CN113618732A - 一种柔性机械臂的主共振控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种柔性机械臂的主共振控制方法，该方法主要包括：将柔性机械臂的横向弯曲变形离散化，得到柔性机械臂的变形方程；引入主共振吸振器的刚度反馈系数、阻尼反馈系数以及非线性耦合反馈系数，构造吸振器控制信号模型；利用凯恩方法建立安装主共振吸振器的柔性机械臂振动控制模型；采用有限元模态仿真方法，研究吸振器的安装对柔性机械臂振动特性的影响；应用多尺度法求解方程的近似解析解，得到振动系统稳态响应的单模态解与双模态解；最后在柔性机械臂的主共振条件下，基于饱和原理，利用主共振吸振器对柔性机械臂的主共振进行控制，从而抑制柔性机械臂被控模态的模态幅值。

Description

一种柔性机械臂的主共振控制方法

技术领域

本发明涉及一种柔性机械臂的主共振控制方法，其以主共振吸振器为载体，对含有1:1主共振的柔性机械臂的非线性动力学特性问题进行研究，提出了基于非线性饱和控制原理的主共振减振方法，可有效抑制柔性机械臂的主共振。

背景技术

随着现代科技的进步，高速、精密和轻量化的柔性机械臂在实际应用中体现出低功耗、高效率、较好的环境适应性等显著优点，广泛应用于工业制造和航空航天等领域。但柔性因素对结构设计和控制的影响较为突出，主要表现在大尺度、大柔性的结构在产生振动后，由于自身阻尼小，难以在短时间内快速地衰减。不仅如此，若柔性机械臂产生长时间持续振动，将直接影响其结构性能、工作稳定性和使用寿命。此外，柔性结构的振动量级会随工作速度的提高而增大；同时，工作速度的提高也会引起激励频率的变化，当激励频率接近甚至落入机械臂模态频率范围内会导致共振问题。因此，对柔性引发的运动学与动力学问题进行深入分析并且探索改善柔性机械臂动态性能的方法和手段是极为重要的。

主共振是一种受迫振动，当外激励的频率接近柔性机械臂振动模态的固有频率时，柔性机械臂将会产生主共振。在主共振的条件下，即使小幅激励也可极其迅速地激起剧烈的振动响应，破坏系统稳定、恶化动态性能。大尺度、大柔性机械臂总会受到周期性的作用力，且柔性系统模态密集，模态参数还会随着工作位姿的调节而变化。在这种情况下，柔性机械臂的模态频率与激励力的频率之间极易形成主共振关系。当小激励作用于主共振柔性机械臂时，短时间内柔性机械臂会因主共振而产生大幅度振动，此时，依靠柔性臂本身的结构并不能短时间内抑制住自身的振动，从而导致系统稳定性被破坏，严重的将造成整个柔性机械臂系统彻底失稳。由于主共振现象在柔性机械臂系统中无法避免，所以针对柔性机械臂主共振控制方法的研究显得尤为关键。

目前，柔性机械臂的主共振控制研究主要集中于被动控制方法，对于主动控制方法的研究有待加强。因此，本发明针对大尺度、大柔度、小阻尼的柔性机械臂提出一种主共振控制方法。在柔性机械臂模态与主共振吸振器之间建立起能量传递路径，当外激励的幅值超过饱和阈值时，振动能量被迁移到吸振器中，并通过吸振器的阻尼耗散，此时与外激励产生主共振的柔性机械臂被控模态的振幅不会随外激励幅值的增长而增大，从而对柔性机械臂的主共振起到良好抑制效果。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于针对现有技术的不足，提出一种柔性机械臂的主共振控制方法，其基于内共振原理及非线性饱和控制原理，可有效抑制柔性机械臂的主共振。

本发明解决所述技术问题的技术方案是：一种柔性机械臂的主共振控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：做合理假设，将柔性机械臂的横向弯曲变形离散化，得到柔性机械臂的变形为：

式(1)中，w(x,t)为柔性机械臂横向变形，

表示第i阶振型函数，q_i(t)表示模态坐标。

步骤二：构造吸振器控制模型，引入吸振器的刚度反馈系数和阻尼反馈系数，构成线性反馈；在线性反馈的基础上，引入柔性机械臂振动响应信号，构造调节吸振器与柔性机械臂运动耦合关系的非线性耦合项；最终将线性项和非线性项耦合项构成控制模型。

步骤三：建立含安装主共振吸振器的柔性机械臂振动控制模型；调节刚度反馈系数，使柔性机械臂与吸振器之间形成内共振；采用控制变量法，分析得到阻尼反馈系数和耦合反馈系数对内共振的影响，进而可验证主共振吸振器的有效性。

