CN113034033B - 一种新研装备备件品种确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及装备维修保障技术领域，公开的一种新研装备备件品种确定方法，通过模糊粗糙定义、犹豫模糊粗糙集决策的备件品种确定模型，构建了备件品种确定的犹豫模糊决策信息系统，及风险偏好系数的数值延拓法和改进包含度计算的属性约简和规则获取，具体步骤：计算所有决策条件选择，得到条件属性重新组合后的犹豫模糊决策信息，计算组合后犹豫模糊决策信息表中条件属性在决策属性中的包含度，逐项删减条件属性，并计算新的决策规则，若不变，则说明删减的条件属性冗余去掉，并重复计算，从而得到最大决策约简集。本发明给出备件品种确定的提取方法。解决了信息不完备条件下决策信息运用问题。验证了方法的效果，具有广泛的应用价值及应用场景。

Description

一种新研装备备件品种确定方法

技术领域

本发明涉及装备维修保障技术领域，尤其涉及一种新研装备备件品种确定方法。

背景技术

确定备件品种是开展备件配置优化的基础，是明确备件需求的重要前提。备件品种的缺失会直接导致装备因备件短缺而停机，进而影响任务顺利实施；而备件品种的冗余则会增加备件保障中人力、物力、财力的过量投入，导致保障效益低下。目前国内外对备件需求量和库存配置的研究较为丰富，而对备件品种确定方法的研究却很少。实际上，只有科学确定“备什么”，才能精准预测“备多少”，合理解决“备在哪”的问题。因此，开展备件品种确定方法的研究具有重要意义。

信息技术的快速发展，大量新型材料的广泛应用，使得新研装备技术复杂、高度集成、价值昂贵等特点尤为突出，加之新研装备部署广、批量小、环境影响差异大等特点使得装备故障数据缺乏、规律难以把握，给备件品种确定带来了较大的不确定性。传统的备件品种确定方法主要有逻辑决断法、价值工程法、可靠性分析法、模糊综合评判法和灰色系统理论分析法等。但这些方法的决策信息输入值为单一确定值，新研装备的上述特点，一方面使得在决策的过程中决策人员往往难以给出精确、全面的判断，使得决策信息的“模糊性”特点尤为突出；另一方面，决策成员专业知识、岗位经验及认识的不同，往往使得在决策过程中“公说公有理、婆说婆有理、貌似都有理，难以下定理”的情况，使得决策信息“犹豫性”特征非常明显，难以达成一致的意见。装备备件品种决策过程中决策信息这种典型的“犹豫性”和“模糊性”特点，使得难以将决策信息有效输入传统的方法当中，而忽略决策信息的任何特性，都很可能导致决策信息不完整，产生信息的遗漏，导致备件品种的缺失或冗余。

传统粗糙集决策方法仅适用于离散型确定值数据的决策信息，对犹豫模糊特征突出的新研装备备件品种决策信息缺乏相应的处理能力。传统粗糙集决策方法仅适用于离散型确定值数据的决策信息，对犹豫模糊特征突出的新研装备备件品种决策信息缺乏相应的处理能力。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明提出了一种新研装备备件品种确定方法，

为实现上述发明目的，本发明采用以下技术方案实现：

一种新研装备备件品种确定方法，其步骤如下：

1)模糊粗糙定义

1.1犹豫模糊集，犹豫模糊集是模糊集的拓展形式，其每个元素是若干个可能值组成的集合，犹豫模糊集的数学表达式，定义1设X为非空集合，则称

A＝{<x，h_A(x)>|x∈X} (1)

为犹豫模糊集，其中h_A(x)是[0，1]上一些可能隶属值的集合，表示元素x对于集合A的隶属度的集合，h＝h_A(x)表示一个犹豫模糊元素，为方便，将X上所有犹豫模糊集构成的集合记为HF(X)；

