CN113297534A - 一种基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法 - Google Patents

一种基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法 Download PDF

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CN113297534A CN202110782738.8A CN202110782738A CN113297534A CN 113297534 A CN113297534 A CN 113297534A CN 202110782738 A CN202110782738 A CN 202110782738A CN 113297534 A CN113297534 A CN 113297534A
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Abstract

本发明公开一种基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，计算方法包括以下步骤：S1:建立等离子体方程模型，将等离子体方程所蕴含的物理规律作为人工神经网络的先验信息；S2:基于S1的等离子体方程建立对应的双神经网络框架；S3:以等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取适当的神经网络的层数等参数；S4:神经网络训练求解等离子体方程的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到阈值后，结束训练。本发明等离子体方程数值计算方法利用双神经网络架构求解出等离子体方程的精确解，解决了常规有效体积法结果依赖网格划分，高阶求解需要大量迭代的缺陷，能够从有限的数据样本有效地训练出对应的映射集合。

Description

一种基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法
技术领域
本发明涉及人工智能和等离子体技术领域，具体是一种基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法。
背景技术
等离子体是一种以自由电子和带电离子为主要成分的物质形态，广泛存在于宇宙中，常被视为是物质的第四态，也被称为等离子态。等离子体具有很高的电导率，与电磁场存在极强的耦合作用，精确了解等离子体的特性及其发展过程至关重要。以电弧为例，电弧作为一种高温、高导电率的放电等离子体，放电时能够产生上万摄氏度的高温，同时还会产生大量的热辐射。
数值模拟是研究等离子体特性的常用方法，包括有限差分、有限元、有限体积法。但是这类传统方法都有一定的缺陷，其结果依赖网格划分，在求解高维问题中可能会有精度不准确的问题。而人工神经网络是一种强大的非线性映射工具，具有求解偏微分方程的巨大潜力。利用人工神经网络求解等离子体方程时，首先构建人工神经网络来描述等离子体方程模型，该网络的先验信息以等离子体方程满足的物理规律为基础，然后分别设计对应的损失函数，选择神经网络的宽度、深度和激活函数，通过按批次训练得到等离子体偏微分方程的计算解。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，利用双神经网络架构求解出等离子体方程的精确解，解决了常规有效体积法结果依赖网格划分，高阶求解需要大量迭代的缺陷，能够从有限的数据样本有效地训练出对应的映射集合。
本发明的目的可以通过以下技术方案实现：
一种基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，包括如下步骤：
S1:建立等离子体方程模型，将等离子体方程所蕴含的物理规律作为人工神经网络的先验信息；
S2:基于S1的等离子体方程建立对应的双神经网络框架；
S3:以等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取适当的神经网络的层数等参数；
S4:神经网络训练求解等离子体方程的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到阈值后，结束训练，从而实现等离子体方程模型的人工神经网络求解。
进一步的，所述S1具体包括：
S11:根据具体问题建立对应的等离子体模型；
S12:将对应的等离子体模型改写成如下公式：
Figure BDA0003157742790000021
边界条件和初始条件分别为：
fb(u,t,x,y,z)＝0
fi(u,x,y,z)＝0
其中，x，y，z是三个方向上的空间坐标，t是时间坐标，u是方程的解，具体含义取决于等离子体方程的类型，λ是代表等离子体性质的参数。
进一步的，所述S2具体包括：
S21:根据等离子体方程，将方程的自变量作为神经网络的输入量，将方程的求解量作为神经网络的输出值；
S22:内嵌一个小型神经网络，将方程一些相关参数λ作为小型神经网络的输出，计算λ的自变量作为小型神经网络的输入；
S23:将小型神经网络训练得到的输出作为等离子体方程对应参数的值。
进一步的，所述S3具体包括：
S31:选择合适的激活函数；
S32:根据等离子体方程构造损失函数的第一部分Lf；
S33:根据边界条件构造损失函数的第二部分Lb；
S34:根据初始条件构造损失函数的第三部分Li；
S35:构造损失函数L＝Lf+Lb+Li；
S36:选择合适的神经网络层数和每层的神经元数。
进一步的，所述S31的激活函数为Huber函数：
Figure BDA0003157742790000031
进一步的，所述S32中的Lf计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000032
其中Nf是在计算域内的采样点数，Ψ是huber函数。
