CN112905952A - 一种用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法 - Google Patents

一种用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法 Download PDF

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CN112905952A
CN112905952A CN202110174105.9A CN202110174105A CN112905952A CN 112905952 A CN112905952 A CN 112905952A CN 202110174105 A CN202110174105 A CN 202110174105A CN 112905952 A CN112905952 A CN 112905952A
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orthogonal
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叶井飞
刘浩君
马梦聪
宋真真
曹兆楼
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Abstract

本发明公开了一种用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，包括：获得任意孔径被测光学元件的波前梯度数据及各个数据点的位置；进行第一重数值化正交变换；进行第二重数值化正交变换；根据将测得的梯度数据直接表示为数值化正交梯度多项式线性组合的形式，得到任意孔径被测光学元件的波前梯度表征系数；根据梯度数据与波前数据的一阶导数关系，由梯度表征系数得到被测光学元件的波前表征系数，对被测光学元件的面形特征进行分析。本发明具有任意孔径适应性，效率高；是一种非迭代的波前梯度数据重构方法，用于孔径动态变化的波前梯度测试；在天文光学或自适应光学中具有一定的应用前景。

Description

一种用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法
技术领域
本发明涉及光学元件波前梯度测试数据方法，特别涉及一种用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法。
背景技术
在现代精密光学元件检测中，夏克哈特曼波前传感技术和条纹偏折技术应用非常广泛，所获得的数据均为光学元件波前梯度相关离散数据，因而由梯度测试数据获得光学元件的波前数据是关键技术。对于常规规则孔径形状的光学元件，如圆形孔径、方形孔径和六边形孔径元件等，通常采用区域法或迭代法获得面形或波前数据，其中区域法受限于被测元件的孔径形状，仅适用方形孔径光学元件；迭代法在复杂孔径形状光学元件梯度测试中的重构效率较低；对于不规则孔径形状或者复杂异形孔径光学元件的梯度测试技术，区域法和迭代法的局限性非常明显。
发明内容
发明目的：针对以上问题，本发明目的是提供一种用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，通过对被测光学元件梯度数据进行二重数值化正交变换，实现梯度数据重构。
技术方案：本发明所述的一种用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，包括：
(1)获得x和y两个方向的任意孔径被测光学元件的波前梯度数据及各个数据点的位置；
(2)进行第一重数值化正交变换，获得数值化正交多项式的偏导数；
(3)由数值化正交多项式的偏导数，进行第二重数值化正交变换，获得数值化正交梯度多项式；
(4)求解第一重变换矩阵和第二重变换矩阵；
(5)根据将测得的梯度数据直接表示为数值化正交梯度多项式线性组合的形式，由最小二乘法得到任意孔径被测光学元件的波前梯度表征系数；
(6)根据梯度数据与波前数据的一阶导数关系，由梯度表征系数得到被测光学元件的波前表征系数，进而对被测光学元件的面形特征进行分析。
所述步骤(1)包括：
所述波前梯度数据分别为Wx(xi,yi)和Wy(xi,yi)，其中i为有效孔径范围内的第i个波前梯度数据，总数为非零正整数N；
将两个方向的波前梯度数据表示为基函数线性组合的形式，分别为：
Figure BDA0002939993250000021
Figure BDA0002939993250000022
其中Gj(xi,yi)为波前梯度数据的第j项梯度正交基函数，aj为相应基函数的权重系数，在实际光学元件波前梯度检测中，基函数采用有限J项基函数进行波前梯度数据重构。
进一步，具有任意孔径的被测光学元件波前矢高表示基函数线性组合的形式为：
