CN113219833A - 基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法，构建用于控制的首段膜系统压力动态模型和用于优化性能评价的膜组各段稳态模型，进行变海水盐度下的反渗透膜组系统压力在线优化，在优化压力的参考下采用自适应补偿控制逼近反渗透膜海水淡化系统中的不确定干扰项，实现多膜反渗透膜组优化压力的快速跟踪并降低变工况时反渗透膜组的压力波动，减轻压力冲击造成的膜损伤，对提升多膜反渗透膜组的工作效率、延长膜的使用寿命有指导性意义。

Description

基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法

技术领域

本发明涉及一种变海水盐度下，基于优化压力参考和自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法，是一种同时考虑压力跟踪性能和反渗透膜组性能的优化控制方法，属于反渗透膜组海水淡化系统的优化控制领域。

背景技术

反渗透膜组是应扩大海水淡化生产规模要求迅速发展起来的海水淡化设备，反渗透膜组海水淡化系统具有惯性大、强非线性、强耦合、工况变换频繁的特点，存在变工况时跟踪速度慢、稳定性差、变工况压力突变造成膜冲击的问题，导致反渗透膜组平均反渗透效率较低、膜老化较快。为此，曲阜师范大学新能源研究所提出了基于优化压力参考和自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法，以提升变工况时压力跟踪速度并减小压力突变冲击。由于反渗透膜组运行时，作为控制机构的电磁阀存在绕组温升的问题，绕组温升造成绕组阻值变化，导致实际阀门开度与所需的阀门开度有偏差，同时，反渗透膜是弹性单元，其弹性形变加剧反渗透膜系统压力的波动。传统的状态反馈控制器不具备足够的干扰补偿能力，在变工况时，系统压力跟踪速度较慢，且系统压力由一种工况下的最优状态转换到令一种工况下的最优状态的过程中存在较大的压力波动，对反渗透膜造成冲击从而造成反渗透膜的损伤。

发明内容

本发明提供了基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法，该方法包括优化压力设定、优化压力在线调整、基于自适应补偿的优化压力控制。所述优化压力设定构建考虑膜组弹性形变干扰和电磁阀绕组温升干扰的首段膜系统压力的动态模型和其他各段膜稳态模型，以考虑各段膜系统压力综合最优的函数为优化目标；所述优化压力在线调整在额定压力的基础上根据滤饼污染层的累积厚度实时调整优化目标函数中的单膜优化压力；所述基于自适应补偿的优化压力控制以优化压力为压力参考值，包括优化压力跟踪主控制器和基于自适应补偿的不确定干扰补偿控制器。所述优化压力跟踪主控制器采用以首段膜系统压力跟踪误差及其导数为虚拟状态变量设计的状态反馈控制器；所述基于自适应补偿的不确定干扰补偿控制器以自适应的干扰项估计值逼近反渗透膜组海水淡化系统的不确定干扰项。

步骤1构建用于控制的首段膜系统压力动态模型及用于优化的各段膜系统压力、产水流量稳态模型

其中，P_i(i＝1，2，……，n)为第i段膜的系统压力，Q_f为膜组进水流量，Q_pi(i＝1,2,3,…，n)为各段膜产水流量，V_vr为阀门覆盖液体体积，ρ为浓水区液体密度，V_vr为浓水阀液体体积，e_vr为浓水阀阻，v_r为浓水流速，η为粘度系数，λ为沿程阻力系数，l为膜元件轴向长度，d为浓水区管道当量直径，A_m为膜面积，A_p为水管截面积，

为因膜组弹性造成的浓水区平均流量变化量，C_H为膜组液容，R_vi(i＝1,2,3,4)为各段膜渗透液阻，Δπ_i(i＝1,2,3,4)为各段膜渗透液压差，K_i(i＝1,2,…,7)、C₁为膜间关联系数。

步骤2优化压力设定

第一步，根据反渗透膜额定工况下的系统压力，结合变海水盐度的单膜反渗透效率最优曲线，确定反渗透膜初始优化压力P_Nref。

P_Nref＝0.02117S⁵-3.281S⁴+204.6S³-6637S²+241500S+653700 (2)

