CN111382503A - 弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法及系统，根据弹性支承下旋转柔性圆环的物理模型简化得到高速旋转柔性圆环的振动分析模型；基于Timoshenko梁理论，将剪切效应、转动惯性、陀螺效应、离心力和弹性支承作为考量因素，建立所述振动分析模型在弹性支承下高速旋转时面内和面外振动的运动方程；根据所述面内和面外振动的运动方程，推导得到其对应的特征值方程，获取柔性圆环参数代入到所述特征值方程中，分析圆环结构的面内弯曲、周向延伸和面外弯曲等振动的固有频率及对应模态，研究圆环高速旋转时的行波振动行为及其稳定性，为航空发动机中圆环类结构的几何设计和性能优化提供理论基础。

Description

弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法及系统

技术领域

本发明涉及航空发动机零部件监测领域，尤其涉及弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法及系统。

背景技术

为了降低系统的重量，航空发动机中的机械零部件很多都采用柔性薄壁结构，主要有薄壁空心转子、薄壁齿轮腹板和箱体等。上述柔性结构在发动机工作过程中极易出现横向振动和行波振动等行为，加剧结构磨损和裂纹的出现，使航空发动机的振动和破坏难以预测与控制，严重制约航空工业的发展。因此，亟需一种振动分析方法来对航空发动及零部件中的柔性薄壁的振动进行求解分析，以为航空发动机中圆环类结构的几何设计和性能优化提供理论基础。

发明内容

本发明提供了弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法及系统，用以解决现有的航空发动及零部件中的柔性薄壁的振动难以测量分析的技术问题。

为解决上述技术问题，本发明提出的技术方案为：

优选的，包括以下步骤：

根据弹性支承下旋转柔性圆环的物理模型简化得到高速旋转柔性圆环的振动分析模型；

基于Timoshenko(铁木辛柯)梁理论，将剪切效应、转动惯性、陀螺效应、离心力和弹性支承作为考量因素，建立所述振动分析模型在弹性支承下高速旋转时面内和面外振动的运动方程；

根据所述面内和面外振动的运动方程，推导得到其对应的特征值方程，获取柔性圆环参数代入到所述特征值方程中，计算得到圆环结构的固有频率和振动模态。

优选的，建立所述振动分析模型在弹性支承下高速旋转时面内和面外振动的运动方程，包括以下步骤：

在所述振动分析模型上建立圆柱坐标系，定义柔性圆环体内观测点在圆柱坐标系中的振动位移，并获取圆环径向截面上的观测点在受载变形前后的位置向量计算所述旋转柔性圆环考虑平动动能和转动动能的总动能；

获取柔性圆环上一段微元在受载变形前后的长度和柔性圆环微元表面的正应变计算所述旋转柔性圆环在考虑剪切变形时的旋转圆环总应变能，并获取柔性圆环基于中心线处变形近似得到的在弹性支承处的弹性势能；

将旋转柔性圆环的动能和势能带入汉密尔顿方程，推导得到圆环面内弯曲、周向延伸和面外弯曲振动的控制方程，求解所述控制方程的平衡位置，并将控制方程在平衡位置附近进行线性化和量纲一化处理，得到所述旋转柔性圆环的无量纲运动方程。

优选的，所述总动能为：

K＝1/2∫_D∫_A{ρ(R+x){[u_,t+Ω(u_,θ-v)]²+[v_,t+Ω(v_,θ+u+R)]²+(w_,t+Ωw_,θ)²+x²[(Ωφ_z)²+(Ω+Ωφ_z,θ+φ_z,t)²+(Ωφ_,θ+φ_,t)²]+z²[(Ωφ_,θ+φ_,t+Ωφ_x)²+(Ωφ-Ωφ_x,θ-φ_x,t)²]}}dAdθ 式(5)；

式中，K为总动能；D为空间变量θ的积分区域，为D＝{θ|0≤θ≤2π}，θ为质点的空间角度位置，A为圆环径向截面面积，ρ为材料密度；xyz坐标系用来定义圆环径向截面上质点位置的随体转动坐标系，R为柔性圆环未变形时中心线的半径，x表示质点位置在x方向与随体转动坐标系原点的距离，z表示质点位置在z方向与随体转动坐标系原点的距离；Ω为柔性圆环绕z轴转动的角速度；u，v和w分别为圆环中心线(x＝z＝0)上一点在r，θ和z方向的振动位移；φ为绕y轴的转动角度，φ_z和φ_x分别为绕z轴和x轴的转动角度，x和z两个距离标量的测量定义为从中心线开始沿着随体坐标系的x轴和z轴的正向；t为时间变量；下标“,t”表示对时间变量t求偏导数，下标“,θ”表示对空间变量θ求偏导数；

所述旋转圆环总应变能为：

S_e＝1/2∫_D(∫_AσεdA)(R+x)dθ+1/2∫_D[∫_A(τ_rθγ_rθ+τ_θzγ_θz)dA](R+x)dθ 式(11)；

式中，S_e为总应变力，σ＝Eε为正应力，E为材料的弹性模量，ε为圆环的应变，τ_rθ＝μ_zGγ_rθ和τ_θz＝μ_rGγ_θz为剪切应力，μ_z为圆环材料关于z轴的剪切修正系数，μ_r为圆环材料关于r轴的剪切修正系数，G为材料的剪切模量，γ_rθ为rθ面内的剪切应变，γ_θz为θz面内的剪切应变；

