CN112651102B - 一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法。本发明通过输入观测面的高程数据、重力观测值和观测点距，生成高程和重力的网格文件，利用频域率伪观测面法，构建重力三维半空间场，根据半空间场内各深度点重力值的垂向导数，计算各深度点的不同阶次导数比，结合常数加入法，对重力三维半空间场进行反演，得到半空间场内各点处的极值计算值，确定半空间场的极值点集，归一化处理极值点集内的极值点，利用归一化后的极值点集成像成图，并分析重力三维半空间场的极值深度点，输出图件和半空间场内各点的归一化极值。本发明无需先验信息，实现了自动化反演，能够对起伏地形观测下的重力数据进行直接计算，提高了反演效率及精度，具有广泛的应用前景。

Description

一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法

技术领域

本发明属于地球物理勘探领域，具体涉及一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算 方法。

背景技术

场源快速成像法作为一种能够有效反演场源参数的方法，具有算法简单、计算稳定的优 势，并且反演过程中无需过多的先验信息及迭代计算，能够为建立先验模型提供有效信息， 场源快递成像法包括相关成像法(概括成像法)、偏移成像法、极值点深度估算法(DEXP法) 和小波连续变换法等。

极值点深度估算法(DEXP法)是由Fedi等提出的一种三维位场快速反演方法，利用三 维结果数据的极值点，实现对场源深度及平面位置的定量计算以及对相对密度或磁化率进行 定性描述。该方法能够应用于不同阶次导数位场数据的计算，向上延拓构建三维数据的同时 通过构造指数控制尺度函数。极值点深度估计法简单易行，反演过程快速、稳定且无需先验 信息，具有良好的应用前景及研究价值，目前已广泛应用于重力场数据、磁场数据和电场数 据的场源快速成像方面，取得了令人满意的结果。

但是，利用极值点深度估算法(DEXP法)实现位场源快速成像反演时需要提前预估构 造指数，解决构造指数的问题主要通过主观指定构造指数或利用导数比消去构造指数，相比 于主观指定构造指数存在选取困难及无法实现自动化计算的不足，利用导数比消去构造指数 能够规避构造指数的选取问题，替代构造指数实现极值点深度估算法的自动化计算，但是该 方法中需要根据经验性设置阈值，无法均衡多地质体的反演，并且该方法计算结果受“梯形 线”影响较大。同时，极值点深度估算法处理起伏地形下的位场数据多采用曲化平技术，该 技术实际应用过程中存在以下问题：由于不同地形条件下该方法的适用性存在差异，需要进 行前期预判，指导选择处理方法，缺少通用性和自动性，并且，该方法主要利用滤波手段， 制约了处理结果的精度。

因此，亟需提出一种适用于起伏地形条件并且无需提供任何先验信息的主动极值点深度 估算方法。

发明内容

针对现有技术中存在的上述技术问题，本发明提出了一种起伏地形下的位场全自动极值 点深度估算方法，解决了常规极值点深度估算法求解过程中存在奇点及梯形线的问题，提高 了起伏地形条件下极值点深度估算的精度。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法，具体包括如下步骤：

步骤1，输入观测面的高程数据、重力观测值和观测点距，生成观测面的高程网格文件 和重力网格文件；

步骤2，利用频域率伪观测面法，构建重力三维半空间场；

步骤3，基于构建的重力三维半空间场，计算重力三维半空间场内各深度点重力值的垂 向导数，结合常数加入法，对重力三维半空间场进行反演，得到重力三维半空间场内各点处 的极值计算值，确定重力三维半空间场的极值点集；

步骤4，通过对重力三维半空间场极值点集内各点进行归一化处理，计算重力三维半空 间场内各点对应的归一化极值，得到重力三维半空间场归一化极值点集；

步骤5，利用重力三维半空间场归一化极值点集中的各极值点进行成像，绘制图件，并 根据成像结果分析重力三维半空间场的极值深度点；

步骤6，输出图件和重力三维半空间场内各点的归一化极值。

优选地，所述步骤2中，具体包括如下步骤：

步骤2.1，根据观测面的高程网格文件和重力网格文件，选取观测面高程最低点，以观测 面高程最低点所在平面作为标准水平面，确定标准水平面上各点的重力值S_min(x_i,y_j,z_min)， 其中i,j为任意正整数，Z_min为观测面最低点高程；

