CN113704966B - 一种识别调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种离子体系动力学行为评估调控方法，尤其涉及一种异核少离子体系的振动模式及耦合强度精准识别、调控方法。本发明的技术方案包括囚禁离子原始参数确立、囚禁电磁场参数的匹配、囚禁离子体系模型的建立、囚禁离子体系温度‑荧光展宽效应的评估与微运动补偿、单组份离子体系运动频谱的提取与久期运动激发频点匹配、双组份离子体系运动频谱的提取与平衡态模式耦合理论最低阶频点的匹配，特征温度的提取与优化，最终满足高效协同冷却和高保真逻辑测量等应用需求。

Description

一种识别调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法

技术领域

本发明涉及一种离子体系动力学行为评估调控方法，尤其涉及一种异核少离子体系的振动模式及耦合强度精准识别、调控方法。

背景技术

基于中性及带电原子、分子体系的量子态精密调控与测量在现代量子传感、精密计量仪器等发展中扮演着重要角色。利用激光冷却与原子(离子)囚禁技术，研究者对原子分子体系的跃迁频率测控精度已经迈入10^-19量级，是目前所有精密测量所能达到的最高精度。冷离子体系的制备与测量，主要基于激光与离子内部量子态间的红失谐闭合循环跃迁相互作用耗散离子的外态动能，抑制多普勒效应，实现内部量子态的相干维持与精密探测。然而，很多适合发展为高精度频率标准的候选离子跃迁谱线，都因为缺乏循环跃迁能级或者没有合适的激光器，而难以冷却和精密测量。所以，发展一种不依赖于直接激光冷却的低温离子普适性制备方法，并精细抑制离子体系的量子退相干效应，对基于离子的精密测量与应用研究至关重要。

美国NIST的D.J.Wineland小组建立了基于⁹Be⁺和²⁴Mg⁺分别协同冷却²⁷Al⁺的光频测量体系，通过探测系统外部自由度可间接测量内部量子态跃迁，目前已实现了10^-19精度的时间频率标准。过去20年中，协同冷却双离子体系的外态及耦合特性得以前所未有的精密调控。该领域的突破使得一些有优良物理特性，但无法直接激光冷却的带电离子体系得以精密量子操控与测量，进而用于发展更高精度的原子钟、构建可扩展量子计算等领域。基于囚禁离子的协同冷却与量子逻辑操作成为目前量子逻辑钟、量子信息处理、量子计算和超冷化学反应调控等领域的重要研究热点。SCI-LCI外态耦合效应是决定协同冷却效率的重要因素；同时作为连接LCI与SCI内部量子态的桥梁，是实现量子逻辑测量的基础。因此，精细评估、调控SCI-LCI外态耦合效应对离子的普适性协同冷却与精密频谱测量具有重要意义。

线形离子阱中的链状异核离子对是结构与耦合机理最简单的量子逻辑测量体系，目前已得到广泛且深入的应用。但是，双离子体系的振动模式及耦合强度识别及调控方法尚不系统、量化。外态耦合效应研究尚不系统、量化。LCI-SCI间、混合离子体系与势场的最优匹配方法尚不完备，LCI-SCI的谐振特性、振动模式及能量传递影响因素尚不量化。LCI的匹配原则和匹配方法尚未形成一致性结论。

现有技术主要为平衡态双离子模式耦合理论和谐振微绕激发两种方法，前者是一种低阶近似方法，后者是一种破坏性测量方法，可初步获得离子体系的低阶耦合模式。相关方法的评估精度与实际均存在一定偏差，与高保真量子逻辑测量等应用需求存较大差距。具体存在以下问题：

平衡态双离子模式耦合理论是少离子体系的最低阶近似理论，由于忽略了高阶耦合效应，囚禁离子谐振模式的理论模型过于理想，在指导实际应用中存在较大失真。不利于精细研究离子体系的所有谐振模式。另外该理论只适合链状少离子体系，后期的扩展性极为有限。

谐振微绕激发是最为常用的离子体系运动模式实验分析方法，但是作为一种破坏性测量方式，注入激励场很容易造成谐振频点发生展宽、频移效应，干扰模式频谱的中心峰识别。另外该方法难以量化评估谐振模式强度，一定程度上会造成微绕势加热效应，使得谐振模式出现解耦合现象，加剧量子退相干过程。该方法如果使用不当，还有可能导致离子无法结晶，甚至逃逸出囚禁区。

上述两种分析方法，都是低精度、大误差的分析方法，与高保真量子逻辑测量等应用需求存较大差距。

发明内容

本发明解决的技术问题：本发明的目的在于发展一种可用于离子钟、精密测试计量、量子计算、质谱分析等领域中离子体系振动模式及耦合强度的精准识别、调控方法。首先解决囚禁离子谐振模式的理论模型过于理想，在指导实际应用中存在较大失真的问题。其次，解决囚禁离子谐振模式的实验测量只能依赖微绕激发方法进行信息探测，谐振强度难以量化评估，激发展宽、频移效应干扰中心模式峰识别的问题。最后，解决混合离子体系微绕激发过程中，因激发加热效应导致模式解耦合，难以提取耦合谐振模式及强度信息的问题。基于该发明进行离子体系的耦合模式及其强度的非破坏性识别、评估，可为调控外态耦合强度、实现高效协同冷却、高保真逻辑测量，控制化学反应速率提供量化依据。本发明涉及的一种适用于精准量化识别、调控离子体系振动模式及耦合强度的方法在专利库中都没有公开的发表。基于囚禁离子体系动力学信息精细反演离子体系的三维谐振运动频谱及相对强度，进而精准识别、评估、调控协同冷却双离子晶体外态耦合特性，不仅可以精细获得离子体系的耦合模式频率，还可以量化反应离子体系的模式耦合强弱，对离子钟、精密测试计量、量子计算、质谱分析等领域中离子体系振动模式及耦合强度的精准识别、调控具有普适性。为实现上述目的，本发明的技术方案包括囚禁离子原始参数确立、囚禁电磁场参数的匹配、囚禁离子体系模型的建立、囚禁离子体系温度-荧光展宽效应的评估与微运动补偿、单组份离子体系运动频谱的提取与久期运动激发频点匹配、双组份离子体系运动频谱的提取与平衡态模式耦合理论最低阶频点的匹配，特征温度的提取与优化，最终满足高效协同冷却和高保真逻辑测量等应用需求。