Figure BDA0002939993250000023
其中Fl(xi,yi)为波前矢高数据的第l项正交基函数，bl为相应基函数的波前权重系数，波前矢高正交基函数为有限L项基函数进行波前面形分析；
根据被测光学元件波前矢高数据与梯度数据一阶导数关系，W(xi,yi)的一阶导数分别为Wx(xi,yi)和Wy(xi,yi)；波前正交基函数Fl(xi,yi)在x和y两个方向的偏导数分别为Fl x(xi,yi)和Fl y(xi,yi)，二者并不具有正交完备性，需要进行数值化正交变换；将Fl x(xi,yi)和Fl y(xi,yi)简写为Fi x和Fl y。
所述步骤(2)第一重数值化正交变换包括：
用于任意孔径光学元件重构的正交基函数Fl(xi,yi)表示为正交多项式线性组合的形式，表达式为：
Figure BDA0002939993250000024
其中Zm(xi,yi)为正交基函数，m为正交基函数的序号，M为正交基函数总项数；Dlm是由Zm(xi,yi)变换为Fl(xi,yi)的数值化正交变换系数，相应基函数项数相等为L＝M。
进一步，在x和y两个方向的偏导数Fl x和Fl y分别为：
Figure BDA0002939993250000031
Figure BDA0002939993250000032
其中
Figure BDA0002939993250000033
和
Figure BDA0002939993250000034
为正交基函数的偏导数，正交基函数为泽尼克正交多项式或具有正交完备性的正交基函数，通常正交基函数的第一项为常数项，即
Figure BDA0002939993250000035
和
Figure BDA0002939993250000036
那么相应的F1 x＝0和F1 y＝0；
任意孔径被测光学元件在有效孔径内有N个有效测试数据点，那么在x和y两个方向上分别有N个波前梯度数据，将Fl x和Fl y表示为矩阵形式，即为：
Figure BDA0002939993250000037
其中DT为第一重变换矩阵D的转置矩阵；
将矩阵简写为
Figure BDA0002939993250000038
其中
Figure BDA0002939993250000039
为(N+N)×J的数值矩阵；
Figure BDA00029399932500000316
为第一重变换矩阵D去除第一行后的转置数值矩阵，大小为J×(J-1)；
Figure BDA00029399932500000311
为(N+N)×(J-1)的数值矩阵。
所述步骤(3)第二重数值化正交变换包括：
对Fl x和Fl y进行数值化正交变换，由Fl x和Fl y变换为
Figure BDA00029399932500000315
和
Figure BDA00029399932500000314
其中l＝2，3，…，L，相应的数值化正交梯度多项式为：
Figure BDA00029399932500000312
Figure BDA00029399932500000313
下标j是从2至L，那么相应的步骤(1)中J＝L；
将
Figure BDA0002939993250000041
和
Figure BDA0002939993250000042
表示为矩阵形式，即为：
Figure BDA0002939993250000043
其中
Figure BDA0002939993250000044
和
Figure BDA0002939993250000045
是从第二项开始，AT为第二重变换矩阵A的转置矩阵；
将矩阵简写为
Figure BDA0002939993250000046
其中AT大小为(J-1)×(J-1)；
Figure BDA0002939993250000047
为(N+N)×(J-1)的数值化正交梯度多项式的数值矩阵；
数值化正交梯度多项式的数值矩阵为
Figure BDA0002939993250000048
所述步骤(4)包括：
将
Figure BDA0002939993250000049
表示为矩阵形式，为F＝ZDT；由L＝M和J＝L得到J＝L＝M；F和Z分别为大小N×J的数值矩阵，Z为正交基函数的数据矩阵，F为数值化正交变换的数值化正交多项式数据矩阵，DT为变换矩阵D的转置矩阵，变换矩阵D的大小为J×J；数值矩阵F具有归一化特征，因而有FTF＝NI，其中I为J×J的单位矩阵；将F＝ZDT代入FTF＝NI，得到FTF＝FTZDT＝NI；
根据矩阵基本性质，矩阵FTZDT变化为(FTZDT)T＝DZTF＝DZTZDT＝(NI)T＝NI，从而得到DZTZDT＝NI，引入中间矩阵Q，令变换矩阵D＝(QT)-1，并代入DZTZDT＝NI中，得到QTQ＝ZTZ/N；矩阵ZTZ是由正交完备基函数构成的对称且正定矩阵，利用乔里斯基分解法对QTQ＝ZTZ/N进行求解，获得唯一中间矩阵Q，得到第一重变换矩阵D。
