CN113268000A - 一种航空发动机多模型预测控制的软切换方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种航空发动机多模型预测控制的软切换方法。首先，将非线性航空发动机模型的不同局部工作区域线性化。然后，为每个线性模型设计一个模型预测控制器。用于多个模型预测控制器的传统硬切换方法可能会导致不良的瞬态行为。因此，本发明提出了一种软切换机制，该机制采用模型预测控制器目标函数在切换前后的凸组合，以确保在相邻区域切换时航空发动机的平稳过渡。然后，使用多参数二次规划算法来解决该问题的次优解决方案，从而减少了计算量并获得了明确的解决方案。最后，将上述控制算法应用于涡扇发动机控制系统，通过数值实验可以得出上述控制算法的有效性和优越性。

Description

一种航空发动机多模型预测控制的软切换方法

技术领域

本发明公开一种航空发动机多模型预测控制的软切换方法，属于控制算法设计领域。

背景技术

随着技术创新和产业进步，人们对飞机的安全，稳定，高效控制的要求越来越高，而航空发动机是飞机的重要组成部分，是一个典型的非线性系统，其外部条件和内部参数变化范围较大，变化速率较快，单一的控制策略不能保证发动机在大范围内都具有良好的性能，难以满足现代航空发动机的控制要求。现在航发发动机控制，既要保证发动机在限制范围内工作，又要保证有良好的稳态和动态品质，还要保障发动机的安全运行。

在这种情况下，模型预测控制(MPC)可以通过在线滚动优化的方法来处理受约束的优化问题，因此在发动机控制领域引起了极大的兴趣。Richter将模型预测控制应用在涡扇发动机上，实现了对风扇转速的跟踪控制及输入输出参数的限制。Saluru等提出将模型预测控制器代替PID控制器，对退化发动机进行容错控制。国内关于模型预测控制在航空发动机上应用也开展一系列的研究。肖玲斐等以数值-ARX并联模型为预测模型，设计了涡轴发动机的自适应非线性预测控制器。杜宪等针对航空发动机的约束管理问题，设计了非线性模型预测控制器实现对发动机输出量的约束管理，并与Min-Max控制逻辑进行了比较。目前航空发动机(如GE90、PW2000)普遍采用线性控制器及Min-Max选择逻辑来实现限制管理，但该约束管理方法并不能保证受限输出在所有情况下不超限，无法发挥发动机的最佳性能并且可能带来一些安全隐患。由此可见，近年来国内外学者从不同角度对模型预测控制在航空发动机上的应用进行了研究，并取得了一定的成果。但对于涡扇发动机，研究对象主要是单变量模型预测控制器，对于考虑约束的多变量预测控制的研究较少。而且MPC必须要在每个控制周期中解决优化问题产生控制信号，在线的实时计算会给系统带来巨大的计算负担，使得控制的实时性大大降低。Alberto Bemporad等人提出了一种在有限水平优化的显式解决方案，使MPC适用于实时控制问题。

而非线性MPC的设计比一般发动机电子控制单元需要更多的计算能力，一种可行的解决方案就是应用线性MPC技术。在这种情况下，将发动机的运行范围划分为多个区域，并确定采用多个线性预测控制器的局部模型，以此逼近航空发动机的非线性动力学模型，并且以获得的多个局部线性模型为预测模型设计多个线性预测模型控制器。在过渡运行中，每当发动机工况越过所划分的边界时，控制器将根据当前发动机的运行点进行切换。这种交换式线性时不变(LTI)MPC体系结构降低了计算复杂性，同时保留了非线性MPC的某些理想属性。但是，由于开关点处控制规律的瞬时变化，这种硬切换的方式，可能会产生不良的瞬态行为，导致输出响应突增或切换期间递归可行性的丧失。

而非线性MPC的设计比一般发动机电子控制单元需要更多的计算能力，一种可行的解决方案就是应用线性MPC技术。在这种情况下，将发动机的运行范围划分为多个区域，可以获得多个局部线性模型逼近航空发动机的非线性动力学模型，并为这些模型分别设计MPC。在过渡运行中，每当发动机工况越过所划分的边界时，控制器将根据当前发动机的运行点进行切换。这种交换式线性时不变(LTI)MPC体系结构降低了计算复杂性，同时保留了非线性MPC的某些理想属性。但是，由于开关点处控制规律的瞬时变化，这种硬切换的方式，可能会产生不良的瞬态行为，导致输出响应突增或切换期间递归可行性的丧失。

发明内容

针对发动机在不同工作区域工作时，MPC的硬切换会产生不良的瞬态行为这一情况，本发明研究并运用了一种软切换的机制，在软切换的过程中，引入许多中间MPC，称为组合MPC。组合MPC应用了两个要切换MPC控制器目标函数的凸组合方式，其中加权函数随时间变化。所以，新的软切换机制可以使得控制率平稳的变化，在切换时平滑的过渡，减少了冲动行为。从而增强了航空发动机在不同工况切换时的瞬态性能。

