CN113361026A - 基于参数空间包络的装配公差设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于参数空间包络的装配公差设计方法，包括：确立两工件外围参数空间；建立装配公差与外围参数空间控制点变化之间的关系模型；建立以控制点为参数、装配曲面间隙无嵌入并满足间隙公差要求的约束条件、最大化控制点变化为目标的多目标优化问题；求解多目标优化问题，并将控制点的变化转化为装配零件的公差。本发明建立的装配模型通过较简单的控制点的变化反映工件复杂的变形，求解装配模型得到的控制点变化既可以实现两平面的随机装配，也可以根据其中一平面的变形特征实现选择性装配，并且两种装配形式都可保证工件的变形在装配公差的要求范围内，满足柔性板件的装配需求。

Description

基于参数空间包络的装配公差设计方法

技术领域

本发明涉及装配公差设计技术领域，尤其是一种基于参数空间包络的装配公差设计方法。

背景技术

国际标准ISO1101定义了几何公差，根据该标准可以检查工件是否满足装配公差域。目前的公差设计大多针对刚性零件的研究，例如，CN201610221864.5识别了发动机压缩比与摩擦功的关键尺寸与非关键尺寸并作为参数，将压缩比与摩擦功关联起来作为优化目标，对关键尺寸和非关键尺寸进行优化。CN201310756983.7发明了一种装配公差设计系统，根据CAD系统获取装配约束信息，并推理公差类型与公差带类型，将推理得到的信息用于构建装配公差网络。得到的装配公差网络的信息，结合尺寸公差、形位公差及功能需求等约束，以最小加工成本为目标通过遗传算法实现公差优化设计。但是上述方法对于柔性工件装配而言无法精确描述其形变问题。

刚性零件在装配时不会因变形导致装配偏差产生，但是对柔性工件而言，两个在公差域范围内的工件装配后的间隙可能会发生变化，会直接影响产品质量，这种情况取决于工件的变形。如图1所示，组装两个理想平面(图1(a))。图1(b)中，两个平面沿相同方向弯曲，且两个工件的变形分别满足工件公差变形范围t₁和t₂，装配后部件仍然满足装配公差要求t₃，而在图1(c)中，两个平面分别向上和向下弯曲，且两个工件的变形满足工件公差变形范围t₁和t₂，如果不考虑变形装配后则不满足装配公差要求t₃，如果考虑变形则工件的内应力会较大。尽管图1(b)和(c)中都存在满足工件公差的变形，但是图1(b)的装配满足公差要求，图1(c)的装配反而不能满足公差要求。造成这种情况的原因是图1(b)中两个工件的变形模式相似，而图1(c)中的变形模式不同，对于薄板件的装配，变形是不可避免地，柔性件的装配误差不是单一累积的过程，因此存在变形会使得问题更加复杂因此这里提出了一个问题，即给定工件的公差，如何识别变形模式以便获得满足公差要求的组装。这个问题与“选择性装配”相似，这是一种使用相对低质量的组件却能获得更高质量的产品装配方法。目前对选择性装配的研究主要集中在工件的分组上，最常见的是对进化算法的选择和优化。大部分的选择性装配研究仍然集中在刚性工件上，而对柔性板件而言，单一的尺寸公差很难刻画其复杂变形，目前对柔性板件的选择性装配研究较少。

发明内容

本发明提供了一种基于参数空间包络的装配公差设计方法，目的是有效模拟装配过程中可能产生的变形，同时根据已知待装配件的特征，得到与其匹配的控制点变化特征，实现选择性装配。

本发明采用的技术方案如下：

一种基于参数空间包络的装配公差设计方法，包括以下步骤：

步骤一：确立待装配两工件外围Bezier参数空间，并采用外围Bezier参数空间控制点描述工件模型以及初始变形；

步骤二：建立装配公差与外围Bezier参数空间控制点变化之间的关系模型；

步骤三：建立以外围Bezier参数空间控制点为参数、装配曲面间隙无嵌入并满足间隙公差要求的约束条件、最大化控制点变化为目标的多目标优化问题；

步骤四：求解多目标优化问题，并将外围Bezier参数空间控制点变化转化为装配零件的公差。

所述步骤二中，所述关系模型如式(3)、式(4)所示：

[S₁(u₁，v₁，w₁)+αt-S₂(u₂，v₂，w₂)]·n₂(u₂，v₂，w₂)≥0 (3)

