CN112621761A - 一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法 - Google Patents

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CN112621761A CN202011644774.XA CN202011644774A CN112621761A CN 112621761 A CN112621761 A CN 112621761A CN 202011644774 A CN202011644774 A CN 202011644774A CN 112621761 A CN112621761 A CN 112621761A
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Abstract

本发明提供了一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，属于机械臂系统控制技术领域，包括如下步骤：S1：将机械臂系统中的各个机械臂作为通信节点建立通信拓扑；S2：获取邻居节点的状态信息，并制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型；S3：针对机械臂在运动过程中的关节漂移及终止速度非零的问题，设计用于机械臂系统稳定运行的多级优化性能指标；S4：基于带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型及多级优化性能指标，设计机械臂系统的分布式控制协议；S5：在机械臂系统分布式控制协议的驱动下，完成对机械臂系统的多级优化协调控制。本发明能够完成机械臂系统的协调控制，并有效的保障机械臂系统的稳定运行和运行精度。

Description

一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法
技术领域
本发明涉及一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，属于机械臂系统控制技术领域，尤其适用于面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法。
背景技术
随着分布式传感器、计算设备以及通信技术的快速发展，以多个机械臂组成的机械臂系统成为控制对象的工业系统在生产应用中展现出可观的效能，因而受到了产业界的广泛关注。相比于单机械臂控制系统而言，多机械臂控制系统在鲁棒性、灵活性以及经济性方面拥有诸多优势，但系统复杂性的增加提高了控制算法的设计难度。因此，研究高效且实用的多机械臂协调控制方法逐渐成为当前研究的主流。
在过去的几十年里，针对机械臂系统已开展了大量的研究，但先前的工作大多在未考虑通信时滞的理想情况下展开，忽略了传感器或其它通信设备在信息传输中产生的通信延迟。然而，这些通信延迟常常会对系统的稳定性造成破坏，致使系统震荡甚至发散。此外，关节漂移及终止速度非零等问题也是机械臂系统应用中潜在的性能缺陷。值得指出，现有的控制算法大多只关注于机械臂协调运动约束的设计而忽略了机械臂本身的性能优化。未考虑性能优化的机械臂的关节角误差会随着任务的执行逐渐累积，最终导致机械臂系统的执行精度偏离预期值。因此，亟需一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法来解决上述问题。
发明内容
针对现有机械臂控制技术中存在忽略通信延迟、关节漂移及终止速度非零等不足，本发明提供一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，旨在进一步提升机械臂系统控制的稳定性和准确性。
为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，可以实现针对多个同构或者异构机械臂构成的机械臂系统的控制，包括如下步骤：
S1：将机械臂系统中的各个机械臂作为通信节点建立通信拓扑；
S2：针对每个机械臂，结合其在机械臂系统的通信拓扑中连通关系，获取邻居节点的状态信息，并制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型；
S3：针对机械臂在运动过程中的关节漂移及终止速度非零的问题，设计用于机械臂系统稳定运行的多级优化性能指标；
S4：基于带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型及多级优化性能指标，设计机械臂系统的分布式控制协议；
S5：在机械臂系统分布式控制协议的驱动下，完成对机械臂系统的多级优化协调控制。
进一步，所述的步骤S2具体为：
S201：根据机械臂系统的通信协议设计需求确定通信拓扑图；
S202：根据通信拓扑图确定邻接矩阵A，度矩阵D和拉普拉斯矩阵L，明确连通关系；
S203：获取邻居节点的状态信息，并制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型。
更进一步，步骤S201所述的通信拓扑图由节点信息V和边信息E构成，其中，各个机械臂节点集合V＝{vj|j＝1，...，p}，各个机械臂之间连通关系集合E＝{(vj，vk)|vj∈V，vk∈V}，p≥2为机械臂系统中机械臂的个数。
更进一步，步骤S202所述的邻接矩阵
Figure BSA0000229718590000021
其中，当(vj，vk)∈E时，ajk＝1，否则ajk＝0；所述的度矩阵
Figure BSA0000229718590000022
其中，diag(·)为对角化操作；所述的拉普拉斯矩阵
Figure BSA0000229718590000023
更进