本发明的技术方案：

一种航空发动机多模型预测控制的软切换方法，步骤如下：

步骤A、将发动机工作状态划分成不同的区域，并对每个区域的模型进行线性化。

基于发动机的工作状态的油门杆角度(PLA)以及飞行包线高度或马赫数，将其工作范围划分为12个区域，在每个区域为中心的工作点周围线性，以线性模型表示每个区域的发动机状态。

一定飞行条件下，设发动机的非线性离散模型为：

式(1)中，状态向量x∈Rⁿ，输入向量u∈R^m，输出向量y∈R^p，其中x为压气机高压转速N₂和涡轮出口压力比π_T，u为主燃油流量W_f和尾喷管面积A₈，y为压气机高压转速N₂和涡轮出口压力比π_T。

x＝[N₂,π_T]^T，u＝[W_f,A₈]^T，y＝[N₂,π_T]^T。

将非线性模型围绕上述划分的12个区域的中心工作点周围进行线性化，当发动机运行到上述划分的某个区域时，在其中心平衡点(u_g,x_g,y_g)处，其中g∈{1,2,...,12}对应于划分的12个区域的线性模型，由发动机的工作状态(油门杆角度PLA)以及飞行包线(高度H、马赫数M_a)来决定，线性化式(1)，得离散小偏差状态向量模型：

式中，Δx＝x_k-x_g，Δu_k＝u_k-u_g，Δy_k＝y_k-y_g，而A_g∈R^n×n，B_g∈R^n×m，C_g∈R^p×n，D_g∈R^{p ×m}为待定的系统矩阵。

为了提高建模精度，对式(2)的状态、输入和输出变量进行归一化处理，即令，

Δx_k＝W_gxδx_k

Δu_k＝W_guδu_k (3)

Δy_k＝W_gyδy_k

其中，

W_gx＝diag(x_g1,x_g2)

W_gu＝diag(u_g1,u_g2) (4)

W_gy＝diag(y_g1,y_g2)

x_g1和x_g2分别为12个区域各平衡工作点处的状态变量，u_g1和u_g2分别为12个区域各平衡工作点处的输入变量，y_g1和y_g2分别为12个区域各平衡工作点处的输出变量，diag(...)表示对角矩阵，且以括号内的变量为对角元素。由式(3)和(4)得，

其中，

分别对发动机划分的12个区域的各控制变量做小阶跃扰动而保持其他控制变量不变，即在式(3)中取，

式中ε_i为第i-th个控制变量的扰动幅度。

在式(6)所示的控制变量作用下，发动机将经历m个不同的过渡过程，其动态响应序列分别为

然后得，

根据式(1)可知，状态变量是基于发动机非线性模型来建立的。给定输入量时，通过非线性模型可计算得到相应状态量和输出量，状态量属于非线性动态响应序列中的一部分，由于状态量和输出量是一一对应的，因此可得

因此，

数据序列都已知，再根据拟合思想，对式(5)直接建立如式(9)所示的最小二乘问题，从而可求得系统矩阵

即，

显然，所得系统矩阵

能够保证线性系统的建模误差在最小二乘意义下极小，从而求得，

步骤B、根据步骤A划分的区域以及对区域模型的线性化，设计MPC的状态方程。并对MPC状态方程进行了增广，设计带积分行为的MPC状态方程。

在步骤A中，将非线性模型进行了线性化，将航空发动机的工作范围划分成了12个区域，由于输出向量和状态向量相同，所以D_g＝0，因此每个区域线性化后，可表示为，

其中g∈(1,2,...,12)，式(11)中基于线性模型设计模型预测控制器，多个线性模型之间的切换机制用于处理发动机工作范围内的非线性。为了消除输出的稳态误差，设计了带积分行为的模型预测控制器，引入输出误差(系统输出与指令之差)的积分作为新的状态，定义输出误差为，

e_k＝y_k-r_k＝C_gx_k-r_k (12)

引入输出误差向量的积分q_k

q_k+1＝q_k+ΔhC_gx_k-Δhr_k (13)

其中Δh为积分步长，为满足跟踪控制中无稳态误差的要求，将系统输出与跟踪指令之差的积分和跟踪指令增广为状态量，定义新的状态变量，

其中，I为

在MPC中，

相当于一个状态反馈控制器，使得闭环系统，

若使得闭环系统是渐进稳定的，则只需要保证闭环系统状态方程矩阵

的所有特征值均在左开复平面中，从而该矩阵也是非奇异的。因此，当时间趋向无穷的时候，误差的积分q_k将趋于常值向量，表明误差e_k必将趋于0，又因为e_k＝y_k-r_k，所以y_k＝r_k，从而实现精确跟踪。

闭环系统的稳定只与闭环系统的状态方程矩阵有关，与跟踪指令r_k无关，所以为了方便计算，将新的状态变量中r_k量忽略。即新的状态方程可写为，

新的状态方程的紧凑格式为

其中

步骤C、根据步骤B设计的MPC增广的状态方程，设计模型预测控制器。

对于式(17)定义的系统，对于MPC的成本函数，限制条件包括状态变量

控制输入变量

输出变量

以及控制输入量的增量

的上下限限制。在MPC的成本函数中包括预测范围内的状态变量

平方的加权和，控制范围内的输入变量

平方的加权和以及终端约束

后退水平优化的性能指标被视为二次成本函数，该函数在每个采样时间均被最小化，

其中，g∈(1,2,...,12)，在这，Q_g和R_g是加权矩阵，P_g是终端惩罚矩阵，Q_g、R_g和P_g都是半正定矩阵，由设计人员选择。N_y和N_u分别为预测范围和控制范围，通常N_y＞N_u，每个区域g的预测范围和控制范围都一样。不等式方程表示约束，式(18)是带约束的二次规划问题，可用优化工具箱在每个时间步长上求解优化问题，得到最优控制输入序列