所述弹性势能为：

S_f＝1/2∫_D(k_ru²+k_θv²+k_zw²)dθ 式(12)；

式中，S_f为弹性势能，k_r，k_θ和k_z为柔性圆环的弹性支承在r，θ和Z三个方向的支撑刚度，u，v和w分别为圆环中心线(x＝z＝0)上一点在r，θ和z方向的振动位移。

优选的，所述控制方程为：

式中，下标“,tt”表示对时间变量t求二阶偏导数，下标“,θθ”表示对空间变量θ求二阶偏导数，下标“,θt”表示对空间变量θ和时间变量t偏导数，J₁＝∫_Ax²dA，

式中，I₁₁＝∫_A(ηξ)dA，

式中，

式中，

式中，J₂＝∫_Az²dA，

式中，I₁₅＝∫_A(zηξ)dA，

优选的，所述运动方程为：

式中，

u_e为为振动位移的稳态平衡位置，其关于时间的偏导数为零，

式中，

式中，

式中，

式中，

经过线性化之后，式(21)、式(22)以及式(23)分别表示旋转圆环的面内弯曲振动、周向延伸振动以及绕z轴旋转振动，三者为xy平面内的振动，三者之间相互耦合；式(24)、式(25)以及式(26)分别表示旋转圆环的面外弯曲振动、绕y轴旋转振动以及绕x轴旋转振动，三者为xy平面外的振动，三者之间相互耦合；面内振动和面外振动则相互独立，运动方程基于欧拉坐标系推导得到，各运动方程中，第二项(与角速度Ω相关项)为陀螺效应项，第三项(与Ω²相关项)为向心加速度项。

优选的，根据面内和面外振动的运动方程，推导得到其对应的特征值方程，并根据所述特征值方程分析圆环结构的固有频率和振动模态，可以通过下述任意一种方式求解：

1)当节径数目给定时，柔性圆环单一节径振动固有模态对应固有频率的解析解通过求解运动方程矩阵形式的特征方程的非平凡解得到，即令系数矩阵的行列式为零进行计算；

2)通过弱形式的Galerkin方法将运动方程进行离散化来得到柔性圆环振动固有频率的数值近似解。

优选的，当节径数目给定时，柔性圆环单一节径振动固有模态对应固有频率的解析解可以通过求解运动方程矩阵形式的特征方程的非平凡解得到，即令系数矩阵的行列式为零进行计算，具体包括以下步骤：

将旋转柔性圆环的运动方程写为矩阵微分算子形式：

q＝χe^λt 式(28)；

式中，[M]，[G]，[K]和[C]分别为矩阵形式的质量、陀螺效应、刚度和离心力微分算子，q为振动微分方程的解，χ为振动微分方程解的幅值向量，λ为固有频率，

为振动微分方程的解对时间t求一次导数，

为振动微分方程的解对时间t求二次导数。

联立式(27)、式(28)得到：

λ²[M]χ+λΩ[G]χ+([K]-Ω²[C])χ＝0 式(29)；

式中，U_n、V_n、Φ_zn、W_n、Φ_n和Φ_xn分别为圆环中质点的振动位移u、v、φ_z、w、φ和φ_x对应解的幅值，e为指数公式，n为表示节径振动数目的整数，j为虚数，

；

假设柔性圆环面内振动和面外振动对应运动方程的解为u(θ,t)＝U_ne^jnθ+λt，v(θ,t)＝V_ne^jnθ+λt，φ_z(θ,t)＝Φ_zne^jnθ+λt，w(θ,t)＝W_ne^jnθ+λt，φ(θ,t)＝Φ_ne^jnθ+λt和φ_x(θ,t)＝Φ_xne^jnθ+λt，λ为固有频率，将上述解带入到式(29)、(式30)中，可以得到旋转圆环面内振动和面外振动对应的矩阵形式的特征方程为：

P和Q分别为面内振动和面外振动特征方程的系数矩阵，对于旋转圆环的面内振动，其面内弯曲振动、周向延伸振动和绕z轴旋转振动三者互相耦合，且都为二阶偏微分方程，对于给定的n，柔性圆环面内振动对应的特征方程为λ的六次方程，通过求解可以得到六个特征根，六个特征根分为三对，每一对特征根的虚部为振动的固有频率，数值较小的两个特征根对应面内弯曲振动，数值较大的两个特征根对应圆环绕z轴的旋转振动，数值居中的两个特征根对应周向延伸振动。

优选的，通过弱形式的Galerkin(伽辽金)方法将运动方程进行离散化来得到柔性圆环振动固有频率的数值近似解，包括以下步骤：

将柔性圆环面内振动和面外振动的控制方程写为矩阵微分算子的形式：

λ²[M]_inχ_in+λΩ[G]_inχ_in+([K]_in-Ω²[C]_in)χ_in＝0 式(33)；

λ²[M]_outχ_out+λΩ[G]_outχ_out+([K]_out-Ω²[C]_out)χ_out＝0 式(34)；

式中，λ为固有频率,[M]、[G]、[K]和[C]分别为矩阵形式的质量、陀螺效应、刚度和离心力微分算子，χ_in、χ_out分别为圆环面内振动、面外振动对应特征值问题的特征向量；两个向量为Hilbert(希尔伯特)空间