步骤2.2，基于频率域向上解析延拓算法的稳定性，构建多个不同高度的水平面，计算各 水平面的高度延拓因子，如式(1)所示：

式中，(x_i,y_j,z_k)表示空间内任意点的坐标，i,j,k为任意正整数；

表示空间内点 (x_i,y_j,z_k)的重力值S_k(x_i,y_j,z_k)所对应的解析延拓因子；S_k(x_i,y_j,z_k)表示空间内点(x_i,y_j,z_k) 的重力值，单位为mGal；Z_k表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的高度；

步骤2.3，根据观测面的重力网格文件，确定观测面上各点的重力值，基于傅氏变换，计 算观测面上各观测点的波数域值，如式(2)所示：

式中，(x_i,y_j,z_obs)表示观测面上点的坐标；S_obs(x_i,y_j,z_obs)表示观测面上点(x_i,y_j,z_obs)的 重力值，单位为mGal；

表示重力值S_obs(x_i,y_j,z_obs)的波数域值；M表示重 力观测值在空间域沿x方向上的采样点数；Δx表示重力观测值在空间域沿x方向上的采样点 距；i表示重力观测值在空间域沿x方向上的采样点序号；N表示重力观测值在空间域沿y方 向上的采样点数；Δy表示重力观测值在空间域沿y方向上的采样点距；j表示重力观测值在 空间域沿y方向上的采样点序号；m,n表示频率域采样点的序号；

表示频率域沿y方向上 的采样间隔，

表示频率域沿y方向上的的采样间隔，其中，Lx＝M·Δx，Ly＝N·Δy；i₀表示单位复数；

步骤2.4，根据各高度水平面对应的高度延拓因子，计算空间内任意深度点对应重力值的 波数域值，如式(3)所示：

式中，(x_i,y_j,z_k)表示空间内任意点的坐标；S_k(x_i,y_j,z_k)表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的重力 值，单位为mGal；

表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的波数域值；

步骤2.5，通过对空间内任意深度点对应的波数域值进行反傅氏变换，得到空间内任意深 度点的空间域重力值，构建以标准水平面为界面的重力三维半空间场；

重力三维半空间场内任意深度点的空间域重力值如下所示：

式中，i,j,k的取值范围为整个重力三维半空间场区域。

优选地，所述步骤3中，具体包括如下步骤：

步骤3.1，根据构建重力三维半空间场的空间域重力值，计算重力三维半空间场内各深度 点对应空间域重力值的垂向mm阶导数和垂向nn阶导数；

重力三维半空间场内任意深度点对应空间域重力值的垂向mm阶导数为：

式中，f_mm(x_i,y_j,z_k)表示重力三维半空间场内深度点(x_i,y_j,z_k)对应空间域重力值S_k(x_i,y_j,z_k)的垂向mm阶导数；mm为非负整数；

重力三维半空间场内任意高度点对应空间域重力值的垂向nn阶导数为：

式中，f_nn(x_i,y_j,z_k)表示重力三维半空间场内深度点(x_i,y_j,z_k)对应空间域重力值S_k(x_i,y_j,z_k)的垂向nn阶导数；nn为非负整数，且nn取值小于mm；

