CN113626918B - 基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法 - Google Patents

Abstract

基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法，涉及灰色系统理论预测模型优化改进方法，适用于拼宽桥梁桩基础不均匀沉降的预测和评估。具体方案如下：针对传统的灰色系统理论GM(1,1)模型对原始数据采用等权拟合处理的缺陷，本文提出一种基于全新的BUM函数

进行时间加权的灰色系统理论的基础不均匀沉降预测，可充分考虑离时间点较近的沉降数据的参考价值，并且可以有效提高拼宽桥梁桩基础不均匀沉降预测精度，在前期沉降数据有限的情况下，具有十分显著的优势。

Description

基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法

技术领域

本发明涉及灰色系统理论预测模型优化改进方法，具体涉及一种基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法，适用于拼宽桥梁桩基础不均匀沉降的预测和评估。

背景技术

我国早期修建的高速公路，以双向四车道为主，约占高速公路总里程的88％。近些年来，社会经济迅速发展，我国交通行业领域发生了翻天覆地的变化。交通量由于地区经济的迅速发展而急剧增加，产生了如通行效率低下、交通堵塞等交通问题。同时，我国公路等级不断提高，许多早期修建的高速公路需要进行拓宽升级改造。目前，高速公路的改扩建工程是我国公路建设所面临的迫切需要解决的问题。

桥梁拓宽是高速公路改扩建项目的重点和难点。桥梁拓宽能增加原有行车道数量，一般有两种拓宽方式，一是在原桥桥面基础上直接加宽，二是通过在旧桥一侧或两侧修建新桥。桥梁拓宽设计应满足结构安全可靠性、交通行车舒适性和拓宽施工高效性等原则。

新旧基础不均匀沉降问题是在桥梁拓宽工程中比较棘手的问题。由于旧桥早已施工完毕，旧桩基础的沉降基本完成，拓宽桥梁施工完成后，在结构自重和车辆荷载下，新桩基础会产生一定的沉降，与旧桩基础间形成一定的基础沉降差。此沉降差对上部结构可能造成较大影响，尤其是对于拼接部分。沉降差可能导致上部结构关键部位处发生混凝土开裂等一系列结构安全性问题，影响结构耐久性和行车舒适性。因此，对拓宽桥梁新旧基础沉降差进行预测和评估是十分有必要的，不仅可以预测新旧桩基础在一定时间内的大致沉降差，而且还可以对拓宽桥梁沉降控制技术进行可靠性评价。

对拓宽桥梁的新旧基础不均匀沉降差进行有效的预测和评估，不仅可以预测新旧桩基础在一定时间内的大致沉降差，而且还可以对拓宽桥梁沉降控制技术进行可靠性评价。长时间的现场沉降监测要考虑较高的时间和经济成本，可行性较差。

常用的沉降预测评价方法有灰色系统理论、回归分析法以及时间序列分析方法。然而对于回归分析预测，要求因变量与自变量之间必须存在较强的关联性，否则会出现较大的偏差；其次对于时间序列分析预测，需要采用大量的实测数据进行统计分析，而在实际桥梁拓宽工程中获取大量数据需要较高的成本。而采用传统的灰色系统理论GM(1,1)模型进行沉降预测，可通过较少的沉降实测数据，合理寻找数据之间的规律，从而构建灰色系统模型，进而对拼宽桥梁桩基础不均匀沉降进行预测和评估。

而传统的灰色系统理论GM(1,1)模型在对一次累加序列进行最小二乘拟合时，认为前n项数据对预测数据贡献度一致，故采用等权拟合的方法。但事实上，离时间点较近的数据往往比离时间点较远的数据更具有参考价值，离时间点较近的数据往往更能反映数据未来的变化趋势，故采用等权拟合的方法具有一定的缺陷。

发明内容

针对传统的灰色系统理论GM(1,1)模型对原始数据采用等权拟合处理的缺陷，本文提出一种基于全新的Basic Unit-interval Monotonic(BUM)函数进行时间加权的灰色系统理论的基础不均匀沉降预测模型，可充分考虑离时间点较近的沉降数据的参考价值，并且可以有效提高拼宽桥梁桩基础不均匀沉降预测精度，在前期沉降数据有限的情况下，具有十分显著的优势。

