CN112781496B - 一种非接触测量系统的测头位姿标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种非接触测量系统的测头位姿标定方法，无需额外辅助仪器即可标定线结构光传感器空间角度。以标准圆柱体的芯轴作为标定的样板，通过线结构光传感器发射激光线来得到二维轮廓，经过多个空间位置的扫描，进而获得多组轮廓曲线数据，其中通过莱文伯格‑马夸特迭代法对每一个空间轮廓进行非线性优化求解轮廓参数再根据相对移动传感器在不同的世界坐标上进行多次扫描策略，得到多组非共线校准点。这些生成的非共线点被满足于相对运动模型的外在参数计算，即逆向实现线结构光传感器框架空间角度的求解。此方法简单省时，测量精度高。

Description

一种非接触测量系统的测头位姿标定方法

技术领域

本发明属于线结构光测量技术领域，具体涉及一种无需额外辅助仪器即可对线结构光传感器在集成系统中进行空间角度标定的方法。

背景技术

近年来线结构光三维测量技术的主要发展趋势是线结构光传感器与其他设备如数控机床或坐标测量机相集成，来实现对工件目标的3D测量。例如，在数控系统中，可增加线结构光传感器的自由度，将线结构光测量的轮廓数据从2D扩展到3D，以实现全面的非接触测量和逆向三维重建测量目标。在线结构光测量技术领域，线结构光传感器测量技术属于当前广泛应用的线结构光测量技术之一，作为一种最常用的结构光传感器，一个线结构光传感器基本结构由一个摄像机(主要零部件为电荷耦合器件或互补金属氧化物半导体)和一个激光投影仪组成。线结构光传感器高精度扫描的标定分为独立的两个部分:内在标定和外在标定，它们通过不同的坐标框架关系来区分。当传感器上的激光能量被激发，通过柱面物镜发出一条激光线时，摄像机就捕捉到了一幅调制的目标轮廓图像。相应的轮廓可以通过离散点的重心来识别，并且在识别中考虑图像平面透镜变形问题，从而实现激光平面中的2D数据与图像平面中的2D轮廓映射。这种一对一对应的标定程序称为“内在标定”，往往在线结构光测头出厂前已经校准完毕。而当传感器被嵌入以集成多轴设备，从激光平面中的2D数据转换到三维世界框架具有良好的可行性。但必须存在一个传感器位置(坐标随多轴变化)和方向用来识别激光平面和数控机床上建立标准的笛卡尔空间直角坐标系之间的关系。这种识别过程称为“外在标定”。因为线结构光传感器框架在测量系统中受安装偏差、机床振动等因素会变得不正交或偏斜，必须对传感器在系统中进行充分外在标定，其中最关键的在于传感器框架空间角度的精确求解。简而言之，不同的平台和条件可能需要在适当的扫描视图中进行不同的处理，标定测量空间角度一个耗时且复杂的过程。但它对于确保3D视觉测量的高精度又起到关键作用。

发明内容

本发明介绍一种无需额外辅助仪器即可标定线结构光传感器框架空间角度的方法。具体步骤如下。

T1：确认整体转换的关系

整体转换关系是指从非正交倾斜传感器框架到数控机床标准正交框架进行整体变换的过程。通过芯轴靶提取特征点，同时标定转台和外部参数。为了求出线结构光传感器框架的倾斜角度和标定，需要在系统中建立三个空间直角坐标系。在数控机床上建立标准的笛卡尔空间直角坐标系(o_nx_ny_nz_n)，其中x_n、y_n和z_n轴分别平行于每个光栅，原点o_n是数控机床每个光栅的绝对零位。在激光平面上建立空间坐标系(o_sx_sy_sz_s)，x_s，y_s和z_s轴的方向分别与线结构光传感器框架的方向相同，z_s轴和z_n轴是同向的，由于线结构光传感器的姿态误差，(o_sx_sy_sz_s)坐标系通常是一个非正交坐标系。在转盘的底部以转盘底部的几何中心和上下顶端的连接处为原点，建立笛卡尔空间直角坐标系(o_dx_dy_dz_d)，(o_dx_dy_dz_d)坐标系与(o_nx_ny_nz_n)坐标系方向相同。设三个坐标系的基轴为正交性。通常，从传感器框架{s}到目标框架{d}的整体转换可以使用参考框架{n}参考。

P_d＝P_ds+P_sn (1)