其中，S为海水盐度。

第二步，构建滤饼污染层累积厚度与实际反渗透膜优化压力的关系：

其中，α₁污染增压系数，α₂为滤饼层累积系数，γ_c为滤饼层比阻，

为浓水平均污染浓度，R_m为反渗透膜额定渗透液阻，J_v为额定渗透通量。

第三步，在线获得反渗透膜组各段膜的系统压力，构建优化目标函数：

minG＝γ₁(P₁-P_ref)²+γ₂(P₂-P_ref)²+…+γ_n(P_n-P_ref)² (4)

其中P_ref为根据第一步、第二步得到的反渗透膜优化压力，γ_i(i＝1，2，……，n)为第i段膜的优化权值。

第四步，设定反渗透膜组压力优化的约束条件，根据能量守恒及反渗透膜组实际运行条件要求确定反渗透膜组优化控制需要满足的能量约束、压力约束和海水盐度约束为：

其中，Q_i(i＝1,2,3,…，n)为各段膜的轴向流量，P_di(i＝1,2,3,…，n)表示n个反渗透膜的管压降，P_r为浓水出口处的压力，Q_r为浓水出口的流量，P_sysmin、P_sysmax为反渗透膜所允许的系统压力最大值和最小值，S_min、S_max为送入反渗透膜组海水的最小盐度和最大盐度。