本发明采用的技术方案：

一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，该方法的步骤包括：

第一步，对囚禁离子体系的原始参数进行评估和确立，并建立等效谐振模型；

第二步，对囚禁离子温度-荧光展宽效应进行评估，并通过微运动补偿迭代优化评估结果；

第三步，对单组份离子体系运动频谱进行提取，并与久期运动激发频点进行匹配；

第四步，对双组份离子体系运动的频谱进行提取，并与平衡态模式耦合理论最低阶频点进行匹配；

第五步，对囚禁离子振动模式及耦合强度进行调控与特征温度表征。

第一步中，对囚禁离子体系的原始参数进行评估和确立的方法为：

基于马修方程

对离子的时域运动行为进行建模，其中r＝x，y；代表离子的径向二维坐标；a_i，q_i和ξ是三个无量纲参数，分别为代表离子的轴向稳定囚禁参数、径向稳定囚禁参数、时间演化相位，分别为

其中，射频势的振幅为U_rf，频率为Ω，U_dc为施加在射频场上的静态直流偏置电压，M为离子的质量，Q为离子的电荷，κ_r为离子阱的径向几何因子参数；基于LC谐振等效电容法测量谐振匹配下离子阱的等效电容值C，并进行射频参数(Ω，U_rf)的电路谐振匹配。

第一步中，等效谐振模型建立方法为：

LCI与SCI的双离子体系协同冷却至稳态后，两离子的平衡态间距为离子在各自的平衡态位置附近做三维等效谐振运动，双离子体系的等效谐振耦合特征分解为同向和反向两种模式，由Hamiltonian表示：

其中分别为同向、反向振动模式的标准谐振子阶梯算符；该等效谐振模型下LCI与SCI的耦合振动位移分别为q_SC,q_LC，

q_SC≈z_ib₁sin(ω_it+φ_i)+z_ob₂cos(ω_ot+φ_o)， (2)

其中，ω_i,ω_o和φ_i,φ_o分别为同向和反向模式的本征频率和相位，b₁和b₂是同向振动模式的归一化本征向量的两个分量，维度满足：z_i和z_o为离子的同向和反向振动模式幅度，单电荷离子对的质量比为μ＝m_LC/m_SC。

第二步中，对囚禁离子温度-荧光展宽效应进行评估的方法为：

在第一步建立囚禁离子体系的原始参数和动态势等效谐振模型基础上使用LeapFrog运动学算法评估所有离子达到稳态过程中的三维位置矢量和速度矢量时间演化信息。

评估所有离子达到稳态过程中的三维位置矢量和速度矢量时间演化信息的方法为：将解算离子运动的时间分辨率取值远小于微运动周期，对离子体系位置矢量的时间演化信息进行加权平均及图形化显示获得离子特定投影面延时荧光展宽信息，通过对所有离子射频周期的速度分布进行统计平均配合热、动力学关系，反演出离子体系温度，离子体系的温度与三维速度矢量间满足如下关系，

其中k_B是Boltzmann常数，<...>为多个射频周期时间尺度内对离子久期运动速度平方的时间平均，N为研究体系的离子总数目。

第二步中，在建立囚禁离子温度-荧光展宽效应对应关系后，为进一步抑制离子体系的环境耦合效应以该温度-荧光展宽效应为观测量，以调控温度至极小值为评价标准对离子的微运动进行补偿，其方法为：囚禁离子微运动相位与射频势相位之间存在固定的耦合关系，运动中的离子自发辐射荧光也会调制微运动信息，通过在射频势中叠加适当静电势使得探测器采集荧光与射频间的相位关联极小，即能够抑制离子的微运动行为以及由此引入的加热效应，最终获得更低的离子温度和更小的荧光展宽效应，根据射频-荧光相位关联强度及最终的离子温度-荧光展宽效应迭代反馈控制静电势，补偿离子微运动。

第三步中，对单组份离子体系运动频谱的提取方法为：

线形阱囚禁单离子在三维空间均存在等效谐振行为，轴向谐振运动特性由轴向静电势决定，基于第二步的射频光子关联方法实现离子径向附加微运动的最优补偿后，离子体系在径向x、y维度的受力特征及谐振运动特性均趋于一致，在第二步获得离子体系的三维位置矢量和速度矢量的时间演化信息后，进行傅里叶频谱转换，获得离子的谐振运动频谱信息。

第三步中，单组份离子体系运动频谱与久期运动激发频点的匹配方法：

对囚禁离子体系施加一个极弱的外界微绕激励场，扫描激励场频率，当激励场频率与离子的谐振久期运动频率接近，离子会出现谐振增强现象，基于该现象独立获得离子的久期运动特征谱，但由于激发展宽效应，其特征谱半高宽大于傅里叶转换频谱结果，如果傅里叶转换频谱特征峰在久期运动激发频谱误差范围内，则傅里叶转换频谱的合理性；如果傅里叶转换频谱特征峰不在久期运动激发频谱误差范围内，需要进一步返回第一步提升原始参数中离子阱几何因子的精度，直至最终傅里叶转换频谱特征峰进入久期运动激发频谱误差范围内。

第四步中，平衡态模式耦合理论最低阶频点匹配方法为：

平衡态离子体系中，对每个离子所受到的囚禁势和离子间库伦相互作用势在其振动平衡态位置展开，并求解耦合运动方程的最低阶效应，离子的三维谐振模式频率及本征矢量为：

其中，ω_z为SC离子的轴向久期运动频率，ω_rf为SC离子的径向久期运动频率。

第五步中，对囚禁离子振动模式及耦合强度进行调控的方法为：

首先通过优选SCI离子最佳囚禁电磁场频率和幅度，使得SCI的稳定囚禁参数q均处于准绝热相互作用区域；

其次，优选更容易冷却的LCI离子，同时使得LCI-SCI两离子的质量数接近；

最后，通过调控LCI-SCI离子对的轴向谐振模式，使得相对谐振幅度尽可能相近，以达到最优振动模式耦合。

与现有方法相比，本方法具有以下优点：

(1)本发明方案基于囚禁离子体系动力学信息精细反演离子体系的三维谐振运动频谱及相对强度，进而可精准识别、评估、调控协同冷却双离子晶体外态耦合特性，不仅可以精细获得离子体系的耦合模式频率，还可以量化反应离子体系的模式耦合强弱。高阶耦合效应在本方案中也很清晰的展现出来。该方法获得的离子对三维谐振运动频谱特征峰与平衡态双离子模式耦合理论预言的三维同向、反向振动模式的频率匹配误差均小于2％，相对幅度趋势一致。匹配误差源自与平衡态双离子模式耦合理论最低阶近似误差。因此此方案的分析精度更高，反映的特征信息更全面，很好的弥补了以往囚禁离子谐振模式的理论模型过于理想，在指导实际应用中存在较大失真的问题。