定义2设h为犹豫模糊元素，则称

为h的得分值，称

为h的偏差度，其中l_h为h中元素的个数，对于两个犹豫模糊元素h₁和h₂，其比较和排序方法为：

(1)若s(h₁)＜s(h₂)，则h₁＜h₂；

(2)若s(h₁)＝s(h₂)，则：

(i)若

则h₁＝h₂；

(ii)若

则h₁＞h₂；

(iii)若

则h₁＜h₂。；定义3设h_A(x)和h_B(x)为两个元素个数均为l_h的犹豫模糊元，则二者的交、并关系运算分别表示为：

(1)交

(2)并

由上式知，两个犹豫模糊元相交后的元素为相交前各对应元素的较小值，两个犹豫模糊元相并后为相并前各对应元素的较大值；

1.2粗糙集，建立决策信息表-利用等价关系求取上、下近似—属性约简—获取简化的决策，定义如下，

定义4设四元组s＝(U，A，V，f)，其中，U＝{x₁，x₂，…，x_|U|}是对象的非空有限集合，称为论域；A＝{a₁，a₂，…，a_|A|}表示属性的非空有限集合；

是全体属性值的集合，V_a表示属性a∈A的值域；f：∪×A→V是一个信息函数，它为每个对象x_i赋予一个信息值，即对

a∈A，有f(x，a)∈V_a，则称S为一个信息系统，信息系统是以二维表格形式构成的数据表，表示对象与属性值之间的关系；

当属性集A由条件属性集合C＝{c₁，c₂，…，c_|C|}和决策属性集合D＝{d}组成时，A＝C∪D，V＝V_C∪V_D，其中，V_C为条件属性值的集合，V_D为决策属性值的集合，称信息系统S为决策信息系统；

定义5设信息系统S＝(U，A，V，f)，

则B在U上的等价关系R_B为：

若(x，y)∈R_B，则称x和y关于B为等价关系，又称为不可区分关系；显然，这种等价关系满足自反性、对称性和传递性；等价关系R_B将论域U划分为一些等价类，记为U/R_B或U/B，包含元素x的等价类记为R_B(x)或

当S为决策信息系统时，由条件属性集进行的划分称为条件类，由决策属性集进行划分称决策类；

定义6设信息系统S＝(U，A，V，f)中，

为U的一个子集，R是一个等价关系，则X的下近似R(X)、上近似

正域pos_R(X)、负域neg_R(X)和边界域bn_R(X)分别表示为：

pos_R(X)＝R(X) (8)

下近似是指由知识判断必然属于X的对象组成的集合，也称为正域；上近似是指由现有知识判断可能属于X的对象组成的集合；负域是由现有知识判断肯定不属于X的对象组成的集合；边界域是上近似与下近似之差，即边界域是一个不可判定的区域；如果边界域为空集，则称X关于R是清晰的，反之则是粗糙的；

定义7设信息系统S＝(U，A，V，f)中，

如果R_B＝R_B-{a}，则称属性a在B中是冗余的，否则称属性a在B中是必要的；如果B中的所有属性都是必要的，则称B是独立的；如果任意

都有R_B＝R_B′，且B′是独立的，

则称B′是B的一个约简，记为Red(B)＝B′；

属性约简是指在不影响信息系统决策能力的前提下，通过消除冗余属性，提高信息系统潜在知识的清晰度，刻画条件属性和决策属性的内在联系，获得对决策更有效、使问题更简单的决策规则，从而依据获取的决策规则进行辅助决策；

很显然，约简集就是保持信息系统分类能力不变的最小属性子集，这些约简集的交集称为B的核心属性集，简称核或核属性，即：

core(B)＝∩Red(B) (11)

定义8设决策信息系统s＝(U，C∪D，V，f)，X_i和Y_j分别代表U/C和U/D中的等价类，des(X_i)表示X_i对于各个条件属性值的取值，des(Y_j)表示Y_j对于决策属性值的取值，则决策规则定义为：

