CN113759723B - 一种基于遗传算法的最优混合h2/h∞鲁棒控制器设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种基于遗传算法的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，涉及智能优化控制技术领域；本发明提出由遗传算法随机产生初始化种群，并确定初始个体，并由算法种群个体赋值给鲁棒控制性能输出加权矩阵中的相关元素以及反映各自H∞性能和H2性能权重，以控制误差平方积分最小作为系统的目标函数，使用遗传算法对种群进行迭代优化，从而解得最优个体，进而求得最优混合H2/H∞鲁棒控制器；本发明优化过程表达清晰，优化结果可信，被控系统在使用优化后的混合H2/H∞鲁棒控制器运行过程中兼顾了最优性与鲁棒性，从而实现了控制器综合性能最优。
Description
技术领域
本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种基于遗传算法的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法。
背景技术
以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器，是自上世纪80年代被提出以来控制领域中一直研究与应用的热点。然而，对于传统基于范数设计的鲁棒控制器，在把其投入运行之前，要想得到较理想的控制效果，必须先整定好相对应的鲁棒性能评价信号输出的系数矩阵。当系统以线性传递函数的形式表示时，设计其鲁棒控制器u＝Kx则需要整定性能输出系数加权矩阵C1，D11，D12；C2，D21，D22的影响。
在自动控制领域，传统的基于范数设计的鲁棒控制器中加权系数矩阵通过人为进行确定，依赖有关工程人员的经验，且无法保证控制精度。
为了克服上述技术问题，人们一直在寻找鲁棒控制器加权参数的自适应搜索技术，以适应复杂系统的控制要求，智能算法技术的发展使得这种设想成为可能。
现有利用遗传算法进行鲁棒控制器的性能输出系数加权矩阵优化整定，利用智能搜索算法强大的寻优操作能力来调整权重系数，进而求得对应被控对象下的最优控制效果。
然而，对于混合H2/H∞鲁棒控制器的设计来说，现有的优化过程只考虑鲁棒性能评价信号输出中加权矩阵的优化，而分别反映H2性能和H∞性能的各自权重却不纳入寻优操作。因此，对线性系统设计其混合H2/H∞鲁棒控制器的优化还有一定的提升空间。
发明内容
本发明提供一种基于遗传算法的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，用以解决现有鲁棒控制器设计存在的技术问题。
本发明采用以下的技术方案实现。
一种基于遗传算法的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，具体步骤如下：
(1)基于MATLAB平台，由遗传算法产生初始种群；
(2)含有系统扰动w的线性时不变被控系统状态方程模型为：
在此基础上，引入系统H2以及H∞鲁棒性能评价信号输出z∞，z2，采用状态空间可以描述为：
其中，x为系统状态向量，u为系统的控制输入，y为系统输出，w为外部扰动输入，z2，z∞为H2，H∞鲁棒性能输出；A，B1，B2为系统固有参数矩阵，Cy为单位矩阵I，Dy1＝0；C1，D11，D12，C2，D21，D22为加权矩阵，具体定义如下：
C2＝C1；D22＝D12；D11＝D21＝0；
这里，n＝size(x，1)即n表示系统状态向量x的行数，m＝size(u，1)即m表示系统控制向量u的行数；
将步骤(1)初始种群中的每个个体依次赋值给加权矩阵元素μ1，11...μ1，nn以及μ2，11...μ2，mm，以及μz∞与μz2，μ1，11...μ1，nn以及μ2，11...μ2，mm寻优范围为[0.1％ 1000]；μz∞与μz2寻优范围为[0.1％ 1]；
