CN113158400B - 一种利用改进耦合能预测封闭箱体结构振动特性方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种利用改进耦合能预测封闭箱体结构振动特性方法，该方法包括以下步骤：由六个各向同性的弹性板构成封闭箱体结构；引用二维改进傅里叶级数方法给出弯曲振动位移与面内振动位移的表达形式；建立封闭箱体结构的能量函数；封闭箱体结构的能量由箱体结构系统总动能、总势能所组成，由建立不同坐标系下的耦合能公式得出耦合能；将结构弯曲振动位移及面内振动位移代入所构建的能量函数中，并采用瑞利里兹法对封闭箱体结构能量函数中未知傅里叶系数取极值获得封闭箱体结构控制方程；求解控制方程的特征值及特征向量获得封闭箱体结构的固有频率及振型。

Description

一种利用改进耦合能预测封闭箱体结构振动特性方法

技术领域

本发明涉及机械工程技术领域，具体涉及一种应用耦合能模型预测箱体振动特性的方法。

背景技术

封闭箱体结构是航空、土木和海洋工程等领域中应用较为广泛的载体结构。由于结构的振动特性对箱体内设备的正常运行有重要影响，因此预测并控制箱体结构振动是保证箱体结构内设备稳定运行的前提。由组合结构而构成的船舶舱室往往处于低频噪声环境，对长期处于舱室内工作人员精神及身体会产生一定危害。因此了解结构振动特性、提高舱室舒适性是船舶舱室振动噪声控制中急需解决问题。现有的借助有限元软件通过仿真分析得到箱体振动特性的步骤较为繁琐、耗时较长，计算精度受到网格细密程度的影响，而且受样本点数量限制，无法对箱体振动特性进行准确全面的预测。现有技术所给出的耦合结构的耦合能公式只适用于坐标系为同方向的组合结构，当组合结构中涉及到不同方向坐标系时，此耦合能公式不符合需求。

发明内容

有鉴于此，本发明针对现有技术存在的限制，提供了一种利用改进耦合能预测封闭箱体结构振动特性的方法。本发明的技术方案为：

一种利用改进耦合能预测封闭箱体结构振动特性的方法，该方法包括以下步骤：

步骤1：由六个各向同性的弹性板构成封闭箱体结构；

步骤2：引用二维改进傅里叶级数方法给出弯曲振动位移与面内振动位移的表达形式；

步骤3：建立封闭箱体结构的能量函数；封闭箱体结构的能量由箱体结构系统总动能、总势能所组成；

步骤4：将结构弯曲振动位移及面内振动位移代入所构建的能量函数中，并采用瑞利里兹法对封闭箱体结构能量函数中未知傅里叶系数取极值获得封闭箱体结构控制方程；

步骤5：求解控制方程的特征值及特征向量获得封闭箱体结构的固有频率及振型。

优选的是，步骤2的具体过程为：弹性约束边界条件下矩形板结构的面内振动位移和横向弯曲振动位移采用二维改进傅立叶级数方法进行求解；所采用的二维改进傅里叶级数表达式由标准二维傅里叶余弦级数和补充函数所构成，其中，补充函数由辅助函数与一维傅立叶余弦级数的乘积而得。封闭箱体结构中各个板的弯曲振动位移w_i(x_i,y_i)、x方向面内振动位移u_i(x_i,y_i)及y方向面内振动位移v_i(x_i,y_i)的表达形式如下：

弯曲振动位移：

式中Lxi为第i个板结构沿x方向长度，Lyi为第i个板结构沿y方向长度。m,n为正整数。(x_i,y_i)为第i个板的位置坐标。λ_Lxim＝mπ/Lxi，λ_Lyin＝nπ/Lyi。A_imn,a_im,b_im,c_im,d_im,e_in,f_in,g_in,h_in为第i个板结构弯曲振动位移内未知的傅里叶系数。补充函数中辅助函数的具体表形式如下：

x方向面内振动位移：

y方向面内振动位移：

面内振动位移表达式(式(2)-(3))中辅助函数ξ_1Lxi(x_i)和ξ_2Lxi(x_i)为：

式(4a)或(4b)中

通过将辅助函数ξ_1Lxi(x_i)和ξ_2Lxi(x_i)中x与Lxi替换为y和Lyi可得面内振动位移表达式(式(2)-(3))中辅助函数ξ_1Lyi(y_i)和ξ_2Lyi(y_i)。x方向面内振动位移中B_imn,a_{in in},b_{in in},c_{in im},d_{in im}为第i个板内未知的傅里叶系数。y方向面内振动位移中C_imn,e_{in in},f_{in in},g_{in im},h_{in im}为第i个板内未知的傅里叶系数。

