CN113110561A - 基于随机分布鲁棒优化的卫星编队保持smpc算法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于随机分布鲁棒优化的卫星编队保持SMPC算法，包括建立带随机外部扰动的卫星编队保持系统的数学模型，并进行凸优化处理，然后建立控制变量约束和状态变量约束以及度量随机外部扰动的不确定性的机会约束，然后采用随机分布鲁棒算法重构机会约束、控制变量约束和状态变量约束使其转换为可计算形式，然后建立当卫星编队出现位置偏移时快速回到轨道参考位置且耗能最小化的目标函数，并采用软件包CVX对目标函数求解得到控制输入序列，将该控制输入序列中的第一个变量作为卫星编队保持控制中当前时间的输入，来使卫星编队的队形保持在所在轨道并在出现位置偏移时快速回到理想位置。本发明与传统的模型预测控制方法相比，具有有效性和优越性。
Description
技术领域
本发明涉及卫星控制技术领域，具体涉及一种基于随机分布鲁棒优化的卫星编队保持SMPC算法。
背景技术
卫星编队在气象、导航和勘测等方面发挥着越来越重要的作用[1]。现如今，由几颗小卫星共同协力工作、编队飞行已经逐步发展，它们共同组成一颗“虚拟大卫星”完成响应的任务。它们不仅可以代替单个大型空间飞行器的完成其功能，而且可以大大降低维护成本和故障风险，最大限度地消除卫星故障对勘测任务的影响。
当卫星在空间中以稳定队形飞行时，卫星可能受到大气阻力、地球非摄动力等随机扰动的影响。同时，这些扰动的准确概率分布往往是随机的，同时是不可知的。由于扰动的影响，卫星可能偏离原轨道，从而导致卫星编队队形发生变化。由于队形的变化，卫星在完成空间观测任务会受到一定的影响，降低任务完成质量和精度[2-4]。因此，有必要对卫星编队保持加以控制，用来减少非摄动力以及随机误差对卫星编队带来的不利影响，使编队卫星能够快速精准的恢复初始队形。目前，国内外对卫星编队的保持与控制方法的研究受到越来越多的重视。
国内外对卫星编队保持的研究主要包括以下方面：王鹏基[5]利用模糊控制的相关优势，将最优控制和模糊控制相结合进行卫星编队保持的研究。于平等[6] 设计了一套基于T-H方程的纯切向控制力恒推力控制算法。Starin S R[7]利用了 LQR设计队形保持控制率；于此同时，除了将卫星与卫星之间相对运动模型线性化之外，非线性控制方法也广泛应用于卫星编队与保持的控制中，并考虑将带有误差项的J2摄动控制方法应用于滑模控制算法中[8]。曹锡斌等[9]提出了一种基于相对根轨道数运动学方程的卫星编队与保持的模型预测控制算法。马光福等[10]人在卫星质量不确定的情况下，提出了一种基于一致性理论和星间通信的拓扑结构，设计了一种自适应协同控制速率对编队保持进行控制的方法。Ren W[11]提出了运用一致性算法对卫星编队保持进行研究。宋生民、郑忠等[12]研究了具有控制约束的编队飞行控制问题，利用反步法设计了鲁棒自适应控制率。
然而卫星编队保持存在着许多制约因素，且存在着许多约束条件，上述方法无法处理约束条件。为此，引入了模型预测控制(MPC)[13]。模型预测控制(MPC) 取得了令人瞩目的成就。MPC是一种有吸引力的解决多变量约束控制的方法，由于其概念简单，能够有效地处理多输入多输出、输入和状态、输出约束以及控制目标相互冲突的复杂系统动力学问题。目前，MPC在卫星编队保持中得到了广泛的应用。虽然MPC的滚动时域控制对系统不确定性具有鲁棒性，但其确定性约束处理不用于卫星编队保持处理不确定性约束。
参考文献：
[1]李亮,王洪,刘良玉.微小卫星星座与编队技术发展[J].空间电子技术,2017,14(1):1-3.