2)基于犹豫模糊粗糙集决策的备件品种确定模型，将犹豫模糊集理论和粗糙集理论进行拓展融合，构建备件品种确定的犹豫模糊粗糙集决策模型；

2.1构建备件品种确定的犹豫模糊决策信息系统，由粗糙集信息系统的基本形式，构造形如S＝(U，A，V，f)的备件品种犹豫决策信息系统，其中U＝{x₁，x₂，…，x_|U|}为某装备系统中所有待确定是否列入备件清单的备件品种，|U|表示集合的基数；A＝C∪D，C为备件品种确定的影响因素集，D为是否设置为备件的决策属性集，包括“设置”和“不设置”两个属性；f表示影响因素集与其属性值之间的映射关系，V表示决策人员对影响因素的评价值域，且值域为犹豫模糊集，则S为备件品种确定的犹豫模糊决策信息系统；

2.2基于风险偏好系数的数值延拓，包括两种方式：一是用元素个数较少的犹豫模糊元中的最小值元素将犹豫模糊元补齐，称为悲观延拓法；二是用元素个数较少的犹豫模糊元中的最大值元素进行补齐，称为乐观延拓法；

根据备件保障的综合形势进行风险判断，采用基于风险偏好系数的数值延拓法，设θ∈[0，1]为风险偏好系数，则犹豫模糊元h(x)中需延拓的元素h^σ为：

h^σ＝θh⁺+(1-θ)h^- (13)

式中，h⁺为h(x)中的最大值元素，h^-为h(x)中的最小值元素；当θ＝1时，h^σ＝h⁺，说明进行的是乐观评价，能够承担较大风险；当θ＝0时，h^σ＝h^-，说明进行的是悲观估计，不能够承担任务风险；因此，风险偏好系数θ越大，越能够承担风险，对决策结果的估计也就越乐观；延拓后的犹豫模糊元记为：h(x)＝{h^σ(1)(x)，h^σ(2)(x)，…，h^σ(n)(x)}，其中，σ(1)，σ(2)，…，σ(n)为1，2，…m的一个重新排列，按降序对h^σ(i)(x)进行排列，h^σ(i)(x)为h(x)中第i大的数值；

2.3基于改进包含度计算的属性约简和规则获取，

2.3.1包含度的定义与计算，定义9设任意集合A，B，C∈HF(X)，若映射D：HF(X)×HF(X)→[0，1]满足：

(1)0≤D(B/A)≤1；

(2)

(3)

D(A/C)≤D(B/C)；

则称D为HF(X)上的包含度；

首先基于风险偏好系数对犹豫模糊元的数值进行延拓，进而既考虑得分函数，又考虑数值延拓后的上下界元素的综合影响，给出犹豫模糊集包含度计算公式如下；

证明：

(1)显然，0≤D(B/A)≤1。

(2)若

则

且

由定义2知，在相同风险系数θ下，

故

(3)若

则

且

同样得相同风险系数θ下，

故

同理，证D(A/C)≤D(B/C)，证毕；

2.3.2属性约简条件与规则获取

定义10设

为决策条件选择，则

称为决策条件选择在属性B上的投影；

设D(·/·)为犹豫模糊包含度，则对于

记

定义11若对

式M_A(l_j|a_j∈A)＝M_B(l_j|a_j∈B)成立，则称B为犹豫模糊决策信息系统S的最大决策协调集；若B是S的最大决策协调集，且B的任何子集都不是S的最大决策协调集，则称B为S的最大决策约简集；

犹豫模糊决策信息系统属性约简和决策规则的具体步骤：

输入：犹豫模糊决策信息表S＝(U，AT，V，f)，

输出：S的最大决策约简集和决策规则，

步骤1：计算所有决策条件选择，得到条件属性重新组合后的犹豫模糊决策信息表；

步骤2：计算组合后犹豫模糊决策信息表中条件属性在决策属性中的包含度；

步骤3：根据定义8，依据包含度获取决策规则；

步骤4：逐项删减条件属性，并计算新的决策规则，若规则不变，则说明删减的条件属性冗余，去掉，并重复计算，以此类推，否则条件属性为必要的，保留，从而得到最大决策约简集。