进一步，引入中间矩阵R，令变换矩阵A＝(RT)-1，结合数值矩阵
Figure BDA00029399932500000410
从而得到
Figure BDA00029399932500000411
Figure BDA00029399932500000412
同样为对称且正定矩阵，采用乔里斯基分解法得到中间矩阵R，进而得到第二重变换矩阵A；得到数值化正交梯度多项式的数值矩阵
Figure BDA00029399932500000413
所述步骤(5)包括：
将波前梯度数据Wx(xi,yi)和Wy(xi,yi)表示为数值化正交梯度多项式，并简写为矩阵形式为
Figure BDA0002939993250000051
其中波前梯度系数矩阵a大小为(J-1)×1；由最小二乘法得到梯度系数矩阵的有效估计值
Figure BDA0002939993250000052
所述步骤(6)包括：
将
Figure BDA0002939993250000053
表示矩阵形式，为
Figure BDA0002939993250000054
其中
Figure BDA0002939993250000055
为N×(J-1)的矩阵，b为(J-1)×1的系数矩阵，根据波前矢高数据与梯度数据之间的关系，得到波前矢高系数矩阵
Figure BDA0002939993250000056
用于被测光学元件的波前梯度数据重构分析。
有益效果：本发明与现有技术相比，其显著优点是：本发明具有任意孔径适应性，效率高；是一种非迭代的波前梯度数据重构方法，用于孔径动态变化的波前梯度测试；在天文光学或自适应光学中具有一定的应用前景。
附图说明
图1为本发明方法流程图。
具体实施方式
如图1，本实施例所述的一种用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，包括：
(1)由夏克哈特曼波前传感或条纹偏折术获得x和y两个方向的任意孔径被测光学元件的波前梯度数据及各个数据点的位置；
波前梯度数据分别为Wx(xi,yi)和Wy(xi,yi)，其中i为有效孔径范围内的第i个波前梯度数据，总数为非零正整数N。
将两个方向的波前梯度数据表示为基函数线性组合的形式，分别为：
Figure BDA0002939993250000057
Figure BDA0002939993250000058
其中Gj(xi,yi)为波前梯度数据的第j项梯度正交基函数，aj为相应基函数的权重系数，在实际光学元件波前梯度检测中，基函数采用有限J项基函数进行波前梯度数据重构。
具有任意孔径的被测光学元件波前矢高表示基函数线性组合的形式为：
Figure BDA0002939993250000061
其中Fl(xi,yi)为波前矢高数据的第l项正交基函数，bl为相应基函数的波前权重系数，波前矢高正交基函数为有限L项基函数进行波前面形分析。
根据被测光学元件波前矢高数据与梯度数据一阶导数关系，W(xi,yi)的一阶导数分别为Wx(xi,yi)和Wy(xi,yi)；波前正交基函数Fl(xi,yi)在x和y两个方向的偏导数分别为Fl x(xi,yi)和Fl y(xi,yi)，二者并不具有正交完备性，需要进行数值化正交变换；将Fl x(xi,yi)和Fl y(xi,yi)简写为Fl x和Fl y。
(2)进行第一重数值化正交变换，获得数值化正交多项式的偏导数；
用于任意孔径光学元件重构的正交基函数Fl(xi,yi)表示为正交多项式线性组合的形式，表达式为：
Figure BDA0002939993250000062
其中Zm(xi,yi)为正交基函数，m为正交基函数的序号，M为正交基函数总项数；Dlm是由Zm(xi,yi)变换为Fl(xi,yi)的数值化正交变换系数，相应基函数项数相等为L＝M。
在x和y两个方向的偏导数Fl x和Fl y分别为：
Figure BDA0002939993250000063
Figure BDA0002939993250000064
其中
Figure BDA0002939993250000065
和
Figure BDA0002939993250000066
为正交基函数的偏导数，正交基函数为泽尼克正交多项式或具有正交完备性的正交基函数，通常正交基函数的第一项为常数项，即
Figure BDA0002939993250000071
和
Figure BDA0002939993250000072
那么相应的F1 x＝0和F1 y＝0。
任意孔径被测光学元件在有效孔径内有N个有效测试数据点，那么在x和y两个方向上分别有N个波前梯度数据，将Fl x和Fl y表示为矩阵形式，即为：
Figure BDA0002939993250000073
其中DT为第一重变换矩阵D的转置矩阵。
将矩阵简写为
Figure BDA0002939993250000074