步骤四：将简谐外激励引入柔性机械臂的系统中，建立弱受迫振动力学模型，并进行无量纲处理。

步骤五：提取柔性机械臂被控模态与吸振器模态的振动方程，采用多尺度法求解方程的近似解析解，得到振动系统稳态响应的单模态解与双模态解。

步骤六：分析单模态解和双模态解的存在形式，求得外激励饱和阈值，揭示饱和控制机理，实现柔性机械臂的主共振控制。

优选的，对被控模态做离散化处理。在柔性机械臂发生弯曲变形的各阶模态中，第一阶模态(n＝1)振动能量较大并在横向振动响应中起主要作用，因此选取一阶模态作为吸振器振动控制的被控模态。记柔性机械臂的一阶模态响应为q₁，则柔性机械臂的变形近似为：

w(x,t)＝φ₁(x)q₁(t) (2)

优选的，通过刚度反馈系数、阻尼反馈系数以及引入的非线性耦合反馈系数，构造控制信号：

式(3)中，τ₃为构造的控制信号，k_p、k_d表示电机的刚度反馈系数和阻尼反馈系数，

分别表示期望的刚性支杆角位移和角速度，χ表示构造的非线性耦合反馈项。

其中，刚性支杆的期望角位移

和角速度

均为零，构造的非线性耦合项为

其中，e₁表示电机的耦合反馈系数，则式(3)中的控制信号τ₃可调整为：

优选的，其中，通过调节电机刚度反馈系数k_p，使柔性机械臂和吸振器的振动频率满足2:1的公度关系，两振动频率如式(7)所示；利用凯恩方法建立系统的振动控制方程，将非线性项做泰勒展开，最终简化结果如式(5)与式(6)所示。

式(5)和式(6)中：

优选的，在柔性机械臂自由端的末端施加外激励

得到振动控制方程如式(8)和式(9)所示。

式(8)和式(9)中：

优选的，通过多尺度法得到稳态响应的单模态解和双模态解，如式(10)～(17)所示。

单模态解：

a₂＝0 (11)

双模态解：

优选的，在柔性机械臂与吸振器存在2:1内共振的基础上，饱和现象揭示了当柔性机械臂受到1:1主共振类型的外激励时，外激励与内共振模态之间存在的一种能量传递关系。当外激励幅值大于临界点

即外激励阈值时，进入非线性响应的区域，通过柔性机械臂和吸振器之间的内共振能量交换的通道，使柔性机械臂一阶模态幅值得到抑制；当外激励幅值继续增加时，柔性机械臂一阶模态幅值饱和且多余的能量传输到吸振器模态中。因此，基于主共振吸振器的饱和原理可以实现柔性机械臂主共振的控制。

本发明与现有技术相比的优点在于：

针对柔性机械臂主共振控制相关研究的不足，提出一种抑振方法，解决了目前大尺度、大柔度、小阻尼的柔性机械臂主共振控制问题；其利用非线性饱和原理，构建柔性机械臂与主共振吸振器之间的跨模态能量交换通道，当外激励的幅值超过饱和阈值时，能量被迁移到吸振器中，并通过主共振吸振器的阻尼耗散；从而柔性机械臂模态的振幅不会随外激励幅值的增长而增大，以此达到对柔性机械臂主共振的控制，改善柔性机械臂的动态性能。

附图说明

图1为本发明中的柔性机械臂整体结构示意图；

图2为本发明中的吸振器电机的控制框图；

图3为本发明中未安装吸振器对柔性机械臂横向振动模态仿真图；

图4为本发明中安装吸振器对柔性机械臂横向振动模态仿真图；

图5为本发明中无阻尼条件下吸振器对柔性机械臂一阶模态和吸振器模态的模态相应曲线；

图6为本发明外共振小失调(ε＝0.05，σ₂＝0.1)、内共振完全调谐(σ₁＝0)且Γ₁＜0时的响应曲线；

图7为本发明内外共振完全调谐(ε＝0.05，σ₁＝σ₂＝0)且Γ₁＜0时的响应曲线；

图8为本发明数值仿真过程中无吸振器和吸振器最优状态下柔性机械臂主共振的末端响应对比图。

图1中符号说明如下：

1表示铰链关节，2表示刚性机械臂，3表示柔性机械臂，4表示吸振器电机动子的摆杆，5表示吸振器电机，6表示主共振吸振器系统。

图2中符号说明如下：

w_D表示柔性机械臂末端响应，

表示一阶模态假设函数，q₁表示柔性机械臂的一阶模态响应，e₁表示电机的耦合反馈系数，k_p表示电机的刚度反馈系数，k_d表示电机的阻尼反馈系数，s表示比例系数，β_d表示期望的刚性支杆角位移，β表示实际的吸振器摆杆的角位移，τ₃表示电机控制力矩。