由于采用上述技术方案，本发明的具体优点如下：

一种新研装备备件品种确定方法，是针对决策信息不完备的情况，提出基于风险偏好系数的不完备犹豫模糊信息的数值延拓方法，将不确定性中的犹豫模糊集和粗糙集进行融合运用，构建备件品种确定的犹豫模糊粗糙集模型，解决了信息不完备条件下决策信息运用问题。同时着眼最大适用性目标，给出备件品种确定的提取方法。给出了改进的包含度计算公式，给出了基于改进包含度计算的备件品种决策属性的约简条件和决策规则获取方法。开展了技术应用，获取了备件确品种定规则，验证了方法的有效性。同时，本发明还可以应用到新型复杂装备备件品种确定决策中，具有广泛的应用价值及应用场景。

附图说明

图1是新研装备备件品种确定方法流程图。

具体实施方式

如图1中所示，一种新研装备备件品种确定方法，是综合运用犹豫模糊集和粗糙集实施，具体实施如下：

1)模糊集和粗糙集定义

1.1犹豫模糊集，在多属性决策过程中，单个决策对属性进行评估时经常会对几个可能的取值犹豫不决，并且决策之间难以达成一致的意见的情况十分普遍，这类决策信息被称之为犹豫模糊信息。为了处理犹豫模糊信息，避免决策信息的丢失，得到合理的结果，犹豫模糊集是模糊集的拓展形式，其每个元素是若干个可能值组成的集合，犹豫模糊集的数学表达式；

定义1设X为非空集合，则称

A＝{<x，h_A(x)>|x∈X} (1)

为犹豫模糊集，其中h_A(x)是[0，1]上一些可能隶属值的集合，表示元素x对于集合A的隶属度的集合，h＝h_A(x)表示一个犹豫模糊元素，为方便，将X上所有犹豫模糊集构成的集合记为HF(X)。

定义2设h为犹豫模糊元素，则称

为h的得分值，称

为h的偏差度，其中l_h为h中元素的个数。对于两个犹豫模糊元素h₁和h₂，其比较和排序方法如下：

(1)若s(h₁)＜s(h₂)，则h₁＜h₂。

(2)若s(h₁)＝s(h₂)，则：

(i)若

则h₁＝h₂；

(ii)若

则h₁＞h₂；

(iii)若

则h₁＜h₂。

定义3设h_A(x)和h_B(x)为两个元素个数均为l_h的犹豫模糊元，则二者的交、并关系运算分别表示为：

(1)交

(2)并

由上式可知，两个犹豫模糊元相交后的元素为相交前各对应元素的较小值，两个犹豫模糊元相并后为相并前各对应元素的较大值。

1.2粗糙集，是一种处理含糊和不确定信息的新型数学工具，它以等价关系建立知识库，进而利用知识库中的上、下近似关系来描述“模糊”的概念，为知识获取和决策发现提供了新思路，其步骤是：建立决策信息表-利用等价关系求取上、下近似-属性约简-获取简化的决策规则，有关定义如下。

定义4设四元组S＝(U，A，V，f)，其中，U＝{x₁，x₂，…，x_|U|}是对象的非空有限集合，称为论域；A＝{a₁，a₂，…，a_|A|}表示属性的非空有限集合；

是全体属性值的集合，V_a表示属性a∈A的值域；f：∪×A→V是一个信息函数，它为每个对象x_i赋予一个信息值，即对

a∈A，有f(x，a)∈V_a，则称S为一个信息系统。信息系统通常是以二维表格形式构成的数据表，表示对象与属性值之间的关系。

当属性集A由条件属性集合C＝{c₁，c₂，…，c_|C|}和决策属性集合D＝{d}组成时，A＝C∪D，V＝V_C∪V_D，其中，V_C为条件属性值的集合，V_D为决策属性值的集合，则称信息系统S为决策信息系统，也称决策信息表。