[S₁(u₁，v₁，w₁)+α_t-S₂(u₂，v₂，w₂)]·n₂(u₂，v₂，w₂)≤tol (4)

其中，S₁(u₁，v₁，w₁)、S₂(u₂，v₂，w₂)分别表示平面工件S1、平面工件S2，α为移动工件S1相对于固定工件S2沿着装配方向的移动距离；t是装配方向，n₂(u，v，w)是工件S2的法向；tol是装配公差，即两工件之间的间隙；

若两工件的外围参数相同，所述关系模型写为矩阵形式：

其中，

A是包含了Bernstein基函数和工件在采样点上法向的矩阵，a_ij为第i个采样点、第j个控制点对应的Bernstein基函数，[n₁₁ n₁₂ n₁₃，…，n_h1，n_h2，n_h3]表示S₂(u₂，v₂，w₂)上每个点的法向量；h表示采样点的个数，N_P表示控制点的个数；

其中，

分别表示工件S1和工件S2的控制点在装配方向上的变化量，ΔP表示两变化量之间的差值；

若两工件的外围参数不同，所述关系模型写为矩阵形式：

其中A₁是移动工件S1装配平面的A矩阵，A₂是固定工件S2装配平面的A矩阵。

所述步骤三中，两工件的外围参数相同时，S2是固定工件

不变，S1工件的变形通过ΔP表示，即目标函数是最大化ΔP，将式(5)作为约束：

其中

两工件的外围参数不同时，S2是固定工件

不变，S1工件的变形通过

表示，即目标函数是最大化

将式(6)作为约束：

l、m、n分别是外围参数空间各方向上的控制点数量。

通过NSGA-II算法求解式(7)或式(8)。

本发明的有益效果如下：

本申请建立的装配模型通过较简单的控制点的变化反映工件复杂的变形，求解装配模型得到的控制点变化既可以实现两平面的随机装配，也可以根据其中一平面的变形特征实现选择性装配，并且两种装配形式都可保证工件的变形在装配公差的要求范围内，满足柔性板件的装配需求。

本发明根据已知装配公差要求分配零件公差，使零件的变形保证在装配后仍在装配公差范围内，满足装配公差的要求。本发明设计的计算模型可根据固定工件的形状特征，实现选择性装配的公差分配，求解得到的控制点可移动范围使零件的变形能够与固定板件具有相似的变形特征，减小装配时产生的公差。

附图说明

图1为现有技术中平面工件的装配示意图。

图2为本发明具体实施例中两装配平面及其外围参数空间示意图。

图3为本发明具体实施例中两装配平面及其外围参数空间示意图(不同外围参数空间)。

图4为本发明具体实施例中固定平面存在初始变形情况下平面1的控制点在Z方向可移动范围示意图。

图5为本发明具体实施例中随机选取6次装配仿真的关于最小可行解的结果示意图。

图6为本发明具体实施例中平面1的控制点在Z方向可移动范围(任选解)。

图7为本发明具体实施例中6次装配仿真的关于任意解的结果示意图。

图8为本发明具体实施例中含仿真限制条件的6次装配仿真的结果示意图。

图9为本发明具体实施例中平面1的控制点在Z方向可移动范围。(不同外围参数空间任选解)

图10为本发明具体实施例中不同外围参数空间任选解情况下含仿真限制条件的装配示意图。

图11本发明具体实施例中固定平面存在初始变形条件下两平面之间最大间隙统计图。

图12为本发明具体实施例中两平面之间任选解的最大间隙统计图。

图13为本发明具体实施例中含仿真限制条件下两平面之间最大间隙统计图。

图14为本发明具体实施例中不同外围参数空间含仿真限制条件下两平面之间最大间隙统计图。

具体实施方式

以下结合附图说明本发明的具体实施方式。

本申请的一种基于参数空间包络的装配公差设计方法，包括以下步骤：

步骤1——建立两个工件的外围Bezier参数空间，并采用外围Bezier参数空间的控制点描述工件模型以及初始变形，如式(1)、(2)所示；

S₁(u₁，v₁，w₁)、S₂(u₂，v₂，w₂)分别表示平面工件S1、平面工件S2；

是Bernstein基函数，l₁、l₂，m₁、m₂，n₁、n₂分别是空间各方向上的控制点数量，(i₁，v₁，w₁)、(u₂，v₂，w₂)是定义外围参数空间的三个参数，i₁，v₁，w₁，u₂，v₂，w₂∈[0，1]；