其中，P_ds和P_sn分别是在(o_sx_sy_sz_s)和(o_nx_ny_nz_n)坐标系上捕获目标表面上相同点的向量，P_d是在(o_dx_dy_dz_d)坐标系中对捕获向量点的描述。用坐标形式描述为：

其中，

是识别传感器框架与参考框架方向的3×3旋转矩阵，

是从(o_sx_sy_sz_s)到(o_dx_dy_dz_d)的3×1平移矩阵。

当芯轴样板的一部分表面被线结构光传感器扫描时，捕获的芯轴2D轮廓点坐标用公式(3)描述：

在激光平面上，这些参数分别为轮廓中心坐标x_s和y_s，轴长度a,b和离心角β_l，C为余弦cos简写，S为正弦sin简写。考虑到方位失真，

垂直于o_sx_sy_s遵循右手定则，使得

可以将整体转换模型表示为：

其中，

为3x3的旋转矩阵，

为3x1的平移矩阵，ψ,θ,φ分别为坐标系(o_sx_sy_sz_s)绕x_s、y_s、z_s轴的旋转角度，和

在公式(3)是未知参数，其中

为平移后在线结构光坐标系中z_S坐标轴上所移动的距离量值。为了求解这些参数，有必要确定芯轴中心的共轭对。

T2：共轭对的识别

通常所说的共轭对是通过匹配两个不同框架之间的公共点而产生的。公共点通过(o_dx_dy_dz_d)坐标系框架的旋转轴和另一个框架坐标系(o_sx_sy_sz_s)相交创建。通过线结构光传感器沿着机械轴扫描获得的这一组共线的共轭对能够识别目标中心。但是，由于频繁的间歇、工装调整和晃动等原因，线结构光传感器框架平面通常很难垂直于系统的z_n轴。在测量中，传感器框架实际上会发生偏斜，这就需要立即对系统进行预校准或重新校准。

T3：椭圆曲线拟合

芯轴为几何圆柱体，由于线结构光自身空间角度存在偏差，激光束射在转盘上形成的曲线实质上为椭圆形轮廓。而是二维轮廓的几何中心本质上和芯轴轴心属于同一个物理中心。那么，通过对轮廓的拟合求解得到椭圆的几何中心，就意味着可以得到线结构光传感器在该空间角度下的一个校准点。于是，通过校准点多个坐标系建立起相应的映射关系。

对于线结构光测量的任意离散点p，最短的连接向量或正交向量d(β_j)可以用它在椭圆上最近的对应点p'来描述，如下所示：

{d(β_l)}＝p-p'|_β＝(x_s-x_l,y_s-y_l)^T (5)

其中，离心角β映射光平面中每个测量的数据离散点。j＝1,2,3…n是离散点数据的个数。公式(3)通过引入临时坐标框架(o-xy)进行重写。

在激光平面上，这些参数分别为离散点坐标x_l和y_l，轮廓中心坐标x_s和y_s，轴长度a,b，自转角

和离心角β_l，C为余弦cos函数的简写，S为正弦sin函数的简写。为了降低椭圆拟合的误差，采用莱文伯格-马夸特迭代法进行自适应求解。莱文伯格-马夸特迭代法就是通过不断迭代，最终取得所有离散点到最优模型的距离平方和最小，即实现最小二乘。

算法通过自定义初始值，能够自动提取线结构光扫描离散点的迭代步长大小和方向：

(J(β)^TJ(β)+μI)Δk＝-J(β)^Td(β)，μ≥0 (7)

k_i+1＝k_i+λΔk (8)

其中步长λ＝1，I是一个n×n恒等式矩阵。经过k偏导，雅可比矩阵J(β)：

对于小的‖Δk‖迭代点，二次函数L(k)表示为

阻尼系数μ通过目标函数和ρ_i的比率进行控制

最后，迭代由两个标准来终止，一个标准是迭代地优化参数k达到全局最小值

另一个标准是迭代达到针对无限循环的保护上限i≥i_max。

通过迭代求解，公式(6)中的5个参数可以计算出来。那么，光平面中的关键校准点的中心坐标被创建出来，即可以通过这些参数得到拟合椭圆的几何中心。

T4：外在参数标定的双扫描方法

线结构光传感器框架坐标系与机床上的笛卡尔空间直角坐标系之间存在空间角度偏差。提出一种双扫描方法求出空间角度偏差值，用于调整线结构光传感器框架或者利用计算的角度通过补偿的方式降低空间角度偏差对测量结果的影响。