只选取该序列的第一个控制量

作为最佳控制输入。

如果已知初始状态

和所有控制范围内的控制向量

并将其带入公式

可以将预测范围内的所有状态向量表示出来。因此，有限层优化问题(18)可以重新定义为二次规划问题(19)，

其中

表示状态向量的初始值，矩阵H_g(半正定矩阵)，F_g，G_g，W_g以及E_g可以通过发动机模型以及设计矩阵Q_g，R_g和P_g计算得到，因为只需要优化

所以从(19)中删除涉及Y_g的项。

步骤D、根据步骤C提到的二次规划方法，设计MPC的软切换方法。

为了保证不同区域的平稳切换，运用一种基于中间过程，切换前后MPC成本函数凸组合的软切换机制，将有限层优化问题定义为二次规划问题，式(19)的问题成为两个二次规划问题的总和，

其中，α_1,k＝1-α_2,k，是随时间变化的加权因子，当发动机的工作范围越过区域边界时发生切换，在切换过程中，同时使用切换前后的预测模型完成预测，加权因子α_1,k沿着时间轴从1线性变化为0，而另一个加权因子α_2,k沿着时间轴从0线性变化为1。当α_1,k＝0，α_2,k＝1时，组合MPC就成了新的MPC，软切换过程也就结束了。切换窗口是一个取决于α_2,k变化的设计参数。

因为α_1,kH_g1+α_2,kH_g2＞0所以式(20)为一个凸二次规划，在满足约束的条件下，该式(19)是关于最优变量U的凸函数。由于式(20)的问题取决于当前的状态变量，因此MPC的实现需要在每个时间步进行QP的在线解决方案。可以使用基于活动集方法和内点方法的有效QP求解器去解决式(20)的问题。所得的解给出了最优控制量

在控制范围内，取U^*的第一个行向量

为最优控制率，作为控制器的输入。

步骤E、对步骤D重的基于二次规划的MPC软切换方法进行改进。

通过将成本函数视为多参数二次规划(mp-QP)，对于每种可能的初始状态进行求解并将生成的分段仿射控制律存储在查找表中，从而将优化求解的在线计算问题转移到离线计算。在每个采样周期的显式公式中，只需要评估线性控制律就可以求解二次最小化问题。

考虑QP问题，根据式(19)，定义z＝U+H^-1F^Tx_k，因此可以将式(19)变换为如下等价问题，

其中S＝E+GH^-1F^T，而且

式(21)优化问题的最优解是连续的和分段放射函数：

其中

多面体集合

是状态向量

的一个分区。

式(20)是切换前后MPC成本函数的组合，式中有α_1,k，α_2,k两个随时间变化的形参，因此使得式(20)在每个时间步长上有显式的最优解，需要在线计算，而不是关于

的简单分段仿射函数。

为了获得次优解，运用了一种基于切换前后MPC多参数二次规划成本函数凸组合的求解方式，即将离线所求得分段仿射函数最优解U^*通过加权因子进行组合

其中

分别对应于切换前后MPC式(19)的最优解，组合的多参数二次规划的成本函数为，

因此，成本函数就变成了切换前后MPC的多参数二次规划成本函数的加权组合。随着时间的变化

会有不同的解，其最优解

的凸组合，使得新的成本函数有次优解

从而保证在切换时刻控制率不会突然变化，使得切换过程平滑进行。

步骤F、在该步骤中，将上述步骤E研究的基于多参数二次程序凸组合求解算法的软切换方式应用到涡扇发动机控制当中。将涡扇发动机的工作范围划分成了12个区域，在发动机每个工作区域上建立对应式(17)的线性模型，然后利用建立的线性模型设计对应式(23)成本函数的模型预测控制器。

本发明的有益效果：

(1)该基于多参数二次程序凸组合求解算法的软切换方法，不需要大量的在线计算，可以将优化求解的在线计算问题转移到离线计算，只需要评估线性控制律就可以求解二次最小化问题，可显著降低计算复杂度。

(2)该软切换机制可以使得控制率平稳的变化，在切换时平滑的过渡，减少了冲动行为。从而增强了航空发动机在不同工况切换时的瞬态性能。

附图说明

图1是航空发动机工作条件划分区域图。

图2是不同发动机工作区域之间的控制开关图。

图3是本发明仿真中输出变量响应的比较图，其中，a是涡轮出口压力比π_T的响应比较图；b是压气机高压转速N₂的响应比较图。

图4是本发明仿真中控制输入变量的响应比较图，其中，a是尾喷管面积A₈的响应比较图；b是主燃油流量W_f的响应比较图。

具体实施方式

为使本发明提出的技术方案、解决的技术问题更加清晰，以下对本发明的技术方案进行具体阐述。

本发明所述的软切换算法运用了一种基于切换前后MPC多参数二次规划成本函数凸组合的求解方式，该切换算法可以对航空发动机实现平滑、快速的切换。

该软切换算法具体实现如下：

(1)先将二次规划问题进行变换，将二次规划问题通过函数变换定义为多参数二次规划问题，将成本函数视为多参数二次规划(mp-QP)，对于每种可能的初始状态进行求解并将生成的分段仿射控制律存储在查找表中，从而将优化求解的在线计算问题转移到离线计算。