分别是工件S1、S2外围参数空间控制点，

分别是工件S1、S2外围参数空控制点的变化；

其中，i，j，k分别表示外围参数空间中沿着x\y\z轴的控制点，i＝1，...，l₁或者i＝1，...，l₂；j＝1，...，m₁或者j＝1，...，m₂；k＝1，...，n₁或者k＝1，...，n₂。

步骤2——建立装配公差与外围参数空间控制点变化之间的关系模型，具体包括：

工件一般沿着某一方向进行装配，不失一般性，假设S2为固定平面工件。为了满足实际装配需求，避免工件之间的嵌入，引入α来描述沿着装配方向的移动距离。

装配时，通过固定平面工件S2、沿着装配方向移动平面工件S1，两工件的装配平面间隙是非负的，即满足式(3)：

[S₁(u₁，v₁，w₁)+αt-S₂(u₂，v₂，w₂)]·n₂(u₂，v₂，w₂)≥0 (3)

其中t是装配方向，如果沿着Z轴装配，那么t＝[0 0 1]^T，n₂(i，v，w)是固定平面的法向。

根据装配关系，装配件的公差要保证在公差范围内，需满足(4)：

[S₁(u₁，v₁，w₁)+αt-S₂(u₂，v₂，w₂)]·n₂(u₂，v₂，w₂)≤tol (4)

其中tol是装配公差，即两工件装配平面之间的间隙。

若外围参数空间相同，那么相应的(u₁，v₁，w₁)与(u₂，v₂，w₂)相同，在n₂(i，v，w)，

都是给定的情况下，变量仅有

与α，可将上述约束写为矩阵形式：

其中，

A是包含了Bernstein基函数和工件在采样点上法向的矩阵，a_ij为第i个采样点、第j个控制点对应的Bernstein基函数，[n₁₁ n₁₂ n₁₃，…，n_h1，n_h2，n_h3]表示S₂(u₂，v₂，w₂)上每个点的法向量；h表示采样点的个数，N_P表示控制点的个数；

其中，

分别表示工件S1和工件S2的控制点在装配方向上的变化量，ΔP表示两变化量之间的差值；

若外围参数空间不同，装配的间隙要保证在公差范围内，且不发生嵌入，需要满足下式：

其中A₁是移动工件S1平面的A矩阵，A₂是固定工件S2平面的A矩阵。

步骤3——建立以控制点为参数、装配曲面间隙无嵌入并满足间隙公差要求的约束条件、最大化控制点变化为目标的多目标优化问题，具体包括：

上述步骤2是通过控制点描述两个接触面的状态，保证装配需求。而在公差设计中，如何在保证装配的同时，尽可能放宽零件的公差、放松对加工工艺的要求以降低加工成本是需要优化的问题。在该模型中，目标函数是满足装配需求的同时实现工件形状误差最大化，当假设S2是固定面时

不变，仅

步及形状误差，因此S1工件的变形可通过ΔP表示，故目标函数是最大化ΔP。

α保证工件的表面接触。因此，将ΔP设置为要优化的向量，引入α作为参数，式(5)作为约束：

s.t.0≤B[ΔP α]≤tol

其中

因为α会影响到ΔP的变化，即ΔP会包含平移分量，为了防止求解过程中ΔP过大，这里约束α的值。

其中，l、m、n分别是外围参数空间中x、y、z方向上控制点数量；tol是给定装配公差，控制点可变化范围与α是同一数量级，若α超出tol过多，计算过程中的ΔP也会较大，控制点变化范围ΔP难以在较大的α基础上收敛到有效范围内，反而会以多个控制点的ΔP互相弥补的方式得到满足约束的解，导致控制点变化量过大，对后续仿真过程没有意义。为避免计算时产生这种情况，直接给予α在装配公差范围内的约束。

