吸附在尾架3外壳的左端面处，监测磨削过程中的声发射信号。1号三向振动传感器6吸附在砂轮架5上，2号三向振动传感器7吸附在尾架3外壳上，监测磨削过程中砂轮1及尾架3各自相互垂直的三个方向的振动信号；此外，1号单向振动传感器9和2号单向振动传感器10分别吸附在头架4外壳和滑动导轨8上，监测头架和导轨磨削方向的振动信号。
3.2数值模拟计算
根据理论模型和实验设置，L为工件长度，P为砂轮位置，此处取L＝2m，P＝1m。此外，式中的无量纲参数由下表2所示。
表2无量纲参数
确定固定的参数值以及变化参数后，需要有方程的的两个解作为延拓的起点，引入函数
F(ω)＝sin2(τwω)+cos2(τwω)-1
以消除方程中的τw，根据三角恒等式sin2(τwω)+cos2(τwω)＝1可知，将另外两个参数κ1和τg固定下来后，绘出F(ω)与ω的关系，如图4所示。
从图4中的(a),(b)可以找到方程F(ω)＝0的解，从而计算出满足方程的ω的取值范围，将ω的值带入方程，则可求出参数τw的值。作为延拓算法的起始点，求得方程两组解如表3所示。
表3延拓起始点
表3中的结果作为延拓的起点，结合图所示的牛顿迭代延拓算法，可以在参数空间中依次找出分隔稳定区域和不稳定的区域的临界曲线，从图5中的可以看出，在无量纲磨削刚度比较小的时候，即κ1＝1时，见图5中的(a)，系统的稳定区域(A)相对小得多。随着κ1的增大，系统磨削稳定区域会逐渐增大,见图5中的(b)，(c)，(d)，不稳定区域(B)会逐渐减小，表示小的磨削刚度比会降低磨削稳定性。此外，从图5中还可以看出两个时滞τg和τw也对磨削稳定性有很大程度的影响，且这种影响随着时滞的改变呈现出了一种周期性。如图5中的(a)，(b)，(c)，(d)所示，随着τw的变化，该磨削过程会在稳定和不稳定之间不断切换。由于时滞分别反映砂轮和工件的转速，可知道加工过程中转速的选取需要根据实际的情况，而不是只增大或减小。
为了从另一个角度说明磨削力对系统稳定性的影响，可固定τg的值去研究κ1和τw对于磨削稳定性的影响，相对应的截面图如图6所示。从图6中的(a)，(b)，(c)可以看出，随着κ1的增大，可用的工件转速(对应于τw)的选择范围越来越小，故减小砂轮与工件之间的磨削刚度对于维持磨削加工的稳定性具有极其重要的意义。
通过分析系统特征值找到了该磨削过程的稳定性边界以后，可以区分磨削加工过程的稳定性和不稳定区域。在实际的磨削加工过程中，应当尽量去利用磨削稳定性区域，避免加工过程中的颤振。
3.3实验结果验证
根据机床自身的基本参数及对工件加工的质量要求，运用上述磨削颤振稳定性理论求解得到如图5和图6所示的临界曲线磨削稳定和不稳定区域图，从中分别取一些磨削稳定和不稳定时的加工参数，即共取磨削稳定和不稳定参数各2组，如表4所示。
表4稳定和不稳定区间参数
将上述参数依次运用到磨床的实际加工中，并对比分析每组参数磨削时各传感器的监测信号变化及工件加工表面振纹的产生情况，图7～图10所示为表4中的两组参数磨削时的声发射信号与各振动信号对比图。
由图7中的(a)，(b)，(c)，(d)～图10中的(a)，(b)，(c)，(d)可以看出，在实际切入磨削加工过程中，监测信号最直观的差异主要集中在声发射信号上。对比图8的κ1＝1,τg＝13.1,τw＝22时监测的声发射信号和图8中κ1＝1,τg＝13.1,τw＝23时监测的声发射信号，可发现，由图7稳定磨削加工参数的声发射信号A区域波动范围小且较为有序，代表磨削过程较为平稳；而图8不稳定磨削加工参数的声发射信号B区域波动范围大且多为突发型波动，代表磨削过程中有颤振产生。对比图9和图10中的声发射信号C区域和D区域也有上述特点。此外，对比图8和图10两个不稳定磨削加工参数的声发射信号，可发现图10中声发射信号D区域的波动范围更大，且从声发射信号幅值来看，图10中声发射信号的幅值也远远大于图8中声发射信号的幅值，这是由于图10所取参数离稳定性边界较图8所取参数远，故颤振更为明显所致。