第五步，基于拉格朗日乘数法，确定首段膜系统压力优化值P_1ref。

以膜组首段膜系统压力优化值为反渗透膜组的压力参考值。

步骤3考虑反渗透膜组弹性形变干扰和电磁阀绕组温升干扰，构建用于控制的反渗透膜组淡化系统模型：

其中，A_p为水管截面积，ρ为液体密度，V_vr为阀门覆盖液体体积，e_vrmax为最大阀阻，i_max为电磁阀最大励磁电流，

为膜组弹性形变扰动，ΔRi为电磁阀绕组温升扰动。上式中，第四段膜的系统压力P₄、膜组浓水流速v_r以及函数l(P₁)形如

上述模型中的K_i(i＝1,2,3,…，23)、C₁、C₂、C₃均为膜间关联系数。

步骤4反渗透膜组模型转化

第一步，将如式(7)所示的反渗透膜组模型简化如下：

其中

第二步，求取反渗透膜组海水淡化系统平衡点

忽略电流模型中的扰动，令电流的变化率为零，即求解式(12)，得到的电流即为平衡点处的电流i₀。

其中，u_in0为电磁阀外电路输入电压u_in的稳态值。

将求得的系统平衡点电流i₀带入式(13)计算平衡点的压力，得到平衡点处的压力P_1,0。

由上式求得的压力即为平衡点的压力P_1,0，该系统的平衡点即为(P_1,0,i₀)。

第三步，在反渗透膜组系统平衡点处得到线性化的反渗透膜组模型为：

将模型中线性部分的高阶项和干扰项和膜组弹性干扰归结为干扰项f_d1,将电磁阀绕组温升扰动归结为干扰项f_d2如下：

第四步，以首段膜系统压力P₁为状态变量x₁，以首段膜系统压力变化率

为状态变量x₂，将模型中的扰动项统一归结为干扰项f_d，则由模型可写出系统的状态空间方程如下：

其中，扰动项可表示如下：

步骤5采用状态反馈法设计主压力跟踪控制器

第一步，令压力跟踪误差e＝P_1ref-P₁＝P_1ref-x₁，

其中P_1ref为优化部分得到的压力参考，P₁为系统实际输出压力。定义虚拟变量

写出系统压力跟踪误差增广模型

虚拟控制输入为

第二步，采用状态反馈控制器，设计状态反馈增益矩阵为K_E＝[-k_p -k_d]，系统的特征多项式为：

设计合适的K_E令系统特征方程的根都在左半复平面，则控制输入表示如下：

步骤6基于自适应干扰补偿的控制器

第一步，在控制器中引入自适应干扰补偿，设计控制律为

其中，K_E为状态反馈增益矩阵，

为干扰项f_d的估计值。

第二步，将式(21)代入式(18)，可得引入自适应补偿后的压力跟踪误差方程：

其中

第三步，为保证引入自适应补偿的系统具有稳定性，构建系统的Lyapunov函数如下：

其中，

第四步，对V求导

第五步，令

确保所设计的系统具有渐进稳定性，设计压力干扰估计值的自适应律为：

其中，η为正数，P矩阵为满足Lyapunov方程的正定对称矩阵，即满足Λ^TP+PΛ＝-Q,其中，Q为正定对称矩阵。

本发明的有益效果

1)解决了反渗透膜组压力跟踪性能和膜组反渗透效率最优难以兼顾的问题，通过充分采集不同海水盐度下反渗透膜组各段膜系统压力和产水流量数据，构建考虑各段膜综合最优压力的优化目标函数，根据滤饼污染层的累积厚度实时调整单膜优化压力，以膜组最高反渗透效率为补充性能评价指标在线调整优化目标函数中各段膜的优化权值，实现考虑膜组综合压力最优及整体反渗透效率的变海水盐度下反渗透膜组在线寻优。

2)解决了膜组中液体惯性和各段膜响应依次滞后造成的反渗透膜组变工况压力跟踪速度慢、反渗透膜组弹性形变扰动和电磁阀绕组温升扰动造成的变工况压力波动大的问题，通过自适应补偿控制提升了压力跟踪速度，降低了变工况时的压力波动，减少膜损伤。

附图说明

图1为本发明基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法的额定工况下单膜最大反渗透效率曲线。

图2为本发明基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法的反渗透膜组控制结构图。

图3为本发明基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法的控制与PID控制下的变工况压力跟踪实验图。

图4为本发明基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法的控制与PID控制下的变工况膜组反渗透效率实验图。

图中：1-额定工况下单膜优化压力获取，2-与滤饼层有关的优化压力增量获取，3-反渗透膜组首段膜系统压力在线优化，4-状态反馈控制，5-自适应补偿控制，6-反渗透膜组海水淡化系统模型，7-反渗透膜组性能在线提取。

具体实施方式

本发明提供了基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法，该方法包括优化压力设定、优化压力在线调整、基于自适应补偿的优化压力控制。所述优化压力设定构建考虑膜组弹性形变干扰和电磁阀绕组温升干扰的首段膜系统压力的动态模型和其他各段膜稳态模型，以考虑各段膜系统压力综合最优的函数为优化目标；所述优化压力在线调整在额定压力的基础上根据滤饼污染层的累积厚度实时调整优化目标函数中的单膜优化压力；所述基于自适应补偿的优化压力控制以优化压力为压力参考值，包括优化压力跟踪主控制器和基于自适应补偿的不确定干扰补偿控制器。所述优化压力跟踪主控制器采用以首段膜系统压力跟踪误差及其导数为虚拟状态变量设计的状态反馈控制器；所述基于自适应补偿的不确定干扰补偿控制器以自适应的干扰项估计值逼近反渗透膜组海水淡化系统的不确定干扰项。

步骤1构建用于控制的首段膜系统压力动态模型及用于优化的各段膜系统压力、产水流量稳态模型

其中，P_i(i＝1，2，……，n)为第i段膜的系统压力，Q_f为膜组进水流量，Q_pi(i＝1,2,3,…，n)为各段膜产水流量，V_vr为阀门覆盖液体体积，ρ为浓水区液体密度，V_vr为浓水阀液体体积，e_vr为浓水阀阻，v_r为浓水流速，η为粘度系数，λ为沿程阻力系数，l为膜元件轴向长度，d为浓水区管道当量直径，A_m为膜面积，A_p为水管截面积，

为因膜组弹性造成的浓水区平均流量变化量，C_H为膜组液容，R_vi(i＝1,2,3,4)为各段膜渗透液阻，Δπ_i(i＝1,2,3,4)为各段膜渗透液压差，K_i(i＝1,2,…,7)、C₁为膜间关联系数。

步骤2优化压力设定

第一步，根据反渗透膜额定工况下的系统压力，结合变海水盐度的单膜反渗透效率最优曲线，确定反渗透膜初始优化压力P_Nref。

P_Nref＝0.02117S⁵-3.281S⁴+204.6S³-6637S²+241500S+653700 (2)

其中，S为海水盐度。

第二步，构建滤饼污染层累积厚度与实际反渗透膜优化压力的关系：

其中，α₁污染增压系数，α₂为滤饼层累积系数，γ_c为滤饼层比阻，

为浓水平均污染浓度，R_m为反渗透膜额定渗透液阻，J_v为渗透通量。

第三步，在线获得反渗透膜组各段膜的系统压力，构建优化目标函数：

minG＝γ₁(P₁-P_ref)²+γ₂(P₂-P_ref)²+…+γ_n(P_n-P_ref)² (4)