具体实施方式：

以下结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明，但本发明的实施不限于此。

本发明提出一种柔性机械臂主共振控制方法，结合内共振机理、主共振机理以及饱和机理，实现对机械臂的振动控制。

其中，包括含吸振器的柔性机械臂的非线性动力学建模、主共振分析以及饱和机理分析。为了清晰简明的阐述本发明提出的主共振抑振方法，在图1中使用简化模型代替具体的柔性机械臂模型。

该方法具体步骤如下：

步骤一：对柔性机械臂及关节做合理假设；假设柔性机械臂的材质是均匀的，材料是各向同性的，柔性机械臂的结构特性满足Euler-Bernoulli梁的特点；并且柔性机械臂变形仅发生在横向，不计柔性机械臂的纵向变形；不考虑关节的柔性对柔性机械臂的影响，关节的转动惯量相对于柔性机械臂整体的转动惯量忽略不计。

利用模态假设法将柔性机械臂的横向弯曲变形离散化，得到柔性机械臂的变形为：

式(1)中，w(x,t)为柔性机械臂横向变形，

表示第i阶振型函数，q_i(t)表示模态坐标。

如图3和图4模态仿真所示，柔性机械臂发生弯曲变形的各阶模态中，第一阶模态(n＝1)振动能量较大并在横向振动响应中起主要作用，因此选取一阶模态作为吸振器振动控制的被控模态。记柔性机械臂的一阶模态响应为q₁，则柔性机械臂的变形近似为：

w(x,t)＝φ₁(x)q₁(t) (2)

步骤二：构造吸振器控制模型，吸振器的控制目标是设计电机控制力矩τ₃，使得吸振器能够动态跟踪柔性机械臂振动响应的变化，基于内共振原理，使被控柔性机械臂的能量传递到吸振器中被耗散掉，吸振器电机的控制框图如图2所示。

本发明中吸振器采用反馈控制原理，通过引入吸振器的刚度反馈系数和阻尼反馈系数，构成线性反馈；在线性反馈基础上，引入柔性机械臂振动响应信号，构造调节吸振器与柔性机械臂运动耦合关系的非线性耦合项；最终将线性项和非线性项耦合构成控制信号模型：

式(3)中，τ₃为构造的控制信号，k_p、k_d表示电机的刚度反馈系数和阻尼反馈系数，

分别表示期望的刚性支杆角位移和角速度，χ表示构造的非线性耦合反馈项。

其中刚性支杆的期望角位移

和角速度

均为零，构造的非线性耦合项为

其中e₁表示电机的耦合反馈系数，则式(3)中的控制信号τ₃可调整为：

步骤三：假设吸振器为集中参数系统，并且刚性支杆的质量等效为末端质量；利用凯恩方法建立含主共振吸振器的柔性机械臂振动控制模型，根据步骤一中的模型假设，建立计入主共振吸振器的柔性机械臂动力学模型及各个组件的坐标系，如图1所示。

因为柔性机械臂的质量轻，横向弯曲振动引起的转角变形很小，转角变形对广义力的计算影响甚微，故在柔性机械臂动力学建模过程中可以忽略横向弯曲引起的转角变化；取广义速率为：

以柔性机械臂横向振动的一阶模态响应q₁和吸振器刚性支杆的响应β为广义坐标；将广义主动力、广义惯性力和吸振器的控制力矩代入凯恩方程

记柔性机械臂一阶模态阻尼为f₁，建立系统的振动控制方程为：

式(5)和式(6)中：

由振动控制方程可得到柔性机械臂和主共振吸振器的振动频率为：

其中，通过调节电机刚度反馈系数k_p，使柔性机械臂和吸振器的振动频率满足2:1的公度关系，从而形成内共振，刚柔耦合机械臂的振动能量可以跨模态迁移到吸振器中，如图5所示为内共振能量交换曲线；调节电机的阻尼反馈系数k_d，即可调整吸振器阻尼，从而将能量耗散，通过控制变量法，可得到最优阻尼反馈系数k_d；耦合反馈系数e₁可以调节吸振器与柔性机械臂系统间的能量交换频率和幅值，具体数值需根据柔性机械臂系统实际振动情况进行选取，保证吸振器高效、快速地实现耗能减振。