(2)相比于传统囚禁离子谐振模式实验测量只能依赖微绕激发方法进行信息探测，此方案是一种可独立于实时实验探测的非破坏性量化分析方法，可较好规避微绕激发方法中谐振强度难以量化评估，激发出现展宽、频移效应干扰中心模式峰识别等问题。

(3)此方案在弱耦合、高保真相干调控应用中，具有独特优势，较为巧妙的规避了测量物理场引起的激发微绕效应，避免了加热模式解耦合效应，抑制了不必要的量子退相干因素，解决了难以精确提取耦合谐振模式及强度信息的问题。

(4)此方案由于是从离子体系的动力学信息反演频谱特征，不受离子数及离子种类限制，也不受实验客观条件制约，可实现全频段、各类耦合强度频谱识别，因此普适性更强，分析精度更高，覆盖模式更丰富，可在应用中指导LCI-SCI离子对的匹配，射频囚禁参数的优化。该方案对于调控外态耦合强度、实现高效协同冷却、高保真逻辑测量，控制化学反应速率提供量化依据。对推动高性能离子钟、量子逻辑测量的工程应用进程具有重要指导性意义。

(5)为了实现混合离子体系振动模式及耦合强度的精准识别与调控。首先基于Matlab和Comsol等仿真软件构建囚禁离子体系的射频动态束缚模型，建立离子体系的稳态空间构型，基于囚禁离子体系温度-荧光展宽效应联合离子的荧光成像和跃迁谱线扫频展宽线形精确评估单组份离子体系的久期运动温度，反演离子的运动频谱，并通过提升几何因子精度实现与久期运动激发频点的精确匹配。而后反演双组份离子体系的运动频谱，并通过增加非谐性势阶次实现与平衡态模式耦合理论最低阶谐振频点的精确匹配，在此基础上，全面识别各类振动模式及其强度，获得离子体系的特征温度分布。通过进一步精细优化异核双离子体系选型、囚禁势，实现离子体系运动模式的优化，使得离子体系的特征温度满足目标应用需求。

附图说明

图1为实现囚禁离子体系振动模式及耦合强度的精准识别、调控方法示意图；

图2为囚禁单个⁴⁰Ca⁺与单个²⁷Al⁺(通过secular motion激发或调控径向对称静电势方法剔除1 ⁴⁰Ca⁺-1 ²⁷Al⁺离子对中的⁴⁰Ca⁺)的三维谐振运动频谱。

图3为⁴⁰Ca⁺-27Al⁺离子对晶体的轴向谐振运动频谱。

图4为⁴⁰Ca⁺-27Al⁺离子对晶体的径向谐振运动频谱。

图5为⁹Be⁺-27Al⁺、Mg^+-27Al⁺、Ca⁺-27Al⁺离子对中各离子的轴向简谐振动频谱。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，该方法的步骤包括：

第一步，对囚禁离子体系的原始参数进行评估和确立，并建立等效谐振模型；对囚禁离子体系的原始参数进行评估和确立的方法为：基于马修方程

对离子的时域运动行为进行建模，其中r＝x，y；代表离子的径向二维坐标；a_i，q_i和ξ是三个无量纲参数，分别为代表离子的轴向稳定囚禁参数、径向稳定囚禁参数、时间演化相位，分别为

其中，射频势的振幅为U_rf，频率为Ω。U_dc为施加在射频场上的静态直流偏置电压。M为离子的质量，Q为离子的电荷。κ_r为离子阱的径向几何因子参数。优选一组射频势(Ω，U_rf)使得目标离子的径向稳定囚禁参数q处于(0.1-0.35)之间。基于LC谐振等效电容法测量谐振匹配下离子阱的等效电容值C，并进行射频参数(Ω，U_rf)的电路谐振匹配，基于Comsol等物理场建模软件建立(Ω，U_rf)射频势下离子阱内部空间的三维动态势模型，将该动态势与理想谐振势进行拟合匹配，确定三维几何因子、电势梯度等信息。针对待调控离子类型及离化方式确定其初始能、质量数及离子数。根据实际离子阱的三维结构，确定目标势阱深度和各非谐性势的分布。最后确立一套离子原始参数：(Ω，U_rf)，U_dc，κ_r,(M，Q),r₀，C。

等效谐振模型建立方法为:LCI与SCI的双离子体系协同冷却至稳态后，两离子的平衡态间距为离子在各自的平衡态位置附近做三维等效谐振运动，并存在一定的耦合效应。忽略高阶谐振效应，双离子体系的等效谐振耦合特征可分解为同向和反向两种模式，由如下Hamiltonian表示：

其中分别为同向、反向振动模式的标准谐振子阶梯算符；该等效谐振模型下LCI与SCI的耦合振动位移分别为q_SC,q_LC，

q_SC≈z_ib₁sin(ω_it+φ_i)+z_ob₂cos(ω_ot+φ_o)， (2)

其中，ω_i,ω_o和φ_i,φ_o分别为同向和反向模式的本征频率和相位。b₁和b₂是同向振动模式的归一化本征向量的两个分量。特定维度满足：z_i和z_o为离子的同向和反向振动模式幅度。单电荷离子对的质量比为μ＝m_LC/m_SC。