线结构光传感器通过数控机床进行多次扫描，一个p₀被定义为参考位置，另一个p₁被定义为比较位置，p₀到p₁这样的扫描称为“第一次扫描”。类似地，从p₁到p₂的扫描被称为线结构光传感器在确定的运动上的“第二次扫描”。第一次扫描改变线结构光传感器坐标系的x坐标，第二次扫描改变线结构光传感器坐标系的y坐标和z坐标，两次扫描之后一共得到三段曲线，可以构建三个方程，用三个方程可以求出线结构光传感器框架坐标系与数控机床上的笛卡尔空间直角坐标系在三个坐标轴上的偏角，进而求解空间角度。

(1)第一次扫描过程

线结构光传感器的方位失真会导致空间相对运动的欧氏距离误差。在第一次扫描过程中，线结构光传感器沿机床上的笛卡尔空间直角坐标系的x轴移动Δx_n，在线结构光传感器框架坐标系的x轴上移动的距离为Δh₁，Δx_n会小于Δh₁。为了解决这个问题，非正交传感器框架坐标系需要由垂直于光平面的参考向量

为基准进行重建。芯轴中心的共轭对，被定义为

参考位置和

比较位置。因此，获得重建的传感器框架坐标系的第三维增量表示为:

其中，Δh_i和Δx_n分别是重建的传感器框架坐标系和机床上的笛卡尔空间直角坐标系相对运动的欧几里德距离量。θ_x是参考向量的空间投影角度。

由于机床上的笛卡尔空间直角坐标系和重建的传感器框架坐标系之间的变换关系可以通过已知的运动矢量来确定，如

所以，可以得到移动矩阵方程：

然而，一个确定的运动矢量不能得到这些超越矩阵方程的精确解。由于正交方程的非线性，外在参数在矩阵中耦合，会产生非唯一的解。所以，需要上述第二次扫描来测量更多的共轭对，以计算精确解。

(2)第二次扫描过程

类似地，精确的运动矢量

使用机床上的笛卡尔空间直角坐标系Δy_n轴读数，参考轴

其中，Δh₂同样也是一个欧几里德距离量。使用与公式(15)相同的过程，可以得到第二个扫描移动矩阵方程。

如果数控主轴沿轴z_n移动线结构光传感器，定义为Δz_n，传感器框架的第三维坐标定义为

传感器框架与机床上的笛卡尔空间直角坐标系相关的方向余弦(Cθ_x)²+(Cθ_y)²+(Cθ_z)²＝1。因此，可以确定相应的矩阵模型。

通过整合公式(16)、(18)和(20)，得到相对运动变换模型：

经过一系列变量分离的解耦后，倾斜传感器框架上的角度偏差可以计算出来，即最终通过双扫描方法求解出传感器框架上的ψ,θ,φ角度。

本专利具有以下有益效果：

1、具有不用接触就能测出线结构光传感器测头偏转角度的优势，能够保证角度测量的精确性。

2、为了实现线结构光传感器测头偏转角度测量的高精确度，本专利使用双扫描方法取了多组样本。

3、本专利能够消除接触式测量带来的测量误差。

附图说明

图1非接触测量系统图

图2传感器框架上含有ψ,θ,φ角度偏差时得到的椭圆轮廓图

图3几何圆和椭圆轮廓及其扫描示意图

图4线结构光获取的离散轮廓点示意图

图5线结构光获取的离散轮廓点参数化示意图

图6双扫描方法示意图

图7双扫描方法的第一次扫描过程原理图

图8双扫描方法的第二次扫描过程原理图

图中，1-数控车床，2-线结构光传感器，3-顶尖，4-芯轴。

具体实施方式

下面结合附图对一种非接触测量系统的测头位姿标定方法进一步说明，如图1所示，该方法可以应用在数控机床测量系统上，以数控机床测量系统为例进行说明。

数控机床测量系统包括1-数控车床，2-线结构光传感器，3-顶尖，4-芯轴。测量过程中，计算机通过控制数控机床主轴的运动，实现全自动化测量，线结构光传感器测头将获得的数据输出给计算机，进行数据处理。