中的元素；

根据Hilbert空间中向量的内积运算法则，将χ_in和χ_out转化为基函数的线性叠加，并代入到式(33)、式(34)中：

式中，

和

均为待定的未知系数，n₁、n₂、n₃、n₄、n₅和n₆分别为u、v、φ_z、w、φ和φ_x对应解的幅值包含节径振动数目的整数；

和

分别为u、v、φ_z、w、φ和φ_x对应解的幅值中与θ有关的部分；N₁、N₂、N₃、N₄、N₅和N₆分别为n₁、n₂、n₃、n₄、n₅和n₆可以取的整数的最大值。

将线性叠加后振动方程的解带入到式(33)、式(34)中，得到基于权函数的残差，令基函数和方程残差的内积等于零，基于弱形式的Galerkin方法进行分部积分运算，可将控制方程离散化，得到面内和面外振动矩阵形式的特征根方程：

λ²M_inx_in+λΩG_inx_in+(K_in-Ω²C_in)x_in＝0 式(38)；

λ²M_outx_out+λΩG_outx_out+(K_out-Ω²C_out)x_out＝0 式(39)；

假设面内振动和面外振动基函数的形式为

和

求解得到以向量内积给出的矩阵元素和经过基函数假设形式简化后的矩阵元素，运用数值方法求解出特征根方程的系数向量之后，将系数向量和对应的基函数带入到基函数的线性叠加表达式中，得到圆环振动的振动模态。

优选的，还可以通过求解旋转柔性圆环面内面外振动的运动方程，分析柔性圆环面外振动的稳定性，具体包括：

求解旋转圆环振动的特征根方程得到包含实部和虚部的特征值，其中，特征值的虚部代表振动的固有频率，特征值的无量纲实部代表振动的幅值随时间的变化规律；

判断求解的特征值的实部是否为零，当实部为零，特征根为纯虚数时，代表振动幅值不随时间变化，判断振动为稳定的；当实部不为零，且为负数，代表振动幅值会随着时间呈指数衰减，判断振动也为稳定状态；当实部不为零，且为正数，且特征值的虚部不为零，则判断振动幅值会随时间震荡递增，判断在平衡位置附近发生颤振失稳；当实部不为零，且为正数，如果特征值的虚部为零，则振动物体不会在平衡位置附近振动，且其幅值会随时间以指数上升，判断出现发散失稳。

一种计算机系统，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现上述任一所述方法的步骤。

本发明具有以下有益效果：

1、本发明中的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法及系统，根据弹性支承下旋转柔性圆环的物理模型简化得到高速旋转柔性圆环的振动分析模型；基于Timoshenko梁理论，将剪切效应、转动惯性、陀螺效应、离心力和弹性支承作为考量因素，建立所述振动分析模型在弹性支承下高速旋转时面内和面外振动的运动方程；根据面内和面外振动的运动方程，推导得到其对应的特征值方程，获取柔性圆环参数代入到所述特征值方程中，分析圆环结构的面内弯曲、周向延伸和面外弯曲等振动的固有频率及对应模态，研究圆环高速旋转时的行波振动行为及其稳定性，为航空发动机中圆环类结构的几何设计和性能优化提供理论基础。

2、在优选的方案中，还能通过柔性圆环的运动方程，可以分析圆环高速旋转时的行波振动和稳定性。

除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其它的目的、特征和优点。下面将参照附图，对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1是本发明优选实施例二中的柔性旋转圆环的振动分析模型，其中，图1(a)全局俯视图，(b)径向横截面图；

图2是本发明优选实施例二中柔性圆环上一段微元在受载变形前后的长度变化；

图3是本发明优选实施例二中柔性圆环面内振动固有频率的解析解和数值解对比；

图4是本发明优选实施例二中柔性圆环面内振动的固有频率及其对应模态；

图5是本发明优选实施例二中柔性圆环面外振动固有频率的解析解和数值解对比；

图6是本发明优选实施例二中柔性圆环面外振动的固有频率及其对应模态；

图7是本发明优选实施例二中柔性圆环面外振动的临界转速和稳定性区域；

图8是本发明中的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法的流程图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的实施例进行详细说明，但是本发明可以由权利要求限定和覆盖的多种不同方式实施。

实施例一：

如图8所示，本发明公开了一种弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，包括以下步骤：

根据弹性支承下旋转柔性圆环的物理模型简化得到高速旋转柔性圆环的振动分析模型；

基于Timoshenko梁理论，将剪切效应、转动惯性、陀螺效应、离心力和弹性支承作为考量因素，建立所述振动分析模型在弹性支承下高速旋转时面内和面外振动的运动方程；

根据面内和面外振动的运动方程，推导得到其对应的特征值方程，获取柔性圆环参数代入到所述特征值方程中，计算得到圆环结构的固有频率和振动模态。

此外，在本实施例中还公开了一种计算机系统，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现上述任一所述方法的步骤。

本发明中的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法及系统，根据弹性支承下旋转柔性圆环的物理模型简化得到高速旋转柔性圆环的振动分析模型；基于Timoshenko梁理论，将剪切效应、转动惯性、陀螺效应、离心力和弹性支承作为考量因素，建立所述振动分析模型在弹性支承下高速旋转时面内和面外振动的运动方程；根据面内和面外振动的运动方程，推导得到其对应的特征值方程，获取柔性圆环参数代入到所述特征值方程中，分析圆环结构的面内弯曲、周向延伸和面外弯曲等振动的固有频率及对应模态，研究圆环高速旋转时的行波振动行为及其稳定性，为航空发动机中圆环类结构的几何设计和性能优化提供理论基础。