通过砂轮架上的三向振动传感器监测的信号很难直观的看出稳定磨削参数监测信号和不稳定磨削参数监测信号之间的区别，故对振动信号进行分析处理，结果如图11和图12所示。
由振动信号的分析结果可见，用不稳定的磨削参数κ1＝1,τg＝13.1,τw＝23和κ1＝6,τg＝13.7,τw＝21加工时，砂轮架各向的振动信号的标准差都普遍大于用稳定磨削参数κ1＝1,τg＝13.1,τw＝22和κ1＝6,τg＝13.7,τw＝18加工时的振动信号的对应值，表明用不稳定磨削参数加工时，砂轮架各向的振动信号差异较大，波动性较大，反映出砂轮和工件间存在颤振，从而验证了运用磨削颤振稳定性理论求解得到的参数的合理性。为了精确地对加工表面振纹进行评定，利用轮廓仪对磨削加表面轮廓度进行检测，检测结果如图13所示。
图13中的(a)，(b)，(c)，(d)所示，稳定磨削加工参数加工表面轮廓度和不稳定磨削加工参数加工表面轮廓度差异比较明显，其中稳定磨削加工参数加工表面轮廓度在1.0μm之内，波动幅度较小，表明加工表面质量较好；而不稳定磨削参数所加工表面轮廓度在-1.0μm～2.0μm之间有规律的波动，波动幅度较大，表面产生了磨削振纹，该结果进一步验证了上述理论方法的有效性。
由上述结果也可以看出，通过结合牛顿迭代法、高斯消元法和延拓算法的数值求解方法，求解出的稳定性边界能有效区分稳定和不稳定的磨削加工参数及在稳定性边界处的磨削加工参数，这为磨削加工参数的合理选择提供了依据。
4.结论
针对外圆磨削振纹及稳定性问题，本发明通过引入与砂轮宽度相关的重叠因子并充分考虑工件和砂轮的再生现象，建立了外圆磨削通用模型，并通过结合牛顿迭代法、高斯消元法和延拓算法对双时滞超越方程进行了数值求解，得到如下结论：
1)本发明通过引入与砂轮宽度相关的重叠因子α并充分考虑工件和砂轮再生现象的外圆磨削通用模型。该通用模型通过α的引入，可有效获得时变的磨削力，该模型可适用于外圆纵磨削与外圆切入磨削。
2)针对于双时滞超越方程难以求解的问题，本发明结合牛顿迭代法、高斯消元法和延拓算法的数值求解方法能够提供更为精确的数值解，从而得到了准确的颤振稳定性边界。通过上述磨削稳定性曲面及稳定性边界的研究，相比于较小的磨削刚度，较大的磨削刚度更有利于外圆磨削稳定性。
3)通过实验验证，利用本发明所提外圆通用磨削模型及稳定性数值求解方法得到的加工参数能有效避免磨削颤振的产生，特别是对于在稳定性边界附近的加工参数，该求解得到的稳定性边界能提供有效的参考，从而避免利用边界线附近参数导致的颤振及振纹的产生。
Claims (4)
1.一种外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法，其特征在于，具体步骤如下：
一、采用基于再生颤振理论的外圆磨削通用模型算法
