CN113219827A - 无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法，将磁悬浮支撑技术引入机器手抓取系统，使物体在悬浮绕组磁吸力作用和轴向、盘式电机驱动下实现两自由度的抓取和搬运物体。构建无接触悬浮抓取两自由度运动模型，将两自由度模型的干扰归结到单自由度，实现主被动的轴向水平气隙控制，采用模型参考自适应控制，选取严格线性无干扰的无接触悬浮抓取期望模型，对状态、输入增益及干扰项在线调整，对干扰项的调整解决了多自适应参数调节速度慢且过大的自适应增益造成的物体震荡问题，完成无接触型悬浮抓取的位置、速度和加速度控制。本发明将极大提升无接触型悬浮抓取系统的稳定性与适应多种工况的能力，促进系统在实际中广泛应用。

Description

无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法

技术领域

本发明涉及无接触的磁悬浮抓取装置及其模型参考自适应控制方法，尤其对导体及高磁导率物体的无 污染、无接触的抓取搬运，解决磁悬浮非线性控制困难问题，属于无接触磁悬浮传输领域。

背景技术

随着智能化自动化技术提高，机器手臂系统广泛应用于物流搬运、钢铁生产等国计民生行业，极大提 高生产效率、机器手臂智能化模拟人手部而进行操作，可代替人在有害、危险环境下进行操作，其动作精 准可靠，反应迅速、刚度大等优点极大的提高了生产效率，但传统机器手臂直接接触、抓取物体，极易造 成物体的变形、损伤和污染，高温下抓取甚至造成机器抓手的损伤。为此新能源实验室提出了无接触型的 磁悬浮抓取系统。此无接触型抓取系统结合了磁驱动技术，采用悬浮绕组替代传统机器抓手，磁驱动机构 提供了一种非接触式推进系统，可以实现无接触的抓取和搬运。但无接触型磁悬浮抓取系统本质上是非线 性非稳定的系统，特别是为提高生产效率，搬运速度变化相对较快，高速运动所必然导致的风阻影响被抓 取物体的稳定。为此必须要设置一种鲁棒性能优越的无接触磁悬浮控制系统，众多科研工作者先后进行了 基于磁悬平台的PID控制、滑模滑模控制、自适应控制等的研究，某种程度上实现了磁悬浮位置精确控制， 但对于两自由度的无接触悬浮抓取控制并未多做研究，这对无接触型抓取和搬运工作提出了深刻的挑战。

发明内容

本发明目的是为克服传统机器抓手直接接触物体易造成接触式损伤和污染的问题，提供了基于磁悬浮 的无接触型抓取和搬运系统及其模型参考自适应控制方法，其特征在于：采用直线电机和盘式电机以及磁 悬浮支撑技术协同完成多自由度的悬浮、抓取和搬运工作。系统包括盘式电机、直线电机、支撑臂以及悬 浮绕组抓手。所述盘式电机完成支撑臂的360°水平旋转搬运工作；所述直线电机完成驱动支撑臂的轴向抓 取上升工作；所述悬浮绕组抓手由悬浮绕组组合、红外气隙传感器以及BUCK电路悬浮变流、DSP(内含A/D 转换器)和PWM驱动一体化控制回路构成；所述悬浮绕组由五个悬浮绕组组合产生磁吸力以稳定悬浮、抓 取物体，根据物体重量不同，可选择不同数量的悬浮绕组组合；所述红外气隙传感器位于悬浮绕组下方以 实时检测抓取高度；所述A/D转换器将模拟量位置信息转换为数字量输入主控单元；选取DSO28035作为 主控单元，输出PWM信号，以控制MOSFET开通与关断；所述BUCK电路通过MOSFET导通比变化实现通入 悬浮抓取电流改变；所述磁悬浮支撑技术采用模型参考自适应控制，包括：悬浮抓取期望模型、控制器、 自适应机制及无接触悬浮抓取模型四部分；所述无接触悬浮抓取期望模型为严格线性无干扰的高性能指标 的模型；所述控制器由参考抓取高度、实际抓取高度以及不确定干扰组成的状态反馈及干扰补偿控制器； 由所述自适应机制根据悬浮抓取期望模型与系统输出的状态偏差以一定的自适应律调节状态反馈控制器 及不确定项中可调参数，并根据恒迹等式实现系统稳定性，达到实际系统与无接触悬浮抓取期望模型同样 优越的性能指标的目的，同时对于不确定干扰的在线调整解决了多自适应参数调节速度慢且过大的自适应 增益造成的物体震荡问题；确保无接触型悬浮抓取系统工作的快速性以及稳定性，以及适应无接触型悬浮 抓取系统的多种工况，包括以下步骤：

