CN112885202A - 基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法 - Google Patents

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Abstract

一种基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法，由构建模型、变量代换、确定构造函数、构建水波双线性模型、水波模型波形演化过程步骤组成。由于本发明采用了对现有的双线性方法构造函数进行改造，提出了一种新的构造函数，通过参数确定水波模型波形演化过程，本发明与现有的方法经对比试验，实验结果表明，本发明方法获得的结果更具有代表性，能准确地表达模型波形的不同演化过程。本发明方法具有计算量小、效率高、准确率高、应用范围广等优点，可用于水波模型波形的演化过程。

Description

基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法
技术领城
本发明属于确定水波模型波形演化过程方法的领域，具体涉及到用双线性构造函数方法演化 水波模型波形过程。
背景技术
随着科学技术研究的深入发展，计算机技术已服务于越来越多的行业，如气象学，物理，生 命科学等。在数学领域，逐渐兴起了与计算机相交叉的技术，即非线性科学技术。可以用计算机 模拟那些过去根本不能求解的科学技术问题、不容易观察到的现象，得到实际应用的波形表示结 果，揭示波形各种的现象规律和性质，所以，非线性科学技术是研究的一种非常重要的科学方法。
在水波模型技术不断的探索中，人们发现水波这一现象在技术科学与工程科学中起着越来越 大的作用，而水波模型本身的物理背景和孤立波解的特殊性质使水波模型的求解和孤立波理论作 为非线性科学的一个分支,成为当前科学发展的前沿和热点问题。在这种背景下，利用非线性科学 技术研究水波模型是数学机械化的主要工具，不仅提高了研究水波模型的速度，而且能很好地将 水波模型的波形演化过程展现出来进而应用到实际生活中。
目前，对于研究水波模型波形演化过程确定的方法，国内外学者提出了一系列行之有效的方 法，如Darboux变换法，双线性法等。双线方法是一种纯代数的方法,这种方法，构造函数比较 单一，不能准确地表示水波模型波形的演化过程。
发明内容
本发明所要解决的技术问题在于克服上述方法分析模型得到单一性质的缺点，提供了一种计 算量小、效率高、准确率高、应用范围广的基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法。
解决上述技术问题所采用的技术方案由下述步骤组成：
(1)构建非线性模型
按式(1)构建水波模型：
ut+5u2ux+5uxuxx+5uu3x+u5x＝0 (1)
u＝u(x，t)
其中u是关于空间变量x、时间t的水波模型波形演化过程表达式，x、t为实数，x取值为-20～20， t取值为-20～20。
(2)变量代换
按式(2)替换变量u：
u＝6(lnf)xx (2)
f＝f(x，t)
其中f是关于x、t的构造函数。
(3)构建水波双线性模型
按式(3)确定水波双线性模型：
Figure BDA0002895096880000021
其中Dt、Dx是双线性算子。
(4)确定构造函数f
按式(4)确定构造函数f：
f＝a1cos(ζ1)+a2cosh(ζ2)+exp(-ζ3)+a3exp(ζ3) (4)
ζi＝kix+cit
其中ai是振幅，ci是频率，ki是波速，均为参数，i∈{1，2，3}，ai的取值为0.5～1，ci的取值为- 0.5～1.1，ki的取值为0～1.1。
(5)水波模型波形演化过程
由式(4)、式(3)、式(1)得到水波模型波形演化过程的表达式如下：
按式(5)得水波模型波形的演化过程u：
Figure BDA0002895096880000022
f＝a1 cos(k1x+c1t)+a2 cosh(k2x+c2t)+exp(-k3x-c3t) +a3exp(k3x+c3t)