确认整体转换的关系

整体转换关系是指从图1中的非正交倾斜传感器框架到数控机床标准正交框架进行整体变换的过程。通过芯轴靶提取特征点，同时标定转台和外部参数。为了求出线结构光传感器框架的倾斜角度和标定，需要在系统中建立三个空间直角坐标系。如图2所示，在1-数控机床上建立标准的笛卡尔空间直角坐标系(o_nx_ny_nz_n)，其中x_n、y_n和z_n轴分别平行于每个光栅，原点o_n是数控机床每个光栅的绝对零位。在激光平面上建立空间坐标系(o_sx_sy_sz_s)，x_s，y_s和z_s轴的方向分别与线结构光传感器框架的方向相同，z_s轴和z_n轴是同向的，由于2-线结构光传感器的姿态误差，(o_sx_sy_sz_s)坐标系通常是一个非正交坐标系。在转盘的底部以转盘底部的几何中心和上下顶端的连接处为原点，建立笛卡尔空间直角坐标系(o_dx_dy_dz_d)，(o_dx_dy_dz_d)坐标系与(o_nx_ny_nz_n)坐标系方向相同。设三个坐标系的基轴为正交性。通常，从传感器框架{s}到目标框架{d}的整体转换可以使用参考框架{n}参考。

P_d＝P_ds+P_sn (22)

其中，P_ds和P_sn分别是在(o_sx_sy_sz_s)和(o_nx_ny_nz_n)坐标系上捕获目标表面上相同点的向量，P_d是在(o_dx_dy_dz_d)坐标系中对捕获向量点的描述。用坐标形式描述为：

其中，

是识别传感器框架与参考框架方向的3×3旋转矩阵，

是从(o_sx_sy_sz_s)到(o_dx_dy_dz_d)的3×1平移矩阵。

当4-芯轴样板的一部分表面被线结构光传感器扫描时，捕获的芯轴2D轮廓点坐标用公式(3)描述：

在激光平面上，这些参数分别为轮廓中心坐标x_s和y_s，轴长度a,b和离心角β_l，C为余弦cos简写，S为正弦sin简写。考虑到方位失真，

垂直于o_sx_sy_s遵循右手定则，使得

可以将整体转换模型表示为：

其中，

为3x3的旋转矩阵，

为3x1的平移矩阵，ψ,θ,φ分别为坐标系(o_sx_sy_sz_s)绕x_s、y_s、z_s轴的旋转角度，和

在公式(3)是未知参数，其中

为平移后在线结构光坐标系中z_S坐标轴上所移动的距离量值。为了求解这些参数，有必要确定芯轴中心的共轭对。

共轭对的识别

通常所说的共轭对是通过匹配两个不同框架之间的公共点而产生的。如图3所示，公共点通过(o_dx_dy_dz_d)坐标系框架的旋转轴和另一个框架坐标系(o_sx_sy_sz_s)相交创建。通过2-线结构光传感器沿着机械轴扫描获得的这一组共线的共轭对能够识别目标中心。但是，由于频繁的间歇、工装调整和晃动等原因，2-线结构光传感器框架平面通常很难垂直于系统的z_n轴。在测量中，2-传感器框架实际上会发生偏斜，这就需要立即对系统进行预校准或重新校准。

椭圆曲线拟合

如图4所示，4-芯轴为几何圆柱体，由于2-线结构光自身空间角度存在偏差，激光束射在转盘上形成的曲线实质上为椭圆形轮廓。而是二维轮廓的几何中心本质上和芯轴轴心属于同一个物理中心。那么，通过对轮廓的拟合求解得到椭圆的几何中心，就意味着可以得到2-线结构光传感器在该空间角度下的一个校准点。于是，通过校准点多个坐标系建立起相应的映射关系。

如图5所示，对于线结构光测量的任意离散点p，最短的连接向量或正交向量d(β_j)可以用它在椭圆上最近的对应点p'来描述，如下所示：

{d(β_l)}＝p-p'|_β＝(x_s-x_l,y_s-y_l)^T (26)

其中，离心角β映射光平面中每个测量的数据离散点。j＝1,2,3…n是离散点数据的个数。公式(3)通过引入临时坐标框架(o-xy)进行重写。

在激光平面上，这些参数分别为离散点坐标x_l和y_l，轮廓中心坐标x_s和y_s，轴长度a,b，自转角

和离心角β_l，C为余弦cos函数的简写，S为正弦sin函数的简写。为了降低椭圆拟合的误差，采用莱文伯格-马夸特迭代法进行自适应求解。莱文伯格-马夸特迭代法就是通过不断迭代，最终取得所有离散点到最优模型的距离平方和最小，即实现最小二乘。