(3)由带扰动w的被控系统中已知的系数矩阵A，B1，B2以及步骤(2)所得的加权矩阵C1，D11，D12，C2，D21，D22，通过求解相应混合H2/H∞的线性矩阵不等式来得到最优控制反馈增益矩阵K，得到控制器u＝Kx；
(4)由步骤(3)得到的控制器的闭环被控系统由下式(3)求出扰动w作用下的该控制器的闭环被控系统/>的控制误差平方积分性能指标；
其中，Δe(t)为在当前状态反馈控制器u＝Kx作用下的控制误差，ts为时间积分上限；
将控制误差平方积分性能指标作为种群中各个体的适应度函数值，判断遗传算法是否满足终止条件迭代次数100次；若满足，则退出遗传算法，控制误差平方积分性能指标最小时对应的控制器u＝Kx即为最优混合H2/H∞鲁棒控制器；若不满足，则转至步骤(5)；
(5)遗传算法进行选择、保留精英、交叉、变异，产生新的种群，并转至步骤(2)，每代引入系统的扰动w相同。
本发明求解混合H2/H∞的线性矩阵不等式以及求解得到最优控制反馈增益矩阵K的具体过程如下：
求设计控制器u＝Kx，使得由式(1)所描述的线性闭环系统是渐进稳定的，且满足从w到式(2)所描述的鲁棒性能评价信号输出z∞的闭环传递函数Twz∞(s)的H∞范数不超过给定上界γ，以保证闭环系统对由w进入的不确定性具有鲁棒稳定性，同时，使得w到z2的闭环传递函数Twz2(s)的H2范数尽可能小，以保证用H2范数度量的系统性能处于一个较好的水平，通过上述可知，含有系统扰动w的线性时不变被控系统状态方程模型以及综合H2，H∞鲁棒性能输出的状态空间描述为：
在加入控制器u＝Kx后形成的闭环系统为：
其中：Acl＝(A+B2K)，Bcl＝B2，Ccl1＝(C1+D12K)，Dcl1＝D11，Ccl2＝(C2+D22K)，Dcl2＝D22，Ccl＝Cy，Dcl＝Dy1；
从扰动w到H∞鲁棒性能输出z∞的闭环传递函数为Twz(s)；从扰动w到H2鲁棒性能输出z2的闭环传递函数为Twz2(s)；
H∞性能相关的，||Twz∞(s)||∞＜γ可保证式(4)所描述的闭环系统针对由w引入的不确定因素能达到相应的鲁棒性能要求，若控制器闭环系统满足该性能要求，当且仅当存在对称正定矩阵X1，使得：
为了不失一般性，令γ＝1；
H2性能相关的，由式(4)所描述的闭环系统性能处于一个好的水平，对一给定的正常数η，须使得||Twz(s)||2＜η成立，其可等价为当且仅当存在对称矩阵X2和Q，使得：
其中，Tr(Q)表示对矩阵Q求迹，对η则不做限制；
联立上式(5)和(6)，令X1＝X2＝X，优化求解公式(7)所描述函数：
通过matlab的线性矩阵不等式工具箱完成求解，即可得出实现闭环系统的多目标控制要求的鲁棒输出反馈控制器的最优控制反馈增益矩阵K。
从上述求解最优控制律可以看出，其最优性完全取决于加权矩阵C1，D11，D12，C2，D21，D22以及分别反映H∞性能和H2性能各自权重μz∞与μz2的选择，然而对此如何进行选择并没有解析方法，只能定性地去选择矩阵参数；所以，这样的“最优”控制事实上完全是人为的，如果C1，D11，D12，C2，D21，D22以及分别反映H∞性能和H2性能各自权重μz∞与μz2选择不当，虽然可以求出最优解，但这样的“最优解”没有任何意义；另一方面，C1，D11，D12，C2，D21，D22以及分别反映H∞性能和H2性能各自权重μz∞与μz2的选择依赖于设计者的经验，需要设计者根据系统输出逐步调整加权矩阵，直到获得满意的输出响应量为止，这样不仅费时，而且无法保证获得最优的权重矩阵，因此获得的最优控制反馈系数不能保证使系统达到最优。遗传算法是模仿自然界生物进化机制发展起来的全局搜索优化方法，它在迭代过程中使用适者生存的原则，采用交叉、变异等操作使得种群朝着最优的方向进化，最终获得最优解，解决最优混合H2/H∞鲁棒控制器求解方法中C1，D11，D12，C2，D21，D22以及分别反映H∞性能和H2性能各自权重μz∞与μz2确定困难的问题。
