CN113129195B - 一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法，包括置乱和扩散两部分，第一部分置乱部分采用改进的魔方变换和置乱对图像实现置乱；第二部分扩散部分采用忆阻混沌系统生成的混沌伪随机序列，重塑成混沌矩阵，并将置乱矩阵和混沌矩阵进行异或运算，实现最终的加密。本发明结合改进的魔方变化置乱算法及忆阻混沌伪随机序列，通过MATLAB软件仿真验证了该图像加密算法，并和已有算法比较了图像加密的性能指标，证明了该算法具有更好的加密性能。

Description

一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法

技术领域

本发明涉及混沌图像加密技术领域，更具体地说涉及一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法。

背景技术

随着互联网技术和移动通信技术的飞速发展，智能手机、Ipad等智能终端迅速普及，数字图像已成为人们进行信息交流的主要媒介。但由于网络的开放性，数字图像在传输过程中面临被篡改和被窃取的风险，人们的隐私安全面临巨大的挑战。为保证数字图像信息安全，保护人们的个人隐私，迫切需要对数字图像进行加密。

近年来，作为一种效果显著的图像加密技术，混沌图像加密已成为图像加密领域的研究热点，目前出现了许多基于混沌的图像加密算法。但现有混沌图像加密大多采用离散混沌系统和一般的低维混沌系统来产生混沌伪随机序列，存在混沌系统方程简单、作为密钥的初始值和参数数量较少等问题，从而造成密钥空间不大，进而导致加密效果不佳的问题。

传统的电阻、电容、电感三大电子元器件之外的第四种元器件——忆阻器出现后，很快被应用于混沌电路的研究中，并产生了许多忆阻混沌系统。该类混沌系统由于忆阻的记忆功能而具有比离散混沌系统和低维混沌系统更为复杂的动力学行为，应用于图像加密时具有更强的保密性，因此忆阻混沌在图像加密中的应用引起了学者的关注。但总的来说，忆阻混沌图像加密研究仍然处于起步阶段，研究成果不多且不成熟不完善。因此，忆阻混沌在图像加密中的应用研究具有重要的理论意义和现实意义。

目前，忆阻混沌图像加密研究仍然处于起步阶段，研究成果不多。文献《忆阻混沌电路在图像加密中的应用》(方颖，中国地质大学(北京)，2016)提出了一种基于荷控忆阻混沌系统的图像加密的算法，该算法以忆阻混沌系统的参数和状态变量初始值作为密钥，通过取一定步长对忆阻混沌系统进行采样得到离散的混沌伪随机序列，然后对混沌伪随机序列进行编码后，与像素矩阵进行异或运算，从而实现了图像加密。施浩楠等人《基于Python的彩色图像忆阻系统多稳态加密》将一个四维磁控忆阻混沌系统应用于图像加密，通过将忆阻混沌系统的状态变量初始值作为密钥，经过迭代并离散采样得到四组混沌伪随机序列，然后取其中三组混沌伪随机序列，分别与图像RGB三个分量的像素矩阵异或运算，最终实现了图像加密。《基于忆阻超混沌系统的医学图像加密算法的设计及实现》(程云龙，河南大学，2016)提出了一种结合忆阻超混沌系统的图像加密算法，该算法通过在经典的蔡氏电路基础上构建的四维忆阻超混沌系统来产生离散混沌伪随机序列，然后经过两次以不同混沌伪随机序列为参数置乱，并进行单次扩散后，实现了混沌图像加密。闵富红等人《新型忆阻器混沌电路及其在图像加密中的应用》(电子与信息学报,2016)将一种新型忆阻混沌电路产生的忆阻混沌应用于图像加密，首先采用忆阻模型设定简单的双曲正弦非线性曲线，对待加密的图像实施异或操作进行预处理，然后交换混沌序列与像素值，最终实现图像加密。在《基于混沌系统的图像加密算法的设计与实现》(杨康，河南大学，2017)中，结合细胞自动机、忆阻混沌系统和DNA技术，提出了一种图像加密算法，对密钥进行动态选取来实现图像加密。

在研究中我们发现：图像加密中忆阻混沌系统的采用大大提高了混沌图像加密的安全性，但现有关于忆阻混沌图像加密方法仍存在一些值得改进之处：(1)部分文献仅使用混沌序列对图像进行置乱和扩散操作，并未考虑到与其它置乱方式相结合进行图像加密，算法比较简单，加密程度不高；(2)部分文献虽然采用了置乱算法，但置乱方式较为单一，并未使用忆阻混沌对置乱操作进行控制，未能充分利用密钥空间。