同理，当外围参数空间不同时，

表示工件的变形，也是唯一的未知量，其最大化作为目标函数，式(6)作为约束：

该问题是以每个控制点在方向上的变化范围为目标的多目标优化问题，相比单目标优化问题，它避免了某个控制点的变化范围取到极大值的情况发生，因此避免了控制点同时变化过大导致零件超出公差范围。

步骤4——求解多目标优化问题，并将控制点的变化转化为装配零件的公差，具体包括：通过NSGA-II算法求解(7)或者(8)，得到符合装配公差的控制点可移动范围。

通过采用NSGA-II算法求解(7)，该算法比起遗传算法得到的解分布更为均匀，个体的多样性更加良好。(7)求解得到的

包含沿装配方向的移动距离，故得到的解应该在装配方向上减去α的值，即

在装配方向的x、y、z方向上的投影减去α在x、y、z方向上的投影的值，得到的结果

是每个控制点在x、y、z方向允许的最大移动范围。

为了对本申请方法进行验证，通过蒙特卡罗仿真模拟装配的情况从而验证上述公差设计方法；

根据步骤4求解得到的结果

是每个控制点在x、y、z方向允许的最大移动范围。使控制点

内移动时服从正态分布，进行1000,000次随机仿真。当控制点在

内移动的时候，工件S1的外围参数空间将控制点的变化反应到工件本身，变形后的工件与工件S2进行装配，统计装配的最大间隙，研究求解得到的控制点变化范围特征，验证模型的正确性及有效性。

以下以具体实施例进一步说明本申请的技术方法。

步骤1，建立工件的外围Bezier参数空间，并采用外围Bezier参数空间的控制点描述工件模型以及初始变形。如图2所示，本实施例的两个待装配的平面，其中，图2中(A)、(B)分别表示平面1及其外围参数空间，平面2及其外围参数空间。平面1(移动平面)是理想平面，其控制点在z方向上的坐标如表1所示；平面2存在初始变形，初始变形仅在装配方向上，其移动后对应的控制点在z方向上的坐标如表2所示，为两平面构建相同的外围参数空间和控制点：

表1——平面1控制点在Z方向上的坐标

表2——平面2控制点在Z方向上的坐标

外围包络空间的控制点在x方向3个，y方向3个，z方向2个，共18个控制点，每个控制点的坐标有3个参数，控制点参数值个数为54＝18×3。

同样是工件1和工件2，为两平面建立不同的外围参数空间，其中工件1的外围参数空间与图2中相同，工件2建立新的外围参数空间，并通过控制点的移动给予初始变形，仅在装配方向上，其移动后对应的控制点在z方向上的坐标如表3所示，两工件如图3所示。

表3平面2控制点在Z方向上的坐标(不同外围参数空间)

步骤2，建立装配公差与外围参数空间控制点变化之间的关系模型：

工件沿着某Z方向进行装配，假设S2为固定平面。根据装配关系，装配件需保证不发生嵌入、公差在公差范围内，建立装配约束：

在本实施例中，装配公差tol为2mm。

步骤3，建立以控制点为参数、装配曲面间隙无嵌入并满足间隙公差要求的约束条件、最大化控制点变化为目标的多目标优化问题：

步骤2通过控制点描述两个接触面的状态，保证装配需求。而在公差设计中，如何在保证装配的同时，尽可能放宽零件的公差、放松对加工工艺的要求以降低加工成本是需要优化的问题。在该模型中，目标函数是满足装配需求的同时实现工件形状误差最大化，当S2是固定面时

不变，仅

涉及形状误差，因此S1工件的变形可通过ΔP表示，故目标函数是最大化ΔP。α保证工件的表面接触。因此，将ΔP设置为要优化的向量，引入α作为参数，因为α会影响到ΔP的变化，即ΔP会包含平移分量，为了防止求解过程中ΔP过大，这里约束α的值，建立约束：

