CN108897212A - 基于高斯过程模型在pls框架中实现多变量pid控制策略 - Google Patents

Abstract

本发明涉及非线性时变系统优化控制领域，具体为基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略，解决现有控制策略不能消除多回路之间相互影响，建立模型不完整，控制性能差的问题，步骤：一、给出PID控制器的参数；二、利用GP模型实现多变量PID控制策略；（1）对MIMO系统进行解耦；（2）改进模型的不确定性；（3）选择协方差函数并对参数优化；三、进行PID控制器的整定；使用基于梯度的优化算法来使用GP模型调整PID控制器。优点：1、使用GP模型提供预测方差，表明局部随机区域中预测的可靠性；2、考虑了多变量控制过程带来的交叉耦合的影响，通过PLS框架将MIMO系统解耦成单个回路，再分别基于GP模型进行PID控制器参数的调节。

Description

基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略

技术领域

本发明涉及非线性时变系统优化控制领域，尤其涉及高斯过程(GP)模型的多变量控制策略设计，具体为基于高斯过程模型在最小二乘回归方法(PLS)框架中实现多变量比例-积分-微分(PID)控制策略。

背景技术

传统的PID控制器由于结构简单，硬件要求高，工业应用范围广和机械系统效率高，因此一直以来都是最受欢迎的控制器。PID算法有一套完整的参数整定与设计方法，易于被工程技术人员掌握；许多工业回路中对控制快速性和控制精度要求不是很高，而更重视系统的可靠性时，使用PID控制能获得较高的性价比。

此外，PID控制器是现代多级控制层次的基本组成部分，化学工业过程的高度非线性和时变过程可能对PID控制器设计提出了巨大的挑战。关于PID控制器的主要问题是控制器的参数必须适当调整以使得整个过程的输出尽可能的跟上设定的输出值。然而，当生产过程或环境发生变化时，由于控制性能依赖于模型，因此需要手动检查模型的充分性。因此，模型的完整性非常重要，关于模型不确定性的信息可能是非常宝贵的，如果模型中缺乏必要的信任，那么非线性模型的构造就会遇到困难，从而导致研究从此开始迅速扩展到GP模型，为PID控制器的工业或者化学应用开辟了一个全新的思路。

目前，针对基于模型的PID控制策略研究已经取得了一定的成果，但就当下比较热门的研究成果来说，仍然存在着以下的一些问题：1、在PID控制方面，在已有的科研成果中，一般都是时变系统的单输入单输出(SISO)变量；事实上，在化工业中，能够制造或精制产品的任何过程都不能在单个控制回路内令人满意地操作，每个单元操作都需要多输入多输出(MIMO)的随机时变系统保持所需的生产率和产品质量；2、已有发明将基于线性化神经网络的模型应用于PID控制器的调优，从而提出了一种基于惰性学习识别的方法；然而，由于控制性能依赖于模型，因此模型的完整性非常重要，在调整控制器时，他们没有考虑到模型的不确定性信息；3、对于多输入多输出(MIMO)系统，可能出现环路交互并导致反馈控制器设计的困难；过程变量的交叉耦合阻止控制工程师独立设计每个回路；调整一个循环的控制器参数会影响另一个循环的性能，有时甚至会破坏整个系统的稳定性，故如何消除多回路之间的交互影响又是很大的一个挑战。

因此，设计一种基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略是十分有必要的。

发明内容

本发明解决现有控制策略不能消除多回路之间相互影响，建立模型不完整，控制性能差的问题，提供一种基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略。

本发明是通过以下操作步骤实现的：基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略，包括以下操作步骤：

步骤一、给出PID控制器的参数：

考虑具有m个输入和l个输出的多变量随机动态系统：u_k＝[u_1k,u_2k,…,u_mk]^T,y_k＝[y_1k,y_2k,…,y_lk]^T，其中u_k和y_k分别是控制输入和系统输出；给出每个时刻对应的设定值如下：

