CN113361073B - 一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，包括以下步骤：S1：获取配送信息，根据目标函数和约束条件，建立库存路径问题数学模型；S2：从多个约束条件中选取影响库存路径问题数学模型求解的耦合约束，并收敛到目标函数中，得到拉格朗日松弛问题函数；S3：根据决策变量的不同将拉格朗日松弛问题函数分解成多个子问题；S4：用改进拉格朗日松弛算法分别求解各子问题的对偶函数值；S5：根据求解结果得出最优目标值，得到最优库存路径规划方案，与现有技术相比，本发明具有收敛速度快和所求近似解质量高等优点。

Description

一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法

技术领域

本发明涉及供应链系统中二级分销网络库存路径规划方案领域，尤其是涉及一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法。

背景技术

在当前大数据背景下，如何将企业经营过程中产生的数据进行合理分析，为企业实际运作提供高效的决策计划，一直以来都是研究者所重视的问题。另外，企业供应链之间的竞争依然成为不可忽略的一部分。在物流系统中，供应链整体生产力和盈利能力的一个关键驱动力是其分销网络，可以用来实现从低成本到高响应性的各种供应链目标，而库存路径问题就是供应链中的一个二级分销网络。

库存路径问题包括库存控制和运输计划两个部分，但库存和运输是两个效益背反的问题。一般来说，如果供应商对零售商采用一种小批量的配送方式，会降低库存成本，但是配送次数会增加，这样就会增加运输成本；如果采用大批量的配送方式，它将减少配货数量并降低运输成本，但是这样就会增加零售商的库存成本。总之，采取少量多次的配送方法可以降低库存成本；采取大量少次的配送方法可以降低运输成本。为了使计划期总成本最小，就需要对库存和配送路径这两个方面联合优化。在较短的时间内，在总成本最小化的前提下来构造出一个配送路径方案，是个亟待被研究和优化的问题。

拉格朗日松弛算法(Lagrange Relaxation,LR)能够在可接受的时间范围内对一些复杂的规划问题求得近似最优解，近年来已经成为解决物流供应链复杂模型中比较重要的方法。LR算法的主要思想是：把模型中的难约束松弛到目标函数中，然后把难约束问题分解为几个容易求解的子问题。通过求解松弛对偶函数来获得原问题的一个下界，从而获得原问题的近似最优解。其中，在求解的过程中，次梯度算法是求解拉格朗日松弛对偶问题标准方法，其思想与非线性规划中梯度下降的思想相似。拉格朗日对偶问题是希望松弛问题的下界尽可能大，次梯度算法可使松弛下界的上升方向逐渐逼近对偶问题的最优上界值。其基本思路是：根据已知的拉格朗日乘子，分别计算出松弛解和次梯度的值，并判断松弛解的最优性，如果不满足条件则以这个次梯度方向为上升方向寻求更好的松弛解。每次迭代过程中，通过次梯度算法来更新拉格朗日乘子，来一步步逼近最优解。但传统次梯度算法(Traditional Subgradient Algorithm,TSA)在迭代求解过程中，会出现目标解收敛缓慢，使得花费时间较长，近似解质量不好等情况，不利于实际大规模问题的解决。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，该算法是通过改进次梯度算法(ImprovedSubgradient Algorithm,ISA)实现的，通过随机因子调节次梯度来获得更好的拉格朗日乘子更新方向，能够实现在较短的时间内和最小化总成本的前提下，构造一个优化的配送方案，同时改善传统拉格朗日松弛算法求解时，出现的收敛速度慢和所求近似解不好等情况。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，包括以下步骤：