其中
Figure BDA0002939993250000075
为(N+N)×J的数值矩阵；为第一重变换矩阵D去除第一行后的转置数值矩阵，大小为J×(J-1)；
Figure BDA0002939993250000077
为(N+N)×(J-1)的数值矩阵。
(3)由数值化正交多项式的偏导数，进行第二重数值化正交变换，获得数值化正交梯度多项式；
对Fl x和Fl y进行数值化正交变换，由Fl x和Fl y变换为
Figure BDA0002939993250000078
和
Figure BDA0002939993250000079
其中l＝2，3，…，L，相应的数值化正交梯度多项式为：
Figure BDA00029399932500000710
Figure BDA00029399932500000711
下标j是从2至L，那么相应的步骤(1)中J＝L。
将
Figure BDA00029399932500000712
和
Figure BDA00029399932500000713
表示为矩阵形式，即为：
Figure BDA00029399932500000714
其中
Figure BDA00029399932500000715
和
Figure BDA00029399932500000716
是从第二项开始，AT为第二重变换矩阵A的转置矩阵。
将矩阵简写为
Figure BDA00029399932500000717
其中AT大小为(J-1)×(J-1)；
Figure BDA00029399932500000718
为(N+N)×(J-1)的数值化正交梯度多项式的数值矩阵。
数值化正交梯度多项式的数值矩阵为
Figure BDA00029399932500000719
(4)求解第一重变换矩阵和第二重变换矩阵；
将
Figure BDA0002939993250000081
表示为矩阵形式，为F＝ZDT；由L＝M和J＝L得到J＝L＝M；F和Z分别为大小N×J的数值矩阵，Z为正交基函数的数据矩阵，F为数值化正交变换的数值化正交多项式数据矩阵，DT为变换矩阵D的转置矩阵，变换矩阵D的大小为J×J；数值矩阵F具有归一化特征，因而有FTF＝NI，其中I为J×J的单位矩阵；将F＝ZDT代入FTF＝NI，得到FTF＝FTZDT＝NI。
根据矩阵基本性质，矩阵FTZDT变化为(FTZDT)T＝DZTF＝DZTZDT＝(NI)T＝NI，从而得到DZTZDT＝NI，引入中间矩阵Q，令变换矩阵D＝(QT)-1，并代入DZTZDT＝NI中，得到QTQ＝ZTZ/N；矩阵ZTZ是由正交完备基函数构成的对称且正定矩阵，利用乔里斯基分解法对QTQ＝ZTZ/N进行求解，获得唯一中间矩阵Q，得到第一重变换矩阵D。
引入中间矩阵R，令变换矩阵A＝(RT)-1，结合数值矩阵
Figure BDA0002939993250000082
从而得到
Figure BDA0002939993250000083
Figure BDA0002939993250000084
同样为对称且正定矩阵，采用乔里斯基分解法得到中间矩阵R，进而得到第二重变换矩阵A；得到数值化正交梯度多项式的数值矩阵
Figure BDA0002939993250000085
(5)根据将测得的梯度数据直接表示为数值化正交梯度多项式线性组合的形式，由最小二乘法得到任意孔径被测光学元件的波前梯度表征系数；
将波前梯度数据Wx(xi,yi)和Wy(xi,yi)表示为数值化正交梯度多项式，并简写为矩阵形式为
Figure BDA0002939993250000086
其中波前梯度系数矩阵a大小为(J-1)×1；由最小二乘法得到梯度系数矩阵的有效估计值
Figure BDA0002939993250000087
(6)根据梯度数据与波前数据的一阶导数关系，由梯度表征系数得到被测光学元件的波前表征系数，进而对被测光学元件的面形特征进行分析。
将
Figure BDA0002939993250000091
表示矩阵形式，为
Figure BDA0002939993250000092
其中
Figure BDA0002939993250000093
为N×(J-1)的矩阵，b为(J-1)×1的系数矩阵，根据波前矢高数据与梯度数据之间的关系，得到波前矢高系数矩阵
Figure BDA0002939993250000094
用于被测光学元件的波前梯度数据重构分析。

Claims (10)

1.一种用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，包括：
(1)获得x和y两个方向的任意孔径被测光学元件的波前梯度数据及各个数据点的位置；
(2)进行第一重数值化正交变换，获得数值化正交多项式的偏导数；
(3)由数值化正交多项式的偏导数，进行第二重数值化正交变换，获得数值化正交梯度多项式；
