CN113342075B - 基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法，属于电液位置伺服控制技术领域。本发明包括如下步骤：S1：三容液位系统模型的构建；S2：三容液位系统PCH模型的构建：根据S1给出的三容液位控制系统，得到三容液位控制系统的端口受控哈密顿模型；S3：三容液位控制原理的分析：包括如下小步：S31：参数确定且无扰动情况：因为所有参数都是精确，基于PCH方法，从而得到基本PCH控制器；S32：参数已知情况下L2‑增益扰动补偿控制；S33：参数未知情况下自适应L2增益扰动补偿控制；S4：三容液位系统的仿真。本发明可广泛运用于电液位置伺服控制场合。

Description

基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法，属于电液位置伺服控制技术领域。

背景技术

目前的现有技术主要有PID控制、模糊控制、反步控制、神经网络控制、预测控制、滑模变结构控制、反馈线性化、多模型控制、分数阶控制等。但是，现有技术具有以下缺陷：(1)计算复杂度大，控制器在线计算时间长；(2)控制器物理意义不明确；(3)鲁棒性和抗干扰性有待提高。

发明内容

针对现有技术存在的上述缺陷，本发明提出了一种基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法。

本发明所述的基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法，包括如下步骤：

S1：三容液位系统模型的构建：三容液位系统模型包括自上而下设置的罐1、罐2和罐3、储液罐，其中：罐1的液体通过阀mv1流入罐2，罐2和罐3的液体分别通过阀mv2和阀mv3流到储液罐；泵1通过手动阀mv4向罐1供液，通过阀mv6向罐3供液；泵2通过阀mv5向罐2供液，模型表示为：

式中：h_i(t)为t时刻罐i的液位高度；A_i为罐i的横截面面积，i＝1,2,3；a_j为手动阀mv_j的横截面面积，可手动调节，j＝1,2,3,4,5,6；g为重力加速度；q₁(t)和q₂(t)分别为通过泵1和泵2供液的流速；

系统的状态和输入分别定义为：

x(t)＝[x₁(t),x₂(t),x₃(t)]^T＝[h₁(t),h₂(t),h₃(t)]^T，u(t)＝[u₁(t),u₂(t)]^T＝[q₁(t),q₂(t)]^T (2)

式中：x(t)为t时刻系统的状态变量，即液罐的液位；T表示向量的转置；u(t)为t时刻系统的输入；

根据公式(1)和(2)，三容液位系统的数学模型表示为：

式中：u_j,j＝1,2表示由控制律产生的电控泵j的期望输出流量；

S2：三容液位系统PCH模型的构建：根据S1给出的三容液位控制系统，选择哈密顿函数H(x)为：

则：

式中：为哈密顿函数H(x)的偏导数向量；g(x)为端口连接矩阵；

式中：反对称矩阵J(x)为互联矩阵；半正定对称矩阵R(x)为阻尼矩阵；

得到三容液位控制系统的端口受控哈密顿模型；

S3：三容液位控制原理的分析：包括如下小步：

S31：参数确定且无扰动情况：因为所有参数都是精确，基于PCH方法，从而得到如下基本PCH控制器；

S32：参数已知情况下L₂增益扰动补偿控制：在此情况下，为系统添加一个突然的扰动；

S33：参数未知情况下自适应L₂增益扰动补偿控制：得到自适应L₂增益扰动补偿控制律；

S4：三容液位系统的仿真：包括如下步骤：

S41：PCH控制：在控制器u1(19)和控制器u2(20)的作用下，液位很快达到目标值并在平衡点附近保持稳定；

S42：L₂控制：液位扰动被加入罐2则罐1的液位几乎没有明显变化，而液罐1存在扰动的情况下，则包括两种方式：

方式一：将控制器中设置为零，即罐1的液位不再作为控制目标；

方式二：将控制器中的k₃数值设置为远大于k₁；

S43：自适应L₂控制：当系统参数发生变化时，在PCH控制下液位无法到达目标平衡点，而在L₂控制和自适应L₂控制下，系统均利用更短的设定时间和更小的超调到达目标平衡点。

优选地，所述步骤S31中，基本PCH控制器为：

式中：u_PCH为PCH控制器；

其中：

J_d(x)＝J(x)+J_a(x)＝-J_d ^T(x) (8)