[2]林来兴,张小琳.纳型卫星编队飞行技术现状及发展趋势[J].航天器工程,2017,26(5):65-73.
[3]刘萌萌.卫星编队分布式协同跟踪与构型保持控制[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2016.
[4]崔文豪.J2摄动下的卫星编队队形重构与队形保持方法研究[D].哈尔滨:哈尔滨工程大学,2019.
[5]王鹏基.空间飞行器编队飞行相对动力学与队形保持控制方法及应用研究[D].2004.
[6]于萍,张洪华.椭圆轨道编队构型变化控制方法[J].中国空间技术, 2006,26(1):1-8.
[7]STARIN S R,YEDAVALLI R K,SPARKS A G.Design of a LQR controller ofreduced inputs for multiple spacecraft formation flying[C]//American ControlConference.IEEE,2002.
[8]郝继刚,分布式卫星编队构型研究控制研究[D].长沙:国防科技大学, 2006.
[9]王兆魁,分布式卫星动力学建模与控制研究[D].长沙:国防科技大学, 2006.
[10]REN W.Consensus strategies for cooperative control of vehicleformation[J].IET Control Theory&Application,2007,1(2):504-512.
[11]曹喜滨,贺东雷.编队构型保持模型预测控制方法研究[J].宇航学报, 2008,29(4):1422-1429.
[12]MARCELLO FARINA,LUCA GIULIONI,RICCARDO SCATTOLINI. Stochasticlinear Model Predictive Control with chance constraints a review[J]. Journalof Process Control,2016,44:53-67.
[13]HERZOG F,KEEL S,DONDI G.Model predictive control for portfolioselection[C].American Control Conference,2006.IEEE,2006.
发明内容
针对现有技术中存在的上述缺陷，本发明提供一种基于随机分布鲁棒优化的卫星编队保持SMPC算法，可显著改善对约束条件的控制效果。
为了实现上述目的，本发明采用的技术方案如下：
一种基于随机分布鲁棒优化的卫星编队保持SMPC算法，包括以下步骤：
S1、基于星间两体运动和Hill方程建立带随机外部扰动的卫星编队保持系统的数学模型；
S2、将步骤S1中的数学模型转换为可以在线计算的凸形式；
S3、建立对卫星在编队保持中各个方向上推力的控制变量约束和卫星编队保持中卫星保持相对状态的状态变量约束；
S4、利用机会约束来度量随机外部扰动的不确定性，并采用分布鲁棒方法和条件风险价值CVaR将机会约束重构为可处理的机会约束；
S5、基于重构的机会约束，分别对控制变量约束和状态变量约束进行可计算形式的转化处理；
S6、基于步骤S2中对系统数学模型进行的凸优化处理，在控制变量约束和状态变量约束下结合随机外部扰动的机会约束，建立当卫星编队出现位置偏移时快速回到轨道参考位置且耗能最小化的目标函数；
S7、通过MATLAB中软件包CVX对步骤S6中具有约束条件的目标函数求解，得到在一定预测时间域内的控制输入序列，将该控制输入序列中的第一个变量作为卫星编队保持控制中当前时间的输入，来使卫星编队的队形保持在所在轨道并在出现位置偏移时快速回到理想位置。
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
