CN112734875A - 基于非局部低秩正则化的图像重建方法 - Google Patents

基于非局部低秩正则化的图像重建方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于非局部的低秩正则化的图像重建方法。首先，输入图像的测量矩阵和观测值，通过离散余弦变换初步恢复出重建的图像，引入非局部低秩正则化约束，寻找重建图像中的相似块并构成二维群组矩阵，进行秩最小化的约束，选择截断加权Schatten‑p范数作为矩阵秩的非凸替代函数，并利用加权奇异值阈值方法估计群组矩阵，最后将估计的群组矩阵反向分解成二维图像。经过交替方向乘子法的反复迭代，从而重建出原始图像。在保证图像相似块群组矩阵秩最小化的前提下，该方法明显提升了重建图像的峰值信噪比(PSNR)，提高了重建图像的质量，这对于图像的压缩传输和重建具有重要的实际意义。

Description

基于非局部低秩正则化的图像重建方法
技术领域
本发明涉及图像处理领域，特别是一种利用非局部相似块和矩阵秩特性对图像进行重建的方法。
背景技术
在压缩感知理论中，图像通常是采用随机投影获得测量值，然后结合稀疏性先验知识，求解基于l0范数或l1范数或非凸稀疏性度量函数的优化问题。考虑到图像的先验知识对于图像重建算法的结果起着至关重要的作用，因此设计有效的正则化项来约束先验知识，这对于图像的重建非常关键。传统的压缩感知方法利用图像在某些变换域的稀疏自然属性，这些变换域包括DCT(离散余弦变换)、小波域以及梯度域。近年来，图像中内在的非局部低秩性受到了更多的关注。非局部低秩先验知识已经广泛应用于人脸识别、图像修复和压缩感知重建等，并且这些算法在各自的领域都获得了很好的结果。
很不幸的是，基于非局部低秩约束的CS方法需要求解秩正则化问题，而它是一个NP-难问题。因此，如何求解产生的秩正则化问题对图像的重建结果至关重要。一种思路是选择合适的替代函数。通常核范数被用作矩阵秩函数的凸替代。理论研究表明，核范数(矩阵奇异值的和)是矩阵秩的严格凸下界。尽管核范数有很好的理论保证其正确性，但是它的理论要求在实践中通常很难满足。许多实验结果表明，非凸替代函数能够获得更准确的结果，比如logdet函数、Schatten-p等。从理论上讲，当p趋向于0时，Schatten-p范数等于矩阵的秩。
另外一种思路是对每个奇异值采取不同的处理。加权核范数给每一个奇异值分配非负权值，并且大奇异值的惩罚(权值)比小奇异值要小。在这种处理方式下，矩阵的主成分能够得到保持。另外，由于较大的多个非零奇异值不会影响矩阵的秩，所以截断核范数保持它们不变，专注于最小化剩余的奇异值的和。
然而，这些方法不能很好地近似矩阵的秩，选择的替代函数和真实秩之间还存在着差距，它们在实际的应用中获得的结果可能是次优值。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于非局部的低秩正则化的图像重建方法，同时设计合适的秩替代函数，进而更好地重建图像。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于非局部的低秩正则化的图像重建方法，包括以下步骤：
步骤1、对测量矩阵和观测值进行离散余弦变换，初步重建图像；
步骤2、对估计图像进行重叠分块，得到图像块总数量和每个图像块的具体位置；
步骤3、对上述每个图像块按照相似性原则在全局图像中寻找相似块，得到二维群组矩阵；
步骤4、对每个所述二维群组矩阵进行低秩正则化约束，选择截断加权Schatten-p范数作为矩阵秩的非凸替代，利用加权奇异值阈值方法重新估计每个二维群组矩阵；
步骤5、利用上述估计的二维群组矩阵反向分解重建图像；
步骤6、如果迭代次数k≤最大迭代次数，那么k＝k+1并跳转到步骤2继续执行，如果k>最大迭代次数，那么输出最终重建的二维图像。
进一步地，初步重建的图像进行重叠分块，设置图像块的大小
Figure BDA0002889707340000021
搜索步长的大小step，得到图像块的总个数
Figure BDA0002889707340000022
和每个图像块的具体位置。
进一步地，所述步骤3还包括：
对每个图像块xj∈Rd,j＝1,2…z，利用非局部低秩性，在所有图像块中寻找h个最相似的图像块，要求满足相似性条件
Figure BDA0002889707340000023