接下来给出PID控制器的算法：其中误差矩阵为：参数k_P,k_I和k_D分别是PID控制器的比例增益，积分时间常数和微分时间常数；

因此，离散PID控制器的速率形式可以表示为：

其中参数矩阵和误差矩阵分别是和

步骤二、在PLS框架中,利用高斯过程(GP)模型实现多变量PID控制策略：

(1)利用PLS框架对多输入多输出(MIMO)系统进行解耦：

首先考虑两个缩放的数据集U，表示一个输入(预测器)数据矩阵，大小为n×m，和数据集Y，表示一个输出(预测器)数据矩阵，大小为n×l，其中n,m,l分别表示观测数量，操纵变量和过程变量；

U和Y的具体关系是：

t_i＝[t_i,k,t_i,k-1,…,t_i,k-n+1]^T,p_i＝[p_i,1,p_i,2,…,p_i,m]^T

v_i＝[v_i,k,v_i,k-1,…,v_i,k-n+1]^T,q_i＝[q_i,1,q_i,2,…,q_i,l]^T，

其中主成分的数量a可以通过统计技术来确定，例如交叉验证或启发式技术，正如(Y的预测值)中保留的方差百分比，T和V都表示得分矩阵，而且P和Q分别是T和V的加载矩阵；

此外，t_i和v_i分别是得分矩阵T和V的第i个正交列向量，并且p_i和q_i分别是加载矩阵P和Q的第i个向量，E_a+1和F_a+1分别是X和Y的残差矩阵；

然后，将m个输入和l个输出的多变量系统分离成独立的循环，由此将多变量多回路控制问题转换为单回路控制问题；

(2)基于GP模型改进模型的不确定性：

对于每个循环，使用GP模型来表征输入和输出潜在变量之间关系的动态关系：v_i,k(i＝1,2,…,a)，t_i,k(i＝1,2,…,a)；

一个GP模型是具有联合分布的随机变量的集合：

对于任何输入Z_i＝{z_i,1,…,z_i,k}和输出v_i＝{v_i,k,…,v_i,k-n+1}的集合，平均向量μ_i和Z_i分别指的是高斯过程模型的输入向量，而不是受控变量；

对于动态建模，z_i,k分别包含过去的操纵潜在变量和过去的输出潜在变量，如下:

z_i,k＝[t_i,k-1,…,t_i,k-b+1,v_i,k-1,…,v_i,k-d+1]^T，

其中下标b和d分别指的是过去b个操纵潜在变量和过去d个输出潜在变量，L_i是一个合适的归一化常数，C_i是由参数化协方差函数定义的数据的协方差矩阵；

给出数据集D_i＝(Z_i,v_i)，由于联合密度P(v_i,k+1,v_i)也是高斯的，因此推理出v_i,k+1；通过贝叶斯定理，得到条件分布是：

可知它也是高斯的，进而得出后验分布为：

最后，求出GP模型的预测均值和预测方差，分别为：

其中，g^T(z_i,k+1)＝[C(z_i,k+1,z_i,1)…C(z_i,k+1,z_i,k)],μ_i,k+1是v_i,k+1的预测均值，是预测的标准方差；

向量g^T(z_i,k+1)C^-1可被视为平滑项，其对训练输出进行加权以对新输入矢量z_i,k+1进行预测，预测的标准方差提供模型预测的置信水平，因为较高的方差值表示输入矢量的区域包含很少的被噪声破坏的数据；

(3)选择协方差函数并对其参数进行优化：

其中a_i0,a_i1,w_i,s,q_i和ν_i0是被定义的超参数，超参数ν_i0控制局部相关的整体尺度，a_i1允许每个输入维度中的不同距离测量，s和q_i是噪声方差的估计值，δ_i是一个Kroneckerdelta参数，如果r₁＝r₂，δ_i的值为1，否则δ_i的值为0；