第二步，对囚禁离子温度-荧光展宽效应进行评估，并通过微运动补偿迭代优化评估结果；

对囚禁离子温度-荧光展宽效应进行评估的方法为：在第一步建立囚禁离子体系的原始参数和动态势等效谐振模型基础上使用Leap Frog等运动学算法评估所有离子达到稳态过程中的三维位置矢量和速度矢量时间演化信息。其中，将解算离子运动的时间分辨率取值远小于微运动周期，以确保清晰展现离子的微运动行为。对离子体系位置矢量的时间演化信息进行加权平均(依据曝光时间)及图形化显示获得离子特定投影面延时荧光展宽信息，通过对所有离子射频周期的速度分布进行统计平均配合热、动力学关系，反演出离子体系温度。离子体系的温度与三维速度矢量间满足如下关系，

其中k_B是Boltzmann常数，<...>为多个射频周期时间尺度内对离子久期运动速度平方的时间平均，N为研究体系的离子总数目。离子的温度与荧光展宽效应存在对应关系，是描述离子动力学行为的两种等效展现方式。基于囚禁离子温度-荧光展宽效应对应关系，可实现离子体系温度的可视化评估，并可用实验光泵浦荧光线型法进行独立校验，确保评估的可靠性。

在建立囚禁离子温度-荧光展宽效应对应关系后，为进一步抑制离子体系的环境耦合效应需要以该温度-荧光展宽效应为观测量，以调控温度至极小值为评价标准对离子的微运动进行精细补偿，其方法为：囚禁离子微运动相位与射频势相位之间存在固定的耦合关系，运动中的离子自发辐射荧光也会调制微运动信息，通过在射频势中叠加适当静电势使得探测器采集荧光与射频间的相位关联极小，即可抑制离子的微运动行为以及由此引入的加热效应，最终获得更低的离子温度和更小的荧光展宽效应。实施中需要根据射频-荧光相位关联强度及最终的离子温度-荧光展宽效应迭代反馈控制静电势，精细补偿离子微运动。最终确保离子体系处于平衡态温度极小值区域。

第三步，对单组份离子体系运动频谱进行提取，并与久期运动激发频点进行匹配；

对单组份离子体系运动频谱的提取方法为：线形阱囚禁单离子在三维空间均存在等效谐振行为，轴向谐振运动特性由轴向静电势决定。基于第二步的射频光子关联方法实现离子径向附加微运动的最优补偿后，离子体系在径向x、y维度的受力特征及谐振运动特性均趋于一致，主要由射频(RF)势和轴向静电势共同决定。在第二步基于Leap Frog等运动学算法获得离子体系的三维位置矢量和速度矢量的时间演化信息后，进行傅里叶频谱转换，即可获得离子的谐振运动频谱信息。

单组份离子体系运动频谱与久期运动激发频点的匹配方法：对囚禁离子体系施加一个极弱的外界微绕激励场，扫描激励场频率，当激励场频率与离子的谐振久期运动频率接近，离子会出现谐振增强现象。基于该现象可以独立获得离子的久期运动特征谱，但由于激发展宽效应，其特征谱半高宽大于傅里叶转换频谱结果。如傅里叶转换频谱特征峰在久期运动激发频谱误差范围内，即证明了傅里叶转换频谱的合理性；如傅里叶转换频谱特征峰不在久期运动激发频谱误差范围内，需要进一步返回第一步提升原始参数中离子阱几何因子的精度，直至最终傅里叶转换频谱特征峰进入久期运动激发频谱误差范围内。

基于该方法获得单独囚禁单个⁴⁰Ca⁺的三维谐振运动频谱。该囚禁势场下同一离子的径向囚禁强度高于轴向，导致径向久期运动频率高于轴向。单个⁴⁰Ca⁺的轴向及径向谐振运动模式都主要为基模，其中轴向频谱特征峰为ω_Ca-z＝112.658kHz，径向频谱特征峰分别为ω_Ca-r＝174.301kHz。微绕激发久期运动频点的测量精度为kHz量级。本发明方法完全处于微绕激发方法获得的特征峰频点误差范围内，评估精度进一步提升了三个量级。离子谐振运动相对频谱特征峰与等效赝势近似下相对久期运动频率在轴向及径向的匹配误差分别小于0.000168％，0.5087％，满足了高精度评估需求。

第四步，对双组份离子体系运动的频谱进行提取，并与平衡态模式耦合理论最低阶频点进行匹配；

对双组份离子体系运动的频谱进行提取的方法与第三步对单组份离子体系运动的频谱进行提取的方法基本相同。主要差异是：双组份离子体系中两种离子的动力学行为出现一定差异性，需要对不同种类离子的三维位置矢量和速度矢量的时间演化信息分别进行傅里叶频谱转换，获得离子的运动频谱信息包含了两种离子的谐振耦合频谱信息，频谱成分更复杂，不同频谱的强度差异较大，需要对各类耦合模式及强度进行精细识别。步骤三中的久期运动激发频谱匹配方法很难满足双组份离子体系精细频谱分析需求。需要利用离子间的耦合特征发展具有无展宽特征的平衡态模式耦合方法。

平衡态模式耦合理论最低阶频点匹配方法为：平衡态离子体系中，对每个离子所受到的囚禁势和离子间库伦相互作用势在其振动平衡态位置展开，并求解耦合运动方程的最低阶效应，离子的三维谐振模式频率及本征矢量近似为：

其中，

其中，ω_z为SC离子的轴向久期运动频率，ω_rf为SC离子的径向久期运动频率。基于第三步确定的SC离子三维久期运动频谱信息和单电荷离子对的质量比μ信息，即可基于以上公式反演单电荷离子对的低阶(同相及反向)耦合模式频率及相对幅度，进而实现对双组份离子体系傅里叶运动频谱结果的独立校验。如果双组份离子体系傅里叶运动频谱与平衡态模式耦合理论反演特征频点存在较大偏差，需要进一步返回第一步提升原始参数中离子阱的高阶非谐性势级次，直至最终傅里叶转换频谱特征峰与平衡态模式耦合理论反演特征频点达到预期的相对偏差。