(ε0为阈值)，构造出多个二维群组矩阵
Figure BDA0002889707340000024
进一步地，所述步骤4还包括：
对每个二维群组矩阵，进行低秩正则化的约束，
Figure BDA0002889707340000025
选择截断加权Schatten-p范数作为矩阵秩的非凸替代函数，则
Figure BDA0002889707340000031
其中，δi(Lj)表示第j个二维群组矩阵Lj的第i个奇异值。设U△VT是Lj的奇异值分解(U＝(u1,…ud)∈Rd×d,△∈Rd×h,V＝(v1,…vh)∈Rh×h)，A∈Rr×d和B∈Rr×h分别是U和V的前r列的转置，并且满足AAT＝Ir and BBT＝Ir。利用加权奇异值阈值方法估计新的群组矩阵。
根据步骤3二维群组矩阵的构造方式，将各个图像块反向分解到图像中，记录下每个像素对应的权值，然后将当前的重建图像点除权值矩阵p∈Rm×n，就可得到新的重建图像。
实施本发明实施例，具有如下有益效果：本发明的方法明显提升了重建图像的峰值信噪比(PSNR)，提高了重建图像的质量，这对于图像的压缩传输和重建就具有重要的实际意义。
附图说明
图1是本发明的完整流程图。
图2是四幅原始测试图像，包括Barbara、House、Lena、Cameraman。
图3是采样率为5％的重建结果。
图4是采样率为20％的重建结果。
表1是不同测试图像在不同采样率下的重建结果(峰值信噪比)。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步地详细描述。
本发明实施例的一种基于非局部的低秩正则化的图像重建方法，通过以下步骤实现。
步骤1、设置离散余弦变换DCT的图像块的大小
Figure BDA0002889707340000032
(本实施例取6×6)及最大迭代次数T(本实施例T初始值取0，最大迭代次数取300)，对测量矩阵和测量值进行DCT操作，从而重建得到初步的二维图像x0∈Rm×n，m和n分别表示图像的长度和宽度。
步骤2、对估计的图像进行重叠分块，设置图像块的大小
Figure BDA0002889707340000041
(本实施例取6×6)，搜索步长的大小step(本实施例取5)，得到图像块的总个数
Figure BDA0002889707340000042
和每个图像块的具体位置。
步骤3、结合图像块的大小和初步重建的图像，构造出多个(本实施例取值为z)二维群组矩阵
Figure BDA0002889707340000046
对每个图像块xj∈Rd,j＝1,2…z，利用非局部低秩性，在所有的图像块中寻找h(本实施例取45)个最相似的图像块，要求满足相似性条件
Figure BDA0002889707340000043
(ε0为阈值)(本实施例取10-3)。
步骤4、对每个二维矩阵，进行低秩正则化的约束，
Figure BDA0002889707340000044
选择截断加权Schatten-p范数作为矩阵秩的非凸替代，则
Figure BDA0002889707340000045
其中，δi(Lj)表示第j个二维群组矩阵Lj的第i个奇异值。设U△VT是Lj的奇异值分解(U＝(u1,…ud)∈Rd×d,△∈Rd×h,V＝(v1,…vh)∈Rh×h)，A∈Rr×d和B∈Rr×h分别是U和V的前r列的转置，并且满足AAT＝Ir and BBT＝Ir。利用加权奇异值阈值算法估计得到新的群组矩阵。
步骤5、根据步骤3二维群组矩阵的构造方式，将群组矩阵中的各个图像块反向分解到图像中去，记录下每个像素对应的权值，然后将当前的估计图像点除权值矩阵p∈Rm×n，就可得到新的重建图像。
步骤6、如果迭代次数k≤最大迭代次数，那么k＝k+1并跳转到步骤2继续执行，如果k>最大迭代次数，那么输出最终重建的二维图像。
将不同的测试图像通过本发明的方法进行重建，得到的峰值信噪比如表1所示。我们不难看出本发明的方法利用了图像固有的非局部低秩性，并选择了截断加权Schatten-p范数准确约束该性质，因此获得的重建结果比现有的算法更优。
表1不同测试图像在不同采样率下的重建结果(峰值信噪比)
Figure BDA0002889707340000051
以上所揭露的仅为本发明的部分较佳实施例而已，当然不能以此来限定本发明之权利范围，因此依本发明权力要求所作的等同变化，仍属本发明所涵盖的范围。