实施例二：

实施例二是实施例的优选实施例，其与实施例一的不同之处在于，对所述弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法进行了拓展：

本发明提供了一种弹性支承下高速旋转柔性圆环振动特性的分析方法。基于Timoshenko梁理论，考虑剪切效应、转动惯性、陀螺效应、离心力和弹性支承等因素，建立柔性圆环结构高速旋转时的振动模型，分析圆环结构的面内弯曲、周向延伸和面外弯曲等振动的固有频率及对应模态，研究圆环高速旋转时的行波振动行为及其稳定性，为航空发动机中圆环类结构的几何设计和性能优化提供理论基础。

本发明的目的是这样实现的：

弹性支承下旋转柔性圆环振动特性分析方法，其步骤为：

步骤1：基于弹性支承下旋转柔性圆环的物理模型简化得到其振动分析的数学模型(即振动分析模型)，如图1所示，定义坐标系。XYZ坐标系为静止的惯性参考系，柔性圆环在弹性支承下以角速度Ω绕着Z轴高速旋转。rθZ坐标系为静止的圆柱坐标系，θ变量的起始点为X轴。{e_r,e_θ,e_z}为圆柱坐标系中的方向向量基，向量基的起点由空间位置变量θ给出，此变量主要用来定义位置固定的一个空间方向，在此欧拉坐标系模型中，当柔性圆环绕Z轴转动的角速度为Ω时，圆环体内的质点将以速度(R+x)Ωe_θ穿过固定的θ位置。xyz坐标系用来定义圆环径向截面上质点位置的随体转动坐标系。R为柔性圆环未变形时中心线的半径，h和b分别为圆环径向截面在半径和轴线方向的宽度。

步骤2：给出建立数学模型时所需假设。假设1)假设垂直于y轴的矩形截面在变形之后仍然保持平面；假设2)截面的径向宽度和轴向宽度远小于圆环的半径尺寸，截面的翘曲效应可以忽略；3)圆环材料为均匀、各向同性的弹性材料。

步骤3：基于考虑剪切效应和转动惯性的Timoshenko梁理论来推导柔性圆环结构在弹性支承下高速旋转时的运动方程。

(3.1)推导旋转柔性圆环的动能。

(3.1.1)柔性圆环体内某一点在圆柱坐标系中的振动位移定义为：

式中，u_r，u_θ和u_z分别为柔性圆环体内某一点在圆柱坐标系的r，θ和z方向的振动位移。u，v和w分别为圆环中心线(x＝z＝0)上一点在r，θ和z方向的振动位移。φ为绕y轴的转动角度，φ_z和φ_x分别为绕z轴和x轴的转动角度。x和z两个距离标量的测量定义为从中心线开始沿着随体坐标系的x轴和z轴的正向，t为时间变量。

(3.1.2)给出圆环径向截面上一点在受载变形前后的位置向量分别为：

r₀＝(R+x)e_r+ze_z 式(2)；

r＝(R+x+u_r)e_r+u_θe_θ+(z+u_z)e_z 式(3)；

据此得到变形后这一点的运动速度为：

式中，向量的上标“.”和下标“,t”都表示对时间变量t求偏导数，下标“θ”表示对空间变量θ求偏导数。

(3.1.3)给出旋转柔性圆环考虑平动动能和转动动能的总动能：

式中，K为总动能；D为空间变量θ的积分区域，为D＝{θ|0≤θ≤2π}，θ为质点的空间角度位置，A为圆环径向截面面积，ρ为材料密度；xyz坐标系用来定义圆环径向截面上质点位置的随体转动坐标系，R为柔性圆环未变形时中心线的半径，x表示质点位置在x方向与随体转动坐标系原点的距离，z表示质点位置在z方向与随体转动坐标系原点的距离；Ω为柔性圆环绕z轴转动的角速度；u，v和w分别为圆环中心线(x＝z＝0)上一点在r，θ和z方向的振动位移；φ为绕y轴的转动角度，φ_z和φ_x分别为绕z轴和x轴的转动角度，x和z两个距离标量的测量定义为从中心线开始沿着随体坐标系的x轴和z轴的正向；t为时间变量；下标“,t”表示对时间变量t求偏导数，下标“,θ”表示对空间变量θ求偏导数。

(3.2)推导旋转柔性圆环的势能。

(3.2.1)如图2所示，给出柔性圆环上一段微元在受载变形前后的长度分别为：

式中，

(3.2.2)给出柔性圆环微元表面的正应变为：

(3.2.3)将正应变近似为位移变量的二次泰勒展开式为：

(3.2.4)忽略剪切变形的非线性项，得到圆柱坐标系中柔性圆环基于位移-应变关系的线性剪应变表达式：

(3.2.5)运用胡克定律给出考虑剪切变形的旋转圆环总应变能为：

S_e＝1/2∫_D(∫_AσεdA)(R+x)dθ+1/2∫_D[∫_A(τ_rθγ_rθ+τ_θzγ_θz)dA](R+x)dθ 式(11)；

式中，E为材料的弹性模量，G为材料的剪切模量，σ＝Eε为正应力，τ_rθ＝μ_zGγ_rθ和τ_θz＝μ_rGγ_θz为剪切应力。μ_z和μ_r为圆环材料关于z轴和r轴的剪切修正系数。