其中

tol是给定装配公差，控制点可变化范围与α是同一数量级，若α超出tol过多，计算过程中的ΔP也会较大，控制点变化范围ΔP难以在较大的α基础上收敛到有效范围内，反而会以多个控制点的ΔP互相弥补的方式得到满足约束的解，导致控制点变化量过大，对后续仿真过程没有意义。为避免计算时产生这种情况，直接给予α在装配公差范围内的约束。

同理，当外围参数空间不同时，

表示工件的变形，也是唯一的未知量，其最大化作为目标函数，建立约束：

步骤4，求解多目标优化问题，并将控制点的变化转化为装配零件的公差

通过NSGA-II算法求解(7)，得到符合装配公差的控制点可移动范围。通过采用NSGA-II算法求解NLP2，该算法比起遗传算法得到的解分布更为均匀，个体的多样性更加良好。NLP2求解得到的

包含沿装配方向的移动距离，故得到的解应该在装配方向上减去α的值，即

在装配方向的x、y、z方向上的投影减去α在x、y、z方向上的投影的值，得到的结果

是每个控制点在x、y、z方向允许的最大移动范围。

通过采用NSGA-II算法求解NLP2，经过计算平面1的控制点在Z方向上的可移动范围，得到多组可行解，由于目标函数较多，无法在三维空间中绘制帕累托前沿图，故选取其中所有控制点的总可变化范围最小的一组，如表4所示，图4中用箭头表示了各个控制点在Z方向上的可移动距离的大小，其中正值表示沿着Z轴正方向，负值表示沿着Z轴负方向。

表4-平面1控制点在Z方向最大移动范围(固定平面存在初始变形)

随机选取6次扰动进行装配仿真，其结果分别如图5中(A)-(F)所示，从图中可以看出，两平面有大致相似的变形：除了最小可行解，再从可行解内任选一组解，各个控制点的变化如表5所示，其大小与方向如图6所示。

表5-平面1控制点在Z方向最大移动范围(任选解)

同样设定最大间隙为2mm、在控制点的变化范围内扰动1,000,000次，随机选取6次扰动绘制仿真示意图，分别如图7中(A)-(F)所示，由图7可知(C)的间隙过大，而(B)(D)(F)平面一角发生了较大的翘曲。

根据分析，任选解比起最小解，两者的区别在于存在几个较大的值，在本例中，控制点在Z方向上共有两层，控制点发生较大变化时，上下两层控制点变化方向相反，大小相近，起到互相牵制的作用，如P(2，2，1)与P(2，2，2)，而仿真可能会使得两层随机产生的系数相差较大，不能互相抵消，故在仿真时，使上下两层系数保持一致以起到相互抵消的作用，保证形变在合理范围内。根据上述限制条件进行1,000,000次仿真，随机选取6次仿真结果绘制示意图，分别如图8中(A)-(F)所示。从图8中可以看出，相比图7，移动平面的变形减小，移动平面的形状基本与固定平面的形状相似或者一致，这对有先后顺序生产的柔性零件的选择性装配具有意义，直接避免了分组成本以及零件的剩余。

采用NSGA-II算法求解(8)，经过计算平面1的控制点在Z方向上的可移动范围，从可行解内任选一组解，各个控制点的变化如表6所示，其大小与方向如图9所示：

表6平面1控制点在Z方向最大移动范围(任选解)

通过蒙特卡罗仿真模拟装配的情况从而验证上述公差设计方法

根据步骤4求解得到的结果

是每个控制点在x、y、z方向允许的最大移动范围。使控制点

内移动时服从正态分布，进行1000,000次随机仿真。当控制点在

内移动的时候，工件S1(平面1)的外围参数空间将控制点的变化反应到工件本身，变形后的工件与工件S2(平面2)进行装配，统计装配的最大间隙，研究求解得到的控制点变化范围特征，验证模型的正确性及有效性。

采用NSGA-II算法求解(7)后得到所有解中，选取对应图4所示的最小解，通过在各控制点允许的范围内随机扰动进行1,000,000次仿真，结果如图11所示，安全率高达99.9966％。