基于傅里叶运动频谱获得线形阱囚禁⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺混合离子轴向及径向谐振运动频谱，两离子长程库伦作用导致各自的简谐振动特征发生耦合，形成新的谐振动力学行为。在轴向谐振运动频谱中，⁴⁰Ca⁺、²⁷Al⁺同时出现三组谐振频点，依次为ω_1z:(ω_Al-z≈ω_Ca-z＝124.561kHz),ω_2z:(ω_Al-z＝218.089kHz,ω_Ca-z＝220.639kHz,ω_Ca-z/ω_Al-z＝1.01169),ω_3z:(ω_Al-z＝296.737kHz，ω_Ca-z＝297.162kHz,ω_Ca-z/ω_Al-z＝1.001433)。轴向谐振运动模式紧密耦合在一起，有利于高效能量交换和协同冷却。由平衡态双离子模式耦合近似理论可得，⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对的轴向反向模式频率高于同向模式频率，分别为ω_i-z＝122.172kHz，ω_o-z＝219.650kHz。反向模式中相对质量数较小的²⁷Al⁺的谐振强度占主导，反向模式幅度比为A(Al_out)/A(Ca_out)＝b_2z×√μ/b_1z＝1.78977。同向模式中相对质量数较大的⁴⁰Ca⁺的谐振强度占主导，同向模式幅度比为A(Al_in)/A(Ca_in)＝b_1z×√μ/b_2z＝0.828。相比之下，轴向同向模式耦合强度高于反向模式耦合强度。可识别出离子对谐振运动频谱中，第一组频率ω_1z为同向模式，第二组频率ω_2z为反向模式，相对匹配精度分别达到1.956％、0.7107％。第三组谐振频点ω_3z为同向、反向模式的高阶耦合效应，该ω_3r振动模式下⁴⁰Ca⁺与²⁷Al⁺仍然存在明显的耦合效应，有益于协同冷却。在⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对径向谐振运动频谱中，⁴⁰Ca⁺与²⁷Al⁺同时出现两组谐振频点，依次为ω_1r(ω_Al-r＝148.369kHz，ω_Ca-r＝147.518kHz，ω_Ca-r/ω_Al-r＝1.02059),ω_2r(ω_Al-r＝253.800kHz，ω_Ca-r＝252.864kHz,ω_Ca-r/ω_Al-r＝0.99631)。²⁷Al⁺的径向谐振运动模式比⁴⁰Ca⁺更丰富，还多出两个高频谐振模式频点ω_3r：(ω_Al-r＝367.308kHz)，ω_4r：(ω_Al-r＝441.705kHz)。由平衡态双离子模式耦合近似理论可得，⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对的径向同向模式频率高于反向模式频率，分别为ω_i-r＝253.071kHz，ω_o-r＝151.188kHz。同向模式中相对质量数较小的²⁷Al⁺的谐振强度占主导；同向幅度比为A(Al_in)/A(Ca_in)＝b_1r×√μ/b_2r＝6.23294；反向模式中相对质量数较大的⁴⁰Ca⁺的谐振强度占主导，反向幅度比为A(Al_out)/A(Ca_out)＝b_2r×√μ/b_1r＝0.23763。两离子的径向同向模式、反向模式均存在弱耦合效应，其中反向模式耦合强度略高于同向模式。可识别出离子对径向谐振运动频谱中，频率ω_1r为反向模式，频率ω_2r为同向模式，相对匹配精度分别达到1.864％、0.28789％。²⁷Al⁺除了同向、反向振动模式外，还存在两个显著的高频振动模式ω_3r、ω_4r。ω_3r(ω_Al-r＝367.308kHz)是轴向ω_o-z＝219.650kHz与径向ω_o-r＝151.188kHz的合频效应，相对匹配精度达到0.961％。从谐振运动频谱可看到，该ω_3r、ω_4r高频振动模式与⁴⁰Ca⁺基本没有耦合效应，对协同冷却的贡献可以忽略。

LCI-SCI离子对的径向耦合模式数量及强度整体弱于轴向，协同冷却效率主要由轴向谐振耦合效应主导，后续分析重点关注轴向振动模式的调控。离子对的三维谐振运动频谱分析方法与平衡态双离子模式耦合理论预言的谐振特性在同向、反向模式处实现较好匹配。

第五步，对囚禁离子振动模式及耦合强度进行调控与特征温度表征；

对囚禁离子振动模式及耦合强度进行调控的方法为：双离子体系因质量数的不同，离子体系的等效赝势、库伦耦合、RF加热效应均存在一定差异性。需要通过调控LCI-SCI离子对振动模式的耦合强度，提升协同冷却效率，满足高保真量子逻辑操作和精密测量等需求。主要途径是首先通过优选SCI离子最佳囚禁电磁场频率和幅度，使得SCI的稳定囚禁参数q均处于准绝热相互作用区域。第二步优选更容易冷却的LCI离子，同时使得LCI-SCI两离子的质量数接近。最后通过调控LCI-SCI离子对的轴向谐振模式，使得相对谐振幅度尽可能相近，以达到最优振动模式耦合。振动模式耦合调控效果的量化评价标准是离子体系的特征温度低至目标要求。特征温度表征方法与第二步中的囚禁离子温度-荧光展宽效应评估方法基本相同，只是需要针对不同组份离子分别进行动力学反演，步骤二中<...＞取离子体系的谐振模式周期公倍数时，可获得较小的评估偏差。

²⁷Al⁺是目前国际上面向光钟应用关注度和潜力最大的离子。本步骤以²⁷Al⁺的逻辑测量为例，基于本方法客观、量化的评价了LCI-SCI耦合模式及强度，进而给出最优LCI-SCI离子对匹配结论。紧耦合离子对²⁴Mg⁺-²⁷Al⁺、⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺、⁹Be⁺-²⁷Al⁺的轴向谐振运动耦合频谱。三组离子对的谐振运动频谱特征峰与平衡态双离子模式耦合理论预言的同向、反向振动模式频率在轴向及径向的相对匹配误差均小于2％。²⁴Mg⁺-²⁷Al⁺离子对内两离子的轴向同向(反向)振动模式的相对振幅相近，均实现强耦合。⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对内两离子的轴向同向振动模式实现强耦合；²⁷Al⁺的反向振动模式略强于⁴⁰Ca⁺，耦合强度有所减弱。⁹Be⁺-²⁷Al⁺离子对中²⁷Al⁺的轴向同向振动模式幅度略强于⁹Be⁺，反向模式幅度远弱于⁹Be⁺，整体耦合强度远弱于⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对。该方法较为客观的得出²⁴Mg⁺-²⁷Al⁺离子对协同作用强度最大，⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对略次之，⁹Be⁺-²⁷Al⁺离子对明显最弱的结论，对离子钟的工程化设计具有较好的指导意义。

