CN112762825B - 表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于摄影测量领域。本发明提供了一种表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法，包括以下步骤：步骤1，定义双目摄影测量系统中的多个坐标系，并得出利用靶标的像素坐标重构三维空间坐标的坐标重构关系式；步骤2，计算在重构过程中靶标的像素坐标误差向三维空间坐标误差传递的度量矩阵，并通过度量矩阵的谱半径表征摄影测量系统三维坐标重构误差。本发明的方法通过计算得到度量矩阵谱半径并将其作为关键量化指标，关注坐标重构过程的误差传递关系，而不依赖摄影测量系统像素坐标测量提取误差的估计，更符合系统布局和构型的参数设计要求。

Description

表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法

技术领域

本发明属于摄影测量领域，具体涉及一种表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法。

背景技术

摄影测量系统是一种典型的非接触式测量手段，相较于接触式传感器测量方式，具有多点传感、不改变结构质量或刚度、超低频位移识别、抗空间辐射干扰等优点。

立体摄影测量、点跟踪和无目标视觉最近为测量结构动力学提供了新的机会。前人为提高摄影测量的精度、鲁棒性和测量效率，进行了大量研究。

研究表明，测量的精度主要取决于摄影系统的参数，如相机角度、快门速度，以及所测量位移的大小。摄影系统参数对测量精度至关重要，基线距离、光轴与基线夹角、投影角和焦距等结构参数对测量精度的均有影响。前人研究了平行机构运动平台姿态摄影测量系统的结构参数优化问题，为了提高移动平台姿态测量精度，在姿态测量误差分析的基础上，确定了结构参数的优化指标。然而现有优化指标与像素坐标误差有关，而实际测量中像素坐标误差是未知量，因此需要提供一种不依赖于像素坐标误差的结构参数的用于表征摄影测量系统三维坐标重构误差的方法，以优化摄影测量系统结构参数。

发明内容

本发明是为了解决上述问题而进行的，目的在于提供一种表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法。

本发明提供了一种表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法，具有这样的特征，包括以下步骤：步骤1，定义双目摄影测量系统中的多个坐标系，并得出利用靶标的像素坐标重构三维空间坐标的坐标重构关系式；步骤2，计算在重构过程中靶标的像素坐标误差向三维空间坐标误差传递的度量矩阵，并通过度量矩阵的谱半径表征摄影测量系统三维坐标重构误差，

其中，步骤1中包括以下子步骤：

步骤1-1，定义世界坐标系为O_w-x_wy_wz_w，该世界坐标系用于全局描述空间中任意点的坐标，双目摄影测量系统具有一号相机与二号相机，定义一号相机坐标系为

原点位于一号相机的光心，且在世界坐标系中的坐标为

三个坐标轴通过三个单位向量u⁽¹⁾，v⁽¹⁾和w⁽¹⁾表示，w⁽¹⁾与光轴平行并指向测量域的反方向，v⁽¹⁾为相机机体指向向量，并定义一号相机成像对应的像素坐标系为

轴与一号相机坐标系

轴同向平行，

轴与一号相机坐标系

轴反向平行，并通过相同方法定义二号相机坐标系

和二号相机成像对应的像素坐标系

步骤1-2，对于世界坐标系中，视场范围内的任意靶标p＝[x y z]^T，在两个相机所成图像上的像素坐标满足如下的投影变换关系：

通过整理公式(1)，以p为待解变量，可以将p与两组像素坐标之间的关系表示为如下的矩阵形式

Ap＝b (2)

参数矩阵A和向量b仅依赖于摄影测量系统的内、外参系数和成像的像素坐标，基于公式(2)-公式(5)，通过像素坐标来重构靶标p在世界坐标系中的三维空间坐标，并通过最小二乘法求解，得到

p＝(A^TA)^-1A^Tb (6)