因此，将其它置乱方式与忆阻混沌系统相结合，并应用忆阻混沌对置乱操作进行控制以充分利用密钥空间，无疑会增强忆阻混沌的图像加密性能，从而提升图像加密的抗攻击性。

对于图像加密中的置乱操作，一些学者在基于离散混沌系统和一般混沌系统研究图像加密时，采用了许多置乱方法，魔方变换是置乱效果较好的一种置乱方法。鲍官军等人在《魔方变换及其在数字图像加密中的应用》(计算机应用,2002)中将魔方变换和Logistics映射这一离散混沌系统相结合，提出了一种混沌图像加密算法，该算法中的像素置乱采用了魔方的位移性质和离散混沌系统产生的混沌伪随机序列相结合的方式。《一种基于混沌和魔方的数字图像置乱算法》(刘晓义、王述洋，中国安全科学,2008)提出了一种将魔方变换和混沌系统相结合的图像加密算法，该算法在对图像像素置乱时，采用了混沌系统的初始值来确定魔方位移的方向、次序和次数，并与混沌系统产生的混沌伪随机序列相结合进行加密的方法。董虎胜等人《基于Henon映射与魔方变换的图像加密算法》(计算机应用与软件,2014)提出了一种基于Henon映射的魔方图像加密算法，将图像分解为三维数据矩阵，对各平面数据按环做循环位移操作。杨丽博《基于魔方变换和DNA编码相结合的图像加密方案研究》(安徽大学，2017)提出了一种将魔方的旋转性质同DNA序列相结合的加密算法。然而，以上文献在利用魔方对图像进行置乱操作时，并未考虑到魔方具有三个自由度的问题，仅仅将魔方的循环位移思想加以应用，魔方六个面之间的位置关系没有在算法中体现。

发明内容

本发明提出一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法，结合改进的魔方变换置乱算法及忆阻混沌伪随机序列，通过MATLAB软件仿真验证了该图像加密算法，并和已有算法比较了图像加密的性能指标，证明了该算法具有更好的加密性能。

本发明的技术方案是这样实现的：

一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法，包括以下步骤：

S1，读取原始图像的像素值，得到N×N像素矩阵A。

S2，对图像进行预处理，将图像等分成大小相同的6个部分，若不能够进行整除则对较短的边进行补“0”，对应到魔方的6面上，魔方六个面中转动的四个面仅有3种排列组合，用参数p选择为哪一种情况，根据忆阻混沌系统产生的混沌伪随机序列确定参数p，动态选择参与魔方变换的四个面，进行排列得到一个像素值矩阵Q；

S3，以给定的混沌序列为参数，在行方向上对矩阵进行循环位移得到一次加密的矩阵Q₁，令Q＝Q₁，去掉像素值为“0”的点后，根据部分图像的序号将Q还原到A内；

S4，重复步骤S2、步骤S3操作N次，对图像进行部分选取、循环位移N次；

S5，经过上述步骤，得到了一个经过N²次运算的加密矩阵B。

优选地，采用公式(1)的Chua忆阻混沌系统产生混沌伪随机序列：

其中x、y、z、w为状态变量，系统参数α、β、ξ和状态变量的初始值(0.01,0,0,0)作为密钥，采用步长为0.1的Runge-Kutta方法进行迭代，得到伪随机序列x_i，y_i，z_i，w_i。

优选地，按照公式

其中[·]为取整函数，得到混沌序列K、KZ，将其转换成矩阵H、HZ，大小皆为N×N；

将序列K对3取模，确定p值；将序列KZ中的数值作为魔方循环位移的参数位移量。

优选地，还包括：

S6，由式

将二维矩阵B和二维矩阵H进行异或运算，得到加密矩阵M，转化得到加密图像。

优选地，步骤S3中对矩阵循环位移的量控制在矩阵每一行像素值数量范围以内。

本发明产生的有益效果为：

(1)用于产生混沌伪随机系列的忆阻混沌系统相较于一般离散混沌系统和一般低维混沌系统，具有更为复杂的动力特性、更为复杂的方程式和更多的用于密钥的系统参数和状态变量初始值，因此密钥空间更大，加密程度较高；