实施例

参照图1，实现囚禁离子体系振动模式及耦合强度的精准识别、调控方法的示意图。本发明的技术方案包括囚禁离子原始参数的评估、囚禁电磁场参数的确立、囚禁离子体系模型的建立、囚禁离子体温度-荧光展宽效应的评估与微运动补偿、单组份离子体系运动频谱的提取与久期运动激发频点匹配、双组份离子体系运动频谱的提取与平衡态模式耦合理论最低阶频点的匹配，囚禁离子振动模式及耦合强度的调控与特征温度表征等过程。

第一步，囚禁离子体系原始参数的评估、确立与等效谐振模型的建立

双离子体系协同冷却至晶态后，两离子的平衡态间距为离子在各自的平衡态位置附近做三维谐振运动，并存在一定的耦合效应。忽略高阶谐振效应，双离子体系的外态耦合特征可分解为同向和反向两种模式，外态运动模式可由如下Hamiltonian表示：

其中分别为同向、反向振动模式的标准谐振子阶梯算符；LCI与SCI的耦合振动位移分别为q_SC,q_LC，

q_SC≈z_ib₁sin(ω_it+φ_i)+z_ob₂cos(ω_ot+φ_o)， (2)

其中，ω_i,ω_o和φ_i,φ_o分别为同向和反向模式的本征频率和相位。b₁和b₂是同向振动模式的归一化本征向量的两个分量。特定维度满足：z_i和z_o为离子的同向和反向振动模式幅度。单电荷离子对的质量比为μ＝m_LC/m_SC。基于Comsol等分析软件建立离子阱射频动态势囚禁模型，对离子在射频势中的动力学行为采用谐振子等效近似方法构建等效赝势。

第二步，囚禁离子温度-荧光展宽效应的评估与微运动补偿

离子体系随着平均动能的降低，会经历气相，液相与固相(结晶)之间的转变，受空间电荷效应、光子反冲随机作用等影响，最终会达到冷却与加热的动态平衡。在第一步建立的动态势模型及初始参数基础上每个离子的含时动力学行为使用跳蛙算法进行推演。将解算离子运动的时间分辨率取值远小于微运动周期(典型值为微运动周期的1/50)，以确保清晰展现离子的微运动行为。采用激光扫频与离子轨迹仿真相结合的方法联合确定离子体系平衡态相对分布和温度-荧光展宽分布。采用射频光子关联方法对径向附加微运动进行评估，并通过在射频势中叠加适当静电势进行微运动反馈补偿。最终确保离子体系处于mK量级平衡态温度。

第三步，单组份离子体系运动频谱的提取与久期运动激发频点匹配；

线形阱囚禁单离子的轴向谐振运动特性由轴向静电势决定。基于第二步的射频光子关联方法实现离子径向附加微运动的最优补偿后，离子体系在径向x、y维度的受力特征及谐振运动特性均趋于一致，主要由射频(RF)势和轴向静电势共同决定。图2给出了同一RF势场下分别单独囚禁单个⁴⁰Ca⁺与单个²⁷Al⁺(通过调控径向对称静电势方法剔除⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对中的⁴⁰Ca⁺得到)的三维谐振运动频谱。该囚禁势场下同一离子的径向囚禁强度高于轴向，导致径向久期运动频率高于轴向。单个⁴⁰Ca⁺及单个²⁷Al⁺平衡态温度相近时，具有更低等效赝势阱深度的⁴⁰Ca⁺的谐振幅度高于²⁷Al⁺。

单个⁴⁰Ca⁺及单个²⁷Al⁺的轴向及径向谐振运动模式都主要为基模，其中轴向频谱特征峰分别为ω_Al-z＝137.315kHz,ω_Ca-z＝112.658kHz，径向频谱特征峰分别为ω_Al-r＝268.254kHz,ω_Ca-r＝174.301kHz。微绕激发久期运动频点的测量精度为kHz量级。本发明方法完全处于微绕激发方法获得的特征峰频点误差范围内，评估精度进一步提升了三个量级。两离子谐振运动相对频谱特征峰与等效赝势近似下相对久期运动频率在轴向及径向的匹配误差分别小于0.000168％，0.5087％。可见，线形阱中单离子的三维谐振模式可以较好地用谐振赝势模型来近似描述。

第四步，双组份离子体系运动频谱的提取与平衡态模式耦合理论最低阶频点的匹配；

线形阱中单个⁴⁰Ca⁺协同冷却单个²⁷Al⁺形成⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对晶体时，离子间长程库伦作用导致各自的简谐振动特征发生耦合，形成新的谐振动力学行为，其三维谐振运动频谱如图3所示。在图3的轴向谐振运动频谱中，⁴⁰Ca⁺、²⁷Al⁺同时出现三组谐振频点，依次为ω_1z:(ω_Al-z≈ω_Ca-z＝124.561kHz),ω_2z:(ω_Al-z＝218.089kHz,ω_Ca-z＝220.639kHz,ω_Ca-z/ω_Al-z＝1.01169),ω_3z:(ω_Al-z＝296.737kHz，ω_Ca-z＝297.162kHz,ω_Ca-z/ω_Al-z＝1.001433)。轴向谐振运动模式紧密耦合在一起，有利于高效能量交换和协同冷却。由平衡态双离子模式耦合近似理论可得，⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对的轴向反向模式频率高于同向模式频率，分别为ω_i-z＝122.172kHz，ω_o-z＝219.650kHz。反向模式中相对质量数较小的²⁷Al⁺的谐振强度占主导，反向模式幅度比为A(Al_out)/A(Ca_out)＝b_2z×√μ/b_1z＝1.78977。同向模式中相对质量数较大的⁴⁰Ca⁺的谐振强度占主导，同向模式幅度比为A(Al_in)/A(Ca_in)＝b_1z×√μ/b_2z＝0.828。相比之下，轴向同向模式耦合强度高于反向模式耦合强度。可识别出离子对谐振运动频谱中，第一组频率ω_1z为同向模式，第二组频率ω_2z为反向模式，相对匹配精度分别达到1.956％、0.7107％。图3中轴向谐振运动频谱相对强度与理论计算的相对模式幅度结论基本一致。目前第三组谐振频点ω_3z主要考虑为同向、反向模式的高阶耦合效应，尚无法给出高阶耦合效应的解析解。但从谐振运动频谱可看到，该ω_3r振动模式下⁴⁰Ca⁺与²⁷Al⁺仍然存在明显的耦合效应，有益于协同冷却。