算法通过自定义初始值，能够自动提取线结构光扫描离散点的迭代步长大小和方向：

(J(β)^TJ(β)+μI)Δk＝-J(β)^Td(β)，μ≥0 (28)

k_i+1＝k_i+λΔk (29)

其中步长λ＝1，I是一个n×n恒等式矩阵。经过k偏导，雅可比矩阵J(β)：

对于小的‖Δk‖迭代点，二次函数L(k)表示为

阻尼系数μ通过目标函数和ρ_i的比率进行控制

最后，迭代由两个标准来终止，一个标准是迭代地优化参数k达到全局最小值

另一个标准是迭代达到针对无限循环的保护上限i≥i_max。

通过迭代求解，公式(6)中的5个参数可以计算出来。那么，光平面中的关键校准点的中心坐标被创建出来，即可以通过这些参数得到拟合椭圆的几何中心。

T4：外在参数标定的双扫描方法

线结构光传感器框架坐标系与机床上的笛卡尔空间直角坐标系之间存在空间角度偏差。如图6所示，提出一种双扫描方法求出空间角度偏差值，用于调整线结构光传感器框架或者利用计算的角度通过补偿的方式降低空间角度偏差对测量结果的影响。

2-线结构光传感器通过1-数控机床进行多次扫描，一个p₀被定义为参考位置，另一个p₁被定义为比较位置，p₀到p₁这样的扫描称为“第一次扫描”。类似地，从p₁到p₂的扫描被称为2-线结构光传感器在确定的运动上的“第二次扫描”。第一次扫描改变线结构光传感器坐标系的x坐标，第二次扫描改变线结构光传感器坐标系的y坐标和z坐标，两次扫描之后一共得到三段曲线，可以构建三个方程，用三个方程可以求出线结构光传感器框架坐标系与数控机床上的笛卡尔空间直角坐标系在三个坐标轴上的偏角，进而求解空间角度。

(1)第一次扫描过程

如图7所示，2-线结构光传感器的方位失真会导致空间相对运动的欧氏距离误差。在第一次扫描过程中，2-线结构光传感器沿1-机床上的笛卡尔空间直角坐标系的x轴移动Δx_n，在线结构光传感器框架坐标系的x轴上移动的距离为Δh₁，Δx_n会小于Δh₁。为了解决这个问题，非正交传感器框架坐标系需要由垂直于光平面的参考向量

为基准进行重建。芯轴中心的共轭对，被定义为

参考位置和

比较位置。因此，获得重建的传感器框架坐标系的第三维增量表示为:

其中，Δh_i和Δx_n分别是重建的传感器框架坐标系和机床上的笛卡尔空间直角坐标系相对运动的欧几里德距离量。θ_x是参考向量的空间投影角度。

由于1-机床上的笛卡尔空间直角坐标系和重建的传感器框架坐标系之间的变换关系可以通过已知的运动矢量来确定，如

所以，可以得到移动矩阵方程：

然而，一个确定的运动矢量不能得到这些超越矩阵方程的精确解。由于正交方程的非线性，外在参数在矩阵中耦合，会产生非唯一的解。所以，需要上述第二次扫描来测量更多的共轭对，以计算精确解。

(2)第二次扫描过程

类似地，如图8所示，精确的运动矢量

使用1-机床上的笛卡尔空间直角坐标系Δy_n轴读数，参考轴

其中，Δh₂同样也是一个欧几里德距离量。使用与公式(15)相同的过程，可以得到第二个扫描移动矩阵方程。

如果数控主轴沿轴z_n移动2-线结构光传感器，定义为Δz_n，传感器框架的第三维坐标定义为

传感器框架与机床上的笛卡尔空间直角坐标系相关的方向余弦(Cθ_x)²+(Cθ_y)²+(Cθ_z)²＝1。因此，可以确定相应的矩阵模型。

通过整合公式(16)、(18)和(20)，得到相对运动变换模型：

经过一系列变量分离的解耦后，倾斜传感器框架上的角度偏差可以计算出来，即最终通过双扫描方法求解出传感器框架上的ψ,θ,φ角度。

Claims (1)