(3.2.6)给出柔性圆环基于中心线处变形近似得到的在弹性支承处的弹性势能：

S_f＝1/2∫_D(k_ru²+k_θv²+k_zw²)dθ 式(12)；

式中，k_r，k_θ和k_z为柔性圆环的弹性支承在r，θ和Z三个方向的支撑刚度。

(3.3)推导旋转柔性圆环的运动方程。

(3.3.1)将旋转柔性圆环的动能和势能带入汉密尔顿方程

推导得到圆环面内弯曲、周向延伸和面外弯曲振动的控制方程如下：

ρR[(J₁+J₂)φ_,tt+2Ω(J₁+J₂)φ_,θt+2ΩJ₂φ_x,t+Ω²(J₁+J₂)φ_,θθ+2Ω²J₂φ_x,θ-Ω²J₂φ]-ρJ₁w_,tt-ρJ₁Ω(2w_,θt+Ωw_,θθ)+E(I₄φ+I₃u+I₃v_,θ+I₅φ_z,θ-I₄φ_x,θ)+E(I₉-I₁₀+I₁₈+I₂₃-I₂₈+I₃₀)-Gμ_z(I₃u_,θθ-I₃v_,θ+RI₃φ_z,θ+I₄φ_,θθ+I₄φ_x,θ)+Gμ_r(I₂w_,θθ-I₆φ_,θθ-RI₂φ_x,θ-I₆φ_x,θ)＝0 式(17)；

ρJ₂R[φ_x,tt+2Ω(φ_x,θt-φ_,t)-Ω²(φ_x-φ_x,θθ+2φ_,θ)]-E(I₄φ_x,θθ-I₃u_,θ-I₃v_,θθ-I₅φ_z,θθ-I₄φ_,θ)+E(I₁₅+I₁₆+I₂₁+I₂₆)+Gμ_z(I₃u_,θ-I₃v+RI₃φ_z+I₄φ_,θ+I₄φ_x)-Gμ_r(Aw_,θ-RAφ_x)＝0 式(18)；

(3.3.2)基于摄动法将上述控制方程在稳态平衡位置附近进行线性化处理。将柔性圆环在各个方向的振动位移写为稳态响应和扰动变量的形式为：

式中，u_e，v_e，φ_ze，w_e，φ_e和φ_xe分别为振动位移的稳态平衡位置，其关于时间的偏导数为零。Δu，Δv，Δφ_z，Δw，Δφ和Δφ_x为位移变量在平衡位置附近的微小扰动变量。

(3.3.3)联立控制方程和扰动方程，得到柔性圆环以角速度Ω绕z轴旋转时的振动平衡位置为：

(3.3.4)将控制方程在平衡位置附近进行线性化和量纲一化处理，得到旋转柔性圆环的无量纲运动方程：

经过线性化之后，前三项控制方程式分别表示旋转圆环的面内弯曲振动，周向延伸振动和绕z轴旋转振动，为xy平面内的振动，三者之间相互耦合。后三项控制方程式分别表示旋转圆环的面外弯曲振动，绕y轴旋转振动和绕x轴旋转振动，为xy平面外的振动，三者之间相互耦合，而面内振动和面外振动则相互独立。运动方程基于欧拉坐标系推导得到，式中，第二项(与角速度Ω相关项)为陀螺效应项，第三项(与Ω²相关项)为向心加速度项。

步骤4：基于旋转柔性圆环面内面外振动的运动方程，得到对应的特征值方程，分析圆环结构的固有频率和振动模态。

(4.1)当节径数目n给定时，柔性圆环单一节径振动固有模态对应固有频率的解析解可以通过求解矩阵形式特征方程的非平凡解得到，即令系数矩阵的行列式为零进行计算。

(4.1.1)将旋转柔性圆环的振动控制方程转化为矩阵微分算子形式：

q＝χe^λt 式(28)；

联立上述两个方程，得到

λ²[M]χ+λΩ[G]χ+([K]-Ω²[C])χ＝0 式(29)；

(4.1.2)假设柔性圆环面内振动和面外振动对应运动方程的解为u(θ,t)＝U_ne^{jn θ+λt}，v(θ,t)＝V_ne^jnθ+λt，φ_z(θ,t)＝Φ_zne^jnθ+λt，w(θ,t)＝W_ne^jnθ+λt，φ(θ,t)＝Φ_ne^jnθ+λt和φ_x(θ,t)＝Φ_xne^jnθ+λt，λ为固有频率，将上述解带入到矩阵微分算子形式的控制方程中，可以得到旋转圆环面内振动和面外振动对应的矩阵形式的特征方程为：

(4.1.3)对于旋转圆环的面内振动，其面内弯曲振动、周向延伸振动和绕z轴旋转振动三者互相耦合，且都为二阶偏微分方程。对于给定的n，柔性圆环面内振动对应的特征方程为λ的六次方程，通过求解可以得到六个特征根。六个特征根分为三对，每一对特征根的虚部为振动的固有频率，数值较小的两个特征根对应面内弯曲振动，数值较大的两个特征根对应圆环绕z轴的旋转振动，数值居中的两个特征根对应周向延伸振动。