步骤四：在柔性机械臂自由端的末端施加外激励

建立弱受迫振动力学模型，其振动控制方程为：

式中：

为后续求解方便对式(8)与(9)引入如下无量纲参数，对式中的各项参数进行无量纲化处理。

得到无量纲方程如式(18)和式(19)所示。

步骤五：利用多尺度法求方程(18)与(19)的稳态解，首先引入小量参数0＜ε＜＜1，对无量纲方程中的变量进行代换，规定：

本发明所研究的对象是一定频带范围内的小幅外激励作用下的柔性机械臂的主共振，因此对外激励做弱外激励假设：

将上述代换后的变量代入方程(18)与(19)，略去ε²和更高项，得到ε⁰、ε¹对应的两个方程，设ε⁰阶的方程的解为：

记

将ε⁰阶的方程的解代入ε¹阶的方程中得到：

式中，cc表示前面各项的共轭，NST表示不会对解带来长期项的所有项，(′)表示对慢变时间T₁的一阶导数。

表示计入耦合反馈系数的修正系数。

在2：1内共振存在的基础上，引入两个解谐参数σ₁和σ₂：

ω_S2＝0.5ω_S1+εσ₁ (26)

ω_S3＝ω_S1+εσ₂ (27)

根据式(26)和(27)，寻找式(24)与(25)的可解性，在式(24)与(25)中分别提取

消除长期项，从而得到可解性条件：

对于受迫振动方程的一次近似解，仅考虑A₁、A₂是慢变时间T₁的函数。令式(28)和式(29)中的复函数A₁、A₂表示为极坐标形式：

式中，a₁、α₁、a₂、α₂由式(28)和式(29)确定，将式(28)和式(29)变换为自治系统，引入：

γ₁＝2σ₁T₁+2α₂-α₁ (31)

将A₁、A₂的极坐标表达式(30)代入式(28)和式(29)，并利用虚部和实部为0，可求出a′₁、a₁α′₁、a′₂、a₂α′₂的表达式；分析主共振时的稳态响应时，其振幅不再随时间改变，故发生主共振的a_i和相角γ_i均为常数，将此条件带入a′₁、a₁α′₁、a′₂、a₂α′₂的表达式，经过数学变换得到：

对式(33)～(36)进行稳态响应求解，第一种的结果是单模态解a₁≠0、a₂＝0，表现为线性振动；第二种结果是双模态解a₁≠0、a₂≠0,表现为非线性振动，将条件带入方程(33)～(36)中，整理可得：

单模态解：

a₂＝0 (11)

双模态解：

步骤六：分析单模态解和双模态解的存在形式，求得外激励饱和阈值，从而可揭示饱和机理；由式(10)可知，单模态解与非线性系数无关，柔性机械臂模态幅值与外激励幅值呈现线性关系，吸振器不工作；由式(12)可知，双模态解是非线性解，双模态解中直接受到外激励作用的a₁与外激励的模态幅值

无关，仅与吸振器阻尼系数和柔性机械臂的物理参数有关。

因此，对非线性解中a₂有实数解时需要满足的条件进行分析，可以确定无量纲外激励幅值参数

的两个临界值。

综合线性解与非线性解的实数解存在形式，系统的稳态响应为：

(1)外激励幅值

只有一个线性解存在，

a₂＝0。

(2)外激励幅值

若Γ₁＜0，a₂有三个解存在，一个线性解，两个非线性解：

若Γ₁＞0，则只有一个线性解，

a₂＝0。

(3)当外激励幅值当

时，a₂有两个解，一个线性解，一个非线性解：

以外激励模态幅值

为控制参数，数值仿真得到柔性机械臂的被控模态和刚性支杆的运动模态曲线，如图6和图7对比所示，当外激励模态幅值

从0开始增长，柔性机械臂一阶模态激发且模态幅值a₁逐渐增大，此时吸振器振动模态暂时未激发，模态幅值a₂保持为零，吸振器尚未开始工作，柔性机械臂为线性解状态下的线性运动。

当柔性机械臂的模态幅值a₁达到临界值

时，线性解不再稳定，此时非线性解可以成为稳定的解，吸振器的模态幅值a₂不再保持为零。随着外激励的幅值增长而增大，柔性机械臂一阶模态趋于饱和且模态幅值稳定在一个固定值