式中：J_d(x)为期望的互联矩阵；J(x)为互联矩阵；J_a(x)为前两者之差；

R_d(x)＝R(x)+R_a(x)＝R_d ^T(x)≥0 (9)

式中：R_d(x)为期望的阻尼矩阵；R(x)为阻尼矩阵；R_a(x)为前两者之差；

选择H_d(x)为：

式中：H_d(x)为期望的哈密顿函数；k_i为正实数；x_i为罐i的液位高度；

则：

式中：为期望的哈密顿函数的偏导数向量；k_i为正实数；x_i0为期望的罐i的液位高度；

与二容液位系统不同，此处省去中间环节J_a(x)，R_a(x)，而直接令：

式中：j_dik,r_dl(i＝1,2；k＝2,3；l＝1,2,3)为待配置实参；

根据匹配方程，得到：

式中：s_i见公式15-17；

其中：

s₂＝a₆A₁(j_d12η₂-r_d1η₁) (16)

s₃＝a₄A₃(j_d23η₂+r_d3η₃) (17)

因此，一旦确定j_d12,j_d23,r_d1,r_d2,r_d3根据上式，便得到精确的j_d13的解；

其中：

其中：

在控制器u1(19)和控制器u2(20)作用下，三容液位系统的稳定性证明如二容液位系统的证明。

优选地，所述步骤S31中，参数已知情况下L₂增益扰动补偿控制，为系统添加一个突然的扰动，则PCH系统的方程变为：

式中：τ为有界未知扰动；

当τ＝0时，PCH控制器已由公式(19)和(20)给出；

当τ≠0时，设计一个形如u＝u_PCH(x)+β(x)的L₂增益扰动补偿控制器；

以满足控制要求；

令h(x)＝I，得到：

式中：h(x)为单位矩阵；I为单位矩阵。

优选地，所述步骤S33中，考虑三容液位系统，当a_i→a_i+Δa_i(i＝1,2,3,4,5,6),A_j→A_j+ΔA_j(j＝1,2,3)时，系统的状态方程改为：

令期望的互联矩阵和阻尼矩阵分别为：

式中：ξ为相应矩阵中的参数不确定项；j_aik为公式8中的矩阵元素；r_ai为公式9中的矩阵元素；

则根据PCH基本原理，得到：

式中：

其中：

则定义参数估计向量：

ξ＝[ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄,ξ₅,ξ₆,ξ₇,ξ₈,ξ₉]^T (32)

其中：

ξ₁＝Δa₁ (33)

ξ₂＝Δa₃ (34)

ξ₃＝ΔA₁ (35)

ξ₄＝ΔA₃ (36)

得到Δ_u1(x,ξ)和Δ_u2(x,ξ)的表达式为：

Δ_u1(x,ξ)＝δ₁ξ₁+δ₃ξ₂-δ₄ξ₃-δ₅ξ₄ (42)

Δ_u2(x,ξ)＝-δ₁ξ₅+δ₂ξ₆-δ₆ξ₇+δ₇ξ₈-δ₇ξ₉ (43)

其中：

δ₄＝r_a1η₁-j_a12η₂-j_a13η₃ (47)

δ₅＝j_a13η₁+j_a23η₂+r_a3η₃ (48)

δ₇＝-j_a12η₁-r_a2η₂+j_a23η₃ (50)

由于H_d(x,ξ)不包含未知参数，得到Δ_H(x,ξ)＝0，则：

-g(x)Δ_α(x,ξ)＝g(x)Ψ^T(x)ξ (51)

由上式，解得：

式中：Ψ^T(x)为系数矩阵；

进而：

至此，得到自适应L₂增益扰动补偿控制律：

优选地，所述步骤S42的方式二中，PCH控制器及PCH L₂控制器下液位受到扰动时，则：

k₃取值越大，液罐3中受到液罐1扰动的影响就越小；

由于目标哈密顿函数中没有对液罐1中液位的期望目标，所以液罐1在收到扰动后维持了扰动变化，并未恢复至之前设定的液位值；同时，由于液罐3中的液位仍然被设定了期望目标，则控制器忽略了液罐1中扰动的影响，而维持液罐3中的目标液位值保持不变。

优选地，所述步骤S43中，为了解决参数不确定的问题，对自适应L₂增益控制器进行仿真验证；当系统参数发生变化时，在PCH控制下液位无法到达目标平衡点，而在L₂控制和自适应L₂控制下，系统均可以到达目标平衡点；在自适应L₂控制下，液位到达目标平衡点具有更短的设定时间和更小的超调。