将砂轮当做是一个具有质量的弹簧振子，该质量的弹簧振子具有质量mg、刚度kg、阻尼cg和转速wg，其中，质量mg、刚度kg、阻尼cg和转速wg的单位分别为kg、N·m-1、N·s·m-1和r·min-1，同时，工件则被当作一个简支于头架顶尖和尾架顶尖之间的Euler-Bernoulli梁，具有密度ρ、弹性模量E、阻尼cw、半径rw和转速ωw，其中，密度ρ、弹性模量E、阻尼cw、半径rw和转速ωw的单位分别为kg·m-3、N·m-2、N·s·m-1、m和r·min-1，为了方便建立加工过程的动力学方程，分别用Xg和Xw表示砂轮和工件的位移，同时加工过程中砂轮的进给量f也被考虑在内，此外，将工件轴向的坐标记为S，砂轮位置记为P，而工件的总长为L，因此，外圆磨削通用模型通过以下微分方程表示：
其中，
δ(S-P)代表砂轮和工件的接触位置，由于工件被简支于头架顶尖和尾架顶尖之间，故其边界条件应为：
此外，式(1)中Fg为砂轮和工件之间的法向磨削力，表示砂轮和工件之间的相互作用且决定了整个磨削加工过程的动力学特性，且在该外圆磨削通用模型中，Fg是区分外圆纵磨与外圆切入磨的关键，同时也对磨削颤振有重要影响作用，磨削力Fg与磨削深度Dg成正比，因此，其关系可表示为：
Fg＝kcDg (3)
式中，kc为砂轮与工件之间的接触刚度，而根据双再生理论可知，磨削深度Dg不仅与进给量f有关，还与砂轮和工件的相对位置有关，即：
Dg＝f+Xw(t,P)-Xg(t)-αXw(t-Tw,P)+Xg(t-Tg) (4)
其中
式中，Tw，Tg分别表示工件和砂轮的旋转周期，公式(4)反映出磨削深度不仅与当前状态有关，还和上一个周期的状态有关，
式中，α是与砂轮宽度W相关的重叠因子，vg表示砂轮沿工件纵向运动速度，此处通过引入重叠因子，能有效获得时变的磨削力，使其成为一个外圆磨削通用模型；
根据公式(3)可知，当vg＝0，切入式磨削力表示为：
Fg＝kcDg＝kc(f+Xw(t,P)-Xg(t)-Xw(t-Tw,P)+Xg(t-Tg)) (7)
根据工件两端简支边界条件，将工件的位移Xw(t,S)表示为：
将式(8)代入模型并采用Galerkin截断的方法保留工作的第一阶模态(i＝1)，可以得到化简后的磨削动力学模型为：
为了简化公式，引入新的无量纲的变量和参数
和
由此，可以将方程(9)简化为
其中
根据上述算法建立外圆切入式磨削的动力学方程，下面根据方程的平衡点对其磨削过程的稳定性进行分析；
二、外圆磨削颤振稳定性分析
磨削过程的稳定性取决于磨削力中的再生效应，需考虑无量纲化后的磨削刚度κ1以及时滞τw和τg对方程的平衡点的影响，为了分析方程的平衡点稳定性，式(11)的特征矩阵为：
相应的特征方程为：
det(M)＝0 (13)
将方程带入方程，得到：
其中，λ＝σ±iω表示系统的特征值；当其实部为正时，系统处于失稳状态，并能引发磨削颤振，因此，所有的特征值都具有负实部是磨削过程稳定的前提，对此，通过计算临界的情况，在参数空间中区别出磨削过程稳定和不稳定的区域；
为了得到磨削稳定性边界，将λ＝±iω带入方程(14)中并分离其实部和虚部，得到：实部
虚部
方程(15)和方程(16)为两个带有不同时滞τw和τg的超越方程，存在磨削力参数κ1、τw和τg以及方程特征值ω四个需要求解的量，采用高斯消元法对牛顿迭代法进行改进，使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小，在求解复杂方程组时能大大提高迭代速度；
三、数值模拟计算与实验验证
1)实验条件设置