优选的是，封闭箱体结构总势能包含6个板结构的弯曲振动势能、6个板结构的面内振动势能及12处结构之间的耦合能，封闭箱体结构总动能应包含6个板结构弯曲振动动能及6个板结构面内振动动能；

采用能量原理构建箱体结构的能量函数：

L＝V-T (5)

式(5)中V代表封闭箱体结构的总势能，T代表封闭箱体结构的总动能，

总势能：

总动能：

其中i代表箱体结构中6个板的序号，j代表箱体结构中12处耦合能的序号，V_{i bending}代表第i个板的弯曲振动势能，V_{i in-panel}代表第i个板的面内振动势能，V_{j coupling}代表第j处结构之间的耦合能，T_{i bending}代表第i个板的弯曲振动动能，T_{i in-panel}代表第i个板的面内振动动能。

优选的是，建立不同坐标系下的耦合能公式；建立的多种方向坐标系，根据所建立的坐标系给出12处耦合能表达形式。

优选的是，将结构弯曲振动位移表达式(1)、结构面内振动位移表达式(2)与(3)代入至封闭箱体结构系统的拉格朗日函数表达形式，采用Rayleigh-Ritz方法对拉格朗日函数中每个未知Fourier系数取极值可得到一系列线性方程组，其矩阵表达形式为：

(K-ω²M)E＝0 (8)

矩阵表达形式中ω为封闭箱体结构角频率，K为封闭箱体结构系统的刚度矩阵，M为箱体结构的质量矩阵，E为箱体结构位移表达式的未知系数。对箱体结构系统控制方程(式(8))进行特征值求解，可获得封闭箱体结构系统特征值(ω)及特征向量(E)。封闭箱体结构系统固有频率利用特征值可得(ω/(2π))，其模态振型可通过将所对应特征向量代入至位移表达式中获得。

与现有技术相比，本发明可以获得包括以下技术效果：

本发明采用由六个各向同性的弹性板所构成的封闭箱体模型，采用改进的傅里叶级数形式进行结构位移的表达，主要采用能量原理构建箱体结构能量函数，将结构弯曲振动位移及面内振动位移代入所构建的能量函数中，并采用瑞利里兹法对封闭箱体结构能量函数中未知傅里叶系数取极值获得封闭箱体结构控制方程，通过求解控制方程的特征值及特征向量进而获得封闭箱体结构的固有频率及振型，过程简便、效率高、计算精度高，通过商业软件有限元方法进行模态比较，验证其封闭箱体结构固有频率和振型，良好吻合性验证理论模型预测的准确性。

为了解决组合板结构的多处耦合问题，应将原有耦合能公式进行修改以适应不同坐标系下耦合结构振动问题分析。由于结构之间耦合需要，封闭箱体结构模型中所建立的多种方向坐标系使得封闭箱体结构具有多种形式耦合能。对原有耦合能公式进行修改建立了不同坐标系下的耦合能公式，根据封闭箱体结构模型所建立的坐标系给出12处耦合能表达形式，以供利用改进耦合能预测封闭箱体结构振动特性。

附图说明

此处所说明的附图用来提供对本申请的进一步理解，构成本申请的一部分，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。在附图中：

图1是封闭箱体结构系统示意图；

图2(a)现有技术中的相同方向坐标系构成的耦合结构；

图2(b)本发明中的不同方向坐标系构成的耦合结构；

图3是封闭箱体结构7-13阶模态振型对比；

所示附图中1：1板，2：2板，3：3板，4：4板，5：5板，6：6板。

图3中a1-f1为本发明得到的封闭箱体结构模态振型，a2-f2为有限元方法得到的封闭箱体结构模态振型。

具体实施方式

以下由特定的具体实施例说明本发明的实施方式，熟悉此技术的人士可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点及功效，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