(4.2)此外，可以通过弱形式的Galerkin方法将控制方程进行离散化来得到柔性圆环振动固有频率的数值近似解。

(4.2.1)将柔性圆环面内振动和面外振动的控制方程写为矩阵微分算子的形式：

λ²[M]_inχ_in+λΩ[G]_inχ_in+([K]_in-Ω²[C]_in)χ_in＝0 式(33)；

λ²[M]_outχ_out+λΩ[G]_outχ_out+([K]_out-Ω²[C]_out)χ_out＝0 式(34)；

式中，[M]，[G]，[K]和[C]为矩阵形式的质量、陀螺效应、刚度和离心力微分算子。χ_in和χ_out为圆环面内振动和面外振动对应特征值问题的特征向量。两个向量为Hilbert空间

中的元素。

(4.2.2)定义Hilbert空间中向量的内积运算法则：

式中，向量的上标“-”表示共轭复数。

χ_in和χ_out可以写为基函数的线性叠加

式中，

和

为待定的未知系数。

(4.2.3)将线性叠加后振动方程的解带入到控制方程式中，得到基于权函数的残差，令基函数和方程残差的内积等于零，基于弱形式的Galerkin方法进行分部积分运算，可将控制方程离散化，得到面内和面外振动矩阵形式的特征根方程：

λ²M_inx_in+λΩG_inx_in+(K_in-Ω²C_in)x_in＝0 式(38)；

λ²M_outx_out+λΩG_outx_out+(K_out-Ω²C_out)x_out＝0 式(39)；

(4.2.4)假设面内振动和面外振动基函数的形式为

和

可以得到以向量内积给出的矩阵元素和经过基函数假设形式简化后的矩阵元素。运用数值方法求解出特征根方程的系数向量之后，将系数向量和对应的基函数带入到基函数的线性叠加表达式中，可以得到圆环振动的振动模态。

(4.3)算例分析。将表1所示柔性圆环参数带入到面内振动和面外振动的特征方程中，求解得到固有频率的解析解和数值解及对应的模态。如图3至图6所示。

表1圆环参数

步骤5：基于旋转柔性圆环面内面外振动的运动方程，分析柔性圆环面外振动的稳定性及临界转速，如图7所示。特征根方程的特征值一般包括实部和虚部两部分，特征值的虚部，代表振动的固有频率，特征值的无量纲实部，代表振动的幅值随时间的变化规律。当实部为零，特征根为纯虚数时，表示振动幅值不随时间变化，振动为稳定的；当实部存在，且为负数，振动幅值会随着时间呈指数衰减，振动也为稳定状态；当实部存在，且为正数，此时如果特征值的虚部不为零，则振动幅值会随时间震荡递增，在平衡位置附近发生颤振失稳，此时如果特征值的虚部为零，则振动物体不会在平衡位置附近振动，且其幅值会随时间以指数上升，出现发散失稳。

即，判断求解的特征值的实部是否为零，当实部为零，特征根为纯虚数时，代表振动幅值不随时间变化，判断振动为稳定的；当实部不为零，且为负数，代表振动幅值会随着时间呈指数衰减，判断振动也为稳定状态；当实部不为零，且为正数，且特征值的虚部不为零，则判断振动幅值会随时间震荡递增，判断在平衡位置附近发生颤振失稳；当实部不为零，且为正数，如果特征值的虚部为零，则振动物体不会在平衡位置附近振动，且其幅值会随时间以指数上升，判断出现发散失稳。

综上可知，本发明中的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法及系统，根据弹性支承下旋转柔性圆环的物理模型简化得到高速旋转柔性圆环的振动分析模型；基于Timoshenko梁理论，将剪切效应、转动惯性、陀螺效应、离心力和弹性支承作为考量因素，建立所述振动分析模型在弹性支承下高速旋转时面内和面外振动的运动方程；根据面内和面外振动的运动方程，推导得到其对应的特征值方程，获取柔性圆环参数代入到所述特征值方程中，分析圆环结构的面内弯曲、周向延伸和面外弯曲等振动的固有频率及对应模态，研究圆环高速旋转时的行波振动行为及其稳定性，为航空发动机中圆环类结构的几何设计和性能优化提供理论基础。

在优选的方案中，还能通过柔性圆环的运动方程，可以分析圆环高速旋转时的行波振动和稳定性。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

根据弹性支承下旋转柔性圆环的物理模型简化得到高速旋转柔性圆环的振动分析模型；

基于Timoshenko梁理论，将剪切效应、转动惯性、陀螺效应、离心力和弹性支承作为考量因素，建立所述振动分析模型在弹性支承下高速旋转时面内和面外振动的运动方程；

根据所述面内和面外振动的运动方程，推导得到其对应的特征值方程，获取柔性圆环参数代入到所述特征值方程中，计算得到圆环结构的固有频率和振动模态。

2.根据权利要求1所述的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，其特征在于，建立所述振动分析模型在弹性支承下高速旋转时面内和面外振动的运动方程，包括以下步骤：

在所述振动分析模型上建立圆柱坐标系，定义柔性圆环体内观测点在圆柱坐标系中的振动位移，并获取圆环径向截面上的观测点在受载变形前后的位置向量，计算所述旋转柔性圆环考虑平动动能和转动动能的总动能；

获取柔性圆环上一段微元在受载变形前后的长度和柔性圆环微元表面的正应变，计算所述旋转柔性圆环在考虑剪切变形时的旋转圆环总应变能，并获取柔性圆环基于中心线处变形近似得到的在弹性支承处的弹性势能；