进一步的，所述S33中的Lb计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000033
其中Nb是在边界域内的采样点数。
进一步的，所述S34中的Li计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000034
其中Ni是在边界域内的采样点数；如果没有给定初始条件，Li＝0。
进一步的，所述S4具体包括：
S41:观察神经网络的损失函数值直至其下降到给定阈值；
S42:观察神经网络的L2范数误差值直至其下降到给定阈值，L2范数是特征空间中两点之间的距离，若空间中有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A、B两点的L2范数误差为：
Figure BDA0003157742790000041
S43:得到神经网络的输出，即对应等离子体方程的数值解。
本发明的有益效果：
本发明等离子体方程数值计算方法利用双神经网络架构求解出等离子体方程的精确解，解决了常规有效体积法结果依赖网格划分，高阶求解需要大量迭代的缺陷，能够从有限的数据样本有效地训练出对应的映射集合。
附图说明
下面结合附图对本发明作进一步的说明。
图1是本发明方法流程图；
图2是本发明1维稳态电弧模型求解的双神经网络示意图；
图3是本发明神经网络的损失函数值图；
图4是本发明神经网络的L2误差图；
图5是本发明神经网络训练结果和用有限元法计算结果的对比图；
图6是本发明神经网络训练结果和用有限元法计算的结果对比图；
图7是本发明神经训练得到的结果和用有限元法计算的结果对比图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例1
本实施例中，以1维稳态电弧作为研究对象，SF6气体为研究样本，通过按批次训练得到1维稳态电弧方程的数值解。
请参见图1，其示出了一种基于双神经网络的1维稳态电弧方程数值求解的流程图，该方法包括以下步骤：
S1:建立1维稳态电弧方程一般模型；
S11:基于质量守恒方程、能量守恒方程和欧姆定律方程建立1维电弧方程模型：
Figure BDA0003157742790000051
Figure BDA0003157742790000052
当电弧处于稳态时，速度和时间变量都为0，由此化简式上式得：
Figure BDA0003157742790000053
S12:将对应的1维稳态电弧方程模型改写成如下一般形式：
Figure BDA0003157742790000054
边界条件为：
T|r＝R＝Tb
Figure BDA0003157742790000055
其中，ρ是密度，t是时间，r是电弧半径，vr是电弧速度，Cp是比热，T是温度，σ是电导率，g是电弧电导，k是热导率，Erad是辐射产生的能量损失，Tb为r＝R时给定的边界温度值，代表等离子体性质的参数λ有：σ，k，Erad。
S2:基于S1的等离子体方程建立对应的双神经网络框架，如图2所示；
S21:根据等离子体方程，将方程的自变量作为神经网络的输入量，将方程的求解量作为神经网络的输出值；
S22:内嵌一个小型神经网络，将方程一些相关参数λ作为小型神经网络的输出，计算λ的自变量作为小型神经网络的输入；
S23:将小型神经网络训练得到的输出代入为等离子体方程对应参数的值。
S3:基于S1的1维稳态电弧方程，以方程和相应的边界条件为基础构造损失函数，选取适当的神经网络的层数等参数；
S31:选择合适的激活函数，即Huber函数；
Figure BDA0003157742790000061
S32:根据等离子体方程构造损失函数的第一部分Lf，计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000062
其中Nf是在计算域内的采样点数；
S33:根据边界条件构造损失函数的第二部分Lb，计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000063
其中Nb是在边界域内的采样点数；
S34:根据初始条件构造损失函数的第三部分Li，1维稳态电弧情况下没有初始条件，所以Li＝0；
S35:构造损失函数L＝Lf+Lb+Li＝Lf+Lb；
S36:设置神经网络隐藏层为5层，每层50个神经元，随机初始化权重，学习率设为10-4，训练次数设为100000次。
S4:神经网络训练求解等离子体方程的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练；
S41:得到的损失函数值变化如图3所示，在训练的后半段，损失函数值出现了振荡现象，当损失函数值已经收敛到了一定的小范围，它将会在这一范围内反复振荡；
S42:得到的L2范数误差值变化如图4所示，L2范数是特征空间中两点之间的距离，若空间中有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A、B两点的L2范数误差为：
Figure BDA0003157742790000071
从图4可以看出，在训练的后半段，L2范数误差值也出现了振荡现象，当L2范数误差值已经收敛到了一定的阈值内，它将会在这一范围内反复振荡，保证了网络不会过拟合；
S43:得到的神经网络训练结果和用有限元法计算的结果对比如图5所示。从损失误差和结果对比看，在该模型下，训练100000次后，损失误差都收敛到了很小的数值，保证了神经网络的收敛性，训练得到的温度值与有限元法计算的温度值的拟合曲线也非常相近。由此可得，本实施例设计的人工神经网络可以很好地计算SF6气体的一维稳态电弧流体方程，并得到较为精准的方程数值解。
实施例2
本实施例中，以1维稳态电弧作为研究对象，Ar气体为研究样本，通过按批次训练得到1维稳态电弧方程的数值解，该方法包括以下步骤：
S1:建立1维稳态电弧方程一般模型；
S11:基于质量守恒方程、能量守恒方程和欧姆定律方程建立1维电弧方程模型：
Figure BDA0003157742790000081
Figure BDA0003157742790000082
