CN113251951A - 基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法包括下述步骤：成像系统与线结构光发射器在空间成刚性连接，构成待标定线结构光视觉测量一体化系统；调整线结构光平面与标定版平面严格重合；高成像质量的标定图像的获取；线结构光视觉测量系统一体化标定；本发明只通过单个的标定面映射运算即可实现整个系统的标定。本发明无需专门的成像系统的标定，避免了繁琐的内，外参矩阵参数与畸变参数的计算，简化了标定过程，同时精简了大量的中间变量，提高了整个体统的标定精度。由于获取的标定点较多，增加了标定结果的鲁棒性，具有很好的应用价值。
Description
技术领域
本发明涉及二/三维视觉测量中线结构光视觉测量系统标定的领域，特别涉及一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法。
背景技术
线结构光视觉测量技术是一种基于激光三角测量原理的三维信息非接触测量技术。它具有高精度，测速快，非接触，成本低，体积小等优点，广泛应用于机器人智能引导，智能焊接，尺寸检测，逆向工程，遗产保护等方面。
线结构光视觉测量技术的测量原理是线结构光条纹投射到被测物体上产生表征被测物体外形的结构光轮廓，成像系统(相机，镜头)采集形变后的轮廓图像后，通过标定来解算被侧物体表面的三维空间的物理尺寸信息。因此，线结构光视觉测量系统的标定是测量过程的关键步骤，标定方法的好坏对三维测量的精度与速度起着决定性作用。
现阶段，线结构光视觉测量系统的标定均将成像系统做为一个独立的单元进行标定。因此，标定过程主要分为两部分：1)成像系统的标定和2)光平面的标定。
成像系统的标定主要是计算成像系统的内，外参矩阵以及畸变参数。有代表性的是Zhang，Z在期刊“TPAMI，22(11):1330-1334，2000”发表的“A flexible new techniquefor camera calibration”的成像系统标定方法，通过计算至少两个不共面的平面标定板图像即可实现成像系统的标定。
光平面的标定则是基于成像系统标定得到的内，外参矩阵参数的基础上，计算结构光产生的光平面在三维空间坐标系下的光平面方程，同时转换成像系统中的单位(像素)到三维空间的物理尺寸单位(mm)。Sanjeev Kumar在会议“Industrial Technology，2006.ICIT 2006.IEEE International Conference on”发表的“An opticaltriangulation method for non-contact profile measurement”中提出了一种借助特殊标定圆形阵列法进行光平面的标定。但是，该方法标定点过少，容易引入偶然误差，标定块的加工精度不易保证，标定点的计算依赖标定块上光条中心提取结果，同样会引入计算误差，降低整个系统的鲁棒性。Yunsu Bok在期刊“Int J Comput Vis(2011)94:36–53”发表的“Capturing Village-level Heritages with a Hand-held Camera-Laser FusionSensor”中提出利用平面棋盘格标定板的角点配合结构光中心线在靶标平面的直线方程，进而通过多幅图像标定点的拟合得出了光平面方程。但是，由于光条中心提取，交点的计算，仍会带来分析误差，光平面的计算依赖成像系统标定的内，外参矩阵参数以及畸变参数。
综上所述，由于在成像系统标定的时候得到的畸变参数不够精确，会导致光平面标定时产生误差。此外，视觉系统的内，外参矩阵参数(如焦距，光学中心坐标，旋转矩阵和平移矩阵等)也会参与物理尺寸的转换，也会直接影响最终三维测量结果的精度。同时，在进行光平面的标定时，需要获取包含有线结构光光条的图片，并通过图像处理算法(滤波，灰度化，二值化，细化等)来提取光条中心点集做为参考点。光条中心点的计算误差也会增加最终标定结果的误差累计。因此，目前的标定方法过程不但误差较大，标定点少，而且标定过程繁琐，很难保证标定的重复性结果，难以推广。
因此，需要一种新的线结构光视觉测量系统标定方法以解决以上问题。
发明内容
本发明提供一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，解决现有的标定方法误差较大、标定过程繁琐及很难保证标定的重复性结果的问题。
为解决上述技术问题，本发明提供的技术方案为：
一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，包括下述步骤：
S1，成像系统与线结构光发射器在空间成刚性连接，构成待标定线结构光视觉测量一体化系统；
S2，调整线结构光平面与标定版平面严格重合，包括如下子步骤：
c，固定光学标定板；
d，打开线结构光发射器，产生线结构光平面；
c，将待标定线结构光视觉测量一体化系统固定在线结构光平面对准模块上，调节待标定线结构光视觉测量一体化系统的空间姿态，使线结构光平面与光学标定版平面严格重合；
S3，高成像质量的标定图像的获取，包括如下子步骤：
a，关闭线结构光发射器，并保持待标定线结构光视觉测量一体化系统空间姿态；