步骤1，构建无接触型悬浮抓取系统的多自由度抓取运动模型

第一步，由物体在悬浮绕组下位置的分布，及绕组下磁场分布不均的情况建立悬浮抓取两自由度运动 模型：

式中：R为悬浮绕组电阻，δ为被抓取物体与悬浮绕组轴向气隙，s_x为被抓取物体水平位移，m为被 抓取物体质量，g为重力加速度，u为悬浮电压，i为励磁电流，F为电磁吸力，L为BUCK电路等效电感， F_h为水平风阻，F_v为轴向风阻，

为运动过程选取参数，为-1、0、1，分别对应轴向放置、水平搬运和轴 向抓取过程。

第二步，综合考虑被抓取物体在磁场中位置以及悬浮绕组下磁场扭曲带来的影响，得到物体所受悬浮 力方程

式中：μ₀为真空磁导率，N为悬浮绕组匝数，A为物体有效导磁面积，γ为磁感强度占比系数，γ＝θ/(π/2)， tanθ＝s_x/δ，工作在中心稳定区时，γ＝1，否则γ<1。

第三步，无接触型悬浮抓取的高速工作所致的风阻阻碍物体稳定，也是水平搬运过程造成物体偏离中 心稳定域的主要原因，因此风阻力的影响不可忽略：

式中：C为空气阻力系数，S为物体迎风面积，ρ为空气密度，ω为抓取物体与空气的水平向相对运 动速度，ν为抓取物体与空气的轴向相对运动速度；

步骤2，无接触悬浮抓取动态模型转化

第一步，将式(1)基于平衡点(I₀,δ_ref,s_x0)处转化为线性模型，并结合(1)式中第三式，可得到单自由度悬 浮抓取运动模型

式中：I₀、δ_ref、s_x0分别为稳定悬浮点处悬浮电流、轴向抓取高度以及水平震荡距离，

为干扰归结值。

第二步，由式(4)构建无接触悬浮抓取系统运动状态空间方程模型：

式中：

C＝[0 0 1]；x为状态变量矩阵，分别为抓取高度δ、速度

加速度

u为控制输入，y为输出，f_d为不确定干扰项。

步骤3，无接触型悬浮抓取系统的模型参考自适应控制器设计

第一步，针对步骤二中的三维无接触悬浮抓取系统，设计三阶严格线性无干扰期望模型

式中：A_m,为无接触悬浮抓取期望模型系数矩阵，B_m为无接触悬浮抓取期望模型输入选择矩阵，

B_m＝[0 0 1]^Tr_ref∈R^3×1为参考输入指令，x_m为期望模型状态。

第二步，针对式(5)中无接触悬浮抓取系统不确定干扰f_d的影响，设计基于状态反馈和干扰补偿的模型 参考自适应实际控制输入和虚拟控制输入分别为：

式中：

f_d∈R^1×1分别为理想的未知矩阵

状态增益，

输入增益，f_d的估计 值，这些估计参数通过逆李雅普诺夫分析产生。

第三步，控制器(7)代入状态方程(5)，得到如下所示闭环系统：

第四步，当状态增益和输入增益满足如下(10)所示匹配条件时，控制器(7)存在

第五步，设置抓取高度跟踪误差为E(t)＝x_m-x，其中E(t)∈R^3×1引入虚拟控制变量为

s＝GE (11)

式中：E(t)＝x_m-x，E(t)∈R^3×1，分别为悬浮抓取期望模型与实际系统的抓取高度、抓取速度、抓取加 速度之差。G＝[g₁,g₂,g₃]，为偏差系数矩阵，且g₁,g₂,g₃>0，s本质上是一个数值，则s＝E^TG^T，