本发明将遗传算法应用于最优混合H2/H∞鲁棒控制器的设计中，利用遗传算法的全局搜索能力，以控制误差的ISE值作为目标函数对加权矩阵进行优化设计，以提高最优混合H2/H∞鲁棒控制器的设计效率和性能。
附图说明
图1为考虑加性模型误差的广义控制系统图；
图2为优化求解操作方法流程图；
图3为某含有柴油发电机的微电网系统结构；
图4为优化操作过程中迭代曲线；
图5为某系统传统的系统响应曲线图；
图6为某系统优化后的系统响应曲线图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明基于遗传算法的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，用于对采用鲁棒控制器的被控系统性能进行优化，以提高被控系统综合性能，其中，混合H2/H∞鲁棒控制器设计过程包括被控系统的线性时不变系统的状态方程模型系统控制性能评价信号输出z∞，z2及其加权矩阵C1，D11，D12，C2，D21，D22，反映H∞性能和H2性能各自性能的权重系数μz∞、μz2，对该优化方法的执行操作的遗传算法，以及遗传算法的适应度函数被控误差平方积分ISE，因此，本发明先对混合H2/H∞鲁棒控制器设计过程和该评价指标的计算方法进行说明。
本发明提供的考虑如图1所示的广义控制系统控制器u＝Kx的设计；
引入系统扰动w线性时不变被控系统的状态方程模型为：
其中，x为系统状态向量，u为系统的控制输入，y为系统输出，w为外部扰动输入，Cy为单位矩阵I，Dy1＝0；
系统鲁棒性能评价信号输出为z∞，z2，其输出数学表达式可以描述为：
其中，C1，D11，D12，C2，D21，D22为加权矩阵，z2，z∞为H2，H∞性能输出；
对加权矩阵C1，D11，D12，C2，D21，D22的定义为：
C2＝C1；D22＝D12；D11＝D21＝0；
这里，n＝size(x，1)即n表示系统状态向量x的行数，m＝size(u，1)即m表示系统控制向量u的行数；
通过遗传算法来选取加权矩阵C1，D11，D12，C2，D21，D22中的μ1，11...μ1，nn以及μ2，11...μ2，mm来调节系统的跟踪误差大小，以及系统响应的品质指标，同时这些矩阵也会决定系统鲁棒稳定性，它制约着系统输出信号的大小，存在不确定性时，有较大的加权会迫使系统输出信号稳定。
本发明将系统性能评价信号输出的z∞，z2的权重μz∞与μz2也作为选取对象，即赋值也来自种群个体，并通过下述不等式来求解出状态反馈控制矩阵K，要求设计控制器u＝Kx，使得由式(1)所描述的线性闭环系统是渐进稳定的，且满足从w到式(2)所描述的鲁棒性能评价信号输出z∞的闭环传递函数Twz∞(s)的H∞范数不超过给定上界γ，以保证闭环系统对由w进入的不确定性具有鲁棒稳定性，同时，使得w到z2的闭环传递函数Twz2(s)的H2范数尽可能小，以保证用H2范数度量的系统性能处于一个较好的水平，具体如下：
从w到z∞的闭环传递函数阵为Twz∞(s)；||Twz(s)||∞＜γ可保证闭环系统针对由w引入的不确定因素能达到相应的鲁棒性能要求，若控制器闭环系统满足该性能要求，当且仅当存在对称正定矩阵X1，使得：
为了不失一般性，令γ＝1；
从扰动w到H2鲁棒性能输出z2的闭环传递函数为Twz2(s)，为使系统控制性能处于一个好的水平，对一给定的正常数η，须使得||Tw2(s)||2＜η成立，其可等价为当且仅当存在对称矩阵X2和Q，使得：
其中，Tr(Q)表示求矩阵Q的迹，对正常数η在求解过程中不做限制；
联立上式(3)和(4)，令X1＝X2＝X，优化求解公式(5)所描述函数，即可得出实现闭环系统的多目标控制要求的混合H2/H∞的最优控制反馈增益矩阵K；