根据重力三维半空间场内所有深度点对应空间域重力值的垂向nn阶导数，确定重力三维 半空间场的空间域重力值垂向nn阶导数集G_fn-all，如式(7)所示：

步骤3.2，根据重力三维半空间场内各深度点空间域重力值的垂向mm阶导数及垂向nn 阶导数，计算各深度点的不同阶次倒数比

如式(8)所示：

其中，自适应常数C为：

式中，

表示点(x_i,y_j,z_k)的不同阶次导数比；

表示重力三维半 空间场空间域重力值垂向nn阶导数集

中最大值的绝对值；

表示重力三维半 空间场空间域重力值垂向nn阶导数集

中最小值的绝对值；

步骤3.3，结合不同阶次倒数比

计算重力三维半空间场内各深度点对应的极值计 算值，如式(10)所示：

式中，W'(x_i,y_j,z_k)表示重力三维半空间场内点(x_i,y_j,z_k)处的极值计算值；

通过计算重力三维半空间场内所有深度点对应的极值计算值，确定重力三维半空间场的 极值点集W'_all，如式(11)所示：

W'_all＝{W'(x_i,y_j,z_k)|i,j,k∈N⁺} (11)。

优选地，所述步骤4中，具体包括如下步骤：

步骤4.1，通过对重力三维半空间场极值点集W'_all内各点进行归一化处理，计算重力三 维半空间场内各点对应的归一化极值，如式(12)所示：

式中，W(x_i,y_j,z_k)表示点(x_i,y_j,z_k)对应的归一化极值；min(W'_all)表示重力三维半空间 场极值点集W'_all中的最小值；max(W'_all)表示重力三维半空间场极值点集W'_all中的最大值；

步骤4.2，计算重力三维半空间场极值点集W'_all内所有点的归一化极值，得到重力三维 半空间场归一化极值点集W_all，如式(13)所示：

W_all＝{W(x_i,y_j,z_k)|i,j,k∈N⁺} (13)。

本发明所带来的有益技术效果：

本发明提出了一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估计法，基于极值点深度估算法 方法，通过频域率伪观测面法构建重力三维半空间场，结合常数加入法对重力三维半空间场 进行反演，实现极值点深度的全自动计算；

本发明方法无需构造指数、经验阈值等先验信息，即可实现重力三维半空间场的自动化 反演，解决了因零值产生的奇点问题以及因“零值线”产生的干扰，真正实现了反演过程的 自动化，同时，本发明能够有效压制起伏地形的影响，实现起伏地形条件下的直接计算，无 需进行曲化平等先行处理，计算速度快，计算结果稳定可靠，有效提高了反演的效率及精度， 具有广泛的应用前景。

附图说明

图1为本发明一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法的流程图。

图2为起伏地形频率域伪界面法示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

本发明提出了一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法，图1为本发明一种起 伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法的流程图，具体包括如下步骤：

步骤1，输入观测面的高程数据、重力观测值和观测点距，生成观测面的高程网格文件 和重力网格文件。

步骤2，利用频域率伪观测面法，构建重力三维半空间场，具体包括如下步骤：

步骤2.1，根据观测面的高程网格文件和重力网格文件，选取观测面高程最低点，以观测 面高程最低点所在平面作为标准水平面，如图2所示，确定标准水平面上各点的重力值 S_min(x_i,y_j,z_min)，其中i,j为任意正整数，Z_min为观测面最低点高程。

步骤2.2，基于频率域向上解析延拓算法的稳定性，构建多个不同高度的水平面，计算各 水平面的高度延拓因子，如式(1)所示：

式中，(x_i,y_j,z_k)表示空间内任意点的坐标，i,j,k为任意正整数；

表示空间内点 (x_i,y_j,z_k)的重力值S_k(x_i,y_j,z_k)所对应的解析延拓因子；S_k(x_i,y_j,z_k)表示空间内点(x_i,y_j,z_k) 的重力值，单位为mGal；Z_k表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的高度。

步骤2.3，根据观测面的重力网格文件，确定观测面上各点的重力值，基于傅氏变换，计 算观测面上各观测点的波数域值，如式(2)所示：

式中，(x_i,y_j,z_obs)表示观测面上点的坐标；S_obs(x_i,y_j,z_obs)表示观测面上点(x_i,y_j,z_obs)的 重力值，单位为mGal；

表示重力值S_obs(x_i,y_j,z_obs)的波数域值；M表示重 力观测值在空间域沿x方向上的采样点数；Δx表示重力观测值在空间域沿x方向上的采样点 距；i表示重力观测值在空间域沿x方向上的采样点序号；N表示重力观测值在空间域沿y方 向上的采样点数；Δy表示重力观测值在空间域沿y方向上的采样点距；j表示重力观测值在 空间域沿y方向上的采样点序号；m,n表示频率域采样点的序号；

表示频率域沿y方向上 的采样间隔，

表示频率域沿y方向上的的采样间隔，其中，Lx＝M·Δx，Ly＝N·Δy；i₀表示单位复数。

步骤2.4，根据各高度水平面对应的高度延拓因子，计算空间内任意深度点对应重力值的 波数域值，如式(3)所示：

式中，(x_i,y_j,z_k)表示空间内任意点的坐标；S_k(x_i,y_j,z_k)表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的重力 值，单位为mGal；