(2)然后采用基于切换前后MPC多参数二次规划成本函数凸组合的求解方式，将离线所求得分段仿射函数最优解U^*通过加权因子进行组合

其中

分别对应于切换前后多参数二次规划MPC成本函数的最优解。

衡量切换算法的基本标准是其在切换时能否实现平滑切换，减小震荡，本发明在满足以上标准的同时还兼具计算量小，计算复杂度低，本发明一种航空发动机多模型预测控制的软切换方法主要具有以下优点：

(1)该MPC软切换算法不需要大量的在线计算，可以将优化求解的在线计算问题转移到离线计算，只需要评估线性控制律就可以求解二次最小化问题，可显著降低计算复杂度。

(2)该软切换算法可以使得控制率平稳的变化，使得输出响应在切换时平滑的过渡，减少了冲动行为。从而增强了航空发动机在不同工况切换时的瞬态性能。

以下即一种基于航空发动机的多模型预测控制的软切换方法，步骤如下：

步骤A、将发动机工作状态划分成不同的区域，并对每个区域的模型进行线性化。

由于航空发动机是高度非线性的系统，因此基于发动机的工作状态的油门杆角度(PLA)以及飞行包线高度或马赫数，将其工作范围划分为12个区域，在每个区域为中心的工作点周围线性，以线性模型表示每个区域的发动机状态。选定工作点的网格在发动机工作范围内均匀分布，如图1所示。

一定飞行条件下，设发动机的非线性离散模型为：

式(1)中，状态向量x∈Rⁿ，输入向量u∈R^m，输出向量y∈R^p，其中x为压气机高压转速N₂和涡轮出口压力比π_T，u为主燃油流量W_f和尾喷管面积A₈，y为压气机高压转速N₂和涡轮出口压力比π_T。

x＝[N₂,π_T]^T，u＝[W_f,A₈]^T，y＝[N₂,π_T]^T。

将非线性模型围绕上述划分的12个区域的中心工作点周围进行线性化，当发动机运行到上述划分的某个区域时，在其中心平衡点(u_g,x_g,y_g)处，其中g∈{1,2,...,12}对应于划分的12个区域的线性模型，由发动机的工作状态(油门杆角度PLA)以及飞行包线(高度H、马赫数M_a)来决定，线性化式(1)，得离散小偏差状态向量模型：

式中，Δx＝x_k-x_g，Δu_k＝u_k-u_g，Δy_k＝y_k-y_g，而A_g∈R^n×n，B_g∈R^n×m，C_g∈R^p×n，D_g∈R^{p ×m}为待定的系统矩阵。

为了提高建模精度，对式(2)的状态、输入和输出变量进行归一化处理，即令，

其中，

x_g1和x_g2分别为12个区域各平衡工作点处的状态变量，u_g1和u_g2分别为12个区域各平衡工作点处的输入变量，y_g1和y_g2分别为12个区域各平衡工作点处的输出变量，diag(...)表示对角矩阵，且以括号内的变量为对角元素。由式(3)和(4)得，

其中，

分别对发动机划分的12个区域的各控制变量做小阶跃扰动而保持其他控制变量不变，即在式(3)中取，

式中ε_i为第i-th个控制变量的扰动幅度。

在式(6)所示的控制变量作用下，发动机将经历m个不同的过渡过程，其动态响应序列分别为

然后得，

根据式(1)可知，状态变量是基于发动机非线性模型来建立的。给定输入量时，通过非线性模型可计算得到相应状态量和输出量，状态量属于非线性动态响应序列中的一部分，在本发明中，由于状态量和输出量是一一对应的，因此可得

因此，

数据序列都已知，再根据拟合思想，对式(5)直接建立如式(9)所示的最小二乘问题，从而可求得系统矩阵

即，

显然，所得系统矩阵

能够保证线性系统的建模误差在最小二乘意义下极小，从而求得，

步骤B、根据步骤A划分的区域以及对区域模型的线性化，设计MPC的状态方程。并且由于传统的模型预测控制器并不能有效消除稳态误差，为此，本发明对对MPC状态方程进行了增广，设计带积分行为的MPC状态方程。

航空发动机是高度非线性的，在步骤A中，将非线性模型进行了线性化，将航空发动机的工作范围划分成了12个区域，由于输出向量和状态向量相同，所以D_g＝0，因此每个区域线性化后，可表示为，