定义5设信息系统S＝(U，A，V，f)，

则B在U上的等价关系R_B为：

若(x，y)∈R_B，则称x和y关于B为等价关系，又称为不可区分关系。显然，这种等价关系满足自反性、对称性和传递性。等价关系R_B将论域U划分为一些等价类，记为U/R_B或U/B，包含元素x的等价类记为R_B(x)或

当S为决策信息系统时，由条件属性集进行的划分称为条件类，由决策属性集进行的划分称为决策类。

定义6设信息系统S＝(U，A，V，f)中，

为U的一个子集，R是一个等价关系，则X的下近似R(X)、上近似

正域pos_R(X)、负域neg_R(X)和边界域bn_R(X)分别表示为：

pos_R(X)＝R(X) (8)

下近似是指由知识判断必然属于X的对象组成的集合，也称为正域；上近似是指由现有知识判断可能属于X的对象组成的集合；负域是由现有知识判断肯定不属于X的对象组成的集合；边界域是上近似与下近似之差，即边界域是一个不可判定的区域。如果边界域为空集，则称X关于R是清晰的，反之则是粗糙的。

定义7设信息系统S＝(U，A，V，f)中，

如果R_B＝R_B-{a}，则称属性a在B中是冗余的，否则称属性a在B中是必要的；如果B中的所有属性都是必要的，则称B是独立的；如果任意

都有R_B＝R_B′，且B′是独立的，

则称B′是B的一个约简，记为Red(B)＝B′。

属性约简是指在不影响信息系统决策能力的前提下，通过消除冗余属性，提高信息系统潜在知识的清晰度，刻画条件属性和决策属性的内在联系，获得对决策更有效、使问题更简单的决策规则，从而依据获取的决策规则进行辅助决策。

很显然，约简集就是保持信息系统分类能力不变的最小属性子集，这些约简集的交集称为B的核心属性集，简称核或核属性，即：

core(B)＝∩Red(B) (11)

定义8设决策信息系统s＝(U，C∪D，V，f)，X_i和Y_j分别代表U/C和U/D中的等价类，des(X_i)表示X_i对于各个条件属性值的取值，des(Y_j)表示Y_j对于决策属性值的取值，则决策规则定义为：

2)基于犹豫模糊粗糙集决策的备件品种确定模型

将犹豫模糊集理论和粗糙集理论进行拓展融合，构建备件品种确定的犹豫模糊粗糙集决策模型。

2.1构建备件品种确定的犹豫模糊决策信息系统，粗糙集信息系统的基本形式，构造形如S＝(U，A，V，f)的备件品种犹豫决策信息系统，其中U＝{x₁，x₂，…，x_|U|}为某装备系统中所有待确定是否列入备件清单的备件品种，|U|表示集合的基数；A＝C∪D，C为备件品种确定的影响因素集，D为是否设置为备件的决策属性集，包括“设置”和“不设置”两个属性；f表示影响因素集与其属性值之间的映射关系，V表示决策人员对影响因素的评价值域，且值域为犹豫模糊集，则S为备件品种确定的犹豫模糊决策信息系统。

2.2基于风险偏好系数的数值延拓，在决策过程中，往往由于个别决策在某些方面欠缺导致无法给出决策信息的情况，这样就会形成犹豫模糊元所包含的元素数量不一致，进而影响决策计算和分析过程。为便于进行后续的计算和分析，需要采用一定的方法对元素较少的集合进行延拓。通常有两种方式：一是用元素个数较少的犹豫模糊元中的最小值元素将犹豫模糊元补齐，称为悲观延拓法；二是用元素个数较少的犹豫模糊元中的最大值元素进行补齐，称为乐观延拓法。

在备件品种确定的决策过程中，往往需要根据备件保障的综合形势进行风险判断，为解决这一问题，采用基于风险偏好系数的数值延拓法。设θ∈[0，1]为风险偏好系数，则犹豫模糊元h(x)中需延拓的元素h^σ为：

h^σ＝θh⁺+(1-θ)h^- (13)