S1：获取配送信息，根据目标函数和约束条件，建立库存路径问题数学模型；

S2：从多个约束条件中选取影响库存路径问题数学模型求解的耦合约束，并收敛到目标函数中，得到拉格朗日松弛问题函数；

S3：根据决策变量的不同将拉格朗日松弛问题函数分解成多个子问题；

S4：用改进拉格朗日松弛算法分别求解各子问题的对偶函数值；

S5：根据求解结果得出最优目标值，得到最优库存路径规划方案。

进一步地，步骤S1中，所述的目标函数的表达式为：

其中，i和j分别为配送点的编号，且当i,j＝0时，表示配送点为仓库，否则配送点为配送中心或客户，h为运输车的编号，

表示产品从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心中与配送量有关的单位运输成本，/>

表示产品从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心中的单位距离运输成本，d_ij表示产品从第i个客户或仓库到第j个客户或仓库的距离，y_ijh表示若从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心过程中，产品由第h辆运输车配送，则y_ijh取值为1，否则y_ijh取值为0，x_ih表示第h辆运输车为第i个客户的实际配送量，h_i表示产品在第i个客户单位的缺货损失成本，q_i表示第i个客户对产品的需求量。

进一步地，所述的约束条件包括运输车起始终点约束、运输车移动约束、运输车回归约束、运输车载量约束、仓库配送量约束、客户配送量约束、运输车配送约束和实际配送量约束。

更进一步地，所述的耦合约束包括运输车回归约束和运输车载量约束。

更进一步地，所述的运输车回归约束用于约束所有运输车必须返回配送中心，其表达式为：

其中，y_ijh表示从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心过程中，产品是否由第h辆运输车配送，若是，则y_ijh取值为1，否则y_ijh取值为0，n为配送点数目；

所述的运输车载量约束用于约运输车的载量，其表达式为：

∑x_ijh≤B_hy_ijh,j＝1,2,...,n

其中，x_ijh表示第h辆运输车从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心的实际配送量，B_h为第h辆运输车的最大载量。

进一步地，所述的决策变量包括表示从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心过程中，产品是否由第h辆运输车配送的y_ijh和表示第h辆运输车从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心的实际配送量的x_ijh。

进一步地，步骤S3中，所述的拉格朗日松弛问题函数的表达式为：

所述的拉格朗日松弛问题函数共分解成两个子问题，包括第一子问题和第二子问题，所述的第一子问题的表达式为：

所述的第二子问题的表达式为：

其中，γ_ijh和λ_ih分别为拉格朗日乘子。

进一步地，步骤S4具体包括以下步骤：

S41：初始化，令迭代次数k＝0，令拉格朗日乘子分别取值为0；

S42：分别求解当前迭代下第一子问题的拉格朗日松弛函数值和第一子问题的拉格朗日松弛函数值，并得到相对应的决策变量；

S43：由初始的拉格朗日乘子计算次梯度；

S44：根据次梯度来更新拉格朗日乘子；

S45：判断是否满足迭代停止准则，若是，则停止迭代，获取当前迭代轮次下求解得到的两个子问题的对偶函数值，否则迭代次数k+1，并返回步骤S42进入下一轮迭代。

更进一步地，所述的次梯度的计算式为：

其中，

和/>

分别为第k次迭代下拉格朗日乘子，/>

为第k次迭代下拉格朗日乘子/>

的次梯度，/>

为第k次迭代下拉格朗日乘子/>

的次梯度；

步骤S44中，所述的更新拉格朗日乘子的公式为：

其中，

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分别为第k+1次迭代下拉格朗日乘子，K为总的迭代次数，s_k为当前迭代下的步长，其计算公式如下：

其中，Z_LR(λ^*)这里取各原函数实际估计值，Z_LR(λ^k)是当前迭代中，对偶问题的解。为了加快收敛速度，区别了大部分应用中取值2，初始化α值为0.2，β＝0.1。

更进一步地，所述的迭代停止准则采用对偶间隙，其表达式为：

gap≤ε

其中，ε为设定阈值，Z_LR(λ^*)为原目标函数的估计值，Z_LR(λ^k)为第k次迭代时求解得到的两个子问题的对偶函数值。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

1)本发明在改进次梯度算法的迭代过程中，把原有迭代步长和随机数结合，来获的不断改变的乘子更新方向，由于这种随机改变被证明是在正确的乘子更新方向上，所以一定程度上缓解了迭代后期收敛速度过慢的现象，缩短花费时间，提高近似解质量，适用于实际大规模问题的解决；