在高斯过程模型下，先验是高斯分布，通过最大化对数似然函数

来估计超参数：其中θ_i＝[a_i0,a_i1,w_is,q_i,ν_i0]；使用对数似然函数对超参数的导数求得最大化对

数似然函数：

得到v_i,k+1,的协方差函数；

步骤三、进行PID控制器的整定：

识别出的GP模型直接应用于PID控制器设计：通过最小化目标函数，以获得最佳控制动作；如果PID控制器是在原始空间中设计的，则目标函数是：

使用PLS模型，原始目标函数与潜在可变空间目标函数之间的相关性为：

逐个设计独立回路的PID控制器；对于第i个循环回路，目标函数是：

利用GP提供了预测方差的不确定性，目标函数可以写成：

通过最小化目标函数J_ik来调整PID，从而产生鲁棒性更好的控制系统；

使用基于梯度的优化算法实现使用GP模型来调整PID控制器，步骤如下：

采用链式法则对需要整定的PID控制器的参数进行求导：

上述方程中的偏导数项扩展如下：

此外，协方差函数的导数是：

如果则得到

最后，对于PID控制器的相互独立的a个回路，总的目标函数是：

通过估计最小化目标函数的最优控制动作来获得相应的PID参数，直接应用于控制过程以实现期望的过程变量，即实现基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略。

本发明方法是通过以下设计思路完成的：首先给出多变量PID控制器的控制参数，k_P,k_I和k_D分别为比例-积分-微分增益，通过调节这三个参数使系统输出尽可能接近设定值。本发明给出的模型是高斯过程(GP)模型，GP模型提供预测方差，表明局部随机区域中预测的可靠性，而传统非线性模型则不然，在调整控制器时，传统的PID控制器没有考虑模型的不确定性。本发明考虑了多变量控制过程带来的交叉耦合的影响，通过PLS框架将多输入多输出(MIMO)系统解耦成单个回路，再分别基于GP模型进行PID控制器参数的调节，与其他解耦方法相比，PLS方法处理非线性化的能力较强。给出目标函数，通过梯度下降法最小化目标函数，然后进行PID控制器的整定过程。

本发明与现有技术相比具有以下优点：1、传统的PID控制器在调整时没有考虑模型的不确定性，本发明使用高斯过程(GP)模型提供预测方差，表明局部随机区域中预测的可靠性，较传统非线性模型更具有实际工程意义；2、实际工业过程不可避免都需要至少两个控制回路来保持所需的生产率和产品质量，本发明考虑了多变量控制过程带来的交叉耦合的影响，通过PLS框架将多输入多输出(MIMO)系统解耦成单个回路，再分别基于GP模型进行PID控制器参数的调节，比已有单变量控制方法更具有一般性和实际意义。

附图说明

图1为本发明控制策略的结构框图。

具体实施方式

基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略，包括以下操作步骤：

步骤一、给出PID控制器的参数：

考虑具有m个输入和l个输出的多变量随机动态系统：u_k＝[u_1k,u_2k,…,u_mk]^T,y_k＝[y_1k,y_2k,…,y_lk]^T，其中u_k和y_k分别是控制输入和系统输出；给出每个时刻对应的设定值如下：

接下来给出PID控制器的算法：其中误差矩阵为：参数k_P,k_I和k_D分别是PID控制器的比例增益，积分时间常数和微分时间常数；

因此，离散PID控制器的速率形式可以表示为：

其中参数矩阵和误差矩阵分别是和

步骤二、在PLS框架中,利用高斯过程(GP)模型实现多变量PID控制策略：

(1)利用PLS框架对多输入多输出(MIMO)系统进行解耦：

首先考虑两个缩放的数据集U，表示一个输入(预测器)数据矩阵，大小为n×m，和数据集Y，表示一个输出(预测器)数据矩阵，大小为n×l，其中n,m,l分别表示观测数量，操纵变量和过程变量；

U和Y的具体关系是：

t_i＝[t_i,k,t_i,k-1,…,t_i,k-n+1]^T,p_i＝[p_i,1,p_i,2,…,p_i,m]^T

v_i＝[v_i,k,v_i,k-1,…,v_i,k-n+1]^T,q_i＝[q_i,1,q_i,2,…,q_i,l]^T，

其中主成分的数量a可以通过统计技术来确定，例如交叉验证或启发式技术，正如(Y的预测值)中保留的方差百分比，T和V都表示得分矩阵，而且P和Q分别是T和V的加载矩阵；