式中，h⁺为h(x)中的最大值元素，h^-为h(x)中的最小值元素。当θ＝1时，h^σ＝h⁺，说明进行的是乐观评价，能够承担较大风险；当θ＝0时，h^σ＝h^-，说明进行的是悲观估计，不能够承担任务风险。因此，风险偏好系数θ越大，越能够承担风险，对决策结果的估计也就越乐观。延拓后的犹豫模糊元可记为：h(x)＝{h^σ(1)(x)，h^σ(2)(x)，…，h^σ(n)(x)}，其中，σ(1)，σ(2)，…，σ(n)为1，2，…m的一个重新排列，一般按降序对h^σ(i)(x)进行排列，h^σ(i)(x)为h(x)中第i大的数值。

2.3基于改进包含度计算的属性约简和规则获取

2.3.1包含度的定义与计算

定义9设任意集合A，B，C∈HF(X)，若映射D：HF(X)×HF(X)→[0，1]满足：

(1)0≤D(B/A)≤1；

(2)

(3)

D(A/C)≤D(B/C)。

则称D为HF(X)上的包含度。

首先基于风险偏好系数对犹豫模糊元的数值进行延拓，进而既考虑得分函数，又考虑数值延拓后的上下界元素的综合影响，给出犹豫模糊集包含度计算公式如下。

证明：

(1)显然，0≤D(B/A)≤1。

(2)若

则

且

由定义2可知，在相同风险系数θ下，

故

(3)若

则

且

同样可得在相同风险系数θ下，

故

同理，可证D(A/C)≤D(B/C)。

证毕。

2.3.2属性约简条件与规则获取

定义10设

为决策条件选择，则

称为决策条件选择在属性B上的投影。

设D(·/·)为犹豫模糊包含度，则对于

记

定义11若对

式M_A(l_j|a_j∈A)＝M_B(l_j|a_j∈B)成立，则称B为犹豫模糊决策信息系统S的最大决策协调集。若B是S的最大决策协调集，且B的任何子集都不是S的最大决策协调集，则称B为S的最大决策约简集。

基于上述定义，给出犹豫模糊决策信息系统属性约简和决策规则的一般步骤：

输入：犹豫模糊决策信息表S＝(U，AT，V，f)。

输出：S的最大决策约简集和决策规则。

步骤1：计算所有决策条件选择，得到条件属性重新组合后的犹豫模糊决策信息表；

步骤2：计算组合后犹豫模糊决策信息表中条件属性在决策属性中的包含度；

步骤3：根据定义8，依据包含度获取决策规则；

步骤4：逐项删减条件属性，并计算新的决策规则，若规则不变，则说明删减的条件属性冗余，去掉，并重复计算，以此类推，否则条件属性为必要的，保留，从而得到最大决策约简集。

2.3.3模型计算流程，综上，可得基于犹豫模糊粗糙集的备件品种确定的基本流程图1所示。

Claims (1)

1.一种犹豫模糊粗糙集的新研装备备件品种确定方法，其特征是：其步骤如下：

1)模糊粗糙定义

1.1犹豫模糊集，犹豫模糊集是模糊集的拓展形式，其每个元素是若干个可能值组成的集合，犹豫模糊集的数学表达式，定义1设X为非空集合，则称

A＝{<x，h_A(x)>|x∈X} (1)

为犹豫模糊集，其中h_A(x)是[0，1]上一些可能隶属值的集合，表示元素x对于集合A的隶属度的集合，h＝h_A(x)表示一个犹豫模糊元素，为方便，将X上所有犹豫模糊集构成的集合记为HF(X)；