Claims (7)

1.一种基于非局部低秩正则化的图像重建方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、对测量矩阵和观测值进行离散余弦变换，初步重建图像；
步骤2、对估计图像进行重叠分块，得到图像块总数量和每个图像块的具体位置；
步骤3、对上述每个图像块按照相似性原则在全局图像中寻找相似块，得到二维群组矩阵；
步骤4、对每个所述二维群组矩阵进行低秩正则化约束，选择截断加权Schatten-p范数作为矩阵秩的非凸替代，利用加权奇异值阈值方法重新估计每个二维群组矩阵；
步骤5、利用上述估计的二维群组矩阵反向分解重建图像；
步骤6、如果迭代次数k≤最大迭代次数，那么k＝k+1并跳转到步骤2继续执行，如果k>最大迭代次数，那么输出最终重建的二维图像。
2.根据权利要求1所述的基于非局部低秩正则化的图像重建方法，其特征在于，所述步骤1具体包括：设置离散余弦变换的图像块的大小
Figure FDA0002889707330000015
及迭代次数T，对测量矩阵和测量值进行离散余弦变换，从而重建得到初步的二维图像x0∈Rm×n，m和n分别表示图像的长度和宽度。
3.根据权利要求1所述的基于非局部低秩正则化的图像重建方法，其特征在于，所述步骤2中还包括：
对估计的图像进行重叠分块，设置图像块的大小
Figure FDA0002889707330000011
搜索步长的大小step，得到图像块的总个数
Figure FDA0002889707330000012
和每个图像块的具体位置。
4.根据权利要求1所述的基于非局部低秩正则化的图像重建方法，其特征在于，所述步骤3中还包括：
对每个图像块xj∈Rd,j＝1,2…z，利用非局部低秩性，在所有图像块中寻找h个最相似的图像块，要求满足相似性条件
Figure FDA0002889707330000013
(ε0为阈值)，构造出多个二维群组矩阵
Figure FDA0002889707330000014
5.根据权利要求1所述的基于非局部低秩正则化的图像重建方法，其特征在于，所述步骤4具体如下：
对每个二维群组矩阵，进行低秩正则化的约束，
Figure FDA0002889707330000021
选择截断加权Schatten-p范数作为矩阵秩的非凸替代，则
Figure FDA0002889707330000022
其中，δi(Lj)表示第j个二维群组矩阵Lj的第i个奇异值；设U△VT是Lj的奇异值分解(U＝(u1,...ud)∈Rd×d,△∈Rd×h,V＝(v1,…vh)∈Rh×h)，A∈Rr×d和B∈Rr×h分别是U和V的前r列的转置，并且满足AAT＝Ir and BBT＝Ir；利用加权奇异值阈值方法估计新的群组矩阵。
6.根据权利要求1所述的基于非局部低秩正则化的图像重建方法，其特征在于，所述步骤5中还包括：
根据步骤3二维群组矩阵的构造方式，将群组矩阵中的各个图像块反向分解到图像中去，记录下每个像素对应的权值，然后将当前的估计图像点除权值矩阵p∈Rm×n，就可得到新的重建图像。
7.根据权利要求4所述的基于非局部低秩正则化的图像重建方法，其特征在于，阈值ε0的取值是10-3。
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