本发明的有益效果是：本发明所述的基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法，通过选择一类特定的哈密顿函数，可以减小计算的复杂程度；针对参数确定且有扰动的情况，定义包含权重矩阵的罚函数，结合L₂增益扰动补偿，对扰动进行有效抑制；针对参数不确定且有扰动的情况，将哈密顿数学模型中含有未知参数的部分进行分离，构建自适应L₂增益扰动补偿控制，实现控制效果。

附图说明

图1是三容液位控制系统框架图。

图2(a)-图2(c)是PCH控制下的三容液位仿真结果图。

图3(a)-图3(c)是PCH控制下的加入扰动后的二容液位仿真结果图。

图4(a)-图4(c)是PCH L₂控制下的加入扰动后的二容液位仿真结果图。

图5(a)-图5(c)是PCH控制下的加入扰动后的三容液位，参数k₃＝20仿真结果图。

图6(a)-图6(c)是PCH L₂控制下的加入扰动后的三容液位，参数k₃＝20仿真结果图。

图7(a)-图7(c)是PCH控制下的加入扰动后的三容液位，参数k₃＝40仿真结果图。

图8(a)-图8(c)是PCH L₂控制下的加入扰动后的三容液位，参数k₃＝40仿真结果图。

图9(a)-图9(c)是PCH控制下的加入扰动后的三容液位，参数η₁＝0仿真结果图。

图10(a)-图10(c)是PCH L₂控制下的加入扰动后的三容液位，参数η₁＝0仿真结果图。

图11(a)-图11(c)是三种控制器下的加入扰动后的三容液位比较图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例1：

S1：构建图1所示的三容液位控制系统：

泵1通过手动阀mv4向罐1供液，通过阀mv6向罐3供液；泵2通过阀mv5向罐2供液。罐1的液体通过阀mv1流入罐2，罐2和罐3的液体分别通过阀mv2和阀mv3流到储液罐。每个水箱顶部有液位超声波传感器。其模型可以表示为：

其中：h_i为罐i的液位高度，A_i为罐i的横截面面积，i＝1,2,3；a_j为手动阀mvmv_j的横截面面积，可手动调节，j＝1,2,3,4,5,6；g为重力加速度。

系统的状态和输入分别定义为：

x(t)＝[h₁(t),h₂(t),h₃(t)]^T，u(t)＝[q₁(t),q₂(t)]^T (2)

根据公式(1)和(2)，三容液位系统的数学模型可以表示为：

其中状态变量x_i,i＝1,2,3表示罐i的液位，即图1中的h_i,i＝1,2,3；u_j,j＝1,2表示由控制律产生的电控泵j的期望输出流量；a_k,k＝1,2,...,6和A_i分别表示阀mv门k和容器i的横截面积。

因此，就得到了三容液位控制系统的端口受控哈密顿模型。

S2：构建三容液位系统PCH模型：

对于三容液位控制系统，选择哈密顿函数H(x)为：

则：

因此，就得到了三容液位控制系统的端口受控哈密顿模型。

S3：三容液位控制原理分析：

S31：参数确定且无扰动情况：

在此种情况下，所有的参数都是精确的。

基于PCH方法，可以得到如下基本PCH控制器：

其中：

J_d(x)＝J(x)+J_a(x)＝-J_d ^T(x) (8)

R_d(x)＝R(x)+R_a(x)＝R_d ^T(x)≥0 (9)

选择H_d(x)为：

则：

与二容液位系统不同，此处省去中间环节J_a(x)，R_a(x)，而直接令：

/>

其中：j_dik,r_dl(i＝1,2；k＝2,3；l＝1,2,3)为待配置实参。根据匹配方程，可得：

其中：

s₂＝a₆A₁(j_d12η₂-r_d1η₁) (16)

s₃＝a₄A₃(j_d23η₂+r_d3η₃) (17)