表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的波数域值。

步骤2.5，通过对空间内任意深度点对应的波数域值进行反傅氏变换，得到空间内任意深 度点的空间域重力值，构建以标准水平面为界面的重力三维半空间场；

重力三维半空间场内任意深度点的空间域重力值如下所示：

式中，i,j,k的取值范围为整个重力三维半空间场区域。

步骤3，基于构建的重力三维半空间场，计算重力三维半空间场内各深度点重力值的垂 向阶导数，结合常数加入法，对重力三维半空间场进行反演，得到重力三维半空间场内各点 处的极值计算值，确定重力三维半空间场的极值点集，具体包括如下步骤：

步骤3.1，根据构建重力三维半空间场的空间域重力值，计算重力三维半空间场内各深度 点对应空间域重力值的垂向mm阶导数和垂向nn阶导数；

重力三维半空间场内任意深度点对应空间域重力值的垂向mm阶导数为：

式中，f_mm(x_i,y_j,z_k)表示重力三维半空间场内深度点(x_i,y_j,z_k)对应空间域重力值S_k(x_i,y_j,z_k)的垂向mm阶导数；mm为非负整数；

重力三维半空间场内任意高度点对应空间域重力值的垂向nn阶导数为：

式中，f_nn(x_i,y_j,z_k)表示重力三维半空间场内深度点(x_i,y_j,z_k)对应空间域重力值S_k(x_i,y_j,z_k)的垂向nn阶导数；nn为非负整数，且nn取值小于mm；

根据重力三维半空间场内所有深度点对应空间域重力值的垂向nn阶导数，确定重力三维 半空间场的空间域重力值垂向nn阶导数集

如式(7)所示：

步骤3.2，根据重力三维半空间场内各深度点空间域重力值的垂向mm阶导数及垂向nn 阶导数，计算各深度点的不同阶次倒数比

如式(8)所示：

其中，自适应常数C为：

式中，

表示点(x_i,y_j,z_k)的不同阶次导数比；

表示重力三维半 空间场空间域重力值垂向nn阶导数集

中最大值的绝对值；

表示重力三维半 空间场空间域重力值垂向nn阶导数集

中最小值的绝对值。

步骤3.3，结合不同阶次倒数比

计算重力三维半空间场内各深度点对应的极值计 算值，如式(10)所示：

式中，W'(x_i,y_j,z_k)表示重力三维半空间场内点(x_i,y_j,z_k)处的极值计算值；

通过计算重力三维半空间场内所有深度点对应的极值计算值，确定重力三维半空间场的 极值点集W'_all，如式(11)所示：

W'_all＝{W'(x_i,y_j,z_k)|i,j,k∈N⁺} (11)。

步骤4，通过对重力三维半空间场极值点集W'_all内各点进行归一化处理，计算重力三维 半空间场内各点对应的归一化极值，如式(12)所示：

式中，W(x_i,y_j,z_k)表示点(x_i,y_j,z_k)对应的归一化极值；min(W'_all)表示重力三维半空间 场极值点集W'_all中的最小值；max(W'_all)表示重力三维半空间场极值点集W'_all中的最大值；

计算重力三维半空间场极值点集W'_all内所有点的归一化极值，得到重力三维半空间场归 一化极值点集W_all，如式(13)所示：

W_all＝{W(x_i,y_j,z_k)|i,j,k∈N⁺} (13)。

步骤5，利用重力三维半空间场归一化极值点集W_all中的各极值点进行成像，绘制图件， 并根据成像结果分析重力三维半空间场的极值深度点。

步骤6，输出图件和重力三维半空间场内各点的归一化极值。

应用实验

本发明一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法分别应用于单一球体模型和组 合球体模型，取得了理想的计算效果。