A＝-a1k1sin(k1x+c1t)+a2k2sinh(k2x+c2t)-k3exp(-k3x-c3t) +a3k3exp(k3x+c3t)
Figure BDA0002895096880000031
在本发明的构建非线性模型步骤(1)中，x取值为-20～20，t取值为-20～20。
在本发明的构建非线性模型步骤(1)中，x取值为-20～20，t取值为-10～10。
在本发明的构建检验函数步骤(4)中的式(4)中，所述的参数a1、a2、a3取值分别为1；c1取 值为1.01，c2取值为0.03，c3取值为1；k1取值为1；k2取值为0.5，k3取值为0。
由于本发明采用了对现有的双线性方法构造函数进行改造，提出了一种新的构造函数，通过 参数确定水波模型波形演化过程，本发明与现有的方法经对比试验，实验结果表明，本发明方法 获得的结果更具有代表性，能准确地表达模型波形的不同演化过程。本发明方法具有计算量小、 效率高、准确率高、应用范围广等优点，可用于水波模型波形的演化过程。
附图说明
图1是本发明实施例1的流程图。
图2是实施例1步骤(4)中水波模型参数ai、ci、ki对应的模拟波形演化过程的三维图。
图3是实施例2步骤(4)中水波模型参数ai、ci、ki对应的模拟波形演化过程的三维图。
图4是实施例3步骤(4)中水波模型参数ai、ci、ki对应的模拟波形演化过程的三维图。
图5是采用广义浅水波模型水波波形演化过程方法的实验结果图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步详细说明，但本发明不限于这些实施例。
实施例1
以浅水波模型为例，本实施例的基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法步骤如 下(参见图1)：
(1)构建非线性模型
按式(1)构建水波模型：
ut+5u2ux+5uxuxx+5uu3x+u5x＝0 (1)
u＝u(x，t)
其中u是关于空间变量x、时间t的水波模型波形演化过程表达式，x、t为实数，x取值为-20～20， t取值为-20～20。
(2)变量代换
按式(2)替换变量u：
u＝6(lnf)xx (2)
f＝f(x，t)
其中f是关于x、t的构造函数。
(3)构建水波双线性模型
按式(3)确定水波双线性模型：
Figure BDA0002895096880000041
其中Dt、Dx是双线性算子。
(4)确定构造函数f
按式(4)确定构造函数f：
f＝a1cos(ζ1)+a2cosh(ζ2)+exp(-ζ3)+a3exp(ζ3) (4)
ζi＝kix+cit
其中ai是振幅，ci是频率，ki是波速，均为参数，i∈{1，2，3}，ai的取值为0.5～1，ci的取值为- 0.5～1.1，ki的取值为0～1.1，本实施例的a1取值为1、a2取值为1、a3取值为 1；c1为1.04，c2为0.03，c3为1；k1为1，k2为0.5，k3为0。
由于在该步骤中采用了对现有的双线性方法构造函数进行改造，提出了一种新的构造函数， 通过参数确定水波模型波形演化过程，能准确地表达模型波形的不同演化过程。使得演化水波模 型波形过程的方法计算量小、效率高、准确率高、应用范围广。
(5)水波模型波形演化过程
由式(4)、式(3)、式(1)得到水波模型波形过程的表达式如下，通过表达式来表示水波模型的演 化过程：
按式(5)得水波模型波形的演化过程u：
Figure BDA0002895096880000051
f＝a1 cos(k1x+c1t)+a2 cosh(k2x+c2t)+exp(-k3x-c3t) +a3exp(k3x+c3t)
A＝-a1k1sin(k1x+c1t)+a2k2sinh(k2x+c2t)-k3exp(-k3x-c3t) +a3k3exp(k3x+c3t)
Figure BDA0002895096880000052
实施例2
以浅水波模型为例，本实施例的基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法步骤如 下：
(1)构建非线性模型
按式(1)构建水波模型：
ut+5u2ux+5uxuxx+5uu3x+u5x＝0 (1)
u＝u(x，t)
