CN112733382A - 一种多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法，用以解决现有技术中全局敏感性分析无法适用于多输入多输出复杂系统的问题。所述全局敏感性分析方法首先构建和函数，再通过积分计算得到和函数的高维模型表示，再通过所述和函数的高维模型表示，得到和函数方差的分解表示，再计算任意两个输出响应的方差和协方差，通过计算得到的协方差与方差之和，定义总波动，并基于和函数方差的分解表示得到函数子项的偏波动，进而通过偏波动与总波动之比定义函数子项的敏感性指标。本发明基于和函数方差的分解，实现系统多输出响应协方差的等效分解，避免了系统响应的协方差矩阵因存在负值而影响敏感性分析的精度，提高了敏感性分析的精度。

Description

一种多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法

技术领域

本发明属于复杂系统优化领域，具体涉及一种多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法。

背景技术

敏感性分析(SA)是量化复杂系统中输入变量对输出响应影响的有效工具，可以评估变量的重要性程度，能帮助设计人员清楚地认识到哪些变量值得关注，被广泛应用于许多工程实际问题，如结构优化设计，参数识别等。通常敏感性分析分为两类：局部敏感性分析和全局敏感性分析。局部敏感性分析通常用于评估输出响应的局部效应，局部敏感性分析的主要缺点是它没有考虑参数之间的相互作用；全局敏感性分析在整个空间中考虑变量所有变化范围，旨在确定哪些输入变量对输出响应有更重要的影响，并量化影响变量的重要性。

现有技术中，基于方差的全局敏感性分析方法适用于量化一组输入变量对输出响应的影响。但是，对于涉及到多个输入变量和多个输出变量，输出响应不是单一的，而是多元的，限制了系统结构设计的进一步优化。

发明内容

鉴于现有技术中的上述缺陷或不足，本发明提供了一种多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法，基于和函数方差分解，综合考虑方差、协方差，实现对高维模型的敏感性分析，实现复杂系统下多输入变量对多输出响应的重要性评估。

为了实现上述目的，本发明实施例采用如下技术方案：

本发明实施例提供了一种多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法，所述全局敏感性分析方法包括如下步骤：

步骤S1，确定所述复杂系统中的输入变量数量及输出响应数量，基于所有输入变量构建每个输出响应函数；

步骤S2，计算任意两个输出响应的和与差，分别构建响应和的第一和函数与响应差的第二和函数，每两个响应间的第一和函数和第二和函数构成一组和函数；

步骤S3，采用高维模型分别计算每组和函数的各阶函数子项，得到每组和函数的高维模型表示；

步骤S4，根据所有组的和函数的高维模型表示及输入变量分布，求解和函数方差分解；

步骤S5，根据和函数的高维模型表示，获得所有输出响应的高维模型表示；再由输出响应的高维模型表示，及和函数的方差分解，得到与和函数对应的任意两个输出响应的方差和及协方差；

步骤S6，将任意两个输出响应的方差和与相应的协方差求和，作为当前两个输出响应对应和函数的总波动，并获得所有任意两个输出响应的总波动分解，其中的分解子项为所述函数子项的偏波动；

步骤S7，根据所有任意两个输出响应的总波动分解，对相同函数子项的偏波动求和，同时对所有总波动求和，两者相比作为当前函数子项的敏感度指标；

步骤S8，对同一输出响应的所有函数子项敏感度指标求和，得到所述输出响应的敏感度指标，完成多输入多输出敏感性分析。

作为本发明的一个优选实施例，设所述复杂系统中具有n个输入变量，具有m个输出响应，m个输出响应中的两个任意变量为k、l；

根据复杂系统中任意两个响应的和与差，构建和函数G^k,l(x)和H^k,l(x)，且：

则系统输出响应采用和函数表示为：

其中，f^k(x)表示在多输入变量下的k响应函数，f^l(x)表示在多输入变量下的l响应函数。

作为本发明的一个优选实施例，在所述步骤S3中，通过积分表示和函数的各函数子项，并进一步完成积分计算获得和函数的高维模型表示。

作为本发明的一个优选实施例，利用积分计算得到这些和函数的高维模型表示，对于n个输入和m个输出响应的和函数有：

组，和函数的高维模型表示为：

G^k,l(x)和H^k,l(x)的函数子项分别表示为:

作为本发明的一个优选实施例，在所述步骤S4中，针对不同的输入变量分布问题，采用不同的和函数方差的分解表示。

作为本发明的一个优选实施例，对于0-1均匀分布问题，每一组和函数的方差分解为：

对于高斯分布问题：每一组和函数的方差分解为：

作为本发明的一个优选实施例，所述步骤S5中，根据和函数的方差分解，求解与和函数对应的两个任意输出响应的方差及协方差；将式(5-1)或(5-2)公式代入下式求解：

进一步求解当前两个输出响应的总波动为：

共获得C_m ²个总波动分解式。

作为本发明的一个优选实施例，通过总波动分解式，求得总波动的和；再对总波动分解式中函数子项的偏波动求和；求解函数子项偏波动和与总波动和的占比，作为当前函数子项的敏感度指标，公式为：

其中，ψ为函数子项的项数。

作为本发明的一个优选实施例，当前输出响应的所有函数子项的敏感度指标求和，获得当前响应的敏感度指标，公式为：

通过上述过程，实现对多输入多输出复杂系统的敏感性分析。

本发明具有如下有益效果：

本发明实施例提供的基于多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法，首先构建了一组和函数，再通过积分计算得到这些和函数的高维模型表示(High dimensionalmodel representation,HDMR)，则每一个系统输出响应可以使用和函数的HDMR进行表达；然后，计算所有输出响应的方差和任意两个输出响应之间的协方差，通过计算得到的协方差与方差之和，定义系统响应的总波动，并基于和函数偏方差之和得到系统响应的偏波动分解，进而通过偏波动与总波动之比定义函数子项的敏感性指标；最后，将所有包含某变量影响的敏感性指标进行叠加，得到该变量敏感性大小。本发明在综合考虑方差、协方差下，同时考虑响应的方差和协方差影响，得到重要变量的综合排名，实现多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析，且该方法适用于输入变量具有均匀分布、高斯分布或相关性等特征的工程问题，提高了敏感性分析的精度、准确度以及分析效率。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来说，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他附图。

图1是本发明实施例提供的基于多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法流程图；

图2是本发明具体应用实例的汽车B柱结构示意图；

图3是本发明具体应用实例中汽车B柱结构设计复杂系统的全局敏感性分析与均值法敏感性分析结果对比图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。可以理解的是，此处所描述的具体实施例仅用于解释相关发明，而非对该发明的限定。另外还需要说明的是，为了便于描述，附图中仅示出了与发明相关的部分。

需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。下面将参考附图并结合实施例来详细说明本发明。

本发明实施例针对多输入多输出复杂系统，提出了一种敏感性分析方法，首先构建了一组和函数，再通过积分计算得到这些和函数的高维模型表示(High dimensionalmodel representation,HDMR)，则每一个系统输出响应可以使用和函数的HDMR进行表达；然后，计算所有输出响应的方差和任意两个输出响应之间的协方差，通过计算得到的协方差与方差之和，定义系统响应的总波动，并基于和函数偏方差之和得到系统响应的偏波动分解，进而通过偏波动与总波动之比定义函数子项的敏感性指标；最后，将所有包含某变量影响的敏感性指标进行叠加，得到该变量敏感性大小，本发明在综合考虑方差、协方差下可实现多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析，且该方法适用于输入变量具有均匀分布、高斯分布或相关性等特征的工程问题。

图1示出了所述多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法流程图。如图1所示，所述全局敏感性分析方法包括如下步骤：

步骤S1，确定所述复杂系统中的输入变量数量及输出响应数量，基于所有输入变量构建每个输出响应函数；

步骤S2，计算任意两个输出响应的和与差，分别构建响应和的第一和函数与响应差的第二和函数，每两个响应间的第一和函数和第二和函数构成一组和函数；

步骤S3，采用高维模型分别计算每组和函数的各阶函数子项，得到每组和函数的高维模型表示；

步骤S4，根据所有组的和函数的高维模型表示及输入变量分布，求解和函数方差分解；

步骤S5，根据和函数的高维模型表示，获得所有输出响应的高维模型表示；再由输出响应的高维模型表示，及和函数的方差分解，得到与和函数对应的任意两个输出响应的方差和及协方差；

步骤S6，将任意两个输出响应的方差和与相应的协方差求和，作为当前两个输出响应对应和函数的总波动，并获得所有任意两个输出响应的总波动分解，其中的分解子项为所述函数子项的偏波动；

步骤S7，根据所有任意两个输出响应的总波动分解，对相同函数子项的偏波动求和，同时对所有总波动求和，两者相比作为当前函数子项的敏感度指标；

步骤S8，对同一输出响应的所有函数子项敏感度指标求和，得到所述输出响应的敏感度指标，完成多输入多输出敏感性分析。

在所述步骤S3中，通过积分表示和函数的各函数子项，并进一步完成积分计算获得和函数的高维模型表示。

在所述步骤S4中，针对不同的输入变量分布问题，采用不同的和函数方差的分解表示。例如，对于0-1均匀分布问题，采用第一种函数方差分解；对于高斯分布问题，采用第二种和函数方差分解。本步骤中，基于和函数方差的分解，实现系统多输出响应协方差的等效分解，避免了系统响应的协方差矩阵因存在负值而影响敏感性分析的精度，进而实现多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析。