其中P_ref为根据第一步、第二步得到的反渗透膜优化压力，γ_i(i＝1，2，……，n)为第i段膜的优化权值。

第四步，设定反渗透膜组压力优化的约束条件，根据能量守恒及反渗透膜组实际运行条件要求确定反渗透膜组优化控制需要满足的能量约束、压力约束和海水盐度约束为：

其中，P_f、Q_f为膜组进水压力及进水流量，P_i(i＝1,2,3,…，n)表示n个反渗透膜的系统压力；Q_pi(i＝1,2,3,…，n)表示n个反渗透膜的产水流量，Q_i(i＝1,2,3,…，n)为各段膜的轴向流量，P_di(i＝1,2,3,…，n)表示n个反渗透膜的管压降，P_r为浓水出口处的压力，Q_r为浓水出口的流量，P_sysmin、P_sysmax为反渗透膜所允许的系统压力最大值和最小值，S_min、S_max为送入反渗透膜组海水的最小盐度和最大盐度。

第五步，基于拉格朗日乘数法，确定首段膜系统压力优化值P_1ref。

以膜组首段膜系统压力优化值为反渗透膜组的压力参考值。

步骤3考虑反渗透膜组弹性形变干扰和电磁阀绕组温升干扰，构建用于控制的反渗透膜组淡化系统模型：

其中，A_p为水管截面积，ρ为液体密度，V_vr为阀门覆盖液体体积，e_vrmax为最大阀阻，i_max为电磁阀最大励磁电流，

为膜组弹性形变扰动，ΔRi为电磁阀绕组温升扰动。上式中，第四段膜的系统压力P₄、膜组浓水流速v_r以及函数l(P₁)形如

上述模型中的K_i(i＝1,2,3,…，23)、C₁、C₂、C₃均为膜间关联系数。

步骤4反渗透膜组模型转化

第一步，将如式(7)所示的反渗透膜组模型简化如下：

其中

第二步，求取反渗透膜组海水淡化系统平衡点

忽略电流模型中的扰动，令电流的变化率为零，即求解式(12)，得到的电流即为平衡点处的电流i₀。

其中，u_in0为电磁阀外电路输入电压u_in的稳态值。

将求得的系统平衡点电流i₀带入式(13)计算平衡点的压力，得到平衡点处的压力P_1,0。

由上式求得的压力即为平衡点的压力P_1,0，该系统的平衡点即为(P_1,0,i₀)。

第三步，在反渗透膜组系统平衡点处得到线性化的反渗透膜组模型为：

将模型中线性部分的高阶项和干扰项和膜组弹性干扰归结为干扰项f_d1,将电磁阀绕组温升扰动归结为干扰项f_d2如下：

第四步，以首段膜系统压力P₁为状态变量x₁，以首段膜系统压力变化率

为状态变量x₂，将模型中的扰动项统一归结为干扰项f_d，则由模型可写出系统的状态空间方程如下：

其中，扰动项可表示如下：

步骤5采用状态反馈法设计主压力跟踪控制器

第一步，令压力跟踪误差e＝P_1ref-P₁＝P_1ref-x₁，

其中P_1ref为优化部分得到的压力参考，P₁为系统实际输出压力。定义虚拟变量

写出系统压力跟踪误差增广模型

虚拟控制输入为

第二步，采用状态反馈控制器，设计状态反馈增益矩阵为K_E＝[-k_p -k_d]，系统的特征多项式为：

设计合适的K_E令系统特征方程的根都在左半复平面，则控制输入表示如下：

步骤6基于自适应干扰补偿的控制器

第一步，在控制器中引入自适应干扰补偿，设计控制律为

其中，K_E为状态反馈增益矩阵，

为干扰项f_d的估计值。

第二步，将式(21)代入式(18)，可得引入自适应补偿后的压力跟踪误差方程：

其中

第三步，为保证引入自适应补偿的系统具有稳定性，构建系统的Lyapunov函数如下：

其中，

第四步，对V求导

第五步，令

确保所设计的系统具有渐进稳定性，设计压力干扰估计值的自适应律为：

式中，η为正数，P矩阵为满足Lyapunov方程的正定对称矩阵，即满足Λ^TP+PΛ＝-Q,其中，Q为正定对称矩阵。

下面结合附图以及实例，对本发明作进一步详细说明。反渗透膜组海水淡化系统参数如表1所示，反渗透膜面积为15.6m²，膜透水系数为2.6×10¹²m/(Pa·s)，水管截面积为0.000127m²，膜元件容积为0.04m³，膜轴向长度为1m，浓水区当量直径为0.01272m，为说明本发明的效果，进行压力跟踪实验。