第六步，将式(8)代入(5)获得闭环系统动态为：

第七步，将式(8)减去式(12)获得三维跟踪误差数量E(t)的闭环动态为：

式中：

表示参数估计误差，则

第八步，构建含估计误差的Lyapunov能量函数为

式中：自适应速率

第九步，设计K_x ^T、K_r ^T、f_d的自适应律，对式(14)的Lyapunov能量函数求导可得

第十步，令G^TG＝P，则P＝P^T＞0，借助恒迹等式(16)，代入式(15)得到能量导数(17)：

第十一步，为确保

设置式(8)的模型参数自适应率为

本发明的有益效果是：

1)将悬浮绕组替代传统机械抓手，根据红外气隙传感器实测的悬浮高度以及绕组下磁力线分布的差 异，提出了无接触型悬浮抓取系统的两自由度工作系统，被抓取物体一直处于悬浮状态，与悬浮绕组抓手 之间保持一定距离，能够实现无接触、无污染的抓取和搬运。

2)磁悬浮技术低功耗、低噪声并且不限制承载能力，对于任何重量的物体通过设置不同数量绕组组 合均能实现抓取和搬运，且避免了机械抓手工作时的接触摩擦所产生的噪声。

3)提出了采用模型参考自适应的抓取搬运控制器，根据受控对象与悬浮抓取期望模型误差，在线调整 自适应参数，通过对干扰项的自适应有效避免了自适应参数过多造成的调节速度减慢和过大的自适应增益 造成的抓取高度震荡问题。极大增强了系统稳定性与快速性。

附图说明

图1为本发明无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法的悬浮抓取系统结构示意图。

图2为本发明无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法的悬浮抓取系统控制结构图。

图3为本发明无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法控制下的变抓取高度跟踪实验的抓 取高度变化仿真实验图。

图4为本发明无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法控制下变抓取高度跟踪实验的自适 应参数变化图。

图5为PID控制下无接触悬浮抓取系统5s时轴向快速抓取上升仿真实验图。

图6为本发明无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法控制下无接触悬浮抓取系统5s时 轴向快速抓取上升仿真实验图。

图7为本发明无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法控制下无接触悬浮抓取系统5s时 轴向快速抓取上升自适应参数变化图。

图中：1-中心稳定区，2-安全稳定域，3-支撑底座，4-支撑轴，5-轴向导轨，6-盘式电机，7-直线电 机，8-支撑臂，9-磁悬浮绕组抓手，10-悬浮绕组，11-红外气隙传感器，12-MOSFET，13-DSP，14-A/D转 换，15-PWM，16-BUCK电路，17-工况的选择，18-抓取高度优化设定，19-状态反馈和干扰补偿控制器，20- 无接触型悬浮抓取模型，21-自适应机制，22-无接触悬浮抓取期望模型。

具体实施方式

一种无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法，其特征在于：采用直线电机和盘式电机以 及磁悬浮支撑技术协同完成多自由度的悬浮、抓取和搬运工作。系统包括盘式电机、直线电机、支撑臂以 及悬浮绕组抓手(6、7、8、9)。所述盘式电机完成支撑臂的360°水平旋转搬运工作；所述直线电机完成驱 动支撑臂的轴向抓取上升工作；所述悬浮绕组抓手由悬浮绕组10组合、红外气隙传感器11以及BUCK电 路16悬浮变流、DSP13(内含A/D转换器14)和PWM15驱动一体化控制回路构成；所述悬浮绕组由五个悬 浮绕组组合产生磁吸力以稳定悬浮、抓取物体，根据物体重量不同，可选择不同数量的悬浮绕组组合；所 述红外气隙传感器位于悬浮绕组下方以实时检测抓取高度；所述A/D转换器将模拟量位置信息转换为数字 量输入主控单元；选取DSO28035作为主控单元12，输出PWM信号，以控制MOSFET开通与关断；所述BUCK 电路通过MOSFET导通比变化实现通入悬浮抓取电流改变；所述磁悬浮支撑技术采用模型参考自适应控制， 包括：悬浮抓取期望模型20、控制器19、自适应机制21及无接触悬浮抓取模型20四部分；所述无接触 悬浮抓取期望模型为严格线性无干扰的高性能指标的模型；所述控制器由参考抓取高度、实际抓取高度以 及不确定干扰组成的状态反馈及干扰补偿控制器；由所述自适应机制根据悬浮抓取期望模型与系统输出的 状态偏差以一定的自适应律调节状态反馈控制器及不确定项中可调参数，并根据恒迹等式实现系统稳定 性，达到实际系统与无接触悬浮抓取期望模型同样优越的性能指标的目的，同时对于不确定干扰的在线调 整解决了多自适应参数调节速度慢且过大的自适应增益造成的物体震荡问题；确保无接触型悬浮抓取系统 工作的快速性以及稳定性，以及适应无接触型悬浮抓取系统的多种工况。包括以下步骤：