在单一球体模型中，以平坦地形作为观测面，根据平坦地形下单一球体模型产生的布格 重力异常数据，在单一球体模型的布格重力异常，分别应用DEXP方法和本发明方法进行反 演，得到反演结果，通过对比两种方法在y＝60km处切面的反演结果，发现采用DEXP方法 确定的极值点与单一球体模型的理论中心重合，但是部分区域存在明显的“零值线”，容易 被误认为是极值点，影响反演结果的准确性和可靠性；而采用本发明方法得到的反演结果， 在一定程度上能够抑制“零值线”的影响，提高了反演结果的质量。

在组合球体模型中，以平坦地形作为观测面，根据平坦地形下组合球体模型产生的布格 重力异常数据，分别应用DEXP方法和本发明方法进行反演，通过对比两种方法在y＝60km 处切面的反演结果，发现DEXP方法由于经验性地给定的阈值产生扰动，使得反演深度点存 在误差，该误差是由于根据经验给定的阈值不是自适应常数；而本发明方法利用常数加入法 对DEXP方法进行了改进，相对于DEXP方法得到的反演结果更加可靠，计算的深度极值点 能够确定理论模型的准确位置。

在单一球体模型中，以起伏地形作为观测面，起伏地形变化范围为2km～10km，根据起 伏地形下单一球体模型产生的布格重力异常数据，对单一球体模型的重力异常，分别应用 DEXP方法和本发明方法进行反演，得到反演结果，通过对比两种方法在y＝60km处切面的 反演深度值及其误差，发现当地形起伏小于模型5倍埋深时，DEXP方法的反演结果仍能提 供可靠的深度值；但随着地形起伏越强烈，DEXP方法的反演精度下降，当起伏地形为10km， 误差比可达0.2；进一步以地形变化范围为1km～8km的起伏地形作为观测面，对单一球体模 型的重力异常，分别应用DEXP方法和本发明方法进行反演，得到反演结果，也能证明随着 地形起伏程度的增强，本发明方法仍可获得有价值的反演结果，相对于DEXP方法反演精度 高且深度估计值计算准确。

当然，上述说明并非是对本发明的限制，本发明也并不仅限于上述举例，本技术领域的 技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也应属于本发明的保护 范围。

Claims (3)

1.一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法，其特征在于，具体包括如下步骤：

步骤1，输入观测面的高程数据、重力观测值和观测点距，生成观测面的高程网格文件和重力网格文件；

步骤2，利用频率域伪观测面法，构建重力三维半空间场；

步骤3，基于构建的重力三维半空间场，计算重力三维半空间场内各深度点重力值的垂向导数，结合常数加入法，对重力三维半空间场进行反演，得到重力三维半空间场内各点处的极值计算值，确定重力三维半空间场的极值点集；

步骤4，通过对重力三维半空间场极值点集内各点进行归一化处理，计算重力三维半空间场内各点对应的归一化极值，得到重力三维半空间场归一化极值点集；

步骤5，利用重力三维半空间场归一化极值点集中的各极值点进行成像，绘制图件，并根据成像结果分析重力三维半空间场的极值深度点；

步骤6，输出图件和重力三维半空间场内各点的归一化极值；

所述步骤2中，具体包括如下步骤：

步骤2.1，根据观测面的高程网格文件和重力网格文件，选取观测面高程最低点，以观测面高程最低点所在平面作为标准水平面，确定标准水平面上各点的重力值S_min(x_i,y_j,z_min)，其中i,j为任意正整数，z_min为观测面最低点高程；

步骤2.2，基于频率域向上解析延拓算法的稳定性，构建多个不同高度的水平面，计算各水平面的高度延拓因子，如式(1)所示：

式中，(x_i,y_j,z_k)表示空间内任意点的坐标，i,j,k为任意正整数；

表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的重力值S_k(x_i,y_j,z_k)所对应的解析延拓因子；S_k(x_i,y_j,z_k)表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的重力值，单位为mGal；Z_k表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的高度；

步骤2.3，根据观测面的重力网格文件，确定观测面上各点的重力值，基于傅氏变换，计算观测面上各观测点的波数域值，如式(2)所示：

式中，(x_i,y_j,z_obs)表示观测面上点的坐标；S_obs(x_i,y_j,z_obs)表示观测面上点(x_i,y_j,z_obs)的重力值，单位为mGal；