(2)该算法充分利用了魔方的三维属性，利用忆阻混沌系统产生的混沌伪随机序列动态地确定魔方六个面中的四个面，反复进行移位置乱，显然比现有魔方置乱算法中只用魔方固定的四个面的循环位移对图像进行置乱的效果要好；

(3)仿真结果和性能比较分析结果表明该算法性能良好，能够有效抵御常见的攻击。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为魔方的示意图。

图2为魔方矩阵行变换的示意图。

图3为改进魔方变换示意图。

图4为加密过程的示意图。

图5为解密过程的示意图。

图6为加密前后的图像，其中图6(a)为加密前原图，图6(b)为加密后的图像。

图7为加密前后的直方图，其中图7(a)为原图直方图，图7(b)为加密后图像直方图。

图8加密前后各方向的相关性图，其中，图8(a)为原图Lena水平方向相关性图，图8(b)为密文图像水平方向相关性图，图8(c)为原图Lena垂直方向相关性图，图8(d)为密文图像垂直方向相关性图，图8(e)为原图Lena对角方向相关性图，图8(f)为密文图像对角方向相关性图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，魔方又叫魔术方块，是一种生活中常见的益智类玩具，通常是六面正方体，其核心是一个轴，六个面有不同的颜色，可在三个自由度上进行旋转，以打乱面上小方块的位置，再将其还原。魔方变换就是将魔方转动置乱应用在图像加密中的一种方法。一幅数字图像可看作是像素值组成的矩阵，这些像素值对应魔方上的小方块，根据魔方自身可旋转的特性，可对矩阵的行或列进行旋转置乱(像素值的位移)。比如，某一行的像素值的转动对应于位于本行的所有元素向某个方向进行h位的循环位移，如图2所示，h为位移参数，在实际加密过程中可多次循环位移。由于位移参数h、重复次数的存在使得此变换的加密效果较好，可以通过多次重复置乱获得理想的加密图像。

现有的魔方置乱方式，只考虑了魔方的二维属性，仅利用魔方旋转会使模块产生循环位移这一性质，将图像像素固定在魔方六个面中的四个面上按照行或列进行循环位移，因此并未利用到魔方作为一个立体模型的三维特性。

针对现有技术的缺陷，本发明提出一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法，包括以下步骤：

S1，读取原始图像的像素值，得到像素矩阵A。

S2，按照改进的魔方变换对图像进行预处理。由于魔方在转动过程中有三个自由度，将魔方放入三维坐标系中，XOY、YOZ、XOZ上固定一个自由度，所以每次转动只会有四个面受到影响，垂直于旋转自由度方向的相对两个面不会发生变化。如图3所示，改进的算法是将图像等分成大小相同的6块，将6块图进行编号，将像素对应于魔方的六个面上，若不能够进行整除则对较短的边进行补“0”，对应到魔方的6面上，魔方六个面中转动的四个面仅有3种排列组合，可以用一个参数p＝{0,1,2}来选择哪一种情况。

根据忆阻混沌系统产生的混沌伪随机序列确定参数p，动态选择参与魔方变换的四个面，进行排列得到一个像素值矩阵Q。

其中，忆阻混沌应用于图像加密的首要任务是生成忆阻混沌伪随机序列。但由于忆阻混沌系统是一个连续的系统，不能像离散混沌系统那样通过直接迭代产生混沌伪随机序列，而应给定适当步长对其进行抽样，并对抽样点进行整数化的处理，得到混沌伪随机序列。其过程如下：

由于混沌系统对初始值的极端敏感性，细小的差异都可能产生巨大的变化，时间越长所得到的混沌伪随机序列的伪随机性越强，离初始值越近的混沌伪随机序列的伪随机性越弱，这就是所谓的“暂态性”。因此，为提高混沌图像加密的安全性，应取忆阻混沌系统在初始时刻一段时间后的抽样作为混沌伪随机序列进行加密。

本发明采用如下Chua忆阻混沌系统产生混沌伪随机序列：

其中x、y、z、w为状态变量，α、β、ξ为系统参数。

取式(1)Chua忆阻混沌系统的参数α＝4、β＝0.7、ξ＝0.1，状态变量的初始值(0.01,0,0,0)作为密钥，采用步长为0.1的Runge-Kutta方法进行迭代，去掉前400项，得到伪随机序列x_i,y_i,z_i,w_i。