因此，一旦确定了j_d12,j_d23,r_d1,r_d2,r_d3根据上式，便可得到精确的j_d13的解。

可得：

其中：

在控制器u1(19)和控制器u2(20)作用下，三容液位系统的稳定性证明如二容液位系统的证明。

S32：参数已知情况下L₂增益扰动补偿控制

在此情况下，为系统添加一个突然的扰动。PCH系统的方程变为：

其中：τ为有界未知扰动。

当τ＝0时，控制器u＝α(x)已由公式(19)和(20)给出。当τ≠0时，设计一个形如u＝α(x)+β(x)的L₂增益扰动补偿控制器。

以满足控制要求。

令h(x)＝I，可得：

S33：参数未知情况下自适应L₂增益扰动补偿控制：

由定理2，考虑三容液位系统，当a_i→a_i+Δa_i(i＝1,2,3,4,5,6),A_j→A_j+ΔA_j(j＝1,2,3)时，系统的状态方程改为：

令期望的互联矩阵和阻尼矩阵分别为：

则，根据PCH基本原理，可得：

其中：

可得：

定义参数估计向量

ξ＝[ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄,ξ₅,ξ₆,ξ₇,ξ₈,ξ₉]^T (32)

其中：

ξ₁＝Δa₁ (33)

ξ₂＝Δa₃ (34)

ξ₃＝ΔA₁ (35)

ξ₄＝ΔA₃ (36)

得到Δ_u1(x,ξ)和Δ_u2(x,ξ)的表达式为：

Δ_u1(x,ξ)＝δ₁ξ₁+δ₃ξ₂-δ₄ξ₃-δ₅ξ₄ (42)

Δ_u2(x,ξ)＝-δ₁ξ₅+δ₂ξ₆-δ₆ξ₇+δ₇ξ₈-δ₇ξ₉ (43)

其中：

δ₄＝r_a1η₁-j_a12η₂-j_a13η₃ (47)

δ₅＝j_a13η₁+j_a23η₂+r_a3η₃ (48)

δ₇＝-j_a12η₁-r_a2η₂+j_a23η₃ (50)

由于H_d(x,ξ)不包含未知参数，可得Δ_H(x,ξ)＝0。可得：

-g(x)Δ_α(x,ξ)＝g(x)Ψ^T(x)ξ (51)

由上式，可解得：

可得：

至此，可得自适应L₂增益扰动补偿控制律：

S4：三容液位控制仿真：

S41：PCH控制：

此处使用的参数为：a₁＝0.2cm²，a₂＝0.2cm²，a₃＝0.2449cm²，a₄＝0.4cm²，a₅＝0.6cm²，a₆＝0.6cm² A₁＝196cm²，A₂＝196cm²，A₃＝196cm²，k₁＝2，k₂＝2，k₃＝2，r_d1＝10，r_d2＝10，r_d3＝10，j_d12＝0，j_d23＝0，x₁₀＝8cm，x₂₀＝12cm，x₃₀＝12cm，g＝981cm/s²。

仿真结果如图2(a)-图2(c)所示，可以看出，在控制器u1(19)和控制器u2(20)的作用下，液位可以很快达到目标值并在平衡点附近保持稳定。

S42：L2控制

在500秒时，液位扰动被加入罐2，如图3(a)-图3(c)所示。从图中可以看出，罐1的液位也产生了突然变化。

为了减弱罐2的扰动对罐1的影响，选择γ＝0.01，并对L₂方法进行了检验。结果如图4(a)-图4(c)所示，罐1的液位几乎没有明显变化。

下面考虑另一问题，液罐1存在扰动的情况下，如何使罐3液位受到的影响最小。思考两种方案，一种方案是将控制器中设置为零，即罐1的液位不再作为控制目标。因此罐3的液位将几乎不受罐1液位的影响。第二种方案是，将的k₃数值设置为远大于k₁。

图5(a)-图5(c)和图6(a)-图6(c)分别为参数k₃取20时PCH控制器及PCH L₂控制器下液位受到扰动时的情况。图7(a)-图7(c)和图8(a)-图8(c)分别为参数k₃取40时PCH控制器及PCH L₂控制器下液位受到扰动时的情况。通过与图3(a)-图3(c)和图4(a)-图4(c)比较，可以明显看出k₃取值越大，液罐3中受到液罐1扰动的影响就越小。

图9(a)-图9(c)和图10(a)-图10(c)分别为参数η₁＝0时PCH控制器及PCH L₂控制器下液位受到扰动时的情况。可以明显看出η₁＝0时，由于目标哈密顿函数中没有对液罐1中液位的期望目标，所以液罐1在收到扰动后维持了扰动变化，并未恢复至之前设定的液位值；同时，由于液罐3中的液位仍然被设定了期望目标，所以，控制器忽略了液罐1中扰动的影响，而维持液罐3中的目标液位值保持不变。