表示重力值S_obs(x_i,y_j,z_obs)的波数域值；M表示重力观测值在空间域沿x方向上的采样点数；Δx表示重力观测值在空间域沿x方向上的采样点距；i表示重力观测值在空间域沿x方向上的采样点序号；N表示重力观测值在空间域沿y方向上的采样点数；Δy表示重力观测值在空间域沿y方向上的采样点距；j表示重力观测值在空间域沿y方向上的采样点序号；m,n表示频率域采样点的序号；

表示频率域沿y方向上的采样间隔，

表示频率域沿y方向上的的采样间隔，其中，Lx＝M·Δx，Ly＝N·Δy；i₀表示单位复数；

步骤2.4，根据各高度水平面对应的高度延拓因子，计算空间内任意深度点对应重力值的波数域值，如式(3)所示：

式中，(x_i,y_j,z_k)表示空间内任意点的坐标；S_k(x_i,y_j,z_k)表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的重力值，单位为mGal；

表示空间内点(x_i,y_j,z_k)的波数域值；

步骤2.5，通过对空间内任意深度点对应的波数域值进行反傅氏变换，得到空间内任意深度点的空间域重力值，构建以标准水平面为界面的重力三维半空间场；

重力三维半空间场内任意深度点的空间域重力值如下所示：

式中，i,j,k的取值范围为整个重力三维半空间场区域。

2.根据权利要求1所述的一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法，其特征在于，所述步骤3中，具体包括如下步骤：

步骤3.1，根据构建重力三维半空间场的空间域重力值，计算重力三维半空间场内各深度点对应空间域重力值的垂向mm阶导数和垂向nn阶导数；

重力三维半空间场内任意深度点对应空间域重力值的垂向mm阶导数为：

式中，f_mm(x_i,y_j,z_k)表示重力三维半空间场内深度点(x_i,y_j,z_k)对应空间域重力值S_k(x_i,y_j,z_k)的垂向mm阶导数；mm为非负整数；

重力三维半空间场内任意高度点对应空间域重力值的垂向nn阶导数为：

式中，f_nn(x_i,y_j,z_k)表示重力三维半空间场内深度点(x_i,y_j,z_k)对应空间域重力值S_k(x_i,y_j,z_k)的垂向nn阶导数；nn为非负整数，且nn取值小于mm；

根据重力三维半空间场内所有深度点对应空间域重力值的垂向nn阶导数，确定重力三维半空间场的空间域重力值垂向nn阶导数集

如式(7)所示：

步骤3.2，根据重力三维半空间场内各深度点空间域重力值的垂向mm阶导数及垂向nn阶导数，计算各深度点的不同阶次导数比

如式(8)所示：

其中，自适应常数C为：

式中，

表示点(x_i,y_j,z_k)的不同阶次导数比；

表示重力三维半空间场空间域重力值垂向nn阶导数集

中最大值的绝对值；

表示重力三维半空间场空间域重力值垂向nn阶导数集

中最小值的绝对值；

步骤3.3，结合不同阶次倒数比

计算重力三维半空间场内各深度点对应的极值计算值，如式(10)所示：

式中，W'(x_i,y_j,z_k)表示重力三维半空间场内点(x_i,y_j,z_k)处的极值计算值；

通过计算重力三维半空间场内所有深度点对应的极值计算值，确定重力三维半空间场的极值点集W'_all，如式(11)所示：

W'_all＝{W'(x_i,y_j,z_k)|i,j,k∈N⁺} (11)。

3.根据权利要求1所述的一种起伏地形下的位场全自动极值点深度估算方法，其特征在于，所述步骤4中，具体包括如下步骤：

步骤4.1，通过对重力三维半空间场极值点集W'_all内各点进行归一化处理，计算重力三维半空间场内各点对应的归一化极值，如式(12)所示：

式中，W(x_i,y_j,z_k)表示点(x_i,y_j,z_k)对应的归一化极值；min(W'_all)表示重力三维半空间场极值点集W'_all中的最小值；max(W'_all)表示重力三维半空间场极值点集W'_all中的最大值；

步骤4.2，计算重力三维半空间场极值点集W'_all内所有点的归一化极值，得到重力三维半空间场归一化极值点集W_all，如式(13)所示：

W_all＝{W(x_i,y_j,z_k)|i,j,k∈N⁺} (13)。

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