2)本发明通过改进次梯度算法进行迭代，运用于库存路径联合优化，能够得到高质量的库存路径规划方案，该规划方案包括最小成本、运输车配送路径和实际为客户配送的产品数量，一方面，能降低供应链系统中分销网络成本，为企业节省大量资金，提高竞争能力；另一方面，有利于解决社会资源紧缺、交通拥挤等诸多的社会问题，从而带来巨大的经济效益和社会效益。

附图说明

图1为本发明方法的流程示意图；

图2为本发明改进拉格朗日松弛算法迭代过程示意图；

图3为本发明改进拉格朗日松弛算法的求解框架；

图4为第1个案例中两种算法的目标函数收敛值对比；

图5为第2个案例中两种算法的目标函数收敛值对比。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。显然，所描述的实施例是本发明的一部分实施例，而不是全部实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都应属于本发明保护的范围。

实施例

如图1所示，本发明公开了一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，包括以下步骤：

S1：获取配送信息，根据目标函数和约束条件，建立库存路径问题数学模型；

S2：从多个约束条件中选取影响库存路径问题数学模型求解的耦合约束，并收敛到目标函数中，得到拉格朗日松弛问题函数；

S3：根据决策变量的不同将拉格朗日松弛问题函数分解成多个子问题；

S4：用改进拉格朗日松弛算法分别求解各子问题的对偶函数值；

S5：根据求解结果得出最优目标值，得到最优库存路径规划方案。

本发明中，各参数的解释如下：

1)索引

i,j：配送点编号，i,j＝0时，表示仓库，否则为客户点，0≤i,j≤n；

h：运输车编号，1≤h≤V；

2)参数

n：客户点数目；

V：配送点可用货车数目；

B_h：运输车h的最大载量；

Q：配送点可用的库存量；

表示产品从客户i(或配送中心)到客户j(或者配送中心)，与配送量有关的单位运输成本；

表示产品从客户i(或配送中心)到客户j(或者配送中心)，单位距离运输成本；

d_ij：表示产品从客户i(或仓库)到客户j(或者仓库)的距离；

q_i：表示客户i对产品的需求量；

h_i：表示产品在客户i的单位的缺货损失成本；

3)决策变量

x_ih：车辆h为客户i的实际配货量；

y_ijh：表示若从客户j(或配送中心)到客户i(或者配送中心)配送的产品由运输车h配送则为1，否则为0。

步骤S1中，目标函数包括与运输距离有关的运输成本、与运输产品有关的运输成本和客户缺货损失成本三部分，目的是最小化总成本之和，其表达式为：

其中，i和j分别为配送点的编号，且当i,j＝0时，表示配送点为仓库，否则配送点为配送中心或客户，h为运输车的编号，

表示产品从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心中与配送量有关的单位运输成本，/>

表示产品从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心中的单位距离运输成本，d_ij表示产品从第i个客户或仓库到第j个客户或仓库的距离，y_ijh表示若从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心过程中，产品由第h辆运输车配送，则y_ijh取值为1，否则y_ijh取值为0，x_ih表示第h辆运输车为第i个客户的实际配送量，h_i表示产品在第i个客户单位的缺货损失成本，q_i表示第i个客户对产品的需求量。

约束条件包括运输车起始终点约束、运输车移动约束、运输车回归约束、运输车载量约束、仓库配送量约束、客户配送量约束、运输车配送约束和实际配送量约束。

运输车起始终点约束用于确保车辆是从配送中心出发，最终回到配送中心，表达式为：

运输车移动约束限制车辆移动保证了每个客户至多由一辆车配送，表达式为：

运输车回归约束限制所有车辆必须返回配送中心，表达式为：

/>

运输车载量约束限制运输车载量，表达式为：

∑x_ijh≤B_hy_ijh,j＝1,2,...,n (5)

仓库配送量约束保证总的配送量不能超过仓库的库存量，表达式为：

客户配送量约束保证每个客户的实际配送量不能超过客户的缺货量，表达式为：

运输车配送约束表示若从客户i(或配送中心)到客户i(或者配送中心)配送的产品由货车h配送则为1，否则为0，表达式为：

y_ijh∈{1,0} (8)