S43：自适应L2控制：

为了解决参数不确定的问题，对自适应L₂增益控制器(105)进行仿真验证。假设参数a₁→a₁-0.1，a₂→a₂+0.4，a₄→a₄+0.2。选择ρ_i＝0.01(i＝1,2,...,7)。与其上述其它两个控制器的比较结果如图11(a)-图11(c)所示。当系统参数发生变化时，在PCH控制下液位无法到达目标平衡点，而在L₂控制和自适应L₂控制下，系统均可以到达目标平衡点。从图中可以看出，在自适应L₂控制下，液位到达目标平衡点具有更短的设定时间和更小的超调。

本发明可广泛运用于电液位置伺服控制场合。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (5)

1.一种基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1：三容液位系统模型的构建：三容液位系统模型包括自上而下设置的罐1、罐2和罐3、储液罐，其中：罐1的液体通过阀mv1流入罐2，罐2和罐3的液体分别通过阀mv2和阀mv3流到储液罐；泵1通过手动阀mv4向罐1供液，通过阀mv6向罐3供液；泵2通过阀mv5向罐2供液，模型表示为：

式中：h_i(t)为t时刻罐i的液位高度；A_i为罐i的横截面面积，i＝1,2,3；a_j为手动阀mv_j的横截面面积，可手动调节，j＝1,2,3,4,5,6；g为重力加速度；q₁(t)和q₂(t)分别为通过泵1和泵2供液的流速；

系统的状态和输入分别定义为：

x(t)＝[x₁(t),x₂(t),x₃(t)]^T＝[h₁(t),h₂(t),h₃(t)]^T，u(t)＝[u₁(t),u₂(t)]^T＝[q₁(t),q₂(t)]^T (2)

式中：x(t)为t时刻系统的状态变量，即液罐的液位；T表示向量的转置；u(t)为t时刻系统的输入；

根据公式(1)和(2)，三容液位系统的数学模型表示为：

式中：u_j,j＝1,2表示由控制律产生的电控泵j的期望输出流量；

S2：三容液位系统PCH模型的构建：根据S1给出的三容液位控制系统，选择哈密顿函数H(x)为：

则：

式中：为哈密顿函数H(x)的偏导数向量；g(x)为端口连接矩阵；

式中：反对称矩阵J(x)为互联矩阵；半正定对称矩阵R(x)为阻尼矩阵；

得到三容液位控制系统的端口受控哈密顿模型；

S3：三容液位控制原理的分析：包括如下小步：

S31：参数确定且无扰动情况：因为所有参数都是精确，基于PCH方法，从而得到如下基本PCH控制器；

基本PCH控制器为：

式中：u_PCH为PCH控制器；

其中：

J_d(x)＝J(x)+J_a(x)＝-J_d ^T(x) (8)

式中：J_d(x)为期望的互联矩阵；J(x)为互联矩阵；J_a(x)为前两者之差；

R_d(x)＝R(x)+R_a(x)＝R_d ^T(x)≥0 (9)

式中：R_d(x)为期望的阻尼矩阵；R(x)为阻尼矩阵；R_a(x)为前两者之差；

选择H_d(x)为：

式中：H_d(x)为期望的哈密顿函数；k_i为正实数；x_i为罐i的液位高度；

则：

式中：为期望的哈密顿函数的偏导数向量；k_i为正实数；x_i0为期望的罐i的液位高度；

与二容液位系统不同，此处省去中间环节J_a(x)，R_a(x)，而直接令：

式中：j_dik,r_dl(i＝1,2；k＝2,3；l＝1,2,3)为待配置实参；

根据匹配方程，得到：

式中：s_i见公式15-17；

其中：

s₂＝a₆A₁(j_d12η₂-r_d1η₁) (16)

s₃＝a₄A₃(j_d23η₂+r_d3η₃) (17)