其中g∈(1,2,...,12)，式(11)中基于线性模型设计模型预测控制器，多个线性模型之间的切换机制用于处理发动机工作范围内的非线性。实际上，如式(11)设计的模型预测控制器，并不能有效消除输出的稳态误差，不能进行良好的跟踪。为此，设计了带积分行为的模型预测控制器，引入输出误差(系统输出与指令之差)的积分作为新的状态，定义输出误差为，

e_k＝y_k-r_k＝C_gx_k-r_k (35)

引入输出误差向量的积分q_k

q_k+1＝q_k+ΔhC_gx_k-Δhr_k (36)

其中Δh为积分步长，为满足跟踪控制中无稳态误差的要求，将系统输出与跟踪指令之差的积分和跟踪指令增广为状态量，定义新的状态变量，

其中，I为

在MPC中，

相当于一个状态反馈控制器，使得闭环系统，

若使得闭环系统是渐进稳定的，则只需要保证闭环系统状态方程矩阵

的所有特征值均在左开复平面中，从而该矩阵也是非奇异的。因此，当时间趋向无穷的时候，误差的积分q_k将趋于常值向量，表明误差e_k必将趋于0，又因为e_k＝y_k-r_k，所以y_k＝r_k，从而实现精确跟踪。

以上分析说明，设计一个稳定的状态反馈控制器，就可以保证系统的输出跟踪参考值且没有稳态误差，而闭环系统的稳定只与闭环系统的状态方程矩阵有关，与跟踪指令r_k无关，所以为了方便计算，将新的状态变量中r_k量忽略。即新的状态方程可写为，

新的状态方程的紧凑格式为

其中

步骤C、根据步骤B设计的MPC增广的状态方程，设计模型预测控制器。

对于式(17)定义的系统，对于MPC的成本函数，限制条件包括状态变量

控制输入变量

输出变量

以及控制输入量的增量

的上下限限制。在MPC的成本函数中包括预测范围内的状态变量

平方的加权和，控制范围内的输入变量

平方的加权和以及终端约束

后退水平优化的性能指标被视为二次成本函数，该函数在每个采样时间均被最小化，

其中，g∈(1,2,...,12)，在这，Q_g和R_g是加权矩阵，P_g是终端惩罚矩阵，它们都是半正定矩阵，由设计人员选择。N_y和N_u分别为预测范围和控制范围，通常N_y＞N_u，每个区域g的预测范围和控制范围都一样。不等式方程表示约束，式(18)是带约束的二次规划问题，可用优化工具箱在每个时间步长上求解优化问题，得到最优控制输入序列

只选取该序列的第一个控制量

作为最佳控制输入。

如果已知初始状态

和所有控制范围内的控制向量

并将其带入公式

可以将预测范围内的所有状态向量表示出来。因此，有限层优化问题(18)可以重新定义为二次规划问题(19)，

其中

表示状态向量的初始值，矩阵H_g(半正定矩阵)，F_g，G_g，W_g以及E_g可以通过发动机模型以及设计矩阵Q_g，R_g和P_g计算得到，因为只需要优化

所以从(19)中删除涉及Y_g的项。

步骤D、根据步骤C提到的二次规划方法，设计MPC的软切换方法。

为了使线性MPC在发动机整个工作范围内工作，在步骤A中将发动机的工作范围划分成了12个区域，每个区域对应不同的线性模型。每当发动机的工作条件越过不同区域的边界时，就需要切换控制器，从而实现MPC的多重线性控制器的设计。这种硬切换的方式很容易实现，但是由于不同区域对应的控制器不同，所以控制目标相差也大，控制律切换会导致瞬时变化，可能会导致产生一些脉冲信号，产生不良的瞬态行为，因此，它可能无法提供令人满意的开关性能。在该步骤D中，将采用一种软切换的机制，使得控制率平稳的变化，在切换时平滑的过渡，减少了冲动行为。

已有文献提到的切换机制是对成本函数中设计的Q、R和P进行切换，它的预测模型只有一个。其方法是在切换时刻，与其立即切换Q、R和P，使得控制律瞬时改变，不如将成本函数即将切换之前的Q_i、R_i和P_i与即将切换之后的Q_j、R_j和P_j进行随时间变化的权重组合，从而使得控制律缓慢变化，保证平滑切换。

与上述方法不同的是，在本发明中，不同区域对应着不同的线性模型，当发生切换时，不仅Q、R和P要切换，不同线性模型的A、B和C也要切换，这使得问题变得复杂。该软切换机制可以用于具有时变权重的系统矩阵A、B、C以使得模型平稳过渡。但是由于发动机是强非线性的模型，不同模型(A、B、C)的凸组合，不一定是实际切换过程中系统的行为。因此，为了保证不同区域的平稳切换，运用一种基于中间过程，切换前后MPC成本函数凸组合的软切换机制，将有限层优化问题定义为二次规划问题，问题(19)成为两个二次规划问题的总和，

其中，α_1,k＝1-α_2,k，是随时间变化的加权因子，当发动机的工作范围越过区域边界时发生切换，在切换过程中，同时使用切换前后的预测模型完成预测，加权因子α_1,k沿着时间轴从1线性变化为0，而另一个加权因子α_2,k沿着时间轴从0线性变化为1。当α_1,k＝0，α_2,k＝1时，组合MPC就成了新的MPC，软切换过程也就结束了。切换窗口是一个取决于α_2,k变化的设计参数。