具体地，当采用公式对本发明实施例中各步骤进行表示时，设所述复杂系统中具有n个输入变量，具有m个输出响应，m个输出响应中的两个任意变量为k、l。

根据复杂系统中任意两个响应的和与差，构建和函数G^k,l(x)和H^k,l(x)，且：

其中，f^k(x)表示在多输入变量下的k响应函数，f^l(x)表示在多输入变量下的l响应函数。

则系统输出响应采用和函数表示为：

利用积分计算得到这些和函数的高维模型表示，对于n个输入和m个输出响应的和函数有：

组，和函数的高维模型表示为：

G^k,l(x)和H^k,l(x)的函数子项分别表示为:

则系统输出响应可以进一步采用和函数的函数子项表示。

根据和函数的函数子项表示，针对不同的均匀分布问题，获得和函数的方差分解。

对于0-1均匀分布问题，每一组和函数的方差分解为：

对于高斯分布问题：每一组和函数的方差分解为：

根据和函数的方差分解，求解与和函数对应的两个任意输出响应的方差及协方差。

将式(5-1)或(5-2)公式代入下式求解：

进一步求解当前两个输出响应的总波动为：

通过式(7)可以进一步求解总波动的分解表示，共获得C_m ²个总波动分解式。

通过总波动分解式，求得总波动的和；再对总波动分解式中函数子项的偏波动求和；求解函数子项偏波动和与总波动和的占比，作为当前函数子项的敏感度指标，公式为：

其中，ψ为函数子项的项数。

当前输出响应的所有函数子项的敏感度指标求和，获得当前响应的敏感度指标，公式为：

通过上述过程，实现对多输入多输出复杂系统的敏感性分析。

下面通过一个具体的实例，对本发明的全局敏感性分析方法作进一步详细的说明。本实例中以汽车B柱削层结构设计作为多输入多输出的复杂系统，如图2所示，所述B柱削层结构设计包括四个输入变量、三个输出变量。所述全局敏感性分析包括如下步骤：

步骤S1，以组成B柱的四块削层板铺层数量为四个输入变量，以车顶强度、B柱侵入量和B柱侵入速度为输出响应，构建响应面代理模型如下：

其中，x∈[8,30]⁴。

步骤S2，计算任意两个输出响应的和与差，分别构建响应和的第一和函数与响应差的第二和函数，每两个响应间的第一和函数和第二和函数构成一组和函数；所述和函数如下：

步骤S3，利用函数子项得到这些和函数的高维模型表示，对于4个输入变量和3个输出响应的和函数有3组：

(k＝1,l＝2；k＝1,l＝3；k＝2,l＝3)

步骤S4，根据所有组的和函数的高维模型表示及输入变量分布，求解和函数方差分解；

由于复合材料B柱结构优化设计中的输入变量服从均匀分布，所以每一组和函数的方差分解为：

步骤S5，根据和函数的高维模型表示，获得所有输出响应的高维模型表示；再由输出响应的高维模型表示，及和函数的方差分解，得到与和函数对应的任意两个输出响应的方差和及协方差。

其中，系统输出响应采用和函数表示为：

计算所有输出响应的方差和及任意两个输出响应之间的协方差：

步骤S6，将任意两个输出响应的方差和与相应的协方差求和，作为当前两个输出响应对应和函数的总波动，并获得所有任意两个输出响应的总波动分解，其中的分解子项为所述函数子项的偏波动。

基于和函数的方差分解特征定义系统响应的总波动为：

其中，

基于所编MATLAB程序计算得到和函数的总波动矩阵是：

由上面的推导可以获得所有输出响应的总波动分解为：

总波动的分解可以进一步简化为：

其中的分解子项为所述函数子项的偏波动。

步骤S7，根据所有任意两个输出响应的总波动分解，对相同函数子项的偏波动求和，同时对所有总波动求和，两者相比作为当前函数子项的敏感度指标。

通过函数子项的偏波动定义函数子项的敏感度指标为：

其中，ψ为函数子项的项数。

当前输出响应的所有函数子项的敏感度指标求和，获得当前响应的敏感度指标，公式为：

图3示出了对复合材料B柱削层结构采用本发明实施例的全局敏感性分析与均值法敏感性分析的结果对比图。如图3所示，复合材料B柱外、内层板顶端铺层数目分别对车辆顶压强度、B柱侵入量、B柱侵入速度的综合影响程度较高，而底端铺层数目对其影响程度较低，采用本发明实施例算法算得到的第三组柱状图，外层板顶端铺层数目的敏感性程度最高，而基于均值法得到第一组柱状图中，内层板顶端铺层数目的敏感性程度最高，均值法因忽略输出响应协方差的影响，其敏感性分析结果存在一定偏差。通过敏感性分析结果对比进一步验证了本发明实施例所述全局敏感性分析方法的准确性和实用性。