此外，t_i和v_i分别是得分矩阵T和V的第i个正交列向量，并且p_i和q_i分别是加载矩阵P和Q的第i个向量，E_a+1和F_a+1分别是X和Y的残差矩阵；

然后，将m个输入和l个输出的多变量系统分离成独立的循环，由此将多变量多回路控制问题转换为单回路控制问题；

(2)基于GP模型改进模型的不确定性：

对于每个循环，使用GP模型来表征输入和输出潜在变量之间关系的动态关系：v_i,k(i＝1,2,…,a)，t_i,k(i＝1,2,…,a)；

一个GP模型是具有联合分布的随机变量的集合：

对于任何输入Z_i＝{z_i,1,…,z_i,k}和输出v_i＝{v_i,k,…,v_i,k-n+1}的集合，平均向量μ_i和Z_i分别指的是高斯过程模型的输入向量，而不是受控变量；

对于动态建模，z_i,k分别包含过去的操纵潜在变量和过去的输出潜在变量，如下:

z_i,k＝[t_i,k-1,…,t_i,k-b+1,v_i,k-1,…,v_i,k-d+1]^T，

其中下标b和d分别指的是过去b个操纵潜在变量和过去d个输出潜在变量，L_i是一个合适的归一化常数，C_i是由参数化协方差函数定义的数据的协方差矩阵；

给出数据集D_i＝(Z_i,v_i)，由于联合密度P(v_i,k+1,v_i)也是高斯的，因此推理出v_i,k+1；通过贝叶斯定理，得到条件分布是：

可知它也是高斯的，进而得出后验分布为：

最后，求出GP模型的预测均值和预测方差，分别为：

和

其中，g^T(z_i,k+1)＝[C(z_i,k+1,z_i,1)…C(z_i,k+1,z_i,k)],μ_i,k+1是v_i,k+1的预测均值，是预测的标准方差；

向量g^T(z_i,k+1)C^-1可被视为平滑项，其对训练输出进行加权以对新输入矢量z_i,k+1进行预测，预测的标准方差提供模型预测的置信水平，因为较高的方差值表示输入矢量的区域包含很少的被噪声破坏的数据；

(3)选择协方差函数并对其参数进行优化：

其中a_i0,a_i1,w_i,s,q_i和ν_i0是被定义的超参数，超参数ν_i0控制局部相关的整体尺度，a_i1允许每个输入维度中的不同距离测量，s和q_i是噪声方差的估计值，δ_i是一个Kroneckerdelta参数，如果r₁＝r₂，δ_i的值为1，否则δ_i的值为0；

在高斯过程模型下，先验是高斯分布，通过最大化对数似然函数

来估计超参数：其中θ_i＝[a_i0,a_i1,w_is,q_i,ν_i0]；使用对数似然函数对超参数的导数求得最大化对数似然函数：

得到v_i,k+1,的协方差函数；

步骤三、进行PID控制器的整定：

识别出的GP模型直接应用于PID控制器设计：通过最小化目标函数，以获得最佳控制动作；如果PID控制器是在原始空间中设计的，则目标函数是：

使用PLS模型，原始目标函数与潜在可变空间目标函数之间的相关性为：

逐个设计独立回路的PID控制器；对于第i个循环回路，目标函数是：

利用GP提供了预测方差的不确定性，目标函数可以写成：

通过最小化目标函数J_ik来调整PID，从而产生鲁棒性更好的控制系统；

使用基于梯度的优化算法实现使用GP模型来调整PID控制器，步骤如下：

采用链式法则对需要整定的PID控制器的参数进行求导：

上述方程中的偏导数项扩展如下：

此外，协方差函数的导数是：

如果则得到

最后，对于PID控制器的相互独立的a个回路，总的目标函数是：

通过估计最小化目标函数的最优控制动作来获得相应的PID参数，直接应用于控制过程以实现期望的过程变量，即实现基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略。

以下结合具体实例来对本发明控制策略的实际效果进行说明：pH中和过程在化工过程中相当普遍。实验设施包括两个搅拌槽，在每个槽中发生具有酸碱中和的反应器。该过程被设计为一个演示单元，用于评估高级控制策略，如自适应和多变量控制。