为实现上述目的，本发明采取的技术方案如下：

一种基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法，包括以下步骤：

步骤一、原始序列选取：

x⁽⁰⁾＝(x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),···x⁽⁰⁾(n)) (1)

n为原始数据个数，对{x⁽⁰⁾}序列进行累加，得到累加数列：

x⁽¹⁾＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),···x⁽¹⁾(n)) (2)

其中：

根据灰色系统理论，对{x⁽¹⁾}建立关于时间t的白化形式的一阶一元微分方程GM(1,1)：

其中a，u分别为发展系数和灰色作用量，记a，u构成矩阵为灰参数：

步骤二、生成x⁽¹⁾邻均值等权数列：

z⁽¹⁾＝(z⁽¹⁾(2),z⁽¹⁾(3),···z⁽¹⁾(k)),k＝2,3···n (6)

其中：

z⁽¹⁾(k)＝0.5x⁽¹⁾(k-1)+0.5x⁽¹⁾(k),k＝2,3···n (7)

步骤三、生成数据矩阵B与数据列Y_n：

步骤四、为了确定每个数据的权重，引入BUM函数

式中r为权重参数，则时间权重λ_k表示为：

则可得时间加权矩阵：

Q＝diag(λ₁,λ₂,…,λ_n-1,λ_n) (12)

步骤五、利用最小二乘法求解灰参数，并计入时间加权矩阵，即：

步骤六、将灰参数

代入公式(4)得预测模型

步骤七、将公式(14)得到的预测序列进行累减还原，得到原始序列的预测模型

步骤八、利用步骤七得到的预测模型进行预测，预测项数为m：

本发明相对于现有技术的有益效果是：

本发明所述的方法可充分考虑离时间点较近的沉降数据的参考价值，更能反映数据未来的变化趋势，有效提高拼宽桥梁桩基础不均匀沉降预测精度，并且不需要大量的前期沉降实测数据，即可对拼宽桥梁基础不均匀沉降进行有效预测和评估，有效减小基础不均匀沉降监测的成本。

附图说明

图1为本发明所记载的方法的具体流程框图；

图2为权重模型优化组数折线图；

图3为基础沉降随时间变化图。

具体实施方式

下面结合具体实施方式和附图1对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

具体实施方式一：

一种基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法，包括以下步骤：

步骤一、假设一组原始数据列为：

x⁽⁰⁾＝(x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),···x⁽⁰⁾(n)) (1)

n为原始数据个数，对{x⁽⁰⁾}序列进行累加，可弱化随机序列的随机性和波动性，得到累加数列：

x⁽¹⁾＝(x⁽¹⁾(1),x⁽¹⁾(2),···x⁽¹⁾(n)) (2)

其中：

根据灰色系统理论，对{x⁽¹⁾}建立关于t的白化形式的一阶一元微分方程GM(1,1)：

其中a，u为待求解的系数，分别为发展系数和灰色作用量；

a的有效区间是(-2，2)，记a，u构成矩阵为灰参数：

求出参数a、u，便能求出

进而求出x⁽⁰⁾预测值；

步骤二、生成x⁽¹⁾邻均值等权数列：

z⁽¹⁾＝(z⁽¹⁾(2),z⁽¹⁾(3),···z⁽¹⁾(k)),k＝2,3···n (6)

其中：

z⁽¹⁾(k)＝0.5x⁽¹⁾(k-1)+0.5x⁽¹⁾(k),k＝2,3···n (7)

步骤三、对累加生成数列做均值，生成数据矩阵B与常数项向量Y_n：

步骤四、为了确定每个数据的权重，引入BUM函数。对于一个函数Q(x)，其定义域为[0,1]。若Q(x)满足：

1)Q(0)＝0；

2)Q(1)＝1；

3)Q(x)在定义域内为单调递增函数；

则称此函数为BUM函数。

令时间加权向量{λ_k}＝{λ₁,λ₂,…,λ_n-1,λ_n}，基于BUM函数，λ_k可以表示为：

λ_k＝F(k/n)-F((k-1)/n)k＝1,2,…,n-1,n

这里提出一种全新的BUM函数，用以优化灰色系统理论模型。全新加权函数为：

式中r为权重参数。

则时间权重λ_k可以表示为：

则可得时间加权矩阵：

Q＝diag(λ₁,λ₂,…,λ_n-1,λ_n) (12)