实际配送量约束示配送量不能为负，表达式为：

x_ih≥0,i＝1,2,...,n (9)

步骤S2中，运输车回归约束和运输车载量约束是造成原问题求解困难的耦合约束，因此，通过引入拉格朗日乘子λ_ih，γ_ijh(i,j＝1,...,n,h＝1,...,V)将其松弛到目标函数中，得到拉格朗日松弛问题如下：

约束包括式(2)、式(3)和式(6)-式(9)。

整合后拉格朗日松弛问题函数的表达式为：

约束包括式(2)、式(3)和式(6)-式(9)。

则其拉格朗日对偶问题如下：

步骤S3中，决策变量包括表示从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心过程中，产品是否由第h辆运输车配送的y_ijh和表示第h辆运输车从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心的实际配送量的x_ijh，根据只含有决策变量y_ijh和x_ijh，拉格朗日对偶问题可以被分解为两个独立的容易求解的子问题：

第一子问题：

约束包括：

γ_ijh≥0 (14)

λ_ih≥0 (15)

以及式(2)-式(3)和式(8)，该子问题可描述为所有车辆的最短路径之和：

约束包括式(2)-式(3)、式(8)和式(13)-式(15)。

第二子问题：

约束包括式(6)-式(7)、式(9)和式(15)。

步骤S4具体包括以下步骤：

步骤41)初始化，令当前迭代次数k＝0下初始的拉格朗日乘子

步骤42)分别求解两个子问题的拉格朗日松弛函数值

和/>

并得到相对应的决策变量/>

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步骤43)由初始的拉格朗日乘子集合

计算次梯度/>

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其中，

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的次梯度，/>

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的次梯度；

步骤44)根据次梯度

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来更新拉格朗日乘子/>

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迭代过程中拉格朗日乘子更新方式如下式：

其中，

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分别为第k+1次迭代下拉格朗日乘子，K为总的迭代次数，s_k为当前迭代下的步长，其计算公式如下：

其中，Z_LR(λ^*)这里取各原函数实际估计值，Z_LR(λ^k)是当前迭代中，对偶问题的解。为了加快收敛速度，区别了大部分应用中取值2，初始化α值为0.2，β＝0.1。

步骤45)判断是否满足迭代停止准则，若是，则停止迭代，获取当前迭代轮次下求解得到的两个子问题的对偶函数值，否则迭代次数k+1，并返回步骤42)进入下一轮迭代。

在该次LR算法中，迭代停止准则以对偶间隙为准。对偶间隙必须小于给定阈值ε时，迭代停止，否则k＝k+1，回到步骤42)，即：

gap≤ε (22)

其中，

这里取各原目标函数估计值，Z_LR(λ^k)是第k次迭代时对偶问题的解，ε取0.00001。

本发明基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法具体实施步骤如下：

步骤1：构建关于库存路径的混合整数规划模型；

步骤2：以两个二级分销网络的案例用于仿真实例，两个案例的规模分别是一个配送中心，9个客户和一个配送中心，19个客户；

步骤3：把模型中的约束式(4)和约束式(5)两个难约束松弛到目标函数中得到松弛目标函数，并得到对应的对偶函数；

步骤5：分别对两个子问题进行求解；

步骤6：初始化，令迭代次数k＝0，令拉格朗日乘子分别取值为0；

步骤7：分别求解当前迭代轮次下第一子问题的拉格朗日松弛函数值和第一子问题的拉格朗日松弛函数值，并得到相对应的决策变量；

步骤8：由初始的拉格朗日乘子计算次梯度；

步骤9：根据次梯度来更新拉格朗日乘子；

步骤10：判断是否满足迭代停止准则，若是，则停止迭代，获取当前迭代轮次下求解得到的两个子问题的对偶函数值，否则迭代次数k+1，并返回步骤S42进入下一轮迭代。

结果如下，表1为两个案例的相关仿真数据，表2为第1个案例数据相关结果，表3为第1个案例实际每个客户的配送量，表4为第一个案例各辆运输车的配送路径，表5为第2个案例相关结果，表6为第2个案例实际每个客户的配送量，表7为第2个案例各辆车的配送路径。