步骤1，构建无接触型悬浮抓取系统的多自由度抓取运动模型

第一步，由物体在悬浮绕组下位置的分布，及绕组下磁场分布不均的情况建立悬浮抓取两自由度运动 模型：

式中：R为悬浮绕组电阻，δ为被抓取物体与悬浮绕组轴向气隙，s_x为被抓取物体水平位移，m为被 抓取物体质量，g为重力加速度，u为悬浮电压，i为励磁电流，F为电磁吸力，L为BUCK电路等效电感， F_h为水平风阻，F_v为轴向风阻，

为运动过程选取参数，为-1、0、1，分别对应轴向放置、水平搬运和轴 向抓取过程。

第二步，综合考虑被抓取物体在磁场中位置以及悬浮绕组下磁场扭曲带来的影响，得到物体所受悬浮 力方程

式中：μ₀为真空磁导率，N为悬浮绕组匝数，A为物体有效导磁面积，γ为磁感强度占比系数，γ＝θ/(π/2)， tanθ＝s_x/δ，工作在中心稳定区时，γ＝1，否则γ<1。

第三步，无接触型悬浮抓取的高速工作所致的风阻阻碍物体稳定，也是水平搬运过程造成物体偏离中 心稳定域的主要原因，因此风阻力的影响不可忽略：

式中：C为空气阻力系数，S为物体迎风面积，ρ为空气密度，ω为抓取物体与空气的水平向相对运 动速度，ν为抓取物体与空气的轴向相对运动速度；

步骤2，无接触悬浮抓取动态模型转化

第一步，将式(1)基于平衡点(I₀,δ_ref,s_x0)处转化为线性模型，并结合(1)式中第三式，可得到单自由度悬 浮抓取运动模型

式中：I₀、δ_ref、s_x0分别为稳定悬浮点处悬浮电流、轴向抓取高度以及水平震荡距离，

为干扰归结值。

第二步，由式(4)构建无接触悬浮抓取系统运动状态空间方程模型：

式中：

C＝[0 0 1]；x为状态变量矩阵，分别为抓取高度δ、速度

加速度

u为控制输入，y为输出，f_d为不确定干扰项。

步骤3，无接触型悬浮抓取系统的模型参考自适应控制器设计

第一步，针对步骤二中的三维无接触悬浮抓取系统，设计三阶严格线性无干扰期望模型

式中：A_m,为无接触悬浮抓取期望模型系数矩阵，B_m为无接触悬浮抓取期望模型输入选择矩阵，

B_m＝[0 0 1]^Tr_ref∈R^3×1为参考输入指令，x_m为期望模型状态。

第二步，针对式(5)中无接触悬浮抓取系统不确定干扰f_d的影响，设计基于状态反馈和干扰补偿的模型 参考自适应实际控制输入和虚拟控制输入分别为：

式中：

f_d∈R^1×1分别为理想的未知矩阵

状态增益，

输入增益，f_d的估计 值，这些估计参数通过逆李雅普诺夫分析产生。

第三步，控制器(7)代入状态方程(5)，得到如下所示闭环系统：

第四步，当状态增益和输入增益满足如下(10)所示匹配条件时，控制器(7)存在

第五步，设置抓取高度跟踪误差为E(t)＝x_m-x，其中E(t)∈R^3×1引入虚拟控制变量为

s＝GE (11)

式中：E(t)＝x_m-x，E(t)∈R^3×1，分别为悬浮抓取期望模型与实际系统的抓取高度、抓取速度、抓取加 速度之差。G＝[g₁,g₂,g₃]，为偏差系数矩阵，且g₁,g₂,g₃>0，s本质上是一个数值，则s＝E^TG^T，