b，调节成像系统中镜头的焦距，在标定板中心位置聚焦；
c，调节镜头光圈，产生照明均一，亮度适中，图案清晰的标定图像并保存；
S4，线结构光视觉测量系统一体化标定，包括如下子步骤：
a，计算线结构光平面的关键特征点物理坐标Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)；其中，(xn，yn)是线结构光平面上Qn点的物理坐标(单位：mm)；
b，计算标定图像中标定面的关键特征点坐标P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)；其中，Pn(cn，rn)是与Qn(xn，yn)对应的线结构光平面的第n个物理坐标点，(cn，rn)代表Pn在标定图像上的坐标(单位：像素)；
c，构建Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)与P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)的映射关系F；由于Pn(cn，rn)，Qn(xn，yn)分别为标定图像标定面与线结构光平面对应的关键特征点，因此F是成像系统图像平面与线结构光平面物理平面的映射关系，实现线结构光视觉测量一体化系统的标定。
其中，优选地，所述成像系统由相机和镜头构成。
其中，优选地，所述成像系统与线结构光发射器在空间成角度为0-90°。
其中，优选地，所述线结构光平面对准模块由万向云台和单自由度位移调节模块构成。
其中，优选地，在计算线结构光平面的关键特征点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)物理坐标前，指定线结构光平面的坐标系。
其中，优选地，所述坐标系以水平向左为x正方向，竖直向下为y正方向，Q1(x1，y1)为线结构光平面的原点。
其中，优选地，计算标定图像中标定面的关键特征点坐标P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)，包括下述步骤：
(a)计算标定图像中标定面上所有的内角点集P；
(b)筛选所有内角点集P，找出分别与Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)对应的角点。
其中，优选地，所述步骤(a)计算获得标定图像中标定面上所有的内角点集P；所述步骤(b)在光学标定板上原点Q1(x1，y1)附近设置特殊特征，标定图像中则会存在同样特殊特征与之对应；根据特殊特征，从内角点集P中筛选与Q1(x1，y1)对应的关键特征点P1(c1，r1)。基于P1(c1，r1)为基准，沿着图像行方向与列方向遍历，依次找到与Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)对应的P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)。
其中，优选地，用多元线性回归模型构建Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)与P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)的映射关系F：
F中xn的映射关系：
F中yn的映射关系：
式(1)和式(2)为Pn到Qn(n＝1，2...k)基于多元线性回归模型的映射关系F表达式。
其中，Cn为Pn的c方向坐标，rn为pn的r方向坐标(n＝1，2...k)；k为大于1的正整数；p为[0，k]区间的任意整数；
式(1)中xn为Qn的x方向坐标，Ap(p＝0，1，2...k)为映射关系F中xn的映射系数；
式(2)中yn为Qn的y方向坐标，Bp(p＝0，1，2...k)为映射关系F中yn的映射系数；
由于Pn与Qn的坐标(cn，rn)，(xn，yn)(n＝1，2...k)及对应关系均已获得。则可构建线性方程：
Ap(p＝0，1，2...k)的线性方程：
Bp(p＝0，1，2...k)的线性方程：
求解式(3)中线性方程最终可得映射关系F中Xn的映射系数Ap(p＝0，1，2...k)。本发明提供的技术方案，与现有技术相比，具有以下有益效果：
本发明提供的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统一体化标定方法及装置把成像系统与线结构光模块刚性连接成为一体化系统，只通过单个的标定面映射运算即可实现整个系统的标定。该标定方法无需专门的成像系统的标定，避免了繁琐的内，外参矩阵参数与畸变参数的计算，简化了标定过程，同时精简了大量的中间变量，提高了整个体统的标定精度。该方法无需获取包含有线结构光光条的图片，以及提取图像中光条中心点，降低了光学算法计算误差，保证了标定的重复性，由于该方法标定点较多，提高了标定的鲁棒性，具有很好的应用价值。
附图说明
图1本发明的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统一体化标定装置结构示意图；
图2本发明的待标定线结构光视觉测量一体化系统结构示意图；
图3本发明中一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法；