中和过程具有四个控制变量，即两个槽中的每一个中的pH和液位。这种强酸，强碱中和会产生一个难以解决的多变量问题，因为每个受控变量对每个受控输出都有显着影响。由于与pH控制相关的遗传非线性和滴定曲线的变化，这个过程也是高度非线性和时变的。缓冲剂的量以不可预测的方式变化。

一个pH连续搅拌釜反应器(CSTR)，该过程的化学反应过程为：

H₂O＝OH^-+H⁺

H₂CO₃＝HCO₃ ^-+H⁺

HCO₃＝CO₃ ^-+H⁺

遵循Gustaffson为第i个流定义两个反应不变的浓度：

Wb_i≡[H₂CO₃]_i+[HCO₃ ^-]_i+[CO₃ ^＝]_i

Wa_i≡[H⁺]_i-[OH^-]_i-[HCO₃ ^-]_i-2[CO₃ ^＝]_i

假设反应足够快以使系统处于平衡状态；然后，平衡关系可用于确定反应不变量Wa_i和Wb_i的氢离子浓度。平衡常数是

K_W＝[H⁺]_i[OH^-]_i

通过组合这些表达式，可以导出以下等式：

中和过程的动态模型包括以下等式,中和槽的槽1和槽2上的平衡给出如下：

其中Q_i为负载流量。

以适当的方式组合这些方程产生以下反应不变量Wa_i和Wb_i的方程:

下标T₁和T₂表示解决方案在中和槽1和2中的结合，这些方程式允许两个中和槽中的反应不变量作为时间的函数，假设初始条件是已知的，入口分流的流量和浓度是已知的。每个槽中的溶液的pH可以从不变量Wa_i和Wb_i中定义。

已经设计并构建了具有四个控制变量的PH中和系统，作为先进控制技术的降级单元。该过程的特征在于多变量输入和输出之间的强相互作用，高度非线性行为以及由于意外的缓冲区变化而导致的时变行为。该装置可以进行多种配置操作，这对于两种对流的先进控制技术都构成了难以控制的控制问题。

使用本发明所述的控制策略，应用GP模型描述了该过程的动态，并提供了实验数据的不确定性。相比之下，经验转移函数模型被认为是不充分的。实验测试证实，中性化系统是一个多输入多输出非线性过程，所有输入和所有输出之间存在显着的相互作用，缓冲变化产生快速，显着的变化特征，为了控制pH值而牺牲水平控制，在PLS框架中基于GP模型实现多变量PH中和系统的PID控制表现得比现有的控制策略效果要好。

Claims (1)

1.一种基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略，其特征在于：包括以下操作步骤：

步骤一、给出PID控制器的参数：

考虑具有m个输入和l个输出的多变量随机动态系统：u_k＝[u_1k,u_2k,…,u_mk]^T,y_k＝[y_1k,y_2k,…,y_lk]^T，其中u_k和y_k分别是控制输入和系统输出；给出每个时刻对应的设定值如下：

接下来给出PID控制器的算法：其中误差矩阵为：参数k_P,k_I和k_D分别是PID控制器的比例增益，积分时间常数和微分时间常数；

因此，离散PID控制器的速率形式可以表示为：

其中参数矩阵和误差矩阵分别是和e_k ^T＝[e_k e_k-1 e_k-2]^T；

步骤二、在PLS框架中,利用高斯过程(GP)模型实现多变量PID控制策略：

(1)利用PLS框架对多输入多输出(MIMO)系统进行解耦：

首先考虑两个缩放的数据集U，表示一个输入(预测器)数据矩阵，大小为n×m，和数据集Y，表示一个输出(预测器)数据矩阵，大小为n×l，其中n,m,l分别表示观测数量，操纵变量和过程变量；

U和Y的具体关系是：

t_i＝[t_i,k,t_i,k-1,…,t_i,k-n+1]^T,p_i＝[p_i,1,p_i,2,…,p_i,m]^T

v_i＝[v_i,k,v_i,k-1,…,v_i,k-n+1]^T,q_i＝[q_i,1,q_i,2,…,q_i,l]^T，

其中主成分的数量a可以通过统计技术来确定，例如交叉验证或启发式技术，正如(Y的预测值)中保留的方差百分比，T和V都表示得分矩阵，而且P和Q分别是T和V的加载矩阵；