其中u是关于空间变量x、时间t的水波模型波形演化过程表达式，x、t为实数，x取值为-20～20， t取值为-20～20。
(2)变量代换
该步骤与实施例1相同。
(3)构建水波双线性模型
该步骤与实施例1相同。
(4)确定构造函数f
按式(4)确定构造函数f：
f＝a1cos(ζ1)+a2cosh(ζ2)+exp(-ζ3)+a3exp(ζ3) (4)
ζi＝kix+cit
其中ai是振幅，ci是频率，ki是波速，均为参数，i∈{1，2，3}，ai取值为0.5～1，ci取值为-0.5～1.1，ki取 值为0～1.1，本实施例的取值为a1为1，a2为0.5，a3为0.06；c1为1，c2为-0.5，c3为0.5；k1为0，k2、k3为0.5。
其它步骤与实施例1相同，得到水波模型波形演化过程。
实施例3
以浅水波模型为例，本实施例的基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法步骤如 下：
(1)构建非线性模型
按式(1)构建水波模型：
ut+5u2ux+5uxuxx+5uu3x+u5x＝0 (1)
u＝u(x，t)
其中u是关于空间变量x、时间t的水波模型波形演化过程表达式，x、t为实数，x取值为-20～ 20，t取值为-20～20。
(2)变量代换
该步骤与实施例1相同。
(3)构建水波双线性模型
该步骤与实施例1相同。
(4)确定构造函数f
按式(4)确定构造函数f：
f＝a1cos(ζ1)+a2cosh(ζ2)+exp(-ζ3)+a3exp(ζ3) (4)
ζi＝kix+cit
其中ai是振幅，ci是频率，ki是波速，均为参数，i∈{1，2，3}，ai取值为0.5～1，ci取值为-0.5～1.1，ki取 值为0～1.1，本实施例的取值为a1为1，a2为0.5，a3为0.06；c1为1，c2为0.5，c3为-0.5；k1为0，k2、 k3为0.2。
其它步骤与实施例1相同，得到水波模型波形演化过程。
实施例4
以浅水波模型为例，本实施例的基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法步骤如 下：
(1)构建非线性模型
按式(1)构建水波模型：
ut+5u2ux+5uxuxx+5uu3x+u5x＝0 (1)
u＝u(x，t)
其中u是关于空间变量x、时间t的水波模型波形演化过程表达式，x、t为实数，x取值为-20～20， t取值为-20～20。
(2)变量代换
该步骤与实施例1相同。
(3)构建水波双线性模型
该步骤与实施例1相同。
(4)确定构造函数f
按式(4)确定构造函数f：
f＝a1cos(ζ1)+a2cosh(ζ2)+exp(-ζ3)+a3exp(ζ3) (4)
ζi＝kix+cit
其中ai是振幅，ci是频率，ki是波速，均为参数，i∈{1，2，3}，ai取值为0.5～1，ci取值为-0.5～1.1，ki取 值为0～1.1，本实施例的取值为ai为0.5，ci为-0.5，，ki为0。
其它步骤与实施例1相同，得到水波模型波形演化过程。
实施例5
以浅水波模型为例，本实施例的基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法步骤如 下：
(1)构建非线性模型
按式(1)构建水波模型：
ut+5u2ux+5uxuxx+5uu3x+u5x＝0 (1)
u＝u(x，t)
其中u是关于空间变量x、时间t的水波模型波形演化过程表达式，x、t为实数，x取值为-20～20，t取值为-20～20。
(2)变量代换
该步骤与实施例1相同。
(3)构建水波双线性模型
该步骤与实施例1相同。
(4)确定构造函数f
按式(4)确定构造函数f：
f＝a1cos(ζ1)+a2cosh(ζ2)+exp(-ζ3)+a3exp(ζ3) (4)
ζi＝kix+cit
其中ai是振幅，ci是频率，ki是波速，均为参数，i∈{1，2，3}，ai取值为0.5～1，ci取值为-0.5～1.1，ki取 值为0～1.1，本实施例的取值为ai为1，ci、ki为1.1。
其它步骤与实施例1相同，得到水波模型波形演化过程。