(4)求解第一重变换矩阵和第二重变换矩阵；
(5)根据将测得的梯度数据直接表示为数值化正交梯度多项式线性组合的形式，由最小二乘法得到任意孔径被测光学元件的波前梯度表征系数；
(6)根据梯度数据与波前数据的一阶导数关系，由梯度表征系数得到被测光学元件的波前表征系数，对被测光学元件的面形特征进行分析。
2.根据权利要求1所述的用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，所述步骤(1)包括：
所述波前梯度数据分别为Wx(xi,yi)和Wy(xi,yi)，其中i为有效孔径范围内的第i个波前梯度数据，总数为非零正整数N；
将两个方向的波前梯度数据表示为基函数线性组合的形式，分别为：
Figure FDA0002939993240000011
Figure FDA0002939993240000012
其中Gj(xi,yi)为波前梯度数据的第j项梯度正交基函数，aj为相应基函数的权重系数，在实际光学元件波前梯度检测中，基函数采用有限J项基函数进行波前梯度数据重构。
3.根据权利要求2所述的用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，具有任意孔径的被测光学元件波前矢高表示基函数线性组合的形式为：
Figure FDA0002939993240000013
其中Fl(xi,yi)为波前矢高数据的第l项正交基函数，bl为相应基函数的波前权重系数，波前矢高正交基函数为有限L项基函数进行波前面形分析；
根据被测光学元件波前矢高数据与梯度数据一阶导数关系，W(xi,yi)的一阶导数分别为Wx(xi,yi)和Wy(xi,yi)；波前正交基函数Fl(xi,yi)在x和y两个方向的偏导数分别为
Figure FDA0002939993240000021
和
Figure FDA0002939993240000022
二者并不具有正交完备性，需要进行数值化正交变换；将
Figure FDA0002939993240000023
和
Figure FDA0002939993240000024
简写为
Figure FDA0002939993240000025
和
Figure FDA0002939993240000026
4.根据权利要求3所述的用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，所述步骤(2)第一重数值化正交变换包括：
用于任意孔径光学元件重构的正交基函数Fl(xi,yi)表示为正交多项式线性组合的形式，表达式为：
Figure FDA0002939993240000027
其中Zm(xi,yi)为正交基函数，m为正交基函数的序号，M为正交基函数总项数；Dlm是由Zm(xi,yi)变换为Fl(xi,yi)的数值化正交变换系数，相应基函数项数相等为L＝M。
5.根据权利要求4所述的用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，在x和y两个方向的偏导数
Figure FDA0002939993240000028
和
Figure FDA0002939993240000029
分别为：
Figure FDA00029399932400000210
Figure FDA00029399932400000211
其中
Figure FDA00029399932400000212
和
Figure FDA00029399932400000213
为正交基函数的偏导数，正交基函数为泽尼克正交多项式或具有正交完备性的正交基函数，通常正交基函数的第一项为常数项，即
Figure FDA00029399932400000214
和
Figure FDA00029399932400000215
那么相应的
Figure FDA00029399932400000216
和
Figure FDA00029399932400000217
任意孔径被测光学元件在有效孔径内有N个有效测试数据点，那么在x和y两个方向上分别有N个波前梯度数据，将
Figure FDA0002939993240000031
和
Figure FDA0002939993240000032
表示为矩阵形式，即为：
Figure FDA0002939993240000033
其中DT为第一重变换矩阵D的转置矩阵；
将矩阵简写为
Figure FDA0002939993240000034
其中
Figure FDA0002939993240000035
为(N+N)×J的数值矩阵；
Figure FDA00029399932400000325
为第一重变换矩阵D去除第一行后的转置数值矩阵，大小为J×(J-1)；
Figure FDA0002939993240000037
的数值矩阵。