因此，一旦确定j_d12,j_d23,r_d1,r_d2,r_d3根据上式，便得到精确的j_d13的解；

其中：

其中：

在控制器(19)和(20)作用下，三容液位系统的稳定性证明如二容液位系统的证明；

S32：参数已知情况下L₂增益扰动补偿控制：在此情况下，为系统添加一个突然的扰动；

S33：参数未知情况下自适应L₂增益扰动补偿控制：得到自适应L₂增益扰动补偿控制律；

S4：三容液位系统的仿真：包括如下步骤：

S41：PCH控制：在控制器u1(19)和控制器u2(20)的作用下，液位很快达到目标值并在平衡点附近保持稳定；

S42：L₂控制：液位扰动被加入罐2则罐1的液位几乎没有明显变化，而液罐1存在扰动的情况下，则包括两种方式：

方式一：将控制器中设置为零，即罐1的液位不再作为控制目标；

方式二：将控制器中的k₃数值设置为远大于k₁；

S43：自适应L₂控制：当系统参数发生变化时，在PCH控制下液位无法到达目标平衡点，而在L₂控制和自适应L₂控制下，系统均利用更短的设定时间和更小的超调到达目标平衡点。

2.根据权利要求1所述的基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法，其特征在于，所述步骤S31中，参数已知情况下L₂增益扰动补偿控制，为系统添加一个突然的扰动，则PCH系统的方程变为：

式中：τ为有界未知扰动；

当τ＝0时，PCH控制器已由公式(19)和(20)给出；

当τ≠0时，设计一个形如u＝u_PCH(x)+β(x)的L₂-增益扰动补偿控制器；

以满足控制要求；

令h(x)＝I，得到：

式中：h(x)为单位矩阵；I为单位矩阵。

3.根据权利要求1所述的基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法，其特征在于，所述步骤S33中，考虑三容液位系统，当a_i→a_i+Δa_i(i＝1,2,3,4,5,6),A_j→A_j+ΔA_j(j＝1,2,3)时，系统的状态方程改为：

令期望的互联矩阵和阻尼矩阵分别为：

式中：ξ为相应矩阵中的参数不确定项；j_aik为公式(8)中的矩阵元素；r_ai为公式(9)中的矩阵元素；

则根据PCH基本原理，得到：

式中：

其中：

则定义参数估计向量：

ξ＝[ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄,ξ₅,ξ₆,ξ₇,ξ₈,ξ₉]^T (32)

其中：

ξ₁＝Δa₁ (33)

ξ₂＝Δa₃ (34)

ξ₃＝ΔA₁ (35)

ξ₄＝ΔA₃ (36)

得到Δ_u1(x,ξ)和Δ_u2(x,ξ)的表达式为：

Δ_u1(x,ξ)＝δ₁ξ₁+δ₃ξ₂-δ₄ξ₃-δ₅ξ₄ (42)

Δ_u2(x,ξ)＝-δ₁ξ₅+δ₂ξ₆-δ₆ξ₇+δ₇ξ₈-δ₇ξ₉ (43)

其中：

δ₄＝r_a1η₁-j_a12η₂-j_a13η₃ (47)

δ₅＝j_a13η₁+j_a23η₂+r_a3η₃ (48)

δ₇＝-j_a12η₁-r_a2η₂+j_a23η₃ (50)

由于H_d(x,ξ)不包含未知参数，得到Δ_H(x,ξ)＝0，则：

-g(x)Δ_α(x,ξ)＝g(x)Ψ^T(x)ξ (51)

由上式，解得：

式中：Ψ^T(x)为系数矩阵；

进而：

至此，得到自适应L₂增益扰动补偿控制律：

4.根据权利要求1所述的基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法，其特征在于，所述步骤S42的方式二中，PCH控制器及PCH L₂控制器下液位受到扰动时，则：

k₃取值越大，液罐3中受到液罐1扰动的影响就越小；

由于目标哈密顿函数中没有对液罐1中液位的期望目标，所以液罐1在收到扰动后维持了扰动变化，并未恢复至之前设定的液位值；同时，由于液罐3中的液位仍然被设定了期望目标，则控制器忽略了液罐1中扰动的影响，而维持液罐3中的目标液位值保持不变。

5.根据权利要求1所述的基于端口受控哈密顿原理的耦合三容液位控制方法，其特征在于，所述步骤S43中，为了解决参数不确定的问题，对自适应L₂-增益控制器进行仿真验证；当系统参数发生变化时，在PCH控制下液位无法到达目标平衡点，而在L₂控制和自适应L₂控制下，系统均到达目标平衡点；在自适应L₂控制下，液位到达目标平衡点具有更短的设定时间和更小的超调。