(即饱和幅值)，吸振器开始工作，柔性机械臂的振动幅值达到了能量饱和状态，所有因外激励带来的附加能量将由柔性机械臂一阶模态渗入吸振器的模态，由此可实现对柔性机械臂主共振的控制，图8为本发明数值仿真过程中无吸振器和吸振器最优状态下柔性机械臂主共振的末端响应对比图。

Claims (7)

1.一种柔性机械臂的主共振控制方法，其方法具体步骤如下：

步骤一：做合理假设，将柔性机械臂的横向弯曲变形离散化，得到柔性机械臂的变形为：

式(1)中，w(x,t)为柔性机械臂横向变形，

表示第i阶振型函数，q_i(t)表示模态坐标。

步骤二：构造吸振器控制模型，引入吸振器的刚度反馈系数和阻尼反馈系数，构成线性反馈；在线性反馈的基础上，引入柔性机械臂振动响应信号，构造调节吸振器与柔性机械臂运动耦合关系的非线性耦合项；最终将线性项和非线性项耦合项构成控制模型。

步骤三：建立含安装主共振吸振器的柔性机械臂振动控制模型；调节刚度反馈系数，使柔性机械臂与吸振器之间形成内共振；采用控制变量法，分析得到阻尼反馈系数和耦合反馈系数对内共振的影响，进而可验证主共振吸振器的有效性。

步骤四：将简谐外激励引入柔性机械臂的系统中，建立弱受迫振动力学模型，并进行无量纲处理。

步骤五：提取柔性机械臂被控模态与吸振器模态的振动方程，采用多尺度法求解方程的近似解析解，得到振动系统稳态响应的单模态解与双模态解。

步骤六：分析单模态解和双模态解的存在形式，求得外激励饱和阈值，揭示饱和控制机理，实现柔性机械臂的主共振控制。

2.如权利要求1所述的一种柔性机械臂的主共振控制方法其特征在于步骤一中，对被控模态做离散化处理。在柔性机械臂发生弯曲变形的各阶模态中，第一阶模态(n＝1)振动能量较大并在横向振动响应中起主要作用，因此选取一阶模态作为吸振器振动控制的被控模态。记柔性机械臂的一阶模态响应为q₁，则柔性机械臂的变形近似为：

w(x,t)＝φ₁(x)q₁(t) (2)。

3.如权利要求1所述的一种柔性机械臂的主共振控制方法其特征在于步骤二中，通过刚度反馈系数、阻尼反馈系数以及引入的非线性耦合反馈系数，构造控制信号：

式(3)中，τ₃为构造的控制信号，k_p、k_d表示电机的刚度反馈系数和阻尼反馈系数，

分别表示期望的刚性支杆角位移和角速度，χ表示构造的非线性耦合反馈项。

其中，刚性支杆的期望角位移

和角速度

均为零，构造的非线性耦合项为

其中，e₁表示电机的耦合反馈系数，则式(3)中的控制信号τ₃可调整为：

4.如权利要求1所述的一种柔性机械臂的主共振控制方法其特征在于步骤三中，其中通过调节电机刚度反馈系数k_p，使柔性机械臂和吸振器的振动频率满足2:1的公度关系，两振动频率如式(7)所示；利用凯恩方法建立系统的振动控制方程，将非线性项做泰勒展开，最终简化结果如式(5)与式(6)所示。

式(5)和式(6)中：

5.如权利要求1所述的一种柔性机械臂的主共振控制方法其特征在于步骤四中，在柔性机械臂自由端的末端施加外激励

得到振动控制方程如式(8)和式(9)所示。

式(8)和式(9)中：

6.如权利要求1所述的一种柔性机械臂的主共振控制方法其特征在于步骤五中，通过多尺度法得到稳态响应的单模态解和双模态解，如式(10)～(17)所示。

单模态解：

a₂＝0 (11)

双模态解：

单模态解：

a₂＝0 (11)

双模态解：

7.如权利要求1所述的一种柔性机械臂的主共振控制方法其特征在于步骤六中，在柔性机械臂与吸振器存在2:1内共振的基础上，饱和现象揭示了当柔性机械臂受到1:1主共振类型的外激励时，外激励与内共振模态之间存在的一种能量传递关系。当外激励幅值大于临界点

即外激励阈值时，进入非线性响应的区域，通过柔性机械臂和吸振器之间的内共振能量交换的通道，使柔性机械臂一阶模态幅值得到抑制；当外激励幅值继续增加时，柔性机械臂一阶模态幅值饱和且多余的能量传输到吸振器模态中。因此，基于主共振吸振器的饱和原理可以实现柔性机械臂主共振的控制。

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