6.根据权利要求5所述的用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，所述步骤(3)第二重数值化正交变换包括：
对
Figure FDA0002939993240000038
和
Figure FDA0002939993240000039
进行数值化正交变换，由
Figure FDA00029399932400000310
和
Figure FDA00029399932400000311
变换为
Figure FDA00029399932400000312
和
Figure FDA00029399932400000313
其中，l＝2，3，…，L，相应的数值化正交梯度多项式为：
Figure FDA00029399932400000314
Figure FDA00029399932400000315
下标j是从2至L，那么相应的步骤(1)中J＝L；
将
Figure FDA00029399932400000316
和
Figure FDA00029399932400000317
表示为矩阵形式，即为：
Figure FDA00029399932400000318
其中
Figure FDA00029399932400000319
和
Figure FDA00029399932400000320
是从第二项开始，AT为第二重变换矩阵A的转置矩阵；
将矩阵简写为
Figure FDA00029399932400000321
其中AT大小为(J-1)×(J-1)；
Figure FDA00029399932400000322
为(N+N)×(J-1)的数值化正交梯度多项式的数值矩阵；
数值化正交梯度多项式的数值矩阵为
Figure FDA00029399932400000323
7.根据权利要求1所述的用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，所述步骤(4)包括：
将
Figure FDA00029399932400000324
表示为矩阵形式，为F＝ZDT；由L＝M和J＝L得到J＝L＝M；F和Z分别为大小N×J的数值矩阵，Z为正交基函数的数据矩阵，F为数值化正交变换的数值化正交多项式数据矩阵，DT为变换矩阵D的转置矩阵，变换矩阵D的大小为J×J；数值矩阵F具有归一化特征，因而有FTF＝NI，其中I为J×J的单位矩阵；将F＝ZDT代入FTF＝NI，得到FTF＝FTZDT＝NI；
根据矩阵基本性质，矩阵FTZDT变化为(FTZDT)T＝DZTF＝DZTZDT＝(NI)T＝NI，从而得到DZTZDT＝NI，引入中间矩阵Q，令变换矩阵D＝(QT)-1，并代入DZTZDT＝NI中，得到QTQ＝ZTZ/N；矩阵ZTZ是由正交完备基函数构成的对称且正定矩阵，利用乔里斯基分解法对QTQ＝ZTZ/N进行求解，获得唯一中间矩阵Q，得到第一重变换矩阵D。
8.根据权利要求7所述的用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，所述步骤(4)包括：
引入中间矩阵R，令变换矩阵A＝(RT)-1，结合数值矩阵
Figure FDA0002939993240000041
从而得到
Figure FDA0002939993240000042
Figure FDA0002939993240000043
同样为对称且正定矩阵，采用乔里斯基分解法得到中间矩阵R，进而得到第二重变换矩阵A；得到数值化正交梯度多项式的数值矩阵
Figure FDA0002939993240000044
9.根据权利要求8所述的用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，所述步骤(5)包括：
将波前梯度数据Wx(xi,yi)和Wy(xi,yi)表示为数值化正交梯度多项式，并简写为矩阵形式为
Figure FDA0002939993240000045
其中波前梯度系数矩阵a大小为(J-1)×1；由最小二乘法得到梯度系数矩阵的有效估计值
Figure FDA0002939993240000046
10.根据权利要求9所述的用于任意孔径光学元件波前梯度数据重构方法，其特征在于，所述步骤(6)包括：
将
Figure FDA0002939993240000051
表示矩阵形式，为
Figure FDA0002939993240000052
其中
Figure FDA0002939993240000053
为N×(J-1)的矩阵，b为(J-1)×1的系数矩阵，根据波前矢高数据与梯度数据之间的关系，得到波前矢高系数矩阵
Figure FDA0002939993240000054
用于被测光学元件的波前梯度数据重构分析。
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