即可得出实现闭环系统的多目标控制要求的鲁棒输出反馈控制器的最优控制反馈增益矩阵K；从而得到闭环被控系统在扰动作用下得到所关键指标的控制误差Δe(t)，本发明采用的控制误差Δe(t)的误差积分准则ISE指标，其表达式为：
其中，Δe(t)为在当前状态反馈控制器u＝Kx作用下的控制误差，t为时间单位，ts为时间积分上限。
对于上述鲁棒控制器的求解，当该被控对象的线性时不变系统的状态方程模型一定时，即系数矩阵A、B1、B2确定，不同的H∞性能和H2性能各自性能权重系数μz∞、μz2以及鲁棒性能及控制性能的性能评价信号输出z∞，z2及其加权矩阵会影响被控对象的响应，并且控制误差的Δe(t)在0-ts中，先有较大幅度的波动变化，随后趋于稳定，当Δe(t)的波动越小时，评价指标fISE也就越小，控制效果也就越稳定，也就是说，评价指标fISE越小，H∞性能和H2性能各自性能权重系数μz∞、μz2以及鲁棒性能及控制性能的性能评价信号输出z∞，z2及其矩阵中的各个参数选择越优。
实施例1
一种基于遗传算法的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，如图2所示，具体步骤如下：
(1)基于MATLAB平台，由遗传算法产生初始种群；
(2)对于引入系统扰动w线性时不变被控系统的状态方程模型为：
其中，x为系统状态向量，u为系统的控制输入，y为系统输出，w为外部扰动输入，Cy为单位矩阵I，Dy1＝0；
在此基础上，引入系统H2以及H∞鲁棒性能评价信号输出z∞，z2，其状态空间可以描述为：
对加权矩阵C1，D11，D12，C2，D21，D22定义为：
C2＝C1；D22＝D12；D11＝D21＝0；
这里，n表示系统状态向量x的行数，m表示系统控制向量u的行数；
将步骤(1)初始种群中的每个个体依次赋值给的元素μ1，11…μ1，nn；μ2，11...μ2，mm以及分别反映H∞性能和H2性能各自权重的μz∞与μz2；
μ1，11...μ1，nn以及μ2，11...μ2，mm为遗传算法中种群每个个体的赋值，μ1，11…μ1，nn以及μ2，11...μ2，mm寻优范围为[0.1％ 1000]，μz∞与μz2的寻优范围为[0.1％ 1]；
(3)由带扰动w的被控系统中已知的系数矩阵A，B1，B2以及步骤(2)所得的加权矩阵C1，D11，D12，C2，D21，D22，通过求解相应混合H2/H∞的线性矩阵不等式来得到最优控制反馈增益矩阵K，得到控制器u＝Kx；
求解混合H2/H∞的线性矩阵不等式来得到最优控制反馈增益矩阵K的具体过程如下：
对于如图1所示的控制系统，要求设计控制器u＝Kx，使得步骤(2)状态空间中所描述的线性闭环系统是渐进稳定的，且满足从w到鲁棒性能评价信号输出z∞的闭环传递函数Twz(s)的H∞范数不超过给定上界γ，以保证闭环系统对由w进入的不确定性具有鲁棒稳定性；同时，使得w到z2的闭环传递函数Twz2(s)的H2范数尽可能小，以保证用H2范数度量的系统性能处于一个较好的水平，对此，采用线性矩阵不等式描述为：
1)当||Twz∞(s)||∞＜γ时，保证闭环系统针对由w引入的不确定因素能达到相应的鲁棒性能要求，根据有界实引理可知，若控制器闭环系统满足该性能要求，当且仅当存在对称正定矩阵X1，使得：
为了不失一般性，令γ＝1；
2)为使系统控制性能处于一个好的水平，对一给定的正常数η，须使得||Twz(s)||2＜η成立，其可等价为当且仅当存在对称矩阵X2和Q，使得：
这里，Tr(Q)表示求矩阵Q的迹，对正常数η不做限制；
3)联立步骤1)和2)中的几个式子，且X1＝X2＝X，优化求解所描述函数，通过matlab的线性矩阵不等式工具箱完成求解，即可得出实现闭环系统的多目标控制要求的混合H2/H∞的最优控制反馈增益矩阵K：