公式(1)中，w⁽ⁱ⁾和h⁽ⁱ⁾表示底片的宽度和高度，

和

表示宽度和高度方向的像素密度，f⁽ⁱ⁾表示焦距。

在双目视觉测量系统的实际测量过程中，底片像素点的个数是有限的，所有的数据是以离散的形式存储于计算机中，因此相机所得图像中靶标的像素坐标只可落在二维平面上的若干离散点上，而不是整个连续二维平面中，造成了不可避免的像素读取误差。这种误差会通过式(6)传递至重构的p点三维坐标。

步骤2包括以下子步骤：

步骤2-1，记向量d表示包含两个相机同时对于同一靶标p成像所得像素坐标构成的列向量，即d＝[u⁽¹⁾ v⁽¹⁾ u⁽²⁾ v⁽²⁾]^T，对应的像素坐标误差定义为δd，在忽略高阶小量的条件下，传递至p点的三维空间坐标误差δp的表达式如下：

δp＝p▽_dδd＝[(A^TA)^-1A^Tb]▽_dδd (7)

公式(7)中，▽_d表示关于向量d的矩阵右梯度算子，作用于p时为

p点的三维空间坐标误差δp的2范数平方

通过δd定量表示为:

其中矩阵B即为度量矩阵，表示为

B＝(p▽_d)^Tp▽_d (10)

该度量矩阵B具有半正定特征，表示摄影测量系统当前构型下像素坐标向三维空间坐标重构过程中误差的传递关系，并得到该度量矩阵B的谱半径ρ(B)如下：

ρ(B)＝max[eig(B)] (11)

该谱半径ρ(B)为度量矩阵B的最大特征值，通过度量矩阵的谱半径ρ(B)来表征摄影测量系统三维坐标重构误差。

公式(11)中，max[·]表示求最大值，eig(·)表示求矩阵特征值。

在本发明提供的表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法中，还可以具有这样的特征：p▽_d的计算方法如下：依据恒等式(A^TA)^-1(A^TA)＝I，存在

进一步整理为

将公式(13)代入公式(7)，p▽_d中的各个元素表示为

各偏导项的具体表达如下：

将公式(15)代入公式(14)得到

公式(12)-公式(17)中，d_k(k＝1,2,3,4)分别表示向量d中的各个元素。

发明的作用与效果

根据本发明所涉及的表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法，因为通过计算得到度量矩阵的谱半径来量化刻画像素坐标重构三维空间坐标过程中的误差传递，能够为构造评价摄影测量系统测量精度的优化目标函数提供了理论基础，且度量矩阵的谱半径仅依赖于摄影测量系统的内外参系数和像素坐标，是布局与构型方案的固有属性而与像素误差本身无关，所以，使用此标量值来定量描述重构过程的误差传递特性具有合理性。并且本发明的方法不需要预先定义像素误差，而是考虑了矩阵特征的误差传递性，增加了作为优化目标函数的通用性，因此对于摄影测量系统具有普适性；本发明依据度量矩阵的谱半径作为评价函数，为摄影测量系统的结构参数设计和优化提供基础，通过本发明的方法，能够不依赖于像素坐标误差，运用典型的优化算法，通过将度量矩阵的谱半径作为优化时的目标函数，优化摄影测量系统构型，进而减少相机拍摄所得的靶标像素坐标误差向三维坐标重构过程中的误差传递，提高摄影测量系统测量精度。

附图说明

图1是本发明的实施例中摄影测量系统中各个坐标系和靶标位置三维示意图；

图2是本发明的实施例中摄影测量系统中各个坐标系和靶标位置平面示意图；

图3是本发明的实施例中光轴夹角对度量矩阵谱半径和真实误差影响的比较示意图；

图4是本发明的实施例中光心距离对度量矩阵谱半径和真实误差影响的比较示意图；

图5是本发明的实施例中镜头焦距对度量矩阵谱半径和真实误差影响的比较示意图。

具体实施方式

为了使本发明实现的技术手段与功效易于明白了解，以下结合实施例及附图对本发明作具体阐述。

<实施例>

本实施例的一种表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法，包括以下步骤：

步骤1，定义双目摄影测量系统中的多个坐标系，并得出利用靶标的像素坐标重构三维空间坐标的坐标重构关系式；

步骤1中包括以下子步骤：

图1是本发明的实施例中摄影测量系统中各个坐标系和靶标位置三维示意图，图2是本发明的实施例中摄影测量系统中各个坐标系和靶标位置平面示意图。

如图1和图2所示，步骤1-1，定义世界坐标系为O_w-x_wy_wz_w，该世界坐标系用于全局描述空间中任意点的坐标，双目摄影测量系统具有一号相机与二号相机，定义一号相机坐标系为