将旋转柔性圆环的动能和势能带入汉密尔顿方程，推导得到圆环面内弯曲、周向延伸和面外弯曲振动的控制方程，求解所述控制方程的平衡位置，并将控制方程在平衡位置附近进行线性化和量纲一化处理，得到所述旋转柔性圆环的无量纲运动方程。

3.根据权利要求2所述的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，其特征在于，所述总动能为：

K＝1/2∫_D∫_A{ρ(R+x){[u_,t+Ω(u_,θ-v)]²+[v_,t+Ω(v_,θ+u+R)]²+(w_,t+Ωw_,θ)²

+x²[(Ωφ_z)²+(Ω+Ωφ_z,θ+φ_z,t)²+(Ωφ_,θ+φ_,t)²]

+z²[(Ωφ_,θ+φ_,t+Ωφ_x)²+(Ωφ-Ωφ_x,θ-φ_x,t)²]}}dAdθ 式(5)；

式中，K为总动能；D为空间变量θ的积分区域，为D＝{θ|0≤θ≤2π}，θ为质点的空间角度位置，A为圆环径向截面面积，ρ为材料密度；xyz坐标系用来定义圆环径向截面上质点位置的随体转动坐标系，R为柔性圆环未变形时中心线的半径，x表示质点位置在x方向与随体转动坐标系原点的距离，z表示质点位置在z方向与随体转动坐标系原点的距离；Ω为柔性圆环绕z轴转动的角速度；u，v和w分别为圆环中心线(x＝z＝0)上一点在r，θ和z方向的振动位移；φ为绕y轴的转动角度，φ_z和φ_x分别为绕z轴和x轴的转动角度，x和z两个距离标量的测量定义为从中心线开始沿着随体坐标系的x轴和z轴的正向；t为时间变量；下标“,t”表示对时间变量t求偏导数，下标“,θ”表示对空间变量θ求偏导数；

所述旋转圆环总应变能为：

S_e＝1/2∫_D(∫_AσεdA)(R+x)dθ+1/2∫_D[∫_A(τ_rθγ_rθ+τ_θzγ_θz)dA](R+x)dθ 式(11)；

式中，S_e为总应变力，σ＝Eε为正应力，E为材料的弹性模量，ε为圆环的应变，τ_rθ＝μ_zGγ_rθ和τ_θz＝μ_rGγ_θz为剪切应力，μ_z为圆环材料关于z轴的剪切修正系数，μ_r为圆环材料关于r轴的剪切修正系数，G为材料的剪切模量，γ_rθ为rθ面内的剪切应变，γ_θz为θz面内的剪切应变；

所述弹性势能为：

S_f＝1/2∫_D(k_ru²+k_θv²+k_zw²)dθ 式(12)；

式中，S_f为弹性势能，k_r，k_θ和k_z为柔性圆环的弹性支承在r，θ和Z三个方向的支撑刚度，u，v和w分别为圆环中心线(x＝z＝0)上一点在r，θ和z方向的振动位移。

4.根据权利要求3所述的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，其特征在于，所述控制方程为：

式中，下标“,tt”表示对时间变量t求二阶偏导数，下标“,θθ”表示对空间变量θ求二阶偏导数，下标“,θt”表示对空间变量θ和时间变量t偏导数，J₁＝∫_Ax²dA，

式中，I₁₁＝∫_A(ηξ)dA，

式中，

I₁₃＝∫_A(xηξ)dA，

式中，

式中，J₂＝∫_Az²dA，

式中，I₁₅＝∫_A(zηξ)dA，

5.根据权利要求1-4中任意一项中所述的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，其特征在于，所述运动方程为：

式中，

u_e为为振动位移的稳态平衡位置，其关于时间的偏导数为零，

式中，

式中，

式中，

式中，

经过线性化之后，式(21)、式(22)以及式(23)分别表示旋转圆环的面内弯曲振动、周向延伸振动以及绕z轴旋转振动，三者为xy平面内的振动，三者之间相互耦合；式(24)、式(25)以及式(26)分别表示旋转圆环的面外弯曲振动、绕y轴旋转振动以及绕x轴旋转振动，三者为xy平面外的振动，三者之间相互耦合；面内振动和面外振动则相互独立，运动方程基于欧拉坐标系推导得到，各运动方程中，第二项与角速度Ω相关项，为陀螺效应项，第三项与Ω²相关项，为向心加速度项。

6.根据权利要求5所述的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，其特征在于，根据面内和面外振动的运动方程，推导得到其对应的特征值方程，并根据所述特征值方程分析圆环结构的固有频率和振动模态，通过下述任意一种方式求解：

1)当节径数目给定时，柔性圆环单一节径振动固有模态对应固有频率的解析解通过求解运动方程矩阵形式的特征方程的非平凡解得到，即令系数矩阵的行列式为零进行计算；

2)通过弱形式的Galerkin方法将运动方程进行离散化来得到柔性圆环振动固有频率的数值近似解。

7.根据权利要求6所述的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，其特征在于，当节径数目给定时，柔性圆环单一节径振动固有模态对应固有频率的解析解通过求解运动方程矩阵形式的特征方程的非平凡解得到，即令系数矩阵的行列式为零进行计算，具体包括以下步骤：