因为α_1,kH_g1+α_2,kH_g2＞0所以式(20)为一个凸二次规划，在满足约束的条件下，该式(19)是关于最优变量U的凸函数。由于该问题(20)取决于当前的状态变量，因此MPC的实现需要在每个时间步进行QP的在线解决方案。可以使用基于活动集方法和内点方法的有效QP求解器去解决该问题(20)。该解给出了最优控制量

在控制范围内，取U^*的第一个行向量

为最优控制率，作为控制器的输入。

步骤E、对步骤D中的基于二次规划的MPC软切换方法进行改进。

由于步骤D提到的基于二次规划的MPC软切换方法，尽管可以使用基于活动集方法和内点方法的有效QP求解器去求解最优输入

但是需要在每个采样时刻最小化成本函数以获得最优控制率，因为它需要大量的在线计算，所以这种最小化在计算上是昂贵的，而且是缓慢的。因此在此方法的基础上进行了改进。

通过将成本函数视为多参数二次规划(mp-QP)，对于每种可能的初始状态进行求解并将生成的分段仿射控制律存储在查找表中，从而将优化求解的在线计算问题转移到离线计算。在每个采样周期的显式公式中，只需要评估线性控制律就可以求解二次最小化问题，可显著降低计算复杂度，这使得显式模型预测控制在诸如发动机控制等高速应用中切实可行。

显式MPC明确的表述已经由Alberto Bemporad研究。本发明将主要结果进行简单的概述，考虑QP问题，根据式(19)，定义z＝U+H^-1F^Tx_k，因此可以将式(19)变换为如下等价问题，

其中S＝E+GH^-1F^T，而且

式(21)优化问题的最优解是连续的和分段放射函数：

其中

多面体集合

是状态向量

的一个分区。

式(20)是切换前后MPC成本函数的组合，式中有α_1,k，α_2,k两个随时间变化的形参，因此它们使得式(20)在每个时间步长上有显式的最优解，需要在线计算，而不是关于

的简单分段仿射函数。因为加权因子α_1,k，α_2,k和U都被当作参数，导致成本函数不是凸的，这样使得式(20)很难求出明确的最优解。

为了获得次优解，运用了一种基于切换前后MPC多参数二次规划成本函数凸组合的求解方式，即将离线所求得分段仿射函数最优解U^*通过加权因子进行组合

其中

分别对应于切换前后MPC式(19)的最优解，组合的多参数二次规划的成本函数为，

因此，成本函数就变成了切换前后MPC的多参数二次规划成本函数的加权组合。随着时间的变化

会有不同的解，其最优解

的凸组合，使得新的成本函数有次优解

从而保证在切换时刻控制率不会突然变化，使得切换过程平滑进行。这种次优解的凸组合方式使得不需要大量的在线计算，可以离线进行。所以当发动机的工作条件越过不同区域的边界需要切换控制器时，采用这种凸组合求解方式来保证切换平稳过渡。

步骤F、在该步骤中，将上述步骤E研究的基于多参数二次程序凸组合求解算法的软切换方式应用到涡扇发动机控制当中。将涡扇发动机的工作范围划分成了12个区域，在发动机每个工作区域上建立对应式(17)的线性模型，然后利用建立的线性模型设计对应式(23)成本函数的模型预测控制器。

具体应用时，对于每个控制器，将采样时间设置为5ms，选控制范围N_u＝2，预测范围N_y＝10。切换窗口选择为5个采样周期，设计的矩阵Q_g＝diag[5 0.25 100 10]，矩阵R_g＝diag[0.01 0.01]，矩阵P_g在不同区域改变。

控制器在不同区域之间的切换如图2所示。在相同条件下，将所提出的软切换方法与传统的硬切换方法进行比较如图3和图4所示，应注意，这些图中的数据已归一化。硬交换MPC算法由stand-MPC表示，而所提出的软交换算法由soft-MPC表示。说明了所述软切换方法在发动机通过不同的区域进行切换时，使得控制率平稳的变化，在切换时平滑的过渡，减少了冲动行为。从而增强了航空发动机在不同工况切换时的瞬态性能。

第一种情况，在t＝80sec时，从图2可以看出，PLA不变，H＝0，M_a＝0变为H＝3，M_a＝0.3，即控制器由区域3切换到区域6。从图3可以看出，当在切换时应用所建议的软切换方法时，输出响应会更平稳地变化，并且振荡会减少。

第二种情况，尤其是在t＝155sec，H＝0，M_a＝0，PLA从高变低的情况下，如图2所示，控制器从区域3越过区域1的边界，它将短暂地通过区域2。因此，控制器无法很好地预测系统的行为，这会导致Stand-MPC控制器输出的过冲行为，尤其是在图4所示的A8中，还会导致输出响应的振荡。如图4所示，而在切换时soft-MPC控制器的输出相对平坦。