定义2设h为犹豫模糊元素，则称

为h的得分值，称

为h的偏差度，其中l_h为h中元素的个数，对于两个犹豫模糊元素h₁和h₂，其比较和排序方法为：

(1)若s(h₁)＜s(h₂)，则h₁＜h₂；

(2)若s(h₁)＝s(h₂)，则：

(i)若

则h₁＝h₂；

(ii)若

则h₁＞h₂；

(iii)若

则h₁＜h₂；定义3设h_A(x)和h_B(x)为两个元素个数均为l_h的犹豫模糊元，则二者的交、并关系运算分别表示为：

(1)交

(2)并

由上式知，两个犹豫模糊元相交后的元素为相交前各对应元素的较小值，两个犹豫模糊元相并后为相并前各对应元素的较大值；

1.2粗糙集，建立决策信息表-利用等价关系求取上、下近似-属性约简-获取简化的决策，定义如下，

定义4设四元组S＝(U，A，V，f)，其中，U＝{x₁，x₂，…，x_|U|}是对象的非空有限集合，称为论域；A＝{a₁，a₂，…，a_|A|}表示属性的非空有限集合；

是全体属性值的集合，V_a表示属性a∈A的值域；f：∪×A→V是一个信息函数，它为每个对象x_i赋予一个信息值，即对

a∈A，有f(x，a)∈V_a，则称S为一个信息系统，信息系统是以二维表格形式构成的数据表，表示对象与属性值之间的关系；

当属性集A由条件属性集合C＝{c₁，c₂，…，c_|c|}和决策属性集合D＝{d}组成时，A＝C∪D，V＝V_C∪V_D，其中，V_C为条件属性值的集合，V_D为决策属性值的集合，称信息系统S为决策信息系统；

定义5设信息系统S＝(U，A，V，f)，

则B在I上的等价关系R_B为：

若(x，y)∈R_B，则称x和y关于B为等价关系，又称为不可区分关系；显然，这种等价关系满足自反性、对称性和传递性；等价关系R_B将论域U划分为一些等价类，记为U/R_B或U/B，包含元素x的等价类记为R_B(x)或

当S为决策信息系统时，由条件属性集进行的划分称为条件类，由决策属性集进行划分称决策类；

定义6设信息系统S＝(U，A，V，f)中，

为U的一个子集，R是一个等价关系，则X的下近似R(X)、上近似

正域pos_R(X)、负域neg_R(X)和边界域bn_R(X)分别表示为：

pos_R(X)＝R(X) (8)

下近似是指由知识判断必然属于X的对象组成的集合，也称为正域；上近似是指由现有知识判断可能属于X的对象组成的集合；负域是由现有知识判断肯定不属于X的对象组成的集合；边界域是上近似与下近似之差，即边界域是一个不可判定的区域；如果边界域为空集，则称X关于R是清晰的，反之则是粗糙的；

定义7设信息系统S＝(U，A，V，f)中，

如果R_B＝R_B-{a}，则称属性a在B中是冗余的，否则称属性a在B中是必要的；如果B中的所有属性都是必要的，则称B是独立的；如果任意

都有R_B＝R_B′，且B′是独立的，

则称B′是B的一个约简，记为Red(B)＝B′；

属性约简是指在不影响信息系统决策能力的前提下，通过消除冗余属性，提高信息系统潜在知识的清晰度，刻画条件属性和决策属性的内在联系，获得对决策更有效、使问题更简单的决策规则，从而依据获取的决策规则进行辅助决策；

很显然，约简集就是保持信息系统分类能力不变的最小属性子集，这些约简集的交集称为B的核心属性集，简称核或核属性，即：

core(B)＝∩Red(B) (11)

定义8设决策信息系统s＝(U，C∪D，V，f)，X_i和Y_j分别代表U/C和U/D中的等价类，des(X_i)表示X_i对于各个条件属性值的取值，des(Y_j)表示Y_j对于决策属性值的取值，则决策规则定义为：