下面结合附图和具体的实施例对本发明做进一步详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。

一种利用改进耦合能预测封闭箱体结构振动特性的方法，该方法包括以下步骤：

步骤1：构建封闭箱体结构模型，构建的封闭箱体结构模型如图1所示，该封闭箱体结构模型由六个各向同性的弹性板所构成；

步骤2：引用二维改进傅里叶级数方法给出弯曲振动位移与面内振动位移的表达形式；

步骤2的具体过程为：弹性约束边界条件下矩形板结构的面内振动位移和横向弯曲振动位移采用二维改进傅立叶级数方法进行求解；所采用的二维改进傅里叶级数表达式由标准二维傅里叶余弦级数和补充函数所构成，其中，补充函数由辅助函数与单维傅立叶余弦级数的乘积而得，引进的补充函数可克服二维傅里叶余弦级数在每一边界上面内或弯曲振动位移一阶求导的不连续性。封闭箱体结构中各个板的弯曲振动位移w_i(x_i,y_i)、x方向面内振动位移u_i(x_i,y_i)及y方向面内振动位移v_i(x_i,y_i)的表达形式如下：

弯曲振动位移：

式中Lxi为第i个板结构沿x方向长度，Lyi为第i个板结构沿y方向长度。m,n为正整数。(x_i,y_i)为第i个板的位置坐标。λ_Lxim＝mπ/Lxi，λ_Lyin＝nπ/Lyi。A_imn,a_im,b_im,c_im,d_im,e_in,f_in,g_in,h_in为第i个板结构弯曲振动位移内未知的傅里叶系数。补充函数中辅助函数的具体表达形式如下：

x方向面内振动位移：

y方向面内振动位移：

面内振动位移表达式(式(2)-(3))中辅助函数ξ_1Lxi(x_i)和ξ_2Lxi(x_i)为：

式(4a)、(4b)中

通过将辅助函数ξ_1Lxi(x_i)和ξ_2Lxi(x_i)中x与Lxi替换为y和Lyi可得面内振动位移表达式(式(2)-(3))中辅助函数ξ_1Lyi(y_i)和ξ_2Lyi(y_i)。x方向面内振动位移中B_imn,a_{in in},b_{in in},c_{in im},d_{in im}为第i个板内未知的傅里叶系数。y方向面内振动位移中C_imn,e_{in in},f_{in in},g_{in im},h_{in im}为第i个板内未知的傅里叶系数。

步骤3：采用能量原理构建箱体结构的能量函数。

L＝V-T (5)

V代表封闭箱体结构总势能，T代表封闭箱体结构总动能。封闭箱体结构总势能包含6个板结构的弯曲振动势能、6个板结构的面内振动势能及12处结构之间的耦合能，封闭箱体结构总动能应包含6个板结构弯曲振动动能及6个板结构面内振动动能；

总势能：

总动能：

其中i代表箱体结构中6个板的序号，j代表箱体结构中12处耦合能的序号，V_{i bending}代表第i个板的弯曲振动势能，V_{i in-panel}代表第i个板的面内振动势能，V_{j coupling}代表第j处结构之间的耦合能，T_{i bending}代表第i个板的弯曲振动动能，T_{i in-panel}代表第i个板的面内振动动能。

其中箱体结构中第i个板的弯曲振动势能V_{i bending}如式(8)所示，箱体结构中第i个板的弯曲振动动能T_{i bending}如式(9)所示，箱体结构中第i个板的面内振动势能V_{i in-panel}如式(10)所示，箱体结构中第i个板的面内振动动能T_{i in-panel}如式(11)所示。

其中ω为圆频率；ρ为质量密度；t为时间；h为板结构厚度；D为板结构弯曲刚度；G为板结构拉伸刚度；μ为板结构材料泊松比；i为板的序号；j为(0,1)表示坐标的起点和终点；K_bxij为x方向弯曲振动分量的旋转约束边界弹簧的(单位长度上)刚度系数；K_byij为y方向弯曲振动分量的旋转约束边界弹簧的(单位长度上)刚度系数；k_bxij为x方向弯曲振动分量的横向支撑边界弹簧的(单位长度上)刚度系数；k_byij为y方向弯曲振动分量的横向支撑边界弹簧的(单位长度上)刚度系数；k_nxij为x方向面内振动在法向的边界约束弹簧的(单位长度上)刚度系数；k_nyij为y方向面内振动在法向的边界约束弹簧的(单位长度上)刚度系数；k_pxij为x方向面内振动在切向的边界约束弹簧的(单位长度上)刚度系数；k_pyij为y方向面内振动在切向的边界约束弹簧的(单位长度上)刚度系数；