第六步，将式(8)代入(5)获得闭环系统动态为：

第七步，将式(8)减去式(12)获得三维跟踪误差数量E(t)的闭环动态为：

式中：

表示参数估计误差，则

第八步，构建含估计误差的Lyapunov能量函数为

式中：自适应速率

第九步，设计K_x ^T、K_r ^T、f_d的自适应律，对式(14)的Lyapunov能量函数求导可得

第十步，令G^TG＝P，则P＝P^T＞0，借助恒迹等式(16)，代入式(15)得到能量导数(17)：

第十一步，为确保

设置式(8)的模型参数自适应率为

下面结合附图以及实例，对本发明作进一步详细说明。

无接触型悬浮抓取系统参数如表1所示，以被抓取物体为钢球作为抓取示例，悬浮绕组抓手总匝数2450 匝，悬浮绕组抓手总电阻13.8Ω，钢球质量为0.094kg，钢球半径为12.5mm，得知钢球空气阻力系数0.5 分别进行了以下2个实例，搬运过程抓取高度优化设定仿真实验、轴向抓取上升仿真实验，以说明本发明 有效效果。

表1 无接触型悬浮抓取系统参数

实例一变抓取高度跟踪仿真实验，如图3、图4所示，在t＝0时刻进行抓取物体稳定悬浮阶段，初始 抓取高度为14mm,在t＝4s～8s时，抓取高度变为6mm，8s～12s又回到14mm，如此往复至20s；悬浮抓取性 能如表2所示，启动时间0.15s，高度变化过渡时间为0.35s，超调量为0.2mm，本实验验证了本发明控 制具有较强的抓取跟踪能力以及快速性和稳定性均有不错表现。

表2 变抓取高度跟踪仿真实验性能

实例二轴向抓取上升仿真实验，如图5、图6和图7所示，悬浮抓取高度设置为14mm，t＝0s悬浮抓 取起动，t＝5s时模拟快速上升过程所受风阻，施加0.9sin[9(t-5)]N的轴向阻力分别进行了PID控制下轴向 气隙跟踪以及本发明的轴向气隙跟踪，对比结果如表3所示，不论是在抓取高度变化、恢复时间、气隙震 荡范围以及稳定时间方面，本发明控制效果明显优于PID控制。

表3 轴向干扰力施加性能对比

Claims (2)

1.无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法，其特征在于：采用直线电机和盘式电机以及磁悬浮支撑技术协同完成多自由度的悬浮、抓取和搬运工作，包括盘式电机、直线电机、支撑臂以及悬浮绕组抓手；所述盘式电机完成支撑臂的360°水平旋转搬运工作；所述直线电机完成驱动支撑臂的轴向抓取上升工作；所述悬浮绕组抓手由悬浮绕组组合、红外气隙传感器以及BUCK电路悬浮变流、DSP(内含A/D转换器)和PWM驱动一体化控制回路构成；所述悬浮绕组由五个悬浮绕组组合产生磁吸力以稳定悬浮、抓取物体，根据物体重量不同，可选择不同数量的悬浮绕组组合；所述红外气隙传感器位于悬浮绕组下方以实时检测抓取高度；所述A/D转换器将模拟量位置信息转换为数字量输入主控单元；选取DSO28035作为主控单元，输出PWM信号，以控制MOSFET开通与关断；所述BUCK电路通过MOSFET导通比变化实现通入悬浮抓取电流改变；所述磁悬浮支撑技术采用模型参考自适应控制，包括悬浮抓取期望模型、控制器、自适应机制及无接触悬浮抓取模型四部分；所述无接触悬浮抓取期望模型为严格线性无干扰的高性能指标的模型；所述控制器由参考抓取高度、实际抓取高度以及不确定干扰组成的状态反馈及干扰补偿控制器；由所述自适应机制根据悬浮抓取期望模型与系统输出的状态偏差以一定的自适应律调节状态反馈控制器及不确定项中可调参数，并根据恒迹等式实现系统稳定性，达到实际系统与无接触悬浮抓取期望模型同样优越的性能指标的目的，同时对于不确定干扰的在线调整解决了多自适应参数调节速度慢且过大的自适应增益造成的物体震荡问题；确保无接触型悬浮抓取系统工作的快速性以及稳定性，以及适应无接触型悬浮抓取系统的多种工况。