(1)本发明在卫星编队保持控制中采用SMPCSMPC将不确定概率描述引入随机OCP中，利用SMPCSMPC使用概率不确定性描述来定义概率约束的特点，要求状态、输出约束至少满足指定的先验概率水平或期望，而且机会约束允许系统利用不确定性的随机特性，也允许系统违反概率意义上的闭环约束水平。SMPC允许在实现控制目标和确保因不确定性满足概率约束之间进行折衷。同时，在满足目标函数的条件下，对卫星编队保持进行控制。
(2)本发明在保证精度的情况下，对卫星编队的非线性相对运动力学方程进行了线性化离散处理，采用有效解决随机变量信息模糊的分布鲁棒机会约束模型来处理模型预测控制中不易处理无界随机扰动的机会约束问题，并通过条件风险价值(CVaR)重构机会约束为可处理约束，得到基于随机分布鲁棒优化 SMPC的卫星编队队形保持控制算法。最后通过计算仿真与传统的模型预测控制算法进行对比，验证了该算法的有效性和优越性。
附图说明
图1为本发明的流程示意图。
图2为本发明-实施例中卫星编队及轨道和坐标系布置示意图。
图3为本发明-实施例中SMPC与MPC控制性能对比示意图。
图4为本发明-实施例中在SMPC下的误差范围示意图。
图5为本发明-实施例中在MPC下的误差范围示意图。
图6为本发明-实施例中扰动方差对SMPC的性能影响示意图。
图7为本发明-实施例中预测步长对SMPC的性能影响示意图。
具体实施方式
下面将通过具体实施方式对本发明做进一步说明：
本发明针对小卫星编队飞行技术进行深入研究，设定以下基本概念：
星间两体运动是卫星编队动力学的最小组成部分。因此，在卫星编队研究中，只研究参考卫星与环绕卫星的相对运动，不影响卫星编队保持的研究。
定义1、参考星：是描述卫星编队星间相对运动的参考基准，本发明中设置的参考基准为一个虚拟的卫星所在的运动点。
定义2、环绕星：在卫星编队保持中环绕参考星相对运动的卫星，本发明中环绕卫星的空间运动轨迹为一个相对不动点。
环绕星与参考星相对运动的圆或近圆轨道oxyz的选取如图2所示，o是该轨道以参考星质心为中心点的坐标原点，x轴正方向是卫星运行轨道平面沿运动速度的切线方向，y轴正方向是指向卫星运行轨道的正法线方向，z轴是x轴、y 轴构成平面的法向量。
在不受外力的情况下，环绕星基于Hill方程的相对运动学方程如下所示：
式中：x,y,z分别代表环绕星在Hill坐标系中相对于参考星的坐标，
为卫星运行的轨道角速度，μ＝398600.4km3/s2为地球引力常数，R为环绕星的轨道半径，Fx、Fy、Fz分别代表环绕星在x,y,z轴上所受的力，mc是环绕星的质量。
在保证精度的情况下，通过泰勒展开将式(1)表示的非线性系统进行线性化，得到的卫星线性化模型，其表示为：
式中，状态变量
控制变量u＝[ux uy uz]T，控制因素
已知矩阵
实施例
本实施例作为本发明的基本实施方式，该基于随机分布鲁棒优化的卫星编队保持SMPC算法，包括以下步骤：
建立一个用于卫星编队保持控制的带随机外部扰动的离散系统的数学模型，将采样周期设定为0.1s，该离散系统表示如下：
式中，x(t)表示状态量，u(t)表示控制量，
和
表示离散后的已知系统矩阵，
表示随机外部扰动，其分布信息未知，只知道分布的均值和方差。
由于该式无法计算，对其凸优化处理，将其转换成可以在线计算的凸形式：
定义预测变量因素：
x＝[xt xt+1 xt+2 … … xt+N]T
u＝[ut ut+1 ut+2 … … ut+N]T
将状态空间表达式改写为如下：
式中，
具体为：
然后进行约束处理与重构。
建立约束
考虑到卫星在编队保持中各个方向上推力的大小在一定的范围内，卫星编队保持研究中对各个方向上的推力设置为如下控制变量约束：
||ui||≤umax
同时，考虑到卫星编队保持中卫星的相对状态应保持固定，并存在限制，因此对状态设置为如下状态变量约束：
||xt||∞≤xmax。
约束算法重构
随机扰动的准确分布往往是未知的，且很难精确地进行表示，往往只能得到随机扰动分布的一些性质。针对随机扰动概率分布的不确定性，采用概率分布的鲁棒性机会约束来有效求解随机扰动信息模糊。
对随机扰动的信息做如下假设：
式中，
表示分布
下的数学期望，
u0为随机扰动的均值，Σ0为随机扰动的方差，
表示克罗内克积，定义