此外，t_i和v_i分别是得分矩阵T和V的第i个正交列向量，并且p_i和q_i分别是加载矩阵P和Q的第i个向量，E_a+1和F_a+1分别是X和Y的残差矩阵；

然后，将m个输入和l个输出的多变量系统分离成独立的循环，由此将多变量多回路控制问题转换为单回路控制问题；

(2)基于GP模型改进模型的不确定性：

对于每个循环，使用GP模型来表征输入和输出潜在变量之间关系的动态关系：v_i,k(i＝1,2,…,a)，t_i,k(i＝1,2,…,a)；

一个GP模型是具有联合分布的随机变量的集合：

对于任何输入Z_i＝{z_i,1,…,z_i,k}和输出v_i＝{v_i,k,…,v_i,k-n+1}的集合，平均向量μ_i和Z_i分别指的是高斯过程模型的输入向量，而不是受控变量；

对于动态建模，z_i,k分别包含过去的操纵潜在变量和过去的输出潜在变量，如下:

z_i,k＝[t_i,k-1,…,t_i,k-b+1,v_i,k-1,…,v_i,k-d+1]^T，

其中下标b和d分别指的是过去b个操纵潜在变量和过去d个输出潜在变量，L_i是一个合适的归一化常数，C_i是由参数化协方差函数定义的数据的协方差矩阵；

给出数据集D_i＝(Z_i,v_i)，由于联合密度P(v_i,k+1,v_i)也是高斯的，因此推理出v_i,k+1；通过贝叶斯定理，得到条件分布是：

可知它也是高斯的，进而得出后验分布为：

最后，求出GP模型的预测均值和预测方差，分别为：和

其中，g^T(z_i,k+1)＝[C(z_i,k+1,z_i,1)…C(z_i,k+1,z_i,k)],μ_i,k+1是v_i,k+1的预测均值，是预测的标准方差；

向量g^T(z_i,k+1)C^-1可被视为平滑项，其对训练输出进行加权以对新输入矢量z_i,k+1进行预测，预测的标准方差提供模型预测的置信水平，因为较高的方差值表示输入矢量的区域包含很少的被噪声破坏的数据；

(3)选择协方差函数并对其参数进行优化：

其中a_i0,a_i1,w_i,s,q_i和ν_i0是被定义的超参数，超参数ν_i0控制局部相关的整体尺度，a_i1允许每个输入维度中的不同距离测量，s和q_i是噪声方差的估计值，δ_i是一个Kronecker delta参数，如果r₁＝r₂，δ_i的值为1，否则δ_i的值为0；

在高斯过程模型下，先验是高斯分布，通过最大化对数似然函数来估计超参数：其中θ_i＝[a_i0,a_i1,w_is,q_i,ν_i0]；使用对数似然函数对超参数的导数求得最大化对数似然函数：

得到v_i,k+1,的协方差函数；

步骤三、进行PID控制器的整定：

识别出的GP模型直接应用于PID控制器设计：通过最小化目标函数，以获得最佳控制动作；如果PID控制器是在原始空间中设计的，则目标函数是：

使用PLS模型，原始目标函数与潜在可变空间目标函数之间的相关性为：

逐个设计独立回路的PID控制器；对于第i个循环回路，目标函数是：

利用GP提供了预测方差的不确定性，目标函数可以写成：

通过最小化目标函数J_ik来调整PID，从而产生鲁棒性更好的控制系统；

使用基于梯度的优化算法实现使用GP模型来调整PID控制器，步骤如下：

采用链式法则对需要整定的PID控制器的参数进行求导：

上述方程中的偏导数项扩展如下：

此外，协方差函数的导数是：

如果则得到

最后，对于PID控制器的相互独立的a个回路，总的目标函数是：

通过估计最小化目标函数的最优控制动作来获得相应的PID参数，直接应用于控制过程以实现期望的过程变量，即实现基于高斯过程模型在PLS框架中实现多变量PID控制策略。