当电弧处于稳态时，速度和时间变量都为0，由此化简式上式得：
Figure BDA0003157742790000083
S12:将对应的1维稳态电弧方程模型改写成如下一般形式：
Figure BDA0003157742790000084
边界条件为：
T|r＝R＝Tb
Figure BDA0003157742790000085
其中，ρ是密度，t是时间，r是电弧半径，vr是电弧速度，Cp是比热，T是温度，σ是电导率，g是电弧电导，k是热导率，Erad是辐射产生的能量损失，Tb为r＝R时给定的边界温度值，代表等离子体性质的参数λ有：σ，k，Erad。
S2:基于S1的等离子体方程建立对应的双神经网络框架；
S21:根据等离子体方程，将方程的自变量作为神经网络的输入量，将方程的求解量作为神经网络的输出值；
S22:内嵌一个小型神经网络，将方程一些相关参数λ作为小型神经网络的输出，计算λ的自变量作为小型神经网络的输入；
S23:将小型神经网络训练得到的输出代入为等离子体方程对应参数的值。
S3:基于S1的1维稳态电弧方程，以方程和相应的边界条件为基础构造损失函数，选取适当的神经网络的层数等参数；
S31:选择合适的激活函数，即Huber函数；
Figure BDA0003157742790000091
S32:根据等离子体方程构造损失函数的第一部分Lf，计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000092
其中Nf是在计算域内的采样点数；
S33:根据边界条件构造损失函数的第二部分Lb，计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000093
其中Nb是在边界域内的采样点数；
S34:根据初始条件构造损失函数的第三部分Li，1维稳态电弧情况下没有初始条件，所以Li＝0；
S35:构造损失函数L＝Lf+Lb+Li＝Lf+Lb；
S36:设置神经网络隐藏层为6层，每层50个神经元，随机初始化权重，学习率设为10-4，训练次数设为50000次。
S4:神经网络训练求解等离子体方程的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练。得到的神经网络训练结果和用有限元法计算的结果对比如图6所示。从损失误差和结果对比看，在该模型下，训练50000次后，损失误差都收敛到了很小的数值，保证了神经网络的收敛性，训练得到的温度值与有限元法计算的温度值的拟合曲线也非常相近。由此可得，本实施例设计的人工神经网络可以很好地计算Ar气体的一维稳态电弧流体方程，并得到较为精准的方程数值解。
实施例3
本实施例中，以1维暂态电弧作为研究对象，SF6气体为研究样本，通过按批次训练得到1维暂态电弧方程的数值解。该方法包括以下步骤：
S1:建立1维暂态电弧方程一般模型；
S11:基于质量守恒方程、能量守恒方程和欧姆定律方程建立1维电弧方程模型：
Figure BDA0003157742790000101
Figure BDA0003157742790000102
S12:将对应的1维稳态电弧方程模型改写成如下一般形式：
Figure BDA0003157742790000103
边界条件为：
T|r＝R＝Tb
Figure BDA0003157742790000104
初始条件为：
T|t＝0＝Ti
其中，ρ是密度，t是时间，r是电弧半径，vr是电弧速度，Cp是比热，T是温度，σ是电导率，g是电弧电导，k是热导率，Erad是辐射产生的能量损失，Tb为r＝R时给定的边界温度值，代表等离子体性质的参数λ有：σ，k，Erad。
S2:基于S1的等离子体方程建立对应的双神经网络框架；
S21:根据等离子体方程，将方程的自变量作为神经网络的输入量，将方程的求解量作为神经网络的输出值；
S22:内嵌一个小型神经网络，将方程一些相关参数λ作为小型神经网络的输出，计算λ的自变量作为小型神经网络的输入；
S23:将小型神经网络训练得到的输出代入为等离子体方程对应参数的值。
S3:基于S1的1维暂态电弧方程，以方程和相应的边界条件为基础构造损失函数，选取适当的神经网络的层数等参数；
S31:选择合适的激活函数，即Huber函数；
Figure BDA0003157742790000111
S32:根据等离子体方程构造损失函数的第一部分Lf，计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000112
其中Nf是在计算域内的采样点数；
S33:根据边界条件构造损失函数的第二部分Lb，计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000113
其中Nb是在边界域内的采样点数；
S34:根据初始条件构造损失函数的第三部分Li，计算公式如下：
Figure BDA0003157742790000114
其中Ni是在边界域内的采样点数；
S35:构造损失函数L＝Lf+Lb+Li；
S36:设置神经网络隐藏层为6层，每层100个神经元，随机初始化权重，学习率设为10-4，训练次数设为100000次。
S4:神经网络训练求解等离子体方程的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到一定阈值后，结束训练。分别取t＝100us，500us，900us，观察此时神经训练得到的结果和用有限元法计算的结果对比如图7所示。从损失误差和结果对比看，在该模型下，训练100000次后，损失误差都收敛到了很小的数值，保证了神经网络的收敛性，训练得到的温度、速度值与有限元法计算的温度、速度值的拟合曲线也非常相近。由此可得，本实施例设计的人工神经网络可以很好地计算SF6气体的一维暂态电弧流体方程，并得到较为精准的方程数值解。
在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“示例”、“具体示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。