将旋转柔性圆环的运动方程写为矩阵微分算子形式：

q＝χe^λt 式(28)；

式中，[M]，[G]，[K]和[C]分别为矩阵形式的质量、陀螺效应、刚度和离心力微分算子，q为振动微分方程的解，χ为振动微分方程解的幅值向量，λ为固有频率，

为振动微分方程的解对时间t求一次导数，

为振动微分方程的解对时间t求二次导数；

联立式(27)、式(28)得到：

λ²[M]χ+λΩ[G]χ+([K]-Ω²[C])χ＝0 式(29)；

式中，U_n、V_n、Φ_zn、W_n、Φ_n和Φ_xn分别为圆环中质点的振动位移u、v、φ_z、w、φ和φ_x对应解的幅值，e为指数公式，n为表示节径振动数目的整数，j为虚数，

；

假设柔性圆环面内振动和面外振动对应运动方程的解为u(θ,t)＝U_ne^jnθ+λt，v(θ,t)＝V_ne^jnθ+λt，φ_z(θ,t)＝Φ_zne^jnθ+λt，w(θ,t)＝W_ne^jnθ+λt，φ(θ,t)＝Φ_ne^jnθ+λt和φ_x(θ,t)＝Φ_xne^{jn θ+λt}，λ为固有频率，将上述解带入到式(29)、(式30)中，得到旋转圆环面内振动和面外振动对应的矩阵形式的特征方程为：

P和Q分别为面内振动和面外振动特征方程的系数矩阵，对于旋转圆环的面内振动，其面内弯曲振动、周向延伸振动和绕z轴旋转振动三者互相耦合，且都为二阶偏微分方程，对于给定的n，柔性圆环面内振动对应的特征方程为λ的六次方程，通过求解得到六个特征根，六个特征根分为三对，每一对特征根的虚部为振动的固有频率，数值较小的两个特征根对应面内弯曲振动，数值较大的两个特征根对应圆环绕z轴的旋转振动，数值居中的两个特征根对应周向延伸振动。

8.根据权利要求6所述的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，其特征在于，通过弱形式的Galerkin方法将运动方程进行离散化来得到柔性圆环振动固有频率的数值近似解，包括以下步骤：

将柔性圆环面内振动和面外振动的控制方程写为矩阵微分算子的形式：

λ²[M]_inχ_in+λΩ[G]_inχ_in+([K]_in-Ω²[C]_in)χ_in＝0 式(33)；

λ²[M]_outχ_out+λΩ[G]_outχ_out+([K]_out-Ω²[C]_out)χ_out＝0 式(34)；

式中，λ为固有频率,[M]、[G]、[K]和[C]分别为矩阵形式的质量、陀螺效应、刚度和离心力微分算子，χ_in、χ_out分别为圆环面内振动、面外振动对应特征值问题的特征向量；两个向量为Hilbert空间

中的元素；

根据Hilbert空间中向量的内积运算法则，将χ_in和χ_out转化为基函数的线性叠加，并代入到式(33)、式(34)中：

式中，

和

均为待定的未知系数，n₁、n₂、n₃、n₄、n₅和n₆分别为u、v、φ_z、w、φ和φ_x对应解的幅值包含节径振动数目的整数；

和

分别为u、v、φ_z、w、φ和φ_x对应解的幅值中与θ有关的部分；N₁、N₂、N₃、N₄、N₅和N₆分别为n₁、n₂、n₃、n₄、n₅和n₆可以取的整数的最大值；

将线性叠加后振动方程的解带入到式(33)、式(34)中，得到基于权函数的残差，令基函数和方程残差的内积等于零，基于弱形式的Galerkin方法进行分部积分运算，将控制方程离散化，得到面内和面外振动矩阵形式的特征根方程：

λ²M_inx_in+λΩG_inx_in+(K_in-Ω²C_in)x_in＝0 式(38)；

λ²M_outx_out+λΩG_outx_out+(K_out-Ω²C_out)x_out＝0 式(39)；

假设面内振动和面外振动基函数的形式为

和

求解得到以向量内积给出的矩阵元素和经过基函数假设形式简化后的矩阵元素，运用数值方法求解出特征根方程的系数向量之后，将系数向量和对应的基函数带入到基函数的线性叠加表达式中，得到圆环振动的振动模态。

9.根据权利要求8所述的弹性支承下旋转的柔性圆环的振动分析方法，其特征在于，还可以通过求解旋转柔性圆环面内面外振动的运动方程，分析柔性圆环面外振动的稳定性，具体包括：

求解旋转圆环振动的特征根方程得到包含实部和虚部的特征值，其中，特征值的虚部代表振动的固有频率，特征值的无量纲实部代表振动的幅值随时间的变化规律；

判断求解的特征值的实部是否为零，当实部为零，特征根为纯虚数时，代表振动幅值不随时间变化，判断振动为稳定的；当实部不为零，且为负数，代表振动幅值会随着时间呈指数衰减，判断振动也为稳定状态；当实部不为零，且为正数，且特征值的虚部不为零，则判断振动幅值会随时间震荡递增，判断在平衡位置附近发生颤振失稳；当实部不为零，且为正数，如果特征值的虚部为零，则振动物体不会在平衡位置附近振动，且其幅值会随时间以指数上升，判断出现发散失稳。

10.一种计算机系统，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，其特征在于，所述处理器执行所述计算机程序时实现上述权利要求1至9任一所述方法的步骤。

Images