图2(a)为任意边界与连接条件下耦合板结构分析模型中具有相同方向坐标的耦合结构。图2(b)为任意边界与连接条件下耦合板结构分析模型中具有不同方向坐标的耦合结构。图2(a)或图2(b)中的耦合结构由公共边界连接的板1和板2组合而成，其中，板1位于x₁-y₁平面。弯曲振动分量边界条件通常可以用沿边界均匀分布的横向支撑k_bx11和旋转约束弹簧K_bx11来模拟。类似地，面内振动分量的任意边界条件可以用在x₁-y₁平面中沿边界均匀分布的另外两种约束弹簧(k_nx11和k_px11)来模拟。图2(a)中耦合板结构由公共边界(x₁＝0或x₂＝Lx₂)连接的板1和板2组合而成，坐标系的选取如图2(a)所示。图2(b)耦合板结构由公共边界(y₁＝0或x₂＝Lx₂)连接的板1和板2组合而成，坐标系的选取如图2(b)。

图2(a)或图2(b)中各板长宽分别为Lxi和Lyi(i＝1或2)。以x₁-y₁-z₁为全局坐标时，两板之间的相对位置可以通过定义耦合夹角θ表达出来。在结构连接处，通过沿耦合边界引入四类耦合弹簧(分别用K_c、k_c1、k_c2和k_c3来表示)，进而全面考虑了横向弯矩、面外剪切、面内纵向作用(垂直于耦合边界)和面内剪切(相切于耦合边界)四种耦合效应。

图2(a)与图2(b)内耦合结构中四类耦合弹簧所存储的弹性势能分别为式(12)与式(13)：

式(12)-(13)中w_i为沿z_i轴方向的弯曲振动位移，u_i和v_i分别为沿x轴和y轴方向的面内振动位移。V_coupling1由四部分构成，第一项由考虑横向弯矩弹簧K_c与耦合处角度差

所提供的耦合势能，第二项由考虑面外剪切弹簧k_c1与耦合处横向振动位移差(w₁-(w₂cosθ-u₂sinθ))所提供的耦合势能，第三项由考虑面内纵向作用弹簧k_c2与耦合处x方向面内振动位移差(u₁-(u₂cosθ+w₂sinθ))所提供的耦合势能，第四项由考虑面内剪切弹簧与耦合处y方向面内振动位移差(v₁-v₂)所提供的耦合势能。

式(12)所提出的耦合能表达方式仅适用于具有同方向坐标系的耦合结构(如图2(a))。若耦合结构内坐标系(如图2(b))具有不同方向，式(12)所给的耦合能不再适用，因此本文对已有耦合能(式(12))进行修改，给出了具有不同坐标方向的耦合结构(图2(b))的耦合能，其表达式如式(13)所示。式(13)所给出的耦合能V_coupling2由四部分构成，第一项由考虑横向弯矩弹簧K_c与耦合处角度差

所提供的耦合能，第二项由考虑面外剪切弹簧k_c1与耦合处横向振动位移差(w₁-(w₂cosθ-u₂sinθ))所提供的耦合能，第三项由考虑面内纵向作用弹簧k_c2与耦合处x方向面内振动位移差(v₁-(u₂cosθ+w₂sinθ))所提供的耦合能，第四项由考虑面内剪切弹簧y方向面内振动位移差(u₁-(-v₂))所提供的耦合能。根据式(13)的构建方式，本文给出了封闭箱体结构(图1)结构内耦合能的表达形式。

发明者根据图1的封闭箱体结构所建立的坐标系给出12处耦合能表达式。封闭箱体结构图1中1板与5板的耦合能如式(14)所示，2板与5板的耦合能如式(15)所示，3板与5板的耦合能如式(16)所示，4板与5板的耦合能如式(17)所示，1板与6板的耦合能如式(18)所示，2板与6板的耦合能如式(19)所示，3板与6板的耦合能如式(20)所示，4板与6板的耦合能如式(21)所示，1板与2板的耦合能如式(22)所示，2板与3板的耦合能如式(23)所示，3板与4板的耦合能如式(24)所示，4板与1板的耦合能如式(25)所示。