Claims (9)

1.一种基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1:建立等离子体方程模型，将等离子体方程所蕴含的物理规律作为人工神经网络的先验信息；
S2:基于S1的等离子体方程建立对应的双神经网络框架；
S3:以等式和相应的边界条件、初始条件为基础构造损失函数，选取适当的神经网络的层数等参数；
S4:神经网络训练求解等离子体方程的数值解，训练时不断得到新的损失函数值，当其收敛到阈值后，结束训练，从而实现等离子体方程模型的人工神经网络求解。
2.根据权利要求1所述的基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，其特征在于，所述S1具体包括：
S11:根据具体问题建立对应的等离子体模型；
S12:将对应的等离子体模型改写成如下公式：
Figure FDA0003157742780000011
边界条件和初始条件分别为：
fb(u,t,x,y,z)＝0
fi(u,x,y,z)＝0
其中，x，y，z是三个方向上的空间坐标，t是时间坐标，u是方程的解，具体含义取决于等离子体方程的类型，λ是代表等离子体性质的参数。
3.根据权利要求1所述的基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，其特征在于，所述S2具体包括：
S21:根据等离子体方程，将方程的自变量作为神经网络的输入量，将方程的求解量作为神经网络的输出值；
S22:内嵌一个小型神经网络，将方程一些相关参数λ作为小型神经网络的输出，计算λ的自变量作为小型神经网络的输入；
S23:将小型神经网络训练得到的输出作为等离子体方程对应参数的值。
4.根据权利要求1所述的基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，其特征在于，所述S3具体包括：
S31:选择合适的激活函数；
S32:根据等离子体方程构造损失函数的第一部分Lf；
S33:根据边界条件构造损失函数的第二部分Lb；
S34:根据初始条件构造损失函数的第三部分Li；
S35:构造损失函数L＝Lf+Lb+Li；
S36:选择合适的神经网络层数和每层的神经元数。
5.根据权利要求1所述的基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，其特征在于，所述S31的激活函数为Huber函数：
Figure FDA0003157742780000021
6.根据权利要求1所述的基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，其特征在于，所述S32中的Lf计算公式如下：
Figure FDA0003157742780000022
其中Nf是在计算域内的采样点数，Ψ是huber函数。
7.根据权利要求1所述的基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，其特征在于，所述S33中的Lb计算公式如下：
Figure FDA0003157742780000031
其中Nb是在边界域内的采样点数。
8.根据权利要求1所述的基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，其特征在于，所述S34中的Li计算公式如下：
Figure FDA0003157742780000032
其中Ni是在边界域内的采样点数；如果没有给定初始条件，Li＝0。
9.根据权利要求1所述的基于双神经网络框架的等离子体方程数值计算方法，其特征在于，所述S4具体包括：
S41:观察神经网络的损失函数值直至其下降到给定阈值；
S42:观察神经网络的L2范数误差值直至其下降到给定阈值，L2范数是特征空间中两点之间的距离，若空间中有点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A、B两点的L2范数误差为：
Figure FDA0003157742780000033
S43:得到神经网络的输出，即对应等离子体方程的数值解。
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