为了避免混沌序列暂态性对加密效果产生负面影响，我们选择400项后的采样点为混沌伪随机序列，用于图像加密。

因为得到的混沌伪随机序列并不是一个整数序列，在后面的加密中需要整数参与运算，故还应对其进行整数化处理。由以下式(2)，取混沌实数序列中元素小数点后15位作为整数，对256取模，转化成(0,255)范围内的混沌伪随机序列。四组序列分成两组交叉排列，得到新的两组序列。

其中[·]为取整函数。

S3，以给定的混沌序列为参数，在行方向上对矩阵进行循环位移得到一次加密的矩阵Q₁，令Q＝Q₁，去掉像素值为“0”的点后，根据部分图像的序号将Q还原到A内。

其中，将伪随机序列K、KZ转换成矩阵H、HZ，大小皆为N×N。将序列K对3取模，可以确定p值，作为改进魔方变换的参数选定待加密的图像部分；再将序列KZ中的数值作为魔方循环位移的参数位移量。

在选择p值时，可根据忆阻混沌系统产生的混沌伪随机序列，经过取整、对3取模等处理后，动态地选择p值，进而动态地选择魔方六个面中的四个面进行位移，实现置乱，优点是能够动态地选择置乱区域，如此可使得算法更加安全可靠，破解的难度更大。

此步骤是对选取的图像部分进行一次置乱变换的过程，参数控制在某方向上像素位移的量。此时参数应当控制在矩阵每一行像素值数量范围以内。例如，每一行有256个像素值，则所采用的参数序列的值应当在(0,255)范围内。

S4，重复步骤S2、步骤S3操作N次，对图像进行部分选取、循环位移N次。

S5，经过上述步骤，得到了一个经过N²次运算的加密矩阵B。

S6，由式

将二维矩阵B和二维矩阵H进行异或运算，得到加密矩阵M，转化得到加密图像。

以上加密过程的流程图如图4所示；解密过程是加密过程的逆过程，解密算法在此不再赘述，解密过程如图5所示。

仿真结果

为验证本发明，采用MATLAB R2017b软件进行仿真验证。仿真时使用Lena图像，采用本发明提出的算法进行加密，应用改进的魔方三维属性变换和忆阻混沌相结合置乱，再利用忆阻混沌系统产生的混沌伪随机序列进行扩散，得到加密图像，加密前后的直观效果如图6所示(图6(a)为原图，图6(b)为加密后的图像)。

从图6(b)看不到任何与明文相关的信息。下面，通过和已有算法比较加密性能指标，来分析该算法的性能。

性能分析与算法比较

(1)密钥空间分析与比较

本发明密钥包括α,β,ξ,x₀,y₀,z₀,w₀，其中α,β,ξ为加密算法所采用的Chua忆阻混沌系统的参数，x₀,y₀,z₀,w₀为Chua忆阻混沌系统的状态变量的初始值。如果仿真计算机精度为32位，则该算法的密钥空间约为(2³²)³×(2³²)⁴＝2²²⁴，整体密钥空间远大于2¹⁰⁰。若一次尝试时间为一微秒，表1列出了本发明所提出的算法与已有文献(文献1：魔方变换及其在数字图像加密中的应用，鲍官军等，2002；文献2：基于忆阻超混沌系统的医学图像加密算法的设计及实现，程云龙，2016)中的算法穷尽密钥空间所需时间。从表中可以看出本算法的密钥空间远大于现有算法的密钥空间，穷尽密钥空间所需时间是一个非常庞大的数字，因此本发明提出的算法能有效地抵抗穷举攻击。

表1

(2)直方图分析与比较

图7是原图Lena和经过本发明提出的图像加密算法加密后图像的灰度直方图，可以明显地看出原图的直方图7(a)有明显的高低起伏，像素出现的频率分布极不均匀；而加密后的图像的直方图7(b)比较平滑，类似一个有些许“毛刺”的矩形，表示每个像素出现的频率都很接近，很难直接从中分析出原图像的相关信息。由此可以看出本算法的加密性能较好。

采用直方图来判别一个图像加密算法的效果较为直观，但各加密算法的直方图差别并不明显，因而，必须对直方图的数学特性进行分析，引入像素值出现频率的方差这一概念，其定义为直方图中像素值出现频率相对于其数学期望的方差，表示各像素值的出现频率对其数学期望的偏离程度。计算公式如下：