原点位于一号相机的光心，且在世界坐标系中的坐标为

三个坐标轴通过三个单位向量u⁽¹⁾，v⁽¹⁾和w⁽¹⁾表示，w⁽¹⁾与光轴平行并指向测量域的反方向，v⁽¹⁾为相机机体指向向量，并定义一号相机成像对应的像素坐标系为

轴与一号相机坐标系

轴同向平行，

轴与一号相机坐标系

轴反向平行，并通过相同方法定义二号相机坐标系

和二号相机成像对应的像素坐标系

步骤1-2，对于世界坐标系中，视场范围内的任意靶标p＝[x y z]^T，在一号相机与二号相机所成图像上的像素坐标满足如下的投影变换关系：

通过整理公式(1)，以p为待解变量，可以将p与两组像素坐标之间的关系表示为如下的矩阵形式

Ap＝b (2)

参数矩阵A和向量b仅依赖于摄影测量系统的内外参系数和成像的像素坐标，基于公式(2)-公式(5)，通过像素坐标来重构靶标p在世界坐标系中的三维空间坐标，并通过最小二乘法求解，得到

p＝(A^TA)^-1A^Tb (6)

公式(1)中，w⁽ⁱ⁾和h⁽ⁱ⁾表示底片的宽度和高度，

和

表示宽度和高度方向的像素密度，f⁽ⁱ⁾表示焦距。

步骤2，计算在重构过程中靶标的像素坐标误差向三维空间坐标误差传递的度量矩阵，并通过度量矩阵的谱半径表征摄影测量系统三维坐标重构误差。

步骤2包括以下子步骤：

步骤2-1，记向量d表示包含两个相机同时对于同一靶标p成像所得像素坐标构成的列向量，d＝[u⁽¹⁾ v⁽¹⁾ u⁽²⁾ v⁽²⁾]^T，对应的像素坐标误差定义为δd，在忽略高阶小量的条件下，传递至p点的三维空间坐标误差δp的表达式如下：

δp＝p▽_dδd＝[(A^TA)^-1A^Tb]▽_dδd (7)

本实施例中，在实际摄影测量系统的测量过程中，底片像素点的个数是有限的，所有的数据是以离散的形式存储于计算机中，因此相机所得图像中靶标的像素坐标只可落在二维平面上的若干离散点上，而不是整个连续二维平面中，这造成了不可避免的像素读取误差。这种误差会通过公式(7)传递至重构的p点三维坐标。

公式(7)中，▽_d表示关于向量d的矩阵右梯度算子，作用于p时为：

p▽_d的计算方法如下：依据恒等式(A^TA)^-1(A^TA)＝I，存在

进一步整理为

将公式(13)代入公式(6)，p▽_d中的各个元素表示为

各偏导项的具体表达如下：

将公式(15)代入公式(14)得到

公式(12)-公式(17)中，d_k(k＝1,2,3,4)分别表示向量d中的各个元素。

p点的三维空间坐标误差δp的2范数平方

通过δd定量表示为:

得到度量矩阵B如下：

B＝(p▽_d)^Tp▽_d (10)

该度量矩阵B具有半正定特征，表示摄影测量系统当前构型下像素坐标向三维空间坐标重构过程中误差的传递关系，并得到该度量矩阵B的谱半径ρ(B)如下：

ρ(B)＝max[eig(B)] (11)