即表示随机扰动的均值和方差已知。
对于决策可能不满足约束的情况，设置机会约束规则：允许决策在一定程度上不满足约束条件，并且使决策满足约束条件的概率不小于某一置信水平。在约束处理中采用概率约束，允许在指定的置信区间内违反硬约束，从而达到更高效控制。
由于未知干扰可能是无界的，它可能不满足输入和状态的硬约束条件，因此需要施加机会约束来度量不确定性。
式中，b、
{·}T表示矩阵的转置，
表示在
分布下的概率，εx、εu∈(0,1)表示允许容错的标准容忍度。
式(6)为单个机会约束，式(7)为联合机会约束。将式(6)和(7)用以下更加紧凑的形式表达，如下式所示。
式中，ak是维度为(N+1)×nx的矩阵，且ck与ak矩阵定义的形式相同。
式(8)和(9)表示的概率约束可能不能处理，需进一步近似处理才能在SMPC 算法中使用。采用分布鲁棒方法有效解决随机扰动概率分布中仅仅已知均值、方差的情况，并采用条件风险价值CVaR将机会约束近似重构成可计算的形式。处理后的输入与状态约束再分别采用合适的方法进行精确重构，如下：
控制变量约束处理
采用鲁棒的单机会约束对上述式(10)表示的控制约束中的单机会约束进行等价替换：
同时，为防止最坏情况出现的次数过多且不可计算的情况出现，将单个约束最坏情况下的条件风险值约束替换为可进行计算的半正定规划(SDP)约束：
式中，
由于二阶锥规划约束(SODP)的计算复杂度比半正定规划约束(SDP)的复杂度更高，而且算法计算效率更高，因此将其进行SODP转化：
状态变量约束处理
式(11)表示的联合状态约束通常不易求解，且为非凸约束。利用布尔不等式处理联合状态约束，使其等价为可处理，易解决的约束。
用布尔不等式进行转换得到如下形式：
因此将联合状态不等式转化为一系列单个的形式，如下所示：
布尔近似的一个主要的缺点是近似的质量严重依赖于对于全局点i的选择，寻找最佳的全局点i是非凸问题的而且不易解决，因此将风险预算在m个体中的机会约束均分，即εi＝εx/m。
因此，同理运用上文中对控制的单个机会约束的处理方式即可进行约束的可计算形式推导。
扰动反馈
目前在很多控制方法研究上，都采用了扰动映射的控制策略。考虑到预测的输入序列和状态序列是状态反馈增益序列的非线性函数，一般情况下，可行决策变量集是非凸的。因此，基于扰动反馈控制策略与状态反馈控制策略的等价性，将扰动反馈参数化作为一种凸优化反馈控制策略，如下：
式中，
上式的紧凑形式表示如下：
其中，
和为下三角矩阵，
为叠加向量。
将得到的反馈形式代入到式(14)中，将约束转化为如下形式：
建立目标函数
在卫星编队保持控制过程中，为了使得队形保持在所在轨道，并能在出现位置偏移时快速回到理想位置，并在分布未知的随机扰动下，能够使得误差不超过某一范围，建立快速回到轨道参考位置且耗能最小化的目标函数，如下：
式中，
为已知正定矩阵，分别表示状态与输入的惩罚因子，可根据实际情况进行调整。
为半正定矩阵，是如下李雅普诺夫方程的解：
(A+BK)TQf(A+BK)-Qf+Q+KTRK＝0 (20)
其中，K是LQR问题的稳定增益。
重构后建立SMPC的描述函数如下，将其定义为问题P1：
根据前述对状态变量约束和控制变量约束进行的可计算处理，将问题P1转化为可计算的形式，将其定义为问题P2：
由于问题P2是一个线性成本函数和两个SODP约束的优化问题，通过 MATLAB中软件包CVX求解。
采用SMPC算法的运算过程如下：
在初始条件x0，最终位置xf下，寻找最优的控制U和M；输入：x0的最大迭代次数Imax，输出：xt。
1.循环i从1到Imax；
2.根据固定的xi求解问题P2，同时得到优化的
和
3.设置
和
4.结束循环；
5.输出结果xt。
得到在一定预测时间域内的控制输入序列，将该控制输入序列中的第一个变量作为卫星编队保持控制中当前时间的输入，来使卫星编队的队形保持在所在轨道并在出现位置偏移时快速回到理想位置，如此可以显著改善对约束条件的控制效。
以下对本发明方法的稳定性与收敛性证明
假设系统为李雅普诺夫稳定，则可以将系统通过坐标变换分解为如下形式：