综上，本发明一种航空发动机多模型预测控制的软切换方法提出了一种新的软切换机制，根据航空发动机的工作范围，线性化了12个局部小模型，并设计了相应的线性开关MPC。建议使用软切换算法，以确保在切换期间平稳地传递多个线性模型预测控制器。它将切换前后的MPC成本函数与加权因子相结合，从而将后退的水平优化问题定义为凸二次规划问题。然后，采用多参数二次规划法求解凸问题的次优解。最后，将所提出的软切换方法与传统的硬切换方法进行比较，通过涡扇发动机的对比试验表明，所提出的软切换机制可以使多控制器在切换过程中更平稳地进行传递，而传统的硬切换方法则具有很大的干扰性。这表明该发明提出的软切换方法增强了航空发动机的瞬态性能，具有良好的工程应用价值。

Claims (1)

1.一种航空发动机多模型预测控制的软切换方法，其特征在于，步骤如下：

步骤A、将发动机工作状态划分成不同的区域，并对每个区域的模型进行线性化；

基于发动机的工作状态的油门杆角度PLA以及飞行包线高度或马赫数，将其工作范围划分为12个区域，在每个区域为中心的工作点周围线性，以线性模型表示每个区域的发动机状态；

一定飞行条件下，设发动机的非线性离散模型为：

x_k+1＝f(x_k,u_k)

y_k＝g(x_k,u_k) (1)

式(1)中，状态向量x∈Rⁿ，输入向量u∈R^m，输出向量y∈R^p，其中x为压气机高压转速N₂和涡轮出口压力比π_T，u为主燃油流量W_f和尾喷管面积A₈，y为压气机高压转速N₂和涡轮出口压力比π_T；

x＝[N₂,π_T]^T，u＝[W_f,A₈]^T，y＝[N₂,π_T]^T；

将非线性模型围绕划分的12个区域的中心工作点周围进行线性化，当发动机运行到所划分的某个区域时，在其中心平衡点(u_g,x_g,y_g)处，其中g∈{1,2,...,12}对应于划分的12个区域的线性模型，由发动机的工作状态油门杆角度PLA以及飞行包线高度H、马赫数M_a来决定，线性化式(1)，得离散小偏差状态向量模型：

Δx_k+1＝A_gΔx_k+B_gΔu_k

Δy_k＝C_gΔx_k+D_gΔu_k (2)

式中，Δx＝x_k-x_g，Δu_k＝u_k-u_g，Δy_k＝y_k-y_g，而A_g∈R^n×n，B_g∈R^n×m，C_g∈R^p×n，D_g∈R^p×m为待定的系统矩阵；

为了提高建模精度，对式(2)的状态、输入和输出变量进行归一化处理，即令，

Δx_k＝W_gxδx_k

Δu_k＝W_guδu_k (3)

Δy_k＝W_gyδy_k

其中，

W_gx＝diag(x_g1,x_g2)

W_gu＝diag(u_g1,u_g2) (4)

W_gy＝diag(y_g1,y_g2)

x_g1和x_g2分别为12个区域各平衡工作点处的状态变量，u_g1和u_g2分别为12个区域各平衡工作点处的输入变量，y_g1和y_g2分别为12个区域各平衡工作点处的输出变量，diag(...)表示对角矩阵，且以括号内的变量为对角元素；由式(3)和(4)得，

其中，

分别对发动机划分的12个区域的各控制变量做小阶跃扰动而保持其他控制变量不变，即在式(3)中取，

式中ε_i为第i-th个控制变量的扰动幅度；

在式(6)所示的控制变量作用下，发动机将经历m个不同的过渡过程，其动态响应序列分别为

然后得，

根据式(1)可知，状态变量是基于发动机非线性模型来建立的；给定输入量时，通过非线性模型可计算得到相应状态量和输出量，状态量属于非线性动态响应序列中的一部分，由于状态量和输出量是一一对应的，因此可得

因此，

数据序列都已知，再根据拟合思想，对式(5)直接建立如式(9)所示的最小二乘问题，从而可求得系统矩阵

即，

显然，所得系统矩阵

能够保证线性系统的建模误差在最小二乘意义下极小，从而求得

步骤B、根据步骤A划分的区域以及对区域模型的线性化，设计MPC的状态方程；并对MPC状态方程进行了增广，设计带积分行为的MPC状态方程；

在步骤A中，将非线性模型进行了线性化，将航空发动机的工作范围划分成了12个区域，由于输出向量和状态向量相同，所以D_g＝0，因此每个区域线性化后，可表示为，

x_k+1＝A_gx_k+B_gu_k

y_k＝C_gx_k (11)

其中g∈(1,2,...,12)，式(11)中基于线性模型设计模型预测控制器，多个线性模型之间的切换机制用于处理发动机工作范围内的非线性；为了消除输出的稳态误差，设计了带积分行为的模型预测控制器，引入输出误差(系统输出与指令之差)的积分作为新的状态，定义输出误差为，

e_k＝y_k-r_k＝C_gx_k-r_k (12)

引入输出误差向量的积分q_k

q_k+1＝q_k+ΔhC_gx_k-Δhr_k (13)

其中Δh为积分步长，为满足跟踪控制中无稳态误差的要求，将系统输出与跟踪指令之差的积分和跟踪指令增广为状态量，定义新的状态变量，

其中，I为

在MPC中，

相当于一个状态反馈控制器，使得闭环系统，

若使得闭环系统是渐进稳定的，则只需要保证闭环系统状态方程矩阵

的所有特征值均在左开复平面中，从而该矩阵也是非奇异的；因此，当时间趋向无穷的时候，误差的积分q_k将趋于常值向量，表明误差e_k必将趋于0，又因为e_k＝y_k-r_k，所以y_k＝r_k，从而实现精确跟踪；