1.一种非接触测量系统的测头位姿标定方法，其特征在于：本方法对线结构光传感器框架空间角度的高精确测量，

其特征在于该方法包括如下步骤：

T1：确认整体转换的关系

整体转换关系是指非正交倾斜传感器框架到数控机床标准正交框架进行整体变换的过程，通过芯轴靶提取特征点，同时标定转台和外部参数，为了求出线结构光传感器框架的倾斜角度和标定，需要在系统中建立三个空间直角坐标系，在数控机床上建立标准的笛卡尔空间直角坐标系(o_nx_ny_nz_n)，其中x_n、y_n和z_n轴分别平行于每个光栅，原点o_n是数控机床每个光栅的绝对零位，在激光平面上建立空间坐标系(o_sx_sy_sz_s)，x_s，y_s和z_s轴的方向分别与线结构光传感器框架的方向相同，z_s轴和z_n轴是同向的，由于线结构光传感器的姿态误差，(o_sx_sy_sz_s)坐标系通常是一个非正交坐标系，在转盘的底部以转盘底部的几何中心和上下顶端的连接处为原点，建立笛卡尔空间直角坐标系(o_dx_dy_dz_d)，(o_dx_dy_dz_d)坐标系与(o_nx_ny_nz_n)坐标系方向相同，设三个坐标系的基轴为正交性，通常，从传感器框架{s}到目标框架{d}的整体转换可以使用参考框架{n}参考；

P_d＝P_ds+P_sn (1)

其中，P_ds和P_sn分别是在(o_sx_sy_sz_s)和(o_nx_ny_nz_n)坐标系上捕获目标表面上相同点的向量，P_d是在(o_dx_dy_dz_d)坐标系中对捕获向量点的描述，用坐标形式描述为：

其中，

是识别传感器框架与参考框架方向的3×3旋转矩阵，

是从(o_sx_sy_sz_s)到(o_dx_dy_dz_d)的3×1平移矩阵，

当芯轴样板的一部分表面被线结构光传感器扫描时，捕获的芯轴2D轮廓点坐标用公式(3)描述：

在激光平面上，这些参数分别为轮廓中心坐标x_s和y_s，轴长度a,b和离心角β_l，C为余弦cos函数的简写，S为正弦sin函数的简写，考虑到方位失真，

垂直于o_sx_sy_s遵循右手定则，使得

可以将整体转换模型表示为：

其中，

为3x3的旋转矩阵，

为3x1的平移矩阵，ψ,θ,φ分别为坐标系(o_sx_sy_sz_s)绕x_s、y_s、z_s轴的旋转角度，和

a,b,β₁,

在公式(3)是未知参数，其中

为平移后在线结构光坐标系中z_S坐标轴上所移动的距离量值，为了求解这些参数，有必要确定芯轴中心的共轭对；

T2：共轭对的识别

通常所说的共轭对是通过匹配两个不同框架之间的公共点而产生的，公共点通过(o_dx_dy_dz_d)坐标系框架的旋转轴和另一个框架坐标系(o_sx_sy_sz_s)相交创建，通过线结构光传感器沿着机械轴扫描获得的这一组共线的共轭对能够识别目标中心，但是，由于频繁的间歇、工装调整和晃动等原因，线结构光传感器框架平面通常很难垂直于系统的z_n轴，在测量中，传感器框架实际上会发生偏斜，这就需要立即对系统进行预校准或重新校准；

T3：椭圆曲线拟合

芯轴为几何圆柱体，由于线结构光自身空间角度存在偏差，激光束射在转盘上形成的曲线实质上为椭圆形轮廓，而是二维轮廓的几何中心本质上和芯轴轴心属于同一个物理中心，那么通过对轮廓的拟合求解得到椭圆的几何中心，就意味着可以得到线结构光传感器在该空间角度下的一个校准点，于是，通过校准点多个坐标系建立起相应的映射关系；

对于线结构光测量的任意离散点p，最短的连接向量或正交向量d(β_j)可以用它在椭圆上最近的对应点p'来描述，如下所示：

{d(β_l)}＝p-p'|_β＝(x_s-x_l,y_s-y_l)^T (5)