除了最小可行解，再从可行解内任选一组解(对应表4和图6)，每次仿真的间隙统计结果如图12所示，安全率仅有83.4130％。限制仿真条件后得到最大间隙统计图13如所示，安全率达到100％。

当外围参数空间不相同时，同样根据步骤4求解(8)，从可行解内任询一组解(对应表5和图9)，通过在控制点允许的范围内随机扰动进行1,000,000次仿真，结果如图10所示，每次仿真的间隙统计结果如图14所示，可以看出安全率仅有10.4130％，这是同样是因为控制点互相影响，可以通过将所有控制点的变化保持同一程度的限制实现100％的安全率。

本实施例中采用PSE方法进行仿真模拟，用很少的参数模拟零件的拉伸、压缩、弯曲、翘曲、隆起等与加工工艺相关的变形方式。这些变形可以由控制点简单地叠加表示，零件之间的配合与分离可以由控制点的变化表达，简化了零件之间装配的表达。

本申请从对柔性板件的变形进行分析，考虑选择性装配的概念，使零件在制造中与已知零件具有相似的变形特征，由此可以实现同样的公差零件，装配件的质量更高；或者同样装配件的质量，采用选择性装配，对零件公差要求变低，间接降低了工件的加工要求。

Claims (4)

1.一种基于参数空间包络的装配公差设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：确立待装配两工件外围Bezier参数空间，并采用外围Bezier参数空间控制点描述工件模型以及初始变形；

步骤二：建立装配公差与外围Bezier参数空间控制点变化之间的关系模型；

步骤三：建立以外围Bezier参数空间控制点为参数、装配曲面间隙无嵌入并满足间隙公差要求的约束条件、最大化控制点变化为目标的多目标优化问题；

步骤四：求解多目标优化问题，并将外围Bezier参数空间控制点变化转化为装配零件的公差。

2.根据权利要求1所述的基于参数空间包络的装配公差设计方法，其特征在于，所述步骤二中，所述关系模型如式(3)、式(4)所示：

[S₁(u₁，v₁，w₁)+αt-S₂(u₂，v₂，w₂)]·n₂(u₂，v₂，w₂)≥0 (3)

[S₁(u₁，v₁，w₁)+αt-S₂(u₂，v₂，w₂)]·n₂(u₂，v₂，w₂)≤tol (4)

其中，S₁(u₁，v₁，w₁)、S₂(u₂，v₂，w₂)分别表示平面工件S1、平面工件S2，α为移动工件S1相对于固定工件S2沿着装配方向的移动距离；t是装配方向，n₂(u，v，w)是工件S2的法向；tol是装配公差，即两工件之间的间隙；

若两工件的外围参数相同，所述关系模型写为矩阵形式：

其中，

A是包含了Bernstein基函数和工件在采样点上法向的矩阵，a_ij为第i个采样点、第j个控制点对应的Bernstein基函数，[n₁₁ n₁₂ n₁₃，…，n_h1，n_h2，n_h3]表示S₂(u₂，v₂，w₂)上每个点的法向量；h表示采样点的个数，N_P表示控制点的个数；

其中，

分别表示工件S1和工件S2的控制点在装配方向上的变化量，ΔP表示两变化量之间的差值：

若两工件的外围参数不同，所述关系模型写为矩阵形式：

其中A₁是移动工件S1装配平面的A矩阵，A₂是固定工件S2装配平面的A矩阵。

3.根据权利要求2所述的基于参数空间包络的装配公差设计方法，其特征在于，所述步骤三中，两工件的外围参数相同时，S2是固定工件

不变，S1工件的变形通过ΔP表示，即目标函数是最大化ΔP，将式(5)作为约束：

s.t.0≤B[ΔP α]≤tol

|α|≤tol (7)

其中

两工件的外围参数不同时，S2是固定工件

不变，S1工件的变形通过

表示，即目标函数是最大化

将式(6)作为约束：

|α|≤tol (8)

l、m、n分别是外围参数空间各方向上的控制点数量。

4.根据权利要求3所述的基于参数空间包络的装配公差设计方法，其特征在于，通过NSGA-II算法求解式(7)或式(8)。

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