/>

/>

公式(14)-(25)中：Lx、Ly和Lz分别代表封闭箱体结构的几何尺寸；Lx、Ly和Lz分别代表本封闭箱体结构的几何尺寸；x_i、y_i及z_i代表封闭箱体结构中第i(i＝1,2,3,4,5,6)个板结构的位置坐标；θ代表封闭箱体结构内12组耦合板结构之间的夹角，为90度；w_i为第i(i＝1,2,3,4,5,6)个板结构沿z轴方向的弯曲振动位移；u_i和v_i分别为第i(i＝1,2,3,4,5,6)个板结构沿x轴和y轴方向的面内振动位移；Kc代表横向弯矩弹簧，k_c1代表面外剪切弹簧，k_c2代表面内纵向作用弹簧，k_c3代表面内剪切弹簧；V_{1 coupling15}代表1板与5板的耦合能，V_{2 coupling25}代表2板与5板的耦合能，V_{3 coupling35}代表中3板与5板的耦合能，V_{4 coupling45}代表4板与5板的耦合能，V_{5 coupling16}代表中1板与6板的耦合能，V_{6 coupling26}代表中2板与6板的耦合能，V_{7 coupling36}代表3板与6板的耦合能，V_{8 coupling46}代表4板与6板的耦合能，V_{9 coupling12}代表1板与2板的耦合能，V_{10 coupling23}代表2板与3板的耦合能，V_{11 coupling34}代表3板与4板的耦合能，V_{12 coupling41}代表中4板与1板的耦合能。

步骤4：将结构弯曲振动位移及面内振动位移代入所构建的能量函数中，并采用瑞利里兹法对封闭箱体结构能量函数中未知系数取极值获得箱体结构控制方程；将结构位移表达式(式(1)-(3))代入至箱体结构系统的拉格朗日函数表达式(式(5))，采用Rayleigh-Ritz方法对拉格朗日函数中每个未知Fourier系数取极值可得到一系列线性方程组，其矩阵表达形式为:

(K-ω²M)E＝0 (26)

式(26)中K为封闭箱体结构系统的刚度矩阵，M为封闭箱体结构的质量矩阵，E为封闭箱体结构位移表达式中未知傅里叶系数。对封闭箱体结构系统控制方程(式(26))进行特征值求解，可获得封闭箱体结构系统特征值(ω)及特征向量(E)。箱体结构系统固有频率利用特征值可得(ω/(2π))，其模态振型可通过将所对应特征向量代入至位移表达式中获得。

使用商业软件有限元模型进行数值验证

以图1所示的由6个板耦合而成的封闭箱体结构系统示意图为例。因各个弹性板物理参数(密度，厚度，杨氏模量，泊松比)相同，组合结构中每个弹性板的势能与动能的计算方式不变(式(8)-(11))。根据所设计的6种坐标系组成的封闭箱体结构存在12处结构耦合，其耦合能为式(14)-(25)。假定算例中板具有同样厚度，即h＝0.008m。几何参数Lx＝1.4m，Ly＝1.2m,Lz＝1.0m。板材质均为钢，参数如下：杨氏模量E＝2.16×10¹¹N/m²,质量密度ρ＝7800kg/m³,泊松比μ＝0.28。将其几何参数及物理参数代入至封闭箱体结构拉格朗日函数中，并通过瑞利里兹法获得封闭箱体结构特征方程，最终获得该封闭箱体的固有频率及模态振型。

表1封闭箱体结构前15阶固有频率(Hz)

表1为封闭箱体结构前十五阶频率，通过比较可以看出截断级数为12时，封闭箱体结构频率已开始收敛，并与有限元方法所获得固有频率结果吻合较好。因此通过该方法所得到的数值可以表明该方法能够快速收敛并具有高的计算精度。图3为封闭箱体结构系统第7阶-第15阶模态振型，通过与有限元方法所获得模态振型相比较，不难发现本发明所获得模态振型与有限元方法所获得模态振型吻合很好。通过商业软件有限元方法进行模态比较，验证其箱体结构固有频率和振型，良好吻合性验证理论模型预测的准确性。

本发明采用由六个各向同性的弹性板所构成的箱体模型，采用改进的傅里叶级数形式进行位移表达，主要采用能量原理构建箱体结构能量函数，将结构弯曲振动位移及面内振动位移代入所构建的能量函数中，并采用瑞利里兹法对箱体结构能量函数中未知系数取极值获得箱体结构控制方程，通过求解控制方程的特征值及特征向量进而获得箱体结构的固有频率及振型，过程简便、效率高、计算精度高，通过商业软件有限元方法进行模态比较，验证其箱体结构固有频率和振型，良好吻合性验证理论模型预测的准确性。