图4为直线特征实物图；
图5为直线特征标定前图像；
图6为直线特征标定后测量结果；
图7为圆形特征实物图；
图8为圆形特征标定前图像；
图9为圆形特征标定后测量结果。
图中，1.待标定线结构光视觉测量一体化系统，2.线结构光平面对准模块，3.光学标定板，4.线结构光发射器，5.计算机及标定软件，6.线结构光平面，7.标定基准面，8.万向云台，9.单自由度位移调节模块，10.光学标定板，11.标定图像中标定面，12.x正方向，13.y正方向，14.设置特殊特征，15.特殊特征，16.图像行方向，17.图像列方向
具体实施方式
下面将结合本发明具体实施例，对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本实施例中一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法所应用的装置如图1所示，包括待标定线结构光视觉测量一体化系统1，线结构光平面对准模块2，光学标定板3，计算机及标定软件5，标定基准面7构成。待标定线结构光视觉测量一体化系统1可发射线结构光并在空间产生线结构光平面6。
其中，待标定线结构光视觉测量一体化系统1与线结构光平面对准模块2刚性连接，线结构光平面对准模块2与标定基准面7刚性连接。光学标定板3水平放置在标定基准面7上。
其中，线结构光平面对准模块2用于调节线结构光平面6与光学标定板3平面重合。做为一种较佳的实施例，线结构光平面对准模块2可由万向云台8和单自由度位移调节模块9构成。万向云台8具有空间三个自由度的旋转调节并锁紧功能，单自由度位移调节模块9具有单个方向(高度)的位移调节并锁紧功能。
其中，光学标定板3，用于线结构光平面的标定，它可以是棋盘格型的，也可以是实心圆阵列型的等。做为一种较佳的实施例，这里使用棋盘格标定板4。
其中，计算机及标定软件5用于标定图像的获取，分析，运算，最终得到标定结果，实现成像系统图像坐标系映射到三维空间物理坐标系。
图2是本发明的待标定线结构光视觉测量一体化系统的结构示意图。
待标定线结构光视觉测量一体化系统1由成像系统7与线结构光发射器4构成，成像系统7与线结构光发射器4空间成一定角度6刚性连接。角度范围为0-90度。
其中，所述成像系统7由相机2和镜头3构成。
其中，所述线结构光发射器4用于发射线结构光，进而在空间内产生线结构光平面5。
本实施例提供一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统一体化标定方法，其特征在于，具体包括如下步骤：
S1，成像系统与线结构光发射器在空间成一定角度(0-90度)刚性连接，构成待标定线结构光视觉测量一体化系统(如图2所示)；
S2，调整线结构光平面与标定版平面严格重合，包括如下子步骤：
a，固定光学标定板3，使光学标定板3水平放置在标定基准面7上，光学标定板上表面距离防震光学工作台上表面高度为H，如图1所示；
b，打开线结构光发射器，产生线结构光平面6，如图1所示；
c，将待标定线结构光视觉测量一体化系统1固定在线结构光平面对准模块2上，调节待标定线结构光视觉测量一体化系统1的空间姿态，使线结构光平面6与光学标定版3平面严格重合，如图1所示；
线结构光平面对准模块2由万向云台8和单自由度位移调节模块9构成，如图1所示。通过调节万向云台8，可实现线结构光平面6在空间三个自由度方向的的旋转调节，使线结构光平面6与光学标定板3平面空间平行；通过调节单自由度位移调节模块9，可调节平行的两平面(线结构光平面6与光学标定板3平面)高度方向距离，从而实现两平行平面重合。
S3，高成像质量的标定图像的获取，包括如下子步骤：
a，关闭图2中的线结构光发射器4，并保持图1中的待标定线结构光视觉测量一体化系统1的空间姿态，此时线结构光平面6与光学标定板3平面重合；
b，调节图2中成像系统7中镜头3的焦距，使图2中的成像系统7的聚焦位置在图1中的光学标定板3中心位置；
c，调节图2中成像系统7中镜头3的光圈，产生照明均一，亮度适中，图案清晰的标定图像，通过图1中的计算机及标定软件5保存；
图3是本发明的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统一体化标定方法原理图。
结合图3，详细说明线结构光视觉测量一体化系统的标定的步骤S4。
如图3所示，线结构光平面9与光学标定板10平面已经重合。光学标定板10上的棋盘格内角点Q1(x1，y1)1，Q2(x2，y2)2，Q3(x3，y3)3，Q4(x4，y4)4等价于线结构光平面9的关键特征点。
标定图像为S3步骤得到的结果，P1(c1，r1)5，P2(c2，r2)6，P3(c3，r3)7，P4(c4，r4)8为标定图像中标定面11的关键特征点坐标。其中，P1(c1，r1)5，P2(c2，r2)6，P3(c3，r3)7，P4(c4，r4)8与Q1(x1，y1)1，Q2(x2，y2)2，Q3(x3，y3)3，Q4(x4，y4)4一一对应。
其中，棋盘格内角点个数n可以为任意正整数，为了便于描述，这里取n＝4。
S4，结合图3，线结构光视觉测量一体化系统的标定，包括如下子步骤:
a，为计算图3中线结构光平面9的关键特征点Q1(x1，y1)1，Q2(x2，y2)2，Q3(x3，y3)3，Q4(x4，y4)坐标，需要先指定线结构光平面9的坐标系。任意线结构光平面9两个垂直的方向和原点均可构成线结构光平面9的坐标系。
这里以图3所示水平向左为x正方向12，竖直向下为y正方向13，Q1(x1，y1)1为线结构光平面9的原点。因此，可以依次得到线结构光平面9的关键特征点物理坐标分别为Q1(x1，y1)＝(0，0)，Q2(x2，y2)＝(W，0)，Q3(x3，y3)＝(0，W)，Q4(x4，y4)＝(W，W)。
其中，W为棋盘格宽度，单位是mm。
作为一种较佳的实施例，W可以为1mm，5mm，10mm，或者20mm。
b，为计算图3中标定图像中标定面11上与Q1(x1，y1)1，Q2(x2，y2)2，Q3(x3，y3)3，Q4(x4，y4)4对应的关键特征点坐标P1(c1，r1)5，P2(c2，r2)6，P3(c3，r3)7，P4(c4，r4)8，包括如下子步骤:
(a)计算标定图像中标定面11上所有的内角点集P。
作为一种较佳的实施例，可通过OpenCV/Matlab自带的摄像头标定算法计算获得标定图像中标定面11上所有的内角点集P。
(b)筛选所有内角点集P，找出分别与Q1(x1，y1)1，Q2(x2，y2)2，Q3(x3，y3)3，Q4(x4，y4)4对应的角点。
作为一种较佳的实施例，可在光学标定板上原点Q1(x1，y1)1附近设置特殊特征14，标定图像中则会存在同样特殊特征15与之对应。根据特殊特征15，从内角点集P中筛选与Q1(x1，y1)1对应的关键特征点P1(c1，r1)5。基于P1(c1，r1)5为基准，沿着图像行方向16与图像列方向17遍历，依次找到与Q2(x2，y2)2，Q3(x3，y3)3，Q4(x4，y4)4对应的P2(c2，r2)6，P3(c3，r3)7，P4(c4，r4)8。
c，构建Q1(x1，y1)1，Q2(x2，y2)2，Q3(x3，y3)3，Q4(x4，y4)4与P1(c1，r1)5，P2(c2，r2)6，P3(c3，r3)7，P4(c4，r4)8的映射关系F。由于Pn(cn，rn)，Qn(xn，yn)(n＝1，2，3，4)分别为标定图像标定面11与线结构光平面9对应的关键特征点，因此F是成像系统图像标定面11与线结构光平面9物理平面的映射关系，实现线结构光视觉测量一体化系统的标定。
其中，映射关系F是点集合P1(c1，r1)5，P2(c2，r2)6，P3(c3，r3)7，P4(c4，r4)8到点集合Q1(x1，y1)1，Q2(x2，y2)2，Q3(x3，y3)3，Q4(x4，y4)4的映射，任何能表征该映射关系的数学模型均可构成映射关系F。
作为一种较佳的实施例，可用多元线性回归模型实现映射关系F：
F中xn的映射关系：
F中yn的映射关系：
式(1)和式(2)为pn到Qn(n＝1，2，3，4)基于多元线性回归模型的映射关系F表达式。
其中，Cn为pn的c方向坐标，rn为pn的r方向坐标(n＝1，2，3，4)；k为大于1的正整数；p为[0，k]区间的任意整数。
式(1)中xn为Qn的x方向坐标，Ap(p＝0，1，2...k)为映射关系F中xn的映射系数。
式(2)中yn为Qn的y方向坐标，Bp(p＝0，1，2...k)为映射关系F中yn的映射系数。
由于pn与Qn的坐标(cn，rn)，(xn，yn)(n＝1，2，3，4)及对应关系均已获得。则可构建线性方程：
Ap(p＝0，1，2...k)的线性方程：
Bp(p＝0，1，2...k)的线性方程：
求解式(3)中线性方程最终可得映射关系F中xn的映射系数Ap(p＝0，1，2...k)。
实验结果表明，按照本发明的方法，采用Lucid的TRI016S工业相机(像素：1.6MP；分辨率：1440X1080PX；帧率77fps，像元尺寸3.45um；曝光模式：Global)和FUJIFILM的定焦镜头HF35HA(焦距：35mm)；405nm蓝色线结构光；光学标定板W＝1mm，在x向近端量程17mm，x向近端量程19mm，z向量程20mm条件下，单点重复性精度小于0.01um，测量误差优于0.5um，满足测量需求。
本发明方法在直线特征实物进行验证，其中直线特征实物图如图4所示，直线特征标定前图像如图5所示；直线特征标定后测量结果如图6所示。
本发明方法在圆形特征实物进行验证，其中圆形特征实物图如图7所示，圆形特征标定前图像如图8所示；圆形特征标定后测量结果如图9所示。
本发明方法在新能源电池的涂布厚度检测等应用中均得到良好验证，本发明的标定方法方便，快速，标定成本低，同时适合于快速，高精度的测量场合，有很好的商业推广前景。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (9)
1.一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，其特征在于包括下述步骤：
S1，成像系统与线结构光发射器在空间成刚性连接，构成待标定线结构光视觉测量一体化系统；
S2，调整线结构光平面与标定版平面严格重合，包括如下子步骤：
a，固定光学标定板；
b，打开线结构光发射器，产生线结构光平面；