其中：Acl＝(A+B2K)，Bcl＝B2，Ccl1＝(C1+D12K)，Dcl1＝D11，Ccl2＝(C2+D22K)，Dcl＝D22，Ccl＝Cy，Dcl＝Dy1；
(4)由步骤(3)得到最优控制器闭环被控系统由下式求出扰动w作用下的最优控制器闭环被控系统/>的控制误差平方积分性能指标；
其中，Δe(t)为在当前状态反馈控制器K作用下的控制误差，ts为时间积分上限；
将控制误差平方积分性能指标作为种群中各个体的适应度函数值，判断遗传算法是否满足终止条件迭代次数100次；若满足，则退出遗传算法，控制误差平方积分性能指标最小时对应的控制器u＝Kx即为最优混合H2/H∞鲁棒控制器；若不满足，则转至步骤(5)；
(5)遗传算法进行选择、保留精英、交叉、变异，产生新的种群，并转至步骤(2)，每代引入系统的扰动w相同。
实施例2
本实施例以某被控系统的数据对实施例1的结论进行模拟计算，具体过程如下：
某含有柴油发电机微电网系统结构如图3所示，对其负荷频率进行建模；该系统可以采用某带扰动的被控系统的状态空间微分方程为进行描述，具体为：
x(t)T＝[Δf(t)Δδ(t)ΔPWTG(t)ΔPPV(t)ΔPDEG(t)ΔPFC(t)ΔPBES(t)ΔPg(t)]；
w(t)T＝[ΔPWind(t)ΔPSolar(t)ΔPLoad(t)]；
其中的仿真参数为D＝0.012；M＝0.2；R＝2.4；TBES＝0.1；TFc＝0.1；TPV＝1.8；TWTG＝1.5；TDEG＝2；
迭代优化过程曲线如图4所示，按照施例1优化得到的混合H2/H∞鲁棒控制器的最优控制反馈增益矩阵K为：
K＝103×[-0.1157 -4.6906 -0.0013 -0.0013 -0.0013 -0.0012 -0.0012 -5.8865×10-8]。
基于上述参数设置，分别采用传统混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法和实施例1所提出的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，获得被控系统在两个控制器作用下的评价指标的最大值、平均值、最小值以及标准差，具体数值如表1所示。
从表1可知，被控系统在采用传统混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法时的最大值、平均值、最小值以及标准差均劣于实施例1所提出的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，这表明了本发明所提出设计方法的有效性，也证明了通过纳入反映H2性能和H∞性能权重来设计最优混合H2/H∞鲁棒控制器是一种有效方法。
表1
面对同一扰动，图5与图6为被控系统在采用传统混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法与实施例1所提出的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法两种方法，在同一负荷频率被控系统当中的响应曲线图，对比后不难发现，实施例1所提的方法能有效地抑制负荷突变，使得系统控制性能得到进一步提升。
本实施例依赖遗传算法提供优化操作，采用依据算法步骤得到的当前种群的“最优个体”更新下一代个体，能够更好的引导算法进行全局搜索；在种群的更新过程中采用算法中的思想不断更新个体和种群，不仅能够使得优势个体的历史信息得到充分利用，还可以保证算法的全局搜索具有一定的宽度。
本发明提出了最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计以及求解方法和优化操作方法，使鲁棒控制器优化过程的表达更加清晰，优化结果更加可信。
Claims (3)
1.一种基于遗传算法的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，其特征在于，具体步骤如下：