其中X_i为各像素点的频率，N为像素点的数量，μ为各像素点频率的数学期望。

显然方差越小，则表示加密后图像的各像素值出现频率更接近理想状态，图像加密的效果越好。表2中列出了本发明提出的算法与已有文献中提出的算法的像素值出现频率方差。从表中可以看出，和已有算法相比，本算法的方差较小，因而加密效果更好。

表2像素值出现频率的方差

(3)信息熵分析与比较

信息熵指的是可能事件所带来的信息量的期望，是衡量事物不确定性的标准，信息熵的值越大，则表明随机性越强。

信息熵的计算公式为：

其中pi为图像像素值i出现的概率,对于2⁸的灰度值图像而言，加密后的图像最为理想的也就是随机性最强的图像，其信息熵理想值H＝8。而经本发明算法加密后的图像，读取直方图中数据后，经式(5)可计算得出的信息熵为7.9974，表3中列出了本发明算法的信息熵和其它算法的信息熵。从表中可以看出本发明算法的信息熵最大，更接近于8，因而本发明提出的算法的伪随机性更强，抗攻击能力也更强。

表3 信息熵的值

(4)相邻像素相关性分析与比较

图像像素的相关性可以直观地将图像各个方向上的相关性用相关性图表示出来，如果像素点在某个区域内聚集，则表示相关性较高，相反，若像素点十分离散，均匀分布在界内，则表明此算法性能较为良好。对Lena图像原图和经此加密算法加密后的密文图像进行相关性对比分析，需要从水平方向、垂直方向和对角线方向进行考虑，利用仿真得出相关性图直观地对算法的性能进行考量。

经过仿真，加密前后各方向的相关性如图8所示。从三个方向中的任意方向看，原图相关性很聚集，具有很强的相关性。通过加密后，图像的内部结构发生了变化，使相关性发散，可以从图中看到相关性在一定范围内十分地分散和均匀。

表4给出了不同的加密算法密文图像三个方向上像素的相关系数，本算法加密后的密文图像的相关系数在三个方向上都较为平均且较小，因此和其它算法相比，该算法可以更有效地防御统计攻击，加密效果会更好。

表4 不同算法加密的密文图像的相关系数

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1，读取原始图像的像素值，得到N×N像素矩阵A；

S2，对图像进行预处理，将图像等分成大小相同的6个部分，若不能够进行整除则对较短的边进行补“0”，对应到魔方的6面上，魔方六个面中转动的四个面仅有3种排列组合，用参数p选择为哪一种情况，根据忆阻混沌系统产生的混沌伪随机序列确定参数p，动态选择参与魔方变换的四个面，进行排列得到一个像素值矩阵Q；

S3，以给定的混沌序列为参数，在行方向上对矩阵进行循环位移得到一次加密的矩阵Q₁，令Q＝Q₁，去掉像素值为“0”的点后，根据部分图像的序号将Q还原到A内；

S4，重复步骤S2、步骤S3操作N次，对图像进行部分选取、循环位移N次；

S5，经过上述步骤，得到了一个经过N²次运算的加密矩阵B。

2.如权利要求1所述的一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法，其特征在于，采用公式(1)的Chua忆阻混沌系统产生混沌伪随机序列：

其中x、y、z、w为状态变量，系统参数α、β、ξ和状态变量的初始值(0.01,0,0,0)作为密钥，采用步长为0.1的Runge-Kutta方法进行迭代，得到伪随机序列x_i，y_i，z_i，w_i。

3.如权利要求2所述的一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法，其特征在于，按照公式

其中[·]为取整函数，得到混沌序列K、KZ，将其转换成矩阵H、HZ，大小皆为N×N；

将序列K对3取模，确定p值；将序列KZ中的数值作为魔方循环位移的参数位移量。

4.如权利要求2所述的一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法，其特征在于，还包括：

S6，由式

将二维矩阵B和二维矩阵H进行异或运算，得到加密矩阵M，转化得到加密图像。

5.如权利要求1所述的一种基于改进魔方变换和忆阻混沌的图像加密方法，其特征在于，步骤S3中对矩阵循环位移的量控制在矩阵每一行像素值数量范围以内。

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