表1反渗透膜性能参数

变海水盐度压力跟踪实验，设定压力初始值为6MPa，设置0s～60s海水盐度为28；60s～120s海水盐度为33；120s～180s海水盐度为28。如图3所示，在60s工况改变时，基于自适应补偿控制的调节时间为4.4s，比传统的状态反馈控制的调节时间快16.2s，尽管比状态反馈控制的压力波动误差大11.8Pa，其变工况时的超调量比状态反馈控制低21.65kPa。与状态反馈控制相比，自适应补偿控制明显提升了响应速度，且降低了压力对膜的冲击。在不同工况下压力跟踪仿真结果对比如表2所示。

表2不同控制策略下压力跟踪仿真实验结果

图4为膜组反渗透效率的对比图，采用状态反馈控制的系统和自适应补偿控制的系统在第一个工况下，分别在25.8s、6.4s达到最优反渗透效率，第二个工况下分别在20.6s、4.4s达到最优反渗透效率，第三个工况下分别在22.2s、4.6s达到最优反渗透效率。可见基于自适应补偿的控制器能以更快的速度令膜组反渗透效率达到最优。

Claims (2)

1.基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法，其特征在于：包括优化压力设定、优化压力在线调整和基于自适应补偿的优化压力控制；所述优化压力设定构建考虑膜组弹性形变干扰和电磁阀绕组温升干扰的首段膜系统压力的动态模型和其他各段膜稳态模型，以考虑各段膜系统压力综合最优的函数为优化目标；所述优化压力在线调整在额定压力的基础上根据滤饼污染层的累积厚度实时调整优化目标函数中的单膜优化压力；所述基于自适应补偿的优化压力控制以优化压力为压力参考值，包括优化压力跟踪主控制器和基于自适应补偿的不确定干扰补偿控制器；所述优化压力跟踪主控制器采用以首段膜系统压力跟踪误差及其导数为虚拟状态变量设计的状态反馈控制器；所述基于自适应补偿的不确定干扰补偿控制器以自适应的干扰项估计值逼近反渗透膜组海水淡化系统的不确定干扰项。

2.根据权利要求1所述的基于优化压力自适应补偿的反渗透膜组优化控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1构建用于控制的首段膜系统压力动态模型及用于优化的各段膜系统压力、产水流量稳态模型

其中，P_i(i＝1，2，……，n)为第i段膜的系统压力，Q_f为膜组进水流量，Q_pi(i＝1,2,3,…，n)为各段膜产水流量，V_vr为阀门覆盖液体体积，ρ为浓水区液体密度，V_vr为浓水阀液体体积，e_vr为浓水阀阻，v_r为浓水流速，η为粘度系数，λ为沿程阻力系数，l为膜元件轴向长度，d为浓水区管道当量直径，A_m为膜面积，A_p为水管截面积，

为因膜组弹性造成的浓水区平均流量变化量，C_H为膜组液容，R_vi(i＝1,2,3,4)为各段膜渗透液阻，Δπ_i(i＝1,2,3,4)为各段膜渗透液压差，K_i(i＝1,2,…,7)、C₁为膜间关联系数；

步骤2优化压力设定

第一步，根据反渗透膜额定工况下的系统压力，结合变海水盐度的单膜反渗透效率最优曲线，确定反渗透膜初始优化压力P_Nref；

P_Nref＝0.02117S⁵-3.281S⁴+204.6S³-6637S²+241500S+653700 (2)