式中，A1为舒尔稳定部分，A2特征根在代数重数和几何重数相等的单位圆上。根据系统稳定性假设，可知A2为对角阵，且主对角线上元素为±1，或为2×2 的旋转矩阵，由上可得，A2为正交矩阵。
因为存在C4，使得
故存在C1＞0，使得满足
使Ft为原系统的一个自然过滤，则我们能得到如下不等式关系：
且对于任意的
存在：
因此可知：
同时也可以推出：
进而，可以推导如下：
同时，根据控制与扰动的一阶矩有界，我们可以得出：
则可得知，存在一个常数m，满足
由此表明其最终可收敛到某一定值，具有控制所需的鲁棒性。
以下通过数值仿真过程对本发明进行验证对比
选取以参考星为中心，三颗环绕卫星绕飞，即队形为等边三角形进行编队保持控制，如图2所示。首先选定其中一颗环绕星为编队基准，设其相位角为零。根据多星等距离分布的原则可确定其他两颗卫星的相对位置关系，则可确定卫星的初始相对位置。
选取参考星在距地球6628.14km的标称圆轨道上，同时，考虑卫星在飞行过程中的控制约束条件，对各个方向上的加速度进行约束，即最大加速度为 umax＝1km/s2，设定避障超平面的逆时针旋转速度为30°/min。
考虑到扰动的随机性与无界性，采用扰动是均值为0，方差为0.01，同时，标准容忍度分别设定为r＝0.1和e＝0.1的情形进行仿真。
首先，当卫星编队保持中卫星存在偏差时，分析对比了SMPC和MPC对于卫星编队复原的响应时间和响应的稳定性。由于三颗卫星处于等边三角形的三个顶点，考虑其问题的等价性，选取一颗进行分析，仿真结果如图3所示。在相同的预测步数下，仿真表明SMPC相比于MPC响应速度更快，且最终误差相对于MPC更小。
同时，对比了当卫星达到参考位置后采用SMPC和MPC对卫星进行控制，由于扰动具有随机性，进行了100次并求取平均值来实现。仿真结果如图4和图5所示，随着随机扰动的影响，SMPC误差范围在(-0.007km,0.002km)之间，而MPC的误差范围在(0km,0.054km)之间，如图4所示，相比之下，SMPC相对于MPC能够更好的维持卫星在参考点的精度，减少误差。
由于随机扰动不同的方差值对SMPC的控制稳定性有一定影响，如图6所示，随着扰动方差的不断增大，卫星的稳定性逐渐减弱，出现大范围波动，卫星的误差也随着增加。
同时对比SMPC在不同的预测步长下的稳定性能，如图7所示，随着预测步长的增加系统的稳定性越来高，且误差的精度也随之提高，但对于系统稳定的影响小于扰动方差的影响。
从控制理论的角度来看，提高卫星飞行器的自主性这是非常困难的。本发明通过将传统意义上的约束软化，提高了控制系统的性能，通过对比传统的MPC 以及SMPC控制方法，从精度以及响应时间进行对比，发现SMPC具有更加良好的精度以及响应速度。同时，对不同预测步数以及扰动的不同方差进行对比研究，表明，随着扰动方差的增大，系统的不稳定性也随之增大，当预测步数不断增大时，系统精度会越高，且越来越稳定。通过仿真分析，SMPC可以降低误差范围，降低能量消耗，这对工程实践具有重要意义。
上述实施例仅为本发明的优选实施例，并非对本发明保护范围的限制，但凡采用本发明的设计原理，以及在此基础上进行非创造性劳动而做出的变化，均应属于本发明的保护范围之内。
Claims (10)
1.一种基于随机分布鲁棒优化的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：包括以下步骤：
S1、基于星间两体运动和Hill方程建立带随机外部扰动的卫星编队保持系统的数学模型；
S2、将步骤S1中的数学模型转换为可以在线计算的凸形式；
S3、建立对卫星在编队保持中各个方向上推力的控制变量约束和卫星编队保持中卫星保持相对状态的状态变量约束；
S4、利用机会约束来度量随机外部扰动的不确定性，并采用分布鲁棒方法和条件风险价值CVaR将机会约束重构为可处理的机会约束；
S5、基于重构的机会约束，分别对控制变量约束和状态变量约束进行可计算形式的转化处理；
S6、基于步骤S2中对系统数学模型进行的凸优化处理，在控制变量约束和状态变量约束下结合随机外部扰动的机会约束，建立当卫星编队出现位置偏移时快速回到轨道参考位置且耗能最小化的目标函数；