在图4的⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对径向谐振运动频谱中，⁴⁰Ca⁺与²⁷Al⁺同时出现两组谐振频点，依次为ω_1r(ω_Al-r＝148.369kHz，ω_Ca-r＝147.518kHz，ω_Ca-r/ω_Al-r＝1.02059),ω_2r(ω_Al-r＝253.800kHz，ω_Ca-r＝252.864kHz,ω_Ca-r/ω_Al-r＝0.99631)。²⁷Al⁺的径向谐振运动模式比⁴⁰Ca⁺更丰富，还多出两个高频谐振模式频点ω_3r：(ω_Al-r＝367.308kHz)，ω_4r：(ω_Al-r＝441.705kHz)。由平衡态双离子模式耦合近似理论可得，⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对的径向同向模式频率高于反向模式频率，分别为ω_i-r＝253.071kHz，ω_o-r＝151.188kHz。同向模式中相对质量数较小的²⁷Al⁺的谐振强度占主导；同向幅度比为A(Al_in)/A(Ca_in)＝b_1r×√μ/b_2r＝6.23294；反向模式中相对质量数较大的⁴⁰Ca⁺的谐振强度占主导，反向幅度比为A(Al_out)/A(Ca_out)＝b_2r×√μ/b_1r＝0.23763.两离子的径向同向模式、反向模式均存在弱耦合效应，其中反向模式耦合强度略高于同向模式。可识别出图4的离子对径向谐振运动频谱中，频率ω_1r为反向模式，频率ω_2r为同向模式，相对匹配精度分别达到1.864％、0.28789％。²⁷Al⁺与⁴⁰Ca⁺的径向谐振运动频谱的相对强度与理论计算的相对模式幅度结论基本一致。²⁷Al⁺除了同向、反向振动模式外，还存在两个显著的高频振动模式ω_3r、ω_4r。主要考虑为同向、反向模式的高阶耦合效应，ω_3r(ω_Al-r＝367.308kHz)是轴向ω_o-z＝219.650kHz与径向ω_o-r＝151.188kHz的和频效应，相对匹配精度达到0.961％.但从谐振运动频谱可看到，该ω_3r、ω_4r高频振动模式与⁴⁰Ca⁺基本没有耦合效应，对协同冷却的贡献可以忽略。

LCI-SCI离子对的径向耦合模式数量及强度整体弱于轴向，协同冷却效率主要由轴向谐振耦合效应主导。离子对的三维谐振运动频谱分析方法与平衡态双离子模式耦合理论预言的谐振特性在同向、反向模式处实现较好匹配。

第五步，囚禁离子振动模式及耦合强度的调控与特征温度表征；

双离子体系因质量数的不同，离子体系的等效赝势、库伦耦合、RF加热效应均存在一定差异性。如何实现LCI-SCI离子对振动模式的强耦合，是影响高效协同冷却，最终确保高保真量子逻辑操作和测量精度的重要因素。²⁷Al⁺是目前国际上面向光钟应用关注度和潜力最大的离子。美国NIST先后使用⁹Be⁺、²⁴Mg⁺开展²⁷Al⁺的逻辑测量。PTB等机构使用⁴⁰Ca⁺开展²⁷Al⁺的逻辑测量。宇航领域多家机构都在推进空间离子光钟的研制进程，以支撑下一代时间基准的天基化。国际上关于哪种离子更适合²⁷Al⁺的协同冷却及逻辑测量至今并未建立量化评价标准，甚至多家机构的评估结论出现了明显的分歧。本步骤以²⁷Al⁺的逻辑测量为例，基于运动频谱分析方法客观、量化的评价了LCI-SCI耦合模式及强度，进而给出最优LCI-SCI离子对匹配结论。

由于LCI-SCI离子对的耦合主要由轴向效应主导，因此，离子逻辑钟、量子逻辑计算等领域的应用重点聚焦于轴向模式效应。图5给出了紧耦合离子对²⁴Mg⁺-²⁷Al⁺、⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺、⁹Be⁺-²⁷Al⁺的轴向谐振运动耦合频谱。三组离子对的谐振运动频谱特征峰与平衡态双离子模式耦合理论预言的同向、反向振动模式频率在轴向及径向的相对匹配误差均小于2％。²⁴Mg⁺-²⁷Al⁺离子对内两离子的轴向同向(反向)振动模式的相对振幅相近，均实现强耦合。⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对内两离子的轴向同向振动模式实现强耦合；²⁷Al⁺的反向振动模式略强于⁴⁰Ca⁺，耦合强度有所减弱。⁹Be⁺-²⁷Al⁺离子对中²⁷Al⁺的轴向同向振动模式幅度略强于⁹Be⁺，反向模式幅度远弱于⁹Be⁺，整体耦合强度远弱于⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对。可见三种离子对，²⁴Mg⁺-²⁷Al⁺离子对协同作用强度最大，⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺离子对略次之，⁹Be⁺-²⁷Al⁺离子对明显最弱。

进一步考虑到LCI的低温冷却极限等因素，相比于²⁴Mg⁺，⁴⁰Ca⁺具有更窄的多普勒冷却跃迁线宽，可获得低于²⁴Mg⁺一倍的极限温度；同时⁴⁰Ca⁺冷却激光无需倍频，更为成熟，所以本步骤综合量化研究结论认为⁴⁰Ca⁺-²⁷Al⁺在面向集成化工程应用领域优势更为突出，较为客观的完成了既定目标的评估与调控。

Claims (9)