该谱半径ρ(B)为度量矩阵B的最大特征值，通过谱半径ρ(B)来表征摄影测量系统三维坐标重构误差。

公式(11)中，max[·]表示求最大值，eig(·)表示求矩阵特征值。

本实施例中，度量矩阵谱半径为一标量值，谱半径越小表明误差传递能力越弱，摄影测量系统的测量精度越高。同时，基于本发明的推导，度量矩阵谱半径仅依赖于摄影测量系统的内外参系数(包括相机光心位置、相机焦距、相片尺寸、相片像素密度等)和像素坐标，是布局与构型方案的固有属性而与像素误差本身无关。

本实施例中，对度量矩阵谱半径进行实际计算过程如下：

首先定义摄影测量系统所需世界坐标系O_w-x_wy_wz_w如图1所示。一号相机的光心位于世界坐标系原点，二号相机光心位于世界坐标系的x_w轴上，两相机光心距离为l，因此两个相机位置分别为

视点位置均为p_t＝[l/2,0,l/2tanα]^T，其中α为相机光轴与坐标轴x_w之间的夹角；相机上方指向均为v₀＝[0 1 0]^T。此时两个相机坐标系的基向量分别为

为便于计算，靶标在世界坐标系的三维坐标取为p(l/2,0,l/2tanα)。

若相机光心距离为l＝2m，α取为70°，则两个相机坐标系的基向量为

u⁽¹⁾＝[0.3420,0,0.9397]^T；v⁽¹⁾＝[0,1,0]^T；w⁽¹⁾＝[-0.9397,0,0.3420]^T

u⁽²⁾＝[0.3420,0,-0.9397]^T；v⁽²⁾＝[0,1,0]^T；w⁽²⁾＝[0.9397,0,0.3420]^T

设定两台相机类型相同，底片的宽度和高度w⁽ⁱ⁾＝h⁽ⁱ⁾＝12.8mm，i＝1,2,宽度和高度方向的像素密度

焦距f⁽¹⁾＝f⁽²⁾＝12mm。根据公式(1)，靶标在摄影测量系统的像素坐标系下的像素坐标分别

(u⁽¹⁾,v⁽¹⁾)＝(512,512)

(u⁽²⁾,v⁽²⁾)＝(512,512)

经过计算后，根据公式(10)可得到度量矩阵：

得到度量矩阵B的谱半径为：

ρ(B)＝max[eig(B)]＝5.2523e-06

现有研究在对摄影测量系统的结构参数进行优化时，一般将p点三维坐标误差(公式(9)所示)作为优化指标。为验证本发明的有效性，本实施例中还取δd＝[0.1,0.1,0.1,0.1]^T，并将光轴夹角α，光心距离l和两个相机的镜头焦距f作为设计变量，其取值范围为50°≤α≤70°,12mm≤f≤15mm,2m≤B≤7m，并采用控制变量法，对真实误差Δ(p)和度量矩阵B的谱半径ρ(B)随设计变量的变化规律进行比较得到真实误差和谱半径随设计变量的变化规律如图3-图5所示，根据图3-图5所示，两个指标在参数变化趋势上具有良好的一致性，通过与真实误差的比较证明了本发明的有效性，本发明不需要预先定义像素误差，而是考虑了矩阵特征的误差传递性，增加了作为优化目标函数的通用性。

实施例的作用与效果

根据本实施例所涉及的表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法，因为通过计算得到度量矩阵的谱半径来量化刻画像素坐标重构三维空间坐标过程中的误差传递，能够为构造评价摄影测量系统测量精度的优化目标函数提供了理论基础，且度量矩阵的谱半径仅依赖于摄影测量系统的内外参系数和像素坐标，是布局与构型方案的固有属性而与像素误差本身无关，所以，使用此标量值来定量描述重构过程的误差传递特性具有合理性。并且本实施例的方法不需要预先定义像素误差，而是考虑了矩阵特征的误差传递性，增加了作为优化目标函数的通用性，因此对于摄影测量系统具有普适性；本实施例依据度量矩阵的谱半径作为评价函数，为摄影测量系统的结构参数设计和优化提供基础，通过本发明的方法，能够不依赖于像素坐标误差，运用典型的优化算法，通过将度量矩阵的谱半径作为优化时的目标函数，优化摄影测量系统构型，进而减少相机拍摄所得的靶标像素坐标误差向三维坐标重构过程中的误差传递，提高摄影测量系统测量精度。