S7、通过MATLAB中软件包CVX对步骤S6中具有约束条件的目标函数求解，得到在一定预测时间域内的控制输入序列，将该控制输入序列中的第一个变量作为卫星编队保持控制中当前时间的输入，来使卫星编队的队形保持在所在轨道并在出现位置偏移时快速回到理想位置。
2.根据权利要求要求1所述的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：所述步骤S1中建立带随机外部扰动的卫星编队保持系统的数学模型表示如下：
式中，x(t)表示状态量，u(t)表示控制量，
和
表示离散后的已知系统矩阵，
表示随机外部扰动。
3.根据权利要求要求2所述的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：所述步骤S2中转化过程如下：
定义预测变量因素：
x＝[xt xt+1 xt+2……xt+N]T
u＝[ut ut+1 ut+2……ut+N]T
将状态空间表达式改写为如下：
式中，
4.根据权利要求要求3所述的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：所述步骤S3中控制变量约束表示为：||ui||≤umax，
状态变量约束表示为：||xt||∞≤xmax。
5.根据权利要求要求4所述的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：所述步骤S4中用于度量随机外部扰动的不确定性的机会约束表示式为：
式中，b、
{·}T表示矩阵的转置，
表示在
分布下的概率，εx、εu∈(0,1)表示允许容错的标准容忍度；
随机外部扰动概率分布设定为：
式中，
表示分布
下的数学期望，
u0为随机扰动的均值，Σ0为随机扰动的方差，
表示克罗内克积，定义
表示随机外部扰动的均值和方差已知；
重构后的机会约束表示为：
6.根据权利要求要求5所述的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：所述步骤S5中对控制变量约束转化处理的过程为：
采用鲁棒的单机会约束对控制变量约束中的单机会约束进行等价替换：
将单个约束最坏情况下的条件风险价值约束替换为半定规划约束：
式中，
将半定规划约束采用二阶锥规划约束SODP进行转化处理：
7.根据权利要求要求6所述的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：所述步骤S5中对状态变量约束转化处理的过程为：
采用布尔不等式对状态变量约束中的联合状态约束进行等价替换：
使用布尔不等式进行转化得到如下形式：
将联合状态约束不等式转化为一系列单个的形式：
并将风险预算在m个体中的机会约束均分，表示为εi＝εx/m，
转化单约束后对状态变量约束采用与控制变量约束相同的半定规划约束和二阶锥规划约束SODP转化处理方式进行处理。
8.根据权利要求要求7所述的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：所述步骤S6中建立当卫星编队出现位置偏移时快速回到轨道参考位置且耗能最小化的目标函数的表达式为：
9.根据权利要求要求8所述的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：所述步骤S6中，根据状态变量约束和控制变量约束的处理，将目标函数重构为如下形式：
10.根据权利要求要求9所述的卫星编队保持SMPC算法，其特征在于：所述步骤S7中软件包CVX求解过程为：
在初始条件x0，最终位置xf下，寻找最优的控制U和M；输入：x0的最大迭代次数Imax，输出：xt；
循环i从1到Imax；
根据固定的xi求解重构后的目标函数，同时得到优化的
和
设置
和
结束循环；
输出结果xt。
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