表1

表2

表3

表4

表5

表6

表7

如图4和图5所示，分别两个案例中两种算法的目标函数收敛值对比，其中，LR-TSA(Lagrange Relaxation-Traditional Subgradient Algorithm)为采用拉格朗日松弛-传统次梯度算法，LR-ISA(Lagrange Relaxation-Improved Subgradient Algorithm)为采用本发明的拉格朗日松弛-改进次梯度算法。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的工作人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到各种等效的修改或替换，这些修改或替换都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以权利要求的保护范围为准。

Claims (6)

1.一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：获取配送信息，根据目标函数和约束条件，建立库存路径问题数学模型；

S2：从多个约束条件中选取影响库存路径问题数学模型求解的耦合约束，并收敛到目标函数中，得到拉格朗日松弛问题函数；

S3：根据决策变量的不同将拉格朗日松弛问题函数分解成多个子问题；

S4：用改进拉格朗日松弛算法分别求解各子问题的对偶函数值；

S5：根据求解结果得出最优目标值，得到最优库存路径规划方案；

步骤S4具体包括以下步骤：

S41：初始化，令迭代次数k＝0，令拉格朗日乘子分别取值为0；

S42：分别求解当前迭代下第一子问题的拉格朗日松弛函数值和第二子问题的拉格朗日松弛函数值，并得到相对应的决策变量；

S43：由初始的拉格朗日乘子计算次梯度；

S44：根据次梯度来更新拉格朗日乘子；

S45：判断是否满足迭代停止准则，若是，则停止迭代，获取当前迭代下求解得到的两个子问题的对偶函数值，否则迭代次数k+1，并返回步骤S42进入下一轮迭代；

采用改进次梯度算法对拉格朗日乘子进行更新并进行对偶问题求解，其中，所述的次梯度的计算式为：

其中，

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分别为第k次迭代下拉格朗日乘子，/>

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的次梯度，/>

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的次梯度，B_h为第h辆运输车的最大载量；

步骤S44中，所述的更新拉格朗日乘子的公式为：

其中，

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分别为第k+1次迭代下拉格朗日乘子，K为总的迭代次数，s_k为当前迭代下的步长，其计算公式如下：

其中，Z_LR(λ^*)这里取各原函数实际估计值，Z_LR(λ^k)为第k次迭代时求解得到的两个子问题的松弛函数值；为了加快收敛速度，区别了大部分应用中取值2，初始化α值为0.2，β＝0.1；

x_ih表示第h辆运输车为第i个客户的实际配送量，y_ijh表示若从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心过程中，产品由第h辆运输车配送，则y_ijh取值为1，否则y_ijh取值为0。

2.根据权利要求1所述的一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，其特征在于，步骤S1中，所述的目标函数的表达式为：

其中，i和j分别为配送点的编号，且当i,j＝0时，表示配送点为配送中心，否则配送点为客户，h为运输车的编号，

表示产品从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心中与配送量有关的单位运输成本，/>

表示产品从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心中的单位距离运输成本，d_ij表示产品从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心的距离，h_i表示产品在第i个客户单位的缺货损失成本，q_i表示第i个客户对产品的需求量。

3.根据权利要求1所述的一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，其特征在于，所述的约束条件包括运输车起始终点约束、运输车移动约束、运输车回归约束、运输车载量约束、配送中心配送量约束、客户配送量约束、运输车配送约束和实际配送量约束。

4.根据权利要求3所述的一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，其特征在于，所述的耦合约束包括运输车回归约束和运输车载量约束。

5.根据权利要求1所述的一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，其特征在于，所述的决策变量包括表示从第i个客户或配送中心到第j个客户或配送中心过程中，产品是否由第h辆运输车配送的y_ijh和表示第h辆运输车为第i个客户的实际配送量的x_ih。

6.根据权利要求1所述的一种基于改进拉格朗日松弛算法的库存路径联合优化方法，其特征在于，所述的迭代停止准则采用对偶间隙，其表达式为：

gap≤ε

其中，ε为设定阈值。

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