通过声发射传感器、振动传感器对外圆磨削颤振现象进行实验研究，以验证外圆磨削模型及磨削颤振稳定性理论实验机床为M1332B×1500的外圆磨床，砂轮直径为400mm，砂轮磨削加工速度为35m/s，磨削方式为外圆磨削，修整方式为金刚笔修整，该磨床适宜于磨削IT6至IT5精度的圆柱或圆锥形回转体工件，其最大磨削直径为320mm，最大磨削长度为1500mm，机床横向移动具有液压快速进退和手动微量进给，工件、砂轮、油泵和冷却泵分别以单独的电机驱动；为有效监测磨削加工过程实验机床不同部件与颤振现象关系，声发射传感器吸附在尾架外壳的左端面处，监测磨削过程中的声发射信号，第一三向振动传感器吸附在砂轮架上，第二三向振动传感器吸附在尾架外壳上，监测磨削过程中砂轮及尾架各自相互垂直的三个方向的振动信号；此外，第一单向振动传感器和第二单向振动传感器分别吸附在头架外壳和滑动导轨上，监测头架和导轨磨削方向的振动信号；
2)数值模拟计算
根据理论模型和实验设置，L为工件长度，P为砂轮位置，以及式中的无量纲参数：常系数ξw、常系数γ、常系数κw磨削刚度κ1、时滞参数τg、时滞参数τw、常系数ξg；确定固定的参数值以及变化参数后，需要有方程的两个解作为延拓的起点，引入函数
F(ω)＝sin2(τwω)+cos2(τwω)-1
以消除方程中的τw，根据三角恒等式sin2(τwω)+cos2(τwω)＝1可知，将另外两个参数κ1和τg固定下来后，绘出F(ω)与ω的关系图，从F(ω)与ω的关系图中找到方程F(ω)＝0的解，从而计算出满足方程的ω的取值范围，将ω的值带入方程，则可求出参数τw的值；结合牛顿迭代延拓算法，能够在参数空间中依次找出分隔稳定和不稳定的区域的临界曲线，通过分析系统特征值找到了该磨削过程的稳定性边界以后，能够区分磨削加工过程的稳定性和不稳定区域；
3)实验结果验证
根据机床自身的基本参数及对工件加工的质量要求，运用上述磨削颤振稳定性理论求解得临界曲线磨削稳定和不稳定区域图，从中分别取一些磨削稳定和不稳定时的加工参数，将该参数依次运用到磨床的实际加工中，并对比分析每组参数磨削时各传感器的监测信号变化及工件加工表面振纹的产生情况；由振动信号的分析结果可见，用不同的不稳定的磨削参数加工时，砂轮架各向的振动信号的标准差都普遍大于用稳定磨削参数加工时的振动信号的对应值，表明用不稳定磨削参数加工时，砂轮架各向的振动信号差异较大，波动性较大，反映出砂轮和工件间存在颤振，从而验证了运用磨削颤振稳定性理论求解得到的参数的合理性。
2.根据权利要求1所述的外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法，其特征在于：在区分出磨削稳定和不稳定区，难以确定连续有效初始值时，采用延拓算法，延拓算法基于前两组相邻的有效初始值给出第三组初始值，通过多次改变延拓的方向进行多次求解，最终能在三维的参数空间κ1-τw-τg中得到系统的稳定性边界线，从而区分出磨削稳定和不稳定区域。
3.根据权利要求1所述的外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法，其特征在于：所述实验结果验证中为了精确地对加工表面振纹进行评定，利用轮廓仪对磨削加表面轮廓度进行检测。
4.根据权利要求1所述的外圆磨削颤振通用模型与稳定性分析方法，其特征在于：为了从另一个角度说明磨削力对系统稳定性的影响，采用固定τg的值去研究κ1和τw对于磨削稳定性的影响，随着κ1的增大，可用的工件转速对应于τw的选择范围越来越小，故能得出减小砂轮与工件之间的磨削刚度对于维持磨削加工的稳定性具有极其重要的意义的结论。
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