1.一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，其特征在于该方法的步骤包括：

第一步，对囚禁离子体系的原始参数进行评估和确立，并建立等效谐振模型；

第二步，对囚禁离子温度-荧光展宽效应进行评估，并通过微运动补偿迭代优化评估结果；

第三步，对单组份离子体系运动频谱进行提取，并与久期运动激发频点进行匹配；

第四步，对双组份离子体系运动的频谱进行提取，并与平衡态模式耦合理论最低阶频点进行匹配；

第五步，对囚禁离子振动模式及耦合强度进行调控与特征温度表征，具体为：

首先通过选择SCI离子最佳囚禁电磁场频率和幅度，使得SCI的稳定囚禁参数q均处于准绝热相互作用区域；

其次，选择更容易冷却的LCI离子，同时使得LCI-SCI两离子的质量数接近；

最后，通过调控LCI-SCI离子对的轴向谐振模式，使得相对谐振幅度尽可能相近，以达到最优振动模式耦合。

2.根据权利要求1所述的一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，其特征在于：

第一步中，对囚禁离子体系的原始参数进行评估和确立的方法为：

基于马修方程

对离子的时域运动行为进行建模，其中r＝x，y；代表离子的径向二维坐标；a_i，q_i和ξ是三个无量纲参数，分别为代表离子的轴向稳定囚禁参数、径向稳定囚禁参数、时间演化相位，分别为

其中，射频势的振幅为U_rf，频率为Ω，U_dc为施加在射频场上的静态直流偏置电压，M为离子的质量，Q为离子的电荷，κ_r为离子阱的径向几何因子参数；基于LC谐振等效电容法测量谐振匹配下离子阱的等效电容值C，并进行射频参数(Ω，U_rf)的电路谐振匹配。

3.根据权利要求1所述的一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，其特征在于：

第一步中，等效谐振模型建立方法为：

LCI直接冷却离子与SCI间接冷却离子的双离子体系协同冷却至稳态后，两离子的平衡态间距为U_end为轴向静电势；离子在各自的平衡态位置附近做三维等效谐振运动，双离子体系的等效谐振耦合特征分解为同向和反向两种模式，由Hamiltonian表示：

其中分别为同向、反向振动模式的标准谐振子阶梯算符；该等效谐振模型下LCI与SCI的耦合振动位移分别为q_SC,q_LC，

q_SC≈z_ib₁sin(ω_it+φ_i)+z_ob₂cos(ω_ot+φ_o)， (2)

其中，ω_i,ω_o和φ_i,φ_o分别为同向和反向模式的本征频率和相位，b₁和b₂是同向振动模式的归一化本征向量的两个分量，维度满足：z_i和z_o为离子的同向和反向振动模式幅度，单电荷离子对的质量比为μ＝m_LC/m_SC。

4.根据权利要求1所述的一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，其特征在于：

第二步中，对囚禁离子温度-荧光展宽效应进行评估的方法为：

在第一步建立囚禁离子体系的原始参数和动态势等效谐振模型基础上使用Leap Frog运动学算法评估所有离子达到稳态过程中的三维位置矢量和速度矢量时间演化信息。

5.根据权利要求4所述的一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，其特征在于：

评估所有离子达到稳态过程中的三维位置矢量和速度矢量时间演化信息的方法为：将解算离子运动的时间分辨率取值远小于微运动周期，对离子体系位置矢量的时间演化信息进行加权平均及图形化显示获得离子特定投影面延时荧光展宽信息，通过对所有离子射频周期的速度分布进行统计平均配合热、动力学关系，反演出离子体系温度，离子体系的温度与三维速度矢量间满足如下关系，

其中k_B是Boltzmann常数，<...>为多个射频周期时间尺度内对离子久期运动速度平方的时间平均，N为研究体系的离子总数目。

6.根据权利要求5所述的一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，其特征在于：

第二步中，在建立囚禁离子温度-荧光展宽效应对应关系后，为进一步抑制离子体系的环境耦合效应以该温度-荧光展宽效应为观测量，以调控温度至极小值为评价标准对离子的微运动进行补偿，其方法为：囚禁离子微运动相位与射频势相位之间存在固定的耦合关系，运动中的离子自发辐射荧光也会调制微运动信息，通过在射频势中叠加适当静电势使得探测器采集荧光与射频间的相位关联极小，即能够抑制离子的微运动行为以及由此引入的加热效应，最终获得更低的离子温度和更小的荧光展宽效应，根据射频-荧光相位关联强度及最终的离子温度-荧光展宽效应迭代反馈控制静电势，补偿离子微运动。

7.根据权利要求1所述的一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，其特征在于：

第三步中，对单组份离子体系运动频谱的提取方法为：

线形阱囚禁单离子在三维空间均存在等效谐振行为，轴向谐振运动特性由轴向静电势决定，基于第二步的射频光子关联方法实现离子径向附加微运动的最优补偿后，离子体系在径向x、y维度的受力特征及谐振运动特性均趋于一致，在第二步获得离子体系的三维位置矢量和速度矢量的时间演化信息后，进行傅里叶频谱转换，获得离子的谐振运动频谱信息。

8.根据权利要求1所述的一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，其特征在于：

第三步中，单组份离子体系运动频谱与久期运动激发频点的匹配方法：

对囚禁离子体系施加一个极弱的外界微绕激励场，扫描激励场频率，当激励场频率与离子的谐振久期运动频率接近，离子会出现谐振增强现象，基于该现象独立获得离子的久期运动特征谱，但由于激发展宽效应，其特征谱半高宽大于傅里叶转换频谱结果，如果傅里叶转换频谱特征峰在久期运动激发频谱误差范围内，则傅里叶转换频谱的合理性；如果傅里叶转换频谱特征峰不在久期运动激发频谱误差范围内，需要进一步返回第一步提升原始参数中离子阱几何因子的精度，直至最终傅里叶转换频谱特征峰进入久期运动激发频谱误差范围内。

9.根据权利要求1所述的一种识别、调控囚禁离子振动模式及耦合强度的方法，其特征在于：

第四步中，平衡态模式耦合理论最低阶频点匹配方法为：

平衡态离子体系中，对每个离子所受到的囚禁势和离子间库伦相互作用势在其振动平衡态位置展开，并求解耦合运动方程的最低阶效应，离子的三维谐振模式频率及本征矢量为：

其中，ω_z为SC离子的轴向久期运动频率，ω_rf为SC离子的径向久期运动频率。