上述实施方式为本发明的优选案例，并不用来限制本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，定义双目摄影测量系统中的多个坐标系，并得出利用靶标的像素坐标重构三维空间坐标的坐标重构关系式；

步骤2，计算在重构过程中靶标的像素坐标误差向三维空间坐标误差传递的度量矩阵，并通过所述度量矩阵的谱半径表征摄影测量系统三维坐标重构误差，

其中，步骤1中包括以下子步骤：

步骤1-1，定义世界坐标系为O_w-x_wy_wz_w，该世界坐标系用于全局描述空间中任意点的坐标，所述双目摄影测量系统具有一号相机与二号相机，定义一号相机坐标系为

原点位于一号相机的光心，且在所述世界坐标系中的坐标为

三个坐标轴通过三个单位向量u⁽¹⁾，v⁽¹⁾和w⁽¹⁾表示，w⁽¹⁾与光轴平行并指向测量域的反方向，v⁽¹⁾为相机机体指向向量，并定义一号相机成像对应的像素坐标系为

轴与一号相机坐标系

轴同向平行，

轴与一号相机坐标系

轴反向平行，并通过相同方法定义二号相机坐标系

和二号相机成像对应的像素坐标系

步骤1-2，对于所述世界坐标系中，视场范围内的任意靶标p＝[x y z]^T，在两个相机所成图像上的像素坐标满足如下的投影变换关系：

通过整理公式(1)，以p为待解变量，将p与两组像素坐标之间的关系表示为如下的矩阵形式

Ap＝b (2)

参数矩阵A和向量b仅依赖于摄影测量系统的内、外参系数和成像的像素坐标，基于公式(2)-公式(5)，通过像素坐标来重构靶标p在世界坐标系中的三维空间坐标，并通过最小二乘法求解，得到

p＝(A^TA)^-1A^Tb (6)

公式(1)中，w⁽ⁱ⁾和h⁽ⁱ⁾表示底片的宽度和高度，

和

表示宽度和高度方向的像素密度，f⁽ⁱ⁾表示焦距，

所述步骤2包括以下子步骤：

步骤2-1，记向量d为包含两个相机同时对于同一靶标p成像所得像素坐标构成的列向量，即d＝[u⁽¹⁾v⁽¹⁾u⁽²⁾v⁽²⁾]^T，对应的像素坐标误差定义为δd，在忽略高阶小量的条件下，由像素坐标误差δd传递至p点的三维空间坐标误差δp的表达式如下：

公式(7)中，

表示关于向量d的矩阵右梯度算子，作用于p时为：

p点的三维空间坐标误差δp的2范数平方

通过δd定量表示为

其中矩阵B即为所述度量矩阵，表示为

该度量矩阵B具有半正定特征，表示摄影测量系统当前构型下像素坐标向三维空间坐标重构过程中误差的传递关系，并得到该度量矩阵B的谱半径ρ(B)如下：

ρ(B)＝max[eig(B)] (11)

该谱半径ρ(B)为所述度量矩阵B的最大特征值，通过所述度量矩阵的谱半径ρ(B)来表征摄影测量系统三维坐标重构误差，

公式(11)中，max[·]表示求最大值，eig(·)表示求矩阵特征值。

2.根据权利要求1所述的表征摄影测量系统三维坐标重构误差的矩阵谱半径方法，其特征在于：

的计算方法如下：依据恒等式(A^TA)^-1(A^TA)＝I，存在

进一步整理为

将公式(13)代入公式(7)，

中的各个元素表示为

各偏导项的具体表达如下：

将公式(15)代入公式(14)得到

公式(12)-公式(17)中，d_k(k＝1,2,3,4)分别表示向量d中的各个元素。

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