步骤五、利用最小二乘法求解灰参数，并计入时间加权矩阵，即：

步骤六、灰参数矩阵带入公式(4)，并进行求解，得到：

的含义为利用灰色系统理论拟合出来的一次累加序列，与x⁽¹⁾相对应；

步骤七、将上述求得的数值进行累减还原，可得到预测值：

步骤八、利用得到的灰色模型进行预测，预测项数为m：

步骤九、对建立的灰色模型进行精度检验；

步骤十、利用灰色预测方程进行基础沉降长期预测。

实施例1

一种基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法，包括以下步骤：

(1)桩基础沉降数据选取

拓宽桥梁桩基础沉降随时间的变化基本可以分为三个阶段。

第一个阶段为“沉降快速阶段”，在此沉降阶段，新桩基础刚施工完毕，由于在新桩基础施工过程中，新桩基础周围的土体会受到扰动，桩周土体处于次固结的松动状态，是桩基础沉降过程中沉降最剧烈的阶段。第二个阶段为“沉降缓慢阶段”，基于“沉降快速阶段”，此阶段中由于桩基础挤压等因素，土体中孔隙水压力挤出，土体体积缩小，产生相应的固结沉降，土体达到稳定状态后，即到达第三个阶段：“沉降稳定阶段”，在此阶段内新桩基础周围的土体产生的沉降较小，经历变化的时间较长。

考虑拓宽桥梁桩基础沉降的稳定阶段，选取六组基础不均匀沉降实测数据，并将基础沉降的稳定段分为三种类型：直线增长、指数增长和波动增长。现场测试数据见表1、表2 和表3。

表1直线增长式沉降

表2指数增长式沉降

表3波动增长式沉降

(2)时间加权函数权重参数r的取值

此外，加权函数中权重参数r的取值决定着原始数据的每一项对预测数据贡献度的大小，分别取r＝1～10，计算得到权重λ_k如表4所示。

表4权重参数取值对各组数据权重的影响

通过表4可以看出，随着权重参数r取值的增大，距离预测时间点远的数据对预测数据的贡献度减小，距离预测时间点越近的数据对预测数据的贡献度增大。当r＝1时，λ_k随着k的增大而减小，即远点的贡献度比近点的贡献度大，这与时间加权模型的假定不符，故不做考虑。当r≥2时，λ_k随着k的增大而增大，即近点的贡献度大于远点的贡献度，符合模型的假定，故以下讨论皆取r≥2；

当r＝2时，8项数据皆对预测数据有贡献。当r取3和4时，x⁽⁰⁾(2)对预测数据的贡献度极小，可近似为0。随着r的增大，越来越多的数据对预测数据的贡献度接近为0。当r＝10时，后三项数据对预测数据的贡献度超出0.95，远高于之前数据贡献度之和，可近似认为后三项数据对预测数据起着决定性作用，此时若将生成的时间加权矩阵Q带入公式(13) 计算，取x⁽⁰⁾(1)作为初值条件，等效于用{x⁽⁰⁾(k)}(k＝1,7,8,9)四个数进行灰色预测，达到灰色系统理论所需已知数据个数最小值为4的条件，故不宜再增大r值。为探究r的最佳取值，此处分别取r＝2～10。

(3)灰色模型精度检验

1)取r＝2～10，代入灰色预测模型，分别对各桩号原始沉降数据进行灰色预测精度检验，将灰色系统优化模型与传统灰色系统模型的结果进行对比，检验结果如表2-5～2-13所示。

表2-5 r＝2优化模型精度检验(％)

表2-6 r＝3优化模型精度检验(％)

表2-7 r＝4优化模型精度检验(％)

表2-8 r＝5优化模型精度检验(％)

表2-9 r＝6优化模型精度检验(％)

表2-10 r＝7优化模型精度检验(％)

表2-11 r＝8优化模型精度检验(％)

表2-12 r＝9优化模型精度检验(％)

表2-13 r＝10优化模型精度检验(％)

通过表2-5～表2-13可知，当r＝2时，优化桩号为1号桩、4号桩和6号桩，共三组；当3≤r≤6时，优化桩号为2号桩、4号桩和6号桩，共三组；当7≤r≤10时，除1号桩外，其余数据皆得到优化，共五组。除1号桩外，r的增大对其余桩号的优化效果显著。对于只有r＝2可以优化1号桩的情况，这是因为1号桩的实测沉降后几组数据仍具有稳步增长的变化规律，建立起的灰色预测模型也具有相应增长的变化趋势；而1号桩用以检验模型精度的三组数据数值相等，基础沉降处于稳定状态，两者变化规律不符；若用此三组数据对模型精度进行检验，会造成误差变大；观察表中数据可知，第450天数据的优化误差随着r的取值逐渐变大，使优化误差均值大于传统误差均值。