c，将待标定线结构光视觉测量一体化系统固定在线结构光平面对准模块上，调节待标定线结构光视觉测量一体化系统的空间姿态，使线结构光平面与光学标定版平面严格重合；
S3，高成像质量的标定图像的获取，包括如下子步骤：
a，关闭线结构光发射器，并保持待标定线结构光视觉测量一体化系统空间姿态；
b，调节成像系统中镜头的焦距，在标定板中心位置聚焦；
c，调节镜头光圈，产生照明均一，亮度适中，图案清晰的标定图像并保存；
S4，线结构光视觉测量系统一体化标定，包括如下子步骤：
a，计算线结构光平面的关键特征点物理坐标Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)；
b，计算标定图像中标定面的关键特征点坐标P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)；
c，构建Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)与P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)的映射关系F。
2.根据权利要求1所述的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，其特征在于：所述成像系统由相机和镜头构成。
3.根据权利要求1所述的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，其特征在于：所述成像系统与线结构光发射器在空间成角度为0-90°。
4.根据权利要求1所述的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，其特征在于：所述线结构光平面对准模块由万向云台和单自由度位移调节模块构成。
5.据权利要求1所述的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，其特征在于：在计算线结构光平面的关键特征点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)物理坐标前，指定线结构光平面的坐标系。
6.根据权利要求1所述的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，其特征在于：所述坐标系以水平向左为x正方向，竖直向下为y正方向，Q1(x1，y1)为线结构光平面的原点。
7.根据权利要求1所述的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，其特征在于：计算标定图像中标定面的关键特征点坐标P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)，包括下述步骤：
(a)计算标定图像中标定面上所有的内角点集P；
(b)筛选所有内角点集P，找出分别与Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)对应的角点。
8.根据权利要求7所述的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，其特征在于：所述步骤(a)计算获得标定图像中标定面上所有的内角点集P；所述步骤(b)在光学标定板上原点Q1(x1，y1)附近设置特殊特征，标定图像中则会存在同样特殊特征与之对应；根据特殊特征，从内角点集P中筛选与Q1(x1，y1)对应的关键特征点P1(c1，r1)。基于P1(c1，r1)为基准，沿着图像行方向与列方向遍历，依次找到与Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)对应的P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)。
9.根据权利要求1所述的一种基于单标定面映射的线结构光视觉测量系统的标定方法，其特征在于：
用多元线性回归模型构建Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)...Qn(xn，yn)与P1(c1，r1)，P2(c2，r2)...Pn(cn，rn)的映射关系F：
F中xn的映射关系：
F中yn的映射关系：
式(1)和式(2)为Pn到Qn(n＝1，2...k)基于多元线性回归模型的映射关系F表达式。
其中，Cn为Pn的c方向坐标，rn为pn的r方向坐标(n＝1，2...k)；k为大于1的正整数；p为[0，k]区间的任意整数；
式(1)中xn为Qn的x方向坐标，Ap(p＝0，1，2...k)为映射关系F中xn的映射系数；
式(2)中yn为Qn的y方向坐标，Bp(p＝0，1，2...k)为映射关系F中yn的映射系数；
由于Pn与Qn的坐标(cn，rn)，(xn，yn)(n＝1，2...k)及对应关系均已获得。则可构建线性方程：
Ap(p＝0，1，2...k)的线性方程：
Bp(p＝0，1，2...k)的线性方程：
求解式(3)中线性方程最终可得映射关系F中Xn的映射系数Ap(p＝0，1，2...k)。
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