以上描述仅为本发明的较佳实施例以及对所运用技术原理的说明。本领域技术人员应当理解，本发明中所涉及的发明范围，并不限于上述技术特征的特定组合而成的技术方案，同时也应涵盖在不脱离所述发明构思的情况下，由上述技术特征或其等同特征进行任意组合而形成的其它技术方案。例如上述特征与本发明中公开的(但不限于)具有类似功能的技术特征进行互相替换而形成的技术方案。

Claims (9)

1.一种多输入多输出复杂系统的全局敏感性分析方法，其特征在于，所述全局敏感性分析方法包括如下步骤：

步骤S1，确定所述复杂系统中的输入变量数量及输出响应数量，基于所有输入变量构建每个输出响应函数；

步骤S2，计算任意两个输出响应的和与差，分别构建响应和的第一和函数与响应差的第二和函数，每两个响应间的第一和函数和第二和函数构成一组和函数；

步骤S3，采用高维模型分别计算每组和函数的各阶函数子项，得到每组和函数的高维模型表示；

步骤S4，根据所有组的和函数的高维模型表示及输入变量分布，求解和函数方差分解；

步骤S5，根据和函数的高维模型表示，获得所有输出响应的高维模型表示；再由输出响应的高维模型表示，及和函数的方差分解，得到与和函数对应的任意两个输出响应的方差和及协方差；

步骤S6，将任意两个输出响应的方差和与相应的协方差求和，作为当前两个输出响应对应和函数的总波动，并获得所有任意两个输出响应的总波动分解，其中的分解子项为所述函数子项的偏波动；

步骤S7，根据所有任意两个输出响应的总波动分解，对相同函数子项的偏波动求和，同时对所有总波动求和，两者相比作为当前函数子项的敏感度指标；

步骤S8，对同一输出响应的所有函数子项敏感度指标求和，得到所述输出响应的敏感度指标，完成多输入多输出敏感性分析。

2.根据权利要求1所述的全局敏感性分析方法，其特征在于，设所述复杂系统中具有n个输入变量，具有m个输出响应，m个输出响应中的两个任意变量为k、l；

根据复杂系统中任意两个响应的和与差，构建和函数G^k,l(x)和H^k,l(x)，且：

则系统输出响应采用和函数表示为：

其中，f^k(x)表示在多输入变量下的k响应函数，f^l(x)表示在多输入变量下的l响应函数。

3.根据权利要求2所述的全局敏感性分析方法，其特征在于，在所述步骤S3中，通过积分表示和函数的各函数子项，并进一步完成积分计算获得和函数的高维模型表示。

4.根据权利要求3所述的全局敏感性分析方法，其特征在于，

利用积分计算得到这些和函数的高维模型表示，对于n个输入和m个输出响应的和函数有：

组，和函数的高维模型表示为：

G^k,l(x)和H^k,l(x)的函数子项分别表示为:

5.根据权利要求4所述的全局敏感性分析方法，其特征在于，在所述步骤S4中，针对不同的输入变量分布问题，采用不同的和函数方差的分解表示。

6.根据权利要求5所述的全局敏感性分析方法，其特征在于，对于0-1均匀分布问题，每一组和函数的方差分解为：

对于高斯分布问题，每一组和函数的方差分解为：

7.根据权利要求6所述的全局敏感性分析方法，其特征在于，所述步骤S5中，根据和函数的方差分解，求解与和函数对应的两个任意输出响应的方差及协方差；将式(5-1)或(5-2)公式代入下式求解：

进一步求解当前两个输出响应的总波动为：

共获得C_m ²个总波动分解式。

8.根据权利要求7所述的全局敏感性分析方法，其特征在于，通过总波动分解式，求得总波动的和；再对总波动分解式中函数子项的偏波动求和；求解函数子项偏波动和与总波动和的占比，作为当前函数子项的敏感度指标，公式为：

其中，ψ为函数子项的项数。

9.根据权利要求8所述的全局敏感性分析方法，其特征在于，当前输出响应的所有函数子项的敏感度指标求和，获得当前响应的敏感度指标，公式为：

通过上述过程，实现对多输入多输出复杂系统的敏感性分析。

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