2)基于犹豫模糊粗糙集决策的备件品种确定模型，将犹豫模糊集理论和粗糙集理论进行拓展融合，构建备件品种确定的犹豫模糊粗糙集决策模型；

2.1构建备件品种确定的犹豫模糊决策信息系统，由粗糙集信息系统的基本形式，构造形如S＝(U，A，V，f)的备件品种犹豫决策信息系统，其中u＝{x₁，x₂，…，x_|U|}为某装备系统中所有待确定是否列入备件清单的备件品种，|U|表示集合的基数；A＝C∪D，C为备件品种确定的影响因素集，D为是否设置为备件的决策属性集，包括“设置”和“不设置”两个属性；f表示影响因素集与其属性值之间的映射关系，V表示决策人员对影响因素的评价值域，且值域为犹豫模糊集，则S为备件品种确定的犹豫模糊决策信息系统；

2.2基于风险偏好系数的数值延拓，包括两种方式：一是用元素个数较少的犹豫模糊元中的最小值元素将犹豫模糊元补齐，称为悲观延拓法；二是用元素个数较少的犹豫模糊元中的最大值元素进行补齐，称为乐观延拓法；

根据备件保障的综合形势进行风险判断，采用基于风险偏好系数的数值延拓法，设θ∈[0，1]为风险偏好系数，则犹豫模糊元h(x)中需延拓的元素h^σ为：

h^σ＝θh⁺+(1-θ)h^- (13)

式中，h⁺为h(x)中的最大值元素，h^-为h(x)中的最小值元素；当θ＝1时，h^σ＝h⁺，说明进行的是乐观评价，能够承担较大风险；当θ＝0时，h^σ＝h^-，说明进行的是悲观估计，不能够承担任务风险；因此，风险偏好系数θ越大，越能够承担风险，对决策结果的估计也就越乐观；延拓后的犹豫模糊元记为：h(x)＝{h^σ(1)(x)，h^σ(2)(x)，…，h^σ(n)(x)}，其中，σ(1)，σ(2)，…，σ(n)为1，2，…m的一个重新排列，按降序对h^σ(i)(x)进行排列，h^σ(i)(x)为h(x)中第i大的数值；

2.3基于改进包含度计算的属性约简和规则获取，

2.3.1包含度的定义与计算，定义9设任意集合A，B，C∈HF(X)，若映射D：HF(X)×HF(X)→[0，1]满足：

(1)0≤D(B/A)≤1；

(2)

(3)

D(A/C)≤D(B/C)；

则称D为HF(X)上的包含度；

首先基于风险偏好系数对犹豫模糊元的数值进行延拓，进而既考虑得分函数，又考虑数值延拓后的上下界元素的综合影响，给出犹豫模糊集包含度计算公式如下；

证明：

(1)显然，0≤D(B/A)≤1；

(2)若

则

且

由定义2知，在相同风险系数θ下，

故

(3)若

则

且

同样得相同风险系数θ下，

故

同理，证D(A/C)≤D(B/C)，证毕；

2.3.2属性约简条件与规则获取

定义10设

为决策条件选择，则

称为决策条件选择在属性B上的投影；

设D(·/·)为犹豫模糊包含度，则对于

记

定义11若对

式M_A(l_j|a_j∈A)＝M_B(l_j|a_j∈B)成立，则称B为犹豫模糊决策信息系统S的最大决策协调集；若B是S的最大决策协调集，且B的任何子集都不是S的最大决策协调集，则称B为S的最大决策约简集；

犹豫模糊决策信息系统属性约简和决策规则的具体步骤：

输入：犹豫模糊决策信息表S＝(U，AT，V，f)，

输出：S的最大决策约简集和决策规则，

步骤1：计算所有决策条件选择，得到条件属性重新组合后的犹豫模糊决策信息表；

步骤2：计算组合后犹豫模糊决策信息表中条件属性在决策属性中的包含度；

步骤3：根据定义8，依据包含度获取决策规则；

步骤4：逐项删减条件属性，并计算新的决策规则，若规则不变，则说明删减的条件属性冗余，去掉，并重复计算，以此类推，否则条件属性为必要的，保留，从而得到最大决策约简集。

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