如在通篇说明书及权利要求当中所提及的“包含”为一开放式用语，故应解释成“包含但不限定于”。“大致”是指在可接收的误差范围内，本领域技术人员能够在一定误差范围内解决所述技术问题，基本达到所述技术效果。说明书后续描述为实施本申请的较佳实施方式，然所述描述乃以说明本申请的一般原则为目的，并非用以限定本申请的范围。本申请的保护范围当视所附权利要求所界定者为准。

还需要说明的是，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的商品或者系统不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种商品或者系统所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的商品或者系统中还存在另外的相同要素。

上述说明示出并描述了发明的若干优选实施例，但如前所述，应当理解发明并非局限于本文所披露的形式，不应看作是对其他实施例的排除，而可用于各种其他组合、修改和环境，并能够在本文所述发明构想范围内，通过上述教导或相关领域的技术或知识进行改动。而本领域人员所进行的改动和变化不脱离发明的精神和范围，则都应在发明所附权利要求的保护范围内。

Claims (1)

1.一种利用改进耦合能预测封闭箱体结构振动特性方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤1：由六个各向同性的弹性板构成封闭箱体结构；

步骤2：引用二维改进傅里叶级数方法给出弯曲振动位移与面内振动位移的表达形式；

步骤3：建立封闭箱体结构的能量函数；封闭箱体结构的能量由箱体结构系统总动能、总势能所组成，其中箱体结构总势能包含6个板结构的弯曲振动势能、面内振动势能及12处结构之间的耦合能，所述耦合能由建立不同坐标系下的耦合能公式得出；

步骤4：将结构弯曲振动位移及面内振动位移代入所构建的能量函数中，并采用瑞利里兹法对封闭箱体结构能量函数中未知傅里叶系数取极值获得封闭箱体结构控制方程；

步骤5：求解控制方程的特征值及特征向量获得封闭箱体结构的固有频率及振型；

步骤2的具体过程为：弹性约束边界条件下矩形板结构的面内振动位移和横向弯曲振动位移采用二维改进傅立叶级数方法进行求解；所采用的二维改进傅里叶级数表达式由标准二维傅里叶余弦级数和补充函数所构成，其中，补充函数由辅助函数与单傅立叶余弦级数的乘积而得；

箱体结构总势能包含6个板结构的弯曲振动势能、面内振动势能及12处结构之间的耦合能，箱体结构总动能应包含6个板结构弯曲振动动能及面内振动动能；

采用能量原理构建箱体结构的能量函数：

L＝V-T (5)

V代表封闭箱体结构总势能，T代表封闭箱体结构总动能；

总势能：

总动能：

公式(6)-(7)中：i代表箱体结构中6个板的序号，j代表箱体结构中12处耦合能的序号，V_ibending代表第i个板的弯曲振动势能，V_iin-panel代表第i个板的面内振动势能，V_jcoupling代表第j处结构之间的耦合能，T_ibending代表第i个板的弯曲振动动能，T_iin-panel代表第i个板的面内振动动能；

其中：i-箱体结构中6个板的序号，j-箱体结构中12处耦合能的序号；

根据所建立的坐标系给出12处耦合能表达形式，所给出的耦合结构的耦合能公式如下：

公式(14)-(25)中：Lx、Ly和Lz分别代表封闭箱体结构的几何尺寸；Lx、Ly和Lz分别代表本封闭箱体结构的几何尺寸；x_i、y_i及z_i代表封闭箱体结构中第i(i＝1,2,3,4,5,6)个板结构的位置坐标；θ代表封闭箱体结构内12组耦合板结构之间的夹角，为90度；w_i为第i(i＝1,2,3,4,5,6)个板结构沿z轴方向的弯曲振动位移；u_i和v_i分别为第i(i＝1,2,3,4,5,6)个板结构沿x轴和y轴方向的面内振动位移；Kc代表横向弯矩弹簧，k_c1代表面外剪切弹簧，k_c2代表面内纵向作用弹簧，k_c3代表面内剪切弹簧；V_1coupling15代表1板与5板的耦合能，V_2coupling25代表2板与5板的耦合能，V_3coupling35代表中3板与5板的耦合能，V_4coupling45代表4板与5板的耦合能，V_5coupling16代表中1板与6板的耦合能，V_6coupling26代表中2板与6板的耦合能，V_7coupling36代表3板与6板的耦合能，V_8coupling46代表4板与6板的耦合能，V_9coupling12代表1板与2板的耦合能，V_10coupling23代表2板与3板的耦合能，V_11coupling34代表3板与4板的耦合能，V_12coupling41代表中4板与1板的耦合能。

Images