其中，离心角β映射光平面中每个测量的数据离散点，j＝1,2,3…n是离散点数据的个数，公式(3)通过引入临时坐标框架(o-xy)进行重写，

在激光平面上，这些参数分别为离散点坐标x_l和y_l，轮廓中心坐标x_s和y_s，轴长度a,b，自转角

和离心角β_l，C为余弦cos函数的简写，S为正弦sin函数的简写，为了降低椭圆拟合的误差，采用莱文伯格-马夸特迭代法进行自适应求解，莱文伯格-马夸特迭代法就是通过不断迭代，最终取得所有离散点到最优模型的距离平方和最小，即实现最小二乘，

算法通过自定义初始值，能够自动提取线结构光扫描离散点的迭代步长大小和方向：

(J(β)^TJ(β)+μI)Δk＝-J(β)^Td(β)，μ≥0 (7)

k_i+1＝k_i+λΔk (8)

其中步长λ＝1，I是一个n×n恒等式矩阵，经过k偏导，雅可比矩阵J(β)：

对于小的‖Δk‖迭代点，二次函数L(k)表示为

阻尼系数μ通过目标函数和ρ_i的比率进行控制

最后，迭代由两个标准来终止，一个标准是迭代地优化参数k达到全局最小值

另一个标准是迭代达到针对无限循环的保护上限i≥i_max，

通过迭代求解，公式(6)中的5个参数可以计算出来，那么，光平面中的关键校准点的中心坐标被创建出来，即可以通过这些参数得到拟合椭圆的几何中心；

T4：外在参数标定的双扫描方法

线结构光传感器框架坐标系与机床上的笛卡尔空间直角坐标系之间存在空间角度偏差，提出一种双扫描方法求出空间角度偏差值，用于调整线结构光传感器框架或者利用计算的角度通过补偿的方式降低空间角度偏差对测量结果的影响，

线结构光传感器通过数控机床进行多次扫描，一个p₀被定义为参考位置，另一个p₁被定义为比较位置，p₀到p₁这样的扫描称为“第一次扫描”，类似地，从p₁到p₂的扫描被称为线结构光传感器在确定的运动上的“第二次扫描”，第一次扫描改变线结构光传感器坐标系的x坐标，第二次扫描改变线结构光传感器坐标系的y坐标和z坐标，两次扫描之后一共得到三段曲线，可以构建三个方程，用三个方程可以求出线结构光传感器框架坐标系与数控机床上的笛卡尔空间直角坐标系在三个坐标轴上的偏角，进而求解空间角度，

(1)第一次扫描过程

线结构光传感器的方位失真会导致空间相对运动的欧氏距离误差，在第一次扫描过程中，线结构光传感器沿机床上的笛卡尔空间直角坐标系的x轴移动Δx_n，在线结构光传感器框架坐标系的x轴上移动的距离为Δh₁，Δx_n会小于Δh₁，为了解决这个问题，非正交传感器框架坐标系需要由垂直于光平面的参考向量

为基准进行重建，芯轴中心的共轭对，被定义为

参考位置和

比较位置，因此，获得重建的传感器框架坐标系的第三维增量表示为:

其中，Δh_i和Δx_n分别是重建的传感器框架坐标系和机床上的笛卡尔空间直角坐标系相对运动的欧几里德距离量，θ_x是参考向量的空间投影角度，

由于机床上的笛卡尔空间直角坐标系和重建的传感器框架坐标系之间的变换关系可以通过已知的运动矢量来确定，如

所以，可以得到移动矩阵方程：

然而，一个确定的运动矢量不能得到这些超越矩阵方程的精确解，由于正交方程的非线性，外在参数在矩阵中耦合，会产生非唯一的解，所以，需要上述第二次扫描来测量更多的共轭对，以计算精确解；

(2)第二次扫描过程

类似地，精确的运动矢量

使用机床上的笛卡尔空间直角坐标系Δy_n轴读数，参考轴

其中，Δh₂同样也是一个欧几里德距离量，使用与公式(15)相同的过程，可以得到第二个扫描移动矩阵方程，

如果数控主轴沿轴z_n移动线结构光传感器，定义为Δz_n，传感器框架的第三维坐标定义为

传感器框架与机床上的笛卡尔空间直角坐标系相关的方向余弦为(Cθ_x)²+(Cθ_y)²+(Cθ_z)²＝1，可以确定相应的矩阵模型，

通过整合公式(16)、(18)和(20)，得到相对运动变换模型：

经过一系列变量分离的解耦后，倾斜传感器框架上的角度偏差可计算出来，即最终通过双扫描方法求解出传感器框架上的ψ,θ,φ角度。

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