闭环系统的稳定只与闭环系统的状态方程矩阵有关，与跟踪指令r_k无关，所以为了方便计算，将新的状态变量中r_k量忽略；即新的状态方程可写为，

新的状态方程的紧凑格式为

其中

步骤C、根据步骤B设计的MPC增广的状态方程，设计模型预测控制器；

对于式(17)定义的系统，对于MPC的成本函数，限制条件包括状态变量

控制输入变量

输出变量

以及控制输入量的增量

的上下限限制；在MPC的成本函数中包括预测范围内的状态变量

平方的加权和，控制范围内的输入变量

平方的加权和以及终端约束

后退水平优化的性能指标被视为二次成本函数，该函数在每个采样时间均被最小化，

其中，g∈(1,2,...,12)，在这，Q_g和R_g是加权矩阵，P_g是终端惩罚矩阵，Q_g、R_g和P_g都是半正定矩阵，由设计人员选择；N_y和N_u分别为预测范围和控制范围，通常N_y＞N_u，每个区域g的预测范围和控制范围都一样；不等式方程表示约束，式(18)是带约束的二次规划问题，可用优化工具箱在每个时间步长上求解优化问题，得到最优控制输入序列

只选取该序列的第一个控制量

作为最佳控制输入；

如果已知初始状态

和所有控制范围内的控制向量

并将其带入公式

可以将预测范围内的所有状态向量表示出来；因此，有限层优化问题(18)可以重新定义为二次规划问题(19)，

其中

表示状态向量的初始值，矩阵H_g(半正定矩阵)，F_g，G_g，W_g以及E_g可以通过发动机模型以及设计矩阵Q_g，R_g和P_g计算得到，因为只需要优化

所以从(19)中删除涉及Y_g的项；

步骤D、根据步骤C提到的二次规划方法，设计MPC的软切换方法；

为了保证不同区域的平稳切换，运用一种基于中间过程，切换前后MPC成本函数凸组合的软切换机制，将有限层优化问题定义为二次规划问题，式(19)的问题成为两个二次规划问题的总和，

其中，α_1,k＝1-α_2,k，是随时间变化的加权因子，当发动机的工作范围越过区域边界时发生切换，在切换过程中，同时使用切换前后的预测模型完成预测，加权因子α_1,k沿着时间轴从1线性变化为0，而另一个加权因子α_2,k沿着时间轴从0线性变化为1；当α_1,k＝0，α_2,k＝1时，组合MPC就成了新的MPC，软切换过程也就结束了；切换窗口是一个取决于α_2,k变化的设计参数；

因为α_1,kH_g1+α_2,kH_g2＞0所以式(20)为一个凸二次规划，在满足约束的条件下，该式(19)是关于最优变量U的凸函数；由于式(20)的问题取决于当前的状态变量，因此MPC的实现需要在每个时间步进行QP的在线解决方案；可以使用基于活动集方法和内点方法的有效QP求解器去解决式(20)的问题；所得的解给出了最优控制量

在控制范围内，取U*的第一个行向量

为最优控制率，作为控制器的输入；

步骤E、对步骤D重的基于二次规划的MPC软切换方法进行改进；

通过将成本函数视为多参数二次规划mp-QP，对于每种可能的初始状态进行求解并将生成的分段仿射控制律存储在查找表中，从而将优化求解的在线计算问题转移到离线计算；在每个采样周期的显式公式中，只需要评估线性控制律就可以求解二次最小化问题；

考虑QP问题，根据式(19)，定义z＝U+H^-1F^Tx_k，因此可以将式(19)变换为如下等价问题，

其中S＝E+GH^-1F^T，而且

式(21)优化问题的最优解是连续的和分段放射函数：

其中

多面体集合

是状态向量

的一个分区；

式(20)是切换前后MPC成本函数的组合，式中有α_1,k，α_2,k两个随时间变化的形参，因此使得式(20)在每个时间步长上有显式的最优解，需要在线计算，而不是关于

的简单分段仿射函数；

为了获得次优解，运用了一种基于切换前后MPC多参数二次规划成本函数凸组合的求解方式，即将离线所求得分段仿射函数最优解U^*通过加权因子进行组合

其中

分别对应于切换前后MPC式(19)的最优解，组合的多参数二次规划的成本函数为，

因此，成本函数就变成了切换前后MPC的多参数二次规划成本函数的加权组合；随着时间的变化

会有不同的解，其最优解

的凸组合，使得新的成本函数有次优解

从而保证在切换时刻控制率不会突然变化，使得切换过程平滑进行；

步骤F、将步骤E的基于多参数二次程序凸组合求解算法的软切换方式应用到涡扇发动机控制当中；将涡扇发动机的工作范围划分成了12个区域，在发动机每个工作区域上建立对应式(17)的线性模型，然后利用建立的线性模型设计对应式(23)成本函数的模型预测控制器。

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