(1)基于MATLAB平台，由遗传算法产生初始种群；
(2)含有系统扰动w的线性时不变被控系统状态方程模型为：
在此基础上，引入系统H2以及H∞鲁棒性能评价信号输出z∞，z2，其状态空间描述为：
其中，x为系统状态向量，u为系统的控制输入，y为系统输出，w为外部扰动输入，z2，z∞为H2，H∞鲁棒性能输出；系数矩阵A，B1，B2为被控系统固有参数矩阵，Cy为单位矩阵I，Dy1＝0；加权矩阵C1，D11，D12，C2，D21，D22具体定义如下：
这里，n表示系统状态向量x的行数，m表示系统控制向量u的行数；
将步骤(1)初始种群中的每个个体依次赋值给μ1，11...μ1，nn，μ2，11...μ2，mm以及分别反映H∞性能和H2性能权重的μz∞与μz2；
μ1，11...μ1，nn以及μ2，11...μ2，mm寻优范围为[0.1％ 1000]，μz∞与μz2的寻优范围为[0.1％1]；
(3)由带扰动w的被控系统中已知的系数矩阵A，B1，B2以及步骤(2)所得的加权矩阵C1，D11，D12，C2，D21，D22，通过求解相应混合H2/H∞的线性矩阵不等式得到最优控制反馈增益矩阵K，从而得到控制器u＝Kx；
(4)步骤(3)得到的控制器的闭环被控系统由下式(3)求出扰动w作用下的该控制器的闭环被控系统/>的控制误差平方积分性能指标；
其中，Δe(t)为在当前状态反馈控制器u＝Kx作用下的控制误差，ts为时间积分上限；
将控制误差平方积分性能指标作为种群中各个体的适应度函数值，判断遗传算法是否满足终止条件；若满足，则退出遗传算法，控制误差平方积分性能指标最小时对应的控制器u＝Kx即为最优混合H2/H∞鲁棒控制器；若不满足，则转至步骤(5)；
(5)遗传算法进行选择、保留精英、交叉、变异，产生新的种群，并转至步骤(2)；每代引入系统的扰动w相同。
2.根据权利要求1所述基于遗传算法的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，其特征在于，遗传算法的终止条件为迭代次数100次。
3.根据权利要求1所述基于遗传算法的最优混合H2/H∞鲁棒控制器设计方法，其特征在于，求解相应混合H2/H∞的线性矩阵不等式得到状态反馈控制矩阵K的具体过程如下：
要求设计控制器u＝Kx，使得由式(1)所描述的线性闭环系统是渐进稳定的，且满足从w到式(2)所描述的鲁棒性能评价信号输出z∞的闭环传递函数Twz∞(s)的H∞范数不超过给定上界γ，以保证闭环系统对由w进入的不确定性具有鲁棒稳定性，同时，使得w到z2的闭环传递函数Twz2(s)的H2范数尽可能小，以保证用H2范数度量的系统性能处于一个较好的水平；
对此，采用的线性矩阵不等式及求解过程为：
(1)当||Twz∞(s)||∞＜γ时，保证闭环系统针对由w引入的不确定因素能达到相应的鲁棒性能要求，根据有界实引理可知，若控制器闭环系统满足该性能要求，当且仅当存在对称正定矩阵X1，使得：
为了不失一般性，令γ＝1；
(2)为使系统控制性能处于一个好的水平，对一给定的正常数η，须使得||Twz2(s)||2＜η成立，其可等价为当且仅当存在对称矩阵X2和Q，使得：
其中，Tr(Q)为求矩阵Q的迹，对于η则不做限制；
(3)联立上式(4)和(5)，且X1＝X2＝X，优化求解公式(6)所描述函数，通过matlab的线性矩阵不等式工具箱完成求解，即得出实现闭环系统的多目标控制要求的混合H2/H∞的最优控制反馈增益矩阵K：
其中：Acl＝(A+B2K)，Bcl＝B2，Ccl1＝(C1+D12K)，Dcl1＝D11，Ccl2＝(C2+D22K)，Dcl2＝D22，Ccl＝Cy，Dcl＝Dy1。
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