为了验证本发明的有益效果，发明人采用本发明实施例1、2、3的基于双线性构造函数法演 化水波模型波形过程的方法与广义浅水波模型水波波形演化过程方法进行了对比实验，实施例1、 2、3的仿真实验结果见图2～图4。广义浅水波模型水波波形演化过程方法的实验结果见图5，由 图5可见，广义浅水波模型波形演化过程比较单一，不能很好的展示水波的演化过程，实验情况 如下：
1、仿真条件
利用双线性构造函数法，选取不同的参数确定水波模型波形演化过程。
2、仿真实验
(1)仿真实验1
实施例1对应的水波波形演化过程仿真实验得到的波形图如图2所示，由图2可见，它是由 两个波在t＝0发生碰撞，并且在x＝0、t＝0取得最高峰。
(2)仿真实验2
实施例1对应的水波波形演化过程仿真实验得到的波形图如图3所示，由图3可见，它是一 个周期呼吸型孤立波形，其周期和孤立波都随着t在上下浮动，其传播速度稳定保持不变，振幅 发生周期性变化。
(3)仿真实验3
实施例3对应的水波波形演化过程仿真实验得到的波形图如图4所示，由图4可见，该过程 展示了亮孤立波和暗孤立波的碰撞，碰撞过程中，暗孤立波把能量传递给亮孤立波，波峰变高。
(4)广义浅水波模型波形演化过程方法实验
采用广义浅水波模型水波波形演化过程方法的实验结果见图5，
3、仿真实验结果
综合上述仿真结果以及对比实验结果表明，本发明方法获得的结果更具有代表性、物理意义， 能很好地表达模型波形的不同演化过程，应用范围广，适用于更多水波模型波形演化过程。

Claims (4)

1.一种基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法，其过程在于由下述步骤组成：
(1)构建非线性模型
按式(1)构建水波模型：
ut+5u2ux+5uxuxx+5uu3x+u5x＝0 (1)
u＝u(x，t)
其中u是关于空间变量x、时间t的水波模型波形演化过程表达式，x、t为实数，x取值为-20～20，t取值为-20～20；
(2)变量代换
按式(2)替换变量u：
u＝6(lnf)xx (2)
f＝f(x，t)
其中f是关于x、t的构造函数；
(3)构建水波双线性模型
按式(3)确定水波双线性模型：
Figure FDA0002895096870000011
其中Dt、Dx是双线性算子；
(4)确定构造函数f
按式(4)确定构造函数f：
f＝a1cos(ζ1)+a2cosh(ζ2)+exp(-ζ3)+a3exp(ζ3) (4)
ζi＝kix+cit
其中ai是振幅，ci是频率，ki是波速，均为参数，i∈{1，2，3}，ai的取值为0.5～1，ci的取值为-0.5～1.1，ki的取值为0～1.1；
(5)水波模型波形演化过程
由式(4)、式(3)、式(1)得到水波模型波形演化过程的表达式如下：
按式(5)得水波模型波形的演化过程u：
Figure FDA0002895096870000021
f＝a1cos(k1x+c1t)+a2cosh(k2x+c2t)+exp(-k3x-c3t)+a3exp(k3x+c3t)
A＝-a1k1sin(k1x+c1t)+a2k2sinh(k2x+c2t)-k3exp(-k3x-c3t)+a3k3exp(k3x+c3t)
Figure FDA0002895096870000022
2.根据权利要求1所述基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法，其特征在于：在构建非线性模型步骤(1)中，x取值为-20～20，t取值为-20～20。
3.根据权利要求1所述基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法，其特征在于：在构建非线性模型步骤(1)中，x取值为-20～20，t取值为-10～10。
4.据权利要求1所述基于双线性构造函数法演化水波模型波形过程的方法，其特征在于：在构建检验函数步骤(4)的式(4)中，所述的a1、a2、a3取值分别为1；c1取值为1.01，c2取值为0.03，c3取值为1；k1取值为1；k2取值为0.5，k3取值为0。
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