其中，S为海水盐度；

第二步，构建滤饼污染层累积厚度与实际反渗透膜优化压力的关系：

其中，α₁污染增压系数，α₂为滤饼层累积系数，γ_c为滤饼层比阻，

为浓水平均污染浓度，R_m为反渗透膜额定渗透液阻，J_v为渗透通量；

第三步，在线获得反渗透膜组各段膜的系统压力，构建优化目标函数：

min G＝γ₁(P₁-P_ref)²+γ₂(P₂-P_ref)²+…+γ_n(P_n-P_ref)² (4)

其中，P_ref为根据第一步、第二步得到的反渗透膜优化压力，γ_i(i＝1，2，……，n)为第i段膜的优化权值；

第四步，设定反渗透膜组压力优化的约束条件，根据能量守恒及反渗透膜组实际运行条件要求确定反渗透膜组优化控制需要满足的能量约束、压力约束和海水盐度约束为：

其中，Q_i(i＝1,2,3,…，n)为各段膜的轴向流量，P_di(i＝1,2,3,…，n)表示n个反渗透膜的管压降，P_r为浓水出口处的压力，Q_r为浓水出口的流量，P_sysmin、P_sysmax为反渗透膜所允许的系统压力最大值和最小值，S_min、S_max为送入反渗透膜组海水的最小盐度和最大盐度；

第五步，基于拉格朗日乘数法，确定首段膜系统压力优化值P_1ref：

以膜组首段膜系统压力优化值为反渗透膜组的压力参考值；

步骤3考虑反渗透膜组弹性形变干扰和电磁阀绕组温升干扰，构建用于控制的反渗透膜组淡化系统模型：

其中，e_vrmax为最大阀阻，i_max为电磁阀最大励磁电流，

为膜组弹性形变扰动，ΔRi为电磁阀绕组温升扰动，上式中，第四段膜的系统压力P₄、膜组浓水流速v_r以及函数l(P₁)形如

上述模型中的K_i(i＝1,2,3,…，23)、C₁、C₂、C₃均为膜间关联系数；

步骤4反渗透膜组模型转化

第一步，将如式(7)所示的反渗透膜组模型简化如下：

其中

第二步，求取反渗透膜组海水淡化系统平衡点

忽略电流模型中的扰动，令电流的变化率为零，即求解式(12)，得到的电流即为平衡点处的电流i₀：

其中，u_in0为电磁阀外电路输入电压u_in的稳态值；

将求得的系统平衡点电流i₀带入式(13)计算平衡点的压力，得到平衡点处的压力P_1,0：

由上式求得的压力即为平衡点的压力P_1,0，该系统的平衡点即为(P_1,0,i₀)；

第三步，在反渗透膜组系统平衡点处得到线性化的反渗透膜组模型为：

将模型中线性部分的高阶项和干扰项和膜组弹性干扰归结为干扰项f_d1,将电磁阀绕组温升扰动归结为干扰项f_d2如下：

第四步，以首段膜系统压力P₁为状态变量x₁，以首段膜系统压力变化率

为状态变量x₂，将模型中的扰动项统一归结为干扰项f_d，则由模型可写出系统的状态空间方程如下：

其中，扰动项可表示如下：

步骤5采用状态反馈法设计主压力跟踪控制器

第一步，令压力跟踪误差e＝P_1ref-P₁＝P_1ref-x₁，

其中P_1ref为优化部分得到的压力参考，P₁为系统实际输出压力，定义虚拟变量

写出系统压力跟踪误差增广模型

虚拟控制输入为

第二步，采用状态反馈控制器，设计状态反馈增益矩阵为K_E＝[-k_p -k_d]，系统的特征多项式为：

设计合适的K_E令系统特征方程的根都在左半复平面，则控制输入表示如下：

步骤6基于自适应干扰补偿的控制器

第一步，在控制器中引入自适应干扰补偿，设计控制律为

其中，K_E为状态反馈增益矩阵，

为干扰项f_d的估计值；

第二步，将式(21)代入式(18)，可得引入自适应补偿后的压力跟踪误差方程：

其中

第三步，为保证引入自适应补偿的系统具有稳定性，构建系统的Lyapunov函数如下：

其中，

第四步，对V求导

第五步，令

确保所设计的系统具有渐进稳定性，设计压力干扰估计值的自适应律为：

其中，η为正数，P矩阵为满足Lyapunov方程的正定对称矩阵，即满足Λ^TP+PΛ＝-Q,其中，Q为正定对称矩阵。

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