2.根据权利要求1所述的无接触型悬浮抓取系统及其模型参考自适应控制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1构建无接触型悬浮抓取系统的多自由度抓取运动模型

第一步，由物体在悬浮绕组下位置的分布，及绕组下磁场分布不均的情况建立悬浮抓取两自由度运动模型：

式中，R为悬浮绕组电阻，δ为被抓取物体与悬浮绕组轴向气隙，s_x为被抓取物体水平位移，m为被抓取物体质量，g为重力加速度，u为悬浮电压，i为励磁电流，F为电磁吸力，L为BUCK电路等效电感，F_h为水平风阻，F_v为轴向风阻，

为运动过程选取参数，为-1、0、1，分别对应轴向放置、水平搬运和轴向抓取过程；

第二步，综合考虑被抓取物体在磁场中位置以及悬浮绕组下磁场扭曲带来的影响，得到物体所受悬浮力方程

式中，μ₀为真空磁导率，N为悬浮绕组匝数，A为物体有效导磁面积，γ为磁感强度占比系数，γ＝θ/(π/2)，tanθ＝s_x/δ，工作在中心稳定区时，γ＝1，否则γ<1；

第三步，无接触型悬浮抓取的高速工作所致的风阻阻碍物体稳定，也是水平搬运过程造成物体偏离中心稳定域的主要原因，因此风阻力的影响不可忽略：

式中，C为空气阻力系数，S为物体迎风面积，ρ为空气密度，ω为抓取物体与空气的水平向相对运动速度，ν为抓取物体与空气的轴向相对运动速度；

步骤2无接触悬浮抓取动态模型转化

第一步，将式(1)基于平衡点(I₀,δ_ref,s_x0)处转化为线性模型，并结合(1)式中第三式，可得到单自由度悬浮抓取运动模型

式中，I₀、δ_ref、s_x0分别为稳定悬浮点处悬浮电流、轴向抓取高度以及水平震荡距离，

为干扰归结值；

第二步，由式(4)构建无接触悬浮抓取系统运动状态空间方程模型：

式中，

C＝[0 0 1]，x为状态变量矩阵，分别为抓取高度δ、速度

加速度

u为控制输入，y为输出，f_d为不确定干扰项；

步骤3无接触型悬浮抓取系统的模型参考自适应控制器设计

第一步，针对步骤二中的三维无接触悬浮抓取系统，设计三阶严格线性无干扰期望模型

式中，A_m,为无接触悬浮抓取期望模型系数矩阵，B_m为无接触悬浮抓取期望模型输入选择矩阵，

B_m＝[0 0 1]^Tr_ref∈R^3×1为参考输入指令，x_m为期望模型状态；

第二步，针对式(5)中无接触悬浮抓取系统不确定干扰f_d的影响，设计基于状态反馈和干扰补偿的模型参考自适应实际控制输入和虚拟控制输入分别为：

式中，

f_d∈R^1×1分别为理想的未知矩阵

状态增益，

输入增益，f_d的估计值，这些估计参数通过逆李雅普诺夫分析产生；

第三步，控制器(7)代入状态方程(5)，得到如下所示闭环系统：

第四步，当状态增益和输入增益满足如下(10)所示匹配条件时，控制器(7)存在

第五步，设置抓取高度跟踪误差为E(t)＝x_m-x，其中E(t)∈R^3×1引入虚拟控制变量为

s＝GE (11)

式中，E(t)＝x_m-x，E(t)∈R^3×1，分别为悬浮抓取期望模型与实际系统的抓取高度、抓取速度、抓取加速度之差，G＝[g₁,g₂,g₃]，为偏差系数矩阵，且g₁,g₂,g₃>0，s本质上是一个数值，则s＝E^TG^T，

第六步，将式(8)代入(5)获得闭环系统动态为：

第七步，将式(8)减去式(12)获得三维跟踪误差数量E(t)的闭环动态为：

式中，

表示参数估计误差，则

第八步，构建含估计误差的Lyapunov能量函数为

式中，自适应速率

第九步，设计

f_d的自适应律，对式(14)的Lyapunov能量函数求导可得

第十步，令G^TG＝P，则P＝P^T＞0，借助恒迹等式(16)，代入式(15)得到能量导数(17)：

第十一步，为确保

设置式(8)的模型参数自适应率为

。

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