基于以上考虑，现将1号桩的优化情况忽略，将其余结果统计至表2-14。

表2-14权重模型优化组数

将表2-14中数据分别绘制成折线图，可以得到图2。

通过表2-14、图2可以看出，随着权重参数r增大，优化组数呈现阶梯型增长的变化趋势，当r＝2时，优化效果最差，当3≤r≤6时，优化组数稳定在3组，当r≥7时，优化组数达到最大值，且处于稳定状态。可见，权重参数的取值是模型进度的关键，r越大，距离预测时间近的数据所占权重越大，对预测数据的贡献度也越大，预测精度越大。

(4)基础沉降预测

为了解决实际工程的沉降长期监测时间成本和经济成本过高的问题，本节对沉降进行长期预测，预测时间为180天，原始数据采用330～450天实测数据。为提高模型精度，并使更多数据参与贡献，采用r＝7，预测结果如表2-15所示。

表2-15长期沉降预测结果(mm)

为反映各基础沉降的发展历程，现将各基础的沉降数据绘制成折线图。其中，沉降第一、二阶段实测数据如表2-16所示，沉降第三阶段数据如表1～3所示，沉降预测数据如表2-15所示。

表2-16沉降第一、二阶段数据(mm)

将各阶段数据绘制成折线图，可以得到图3。

由图3可知，基础沉降可以分为三个阶段，即沉降快速阶段、沉降缓慢阶段、沉降稳定阶段。各个基础的前两个阶段呈现相同的增长趋势，稳定阶段有两种不同的变化趋势：3号桩和4号桩持续增长，1号桩、2号桩、5号桩和6号桩趋于稳定。分析原因可知，对于 1号桩、2号桩、5号桩和6号桩，其原始数据后三项沉降数值相同，且权重和高达0.91，对预测数据起着决定性作用；而3号桩和4号桩的原始数据只有后两项相同，权重和为0.75，无法决定预测预测数据的趋势。

通过以上分析可知，基础长期沉降预测的关键在于原始数据的选取，原始数据的变化趋势决定着预测数据的变化趋势。在对某项实际工程的长期沉降进行预测时，要保证原始数据中稳定阶段的数据所占权重大于沉降增长阶段。

综上，本优化方法提高了灰色模型预测的精度，并对基础不均匀沉降的预测有着较好的适用性。

Claims (3)

1.一种基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、原始序列选取：选取桥梁基础沉降随时间的变化数据

(1)

n为原始数据个数，对{x ⁽⁰⁾}序列进行累加，得到累加数列：

(2)

其中：

(3)

根据灰色系统理论，对{x ⁽¹⁾}建立关于时间t的白化形式的一阶一元微分方程GM(1,1)：

(4)

其中a，u分别为发展系数和灰色作用量，记a，u构成矩阵为灰参数：

(5)

步骤二、生成x ⁽¹⁾邻均值等权数列：

(6)

其中：

(7)

步骤三、生成数据矩阵B与数据列Y _n：

(8)

(9)

步骤四、为了确定每个数据的权重，引入BUM函数

(10)

式中r为权重参数，则时间权重表示为：

(11)

则可得时间加权矩阵：

(12)

步骤五、利用最小二乘法求解灰参数，并计入时间加权矩阵，即：

(13)

步骤六、将灰参数代入公式（4）得到桥梁基础沉降累加序列的拟合公式

(14)

步骤七、将公式（14）进行累减还原，得到桥梁基础沉降的预测模型

(15)

步骤八、利用步骤七得到的桥梁基础沉降的预测模型对桥梁基础未来的沉降进行预测，预测项数为m：

（16）。

2.根据权利要求1所述的基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法，其特征在于，步骤一中，a的有效区间是(-2，2)。

3.根据权利要求1所述的基于时间加权灰色系统理论的基础沉降预测方法，其特征在于，步骤四中，F(x)的定义域为[0,1]，且F(0)=0, F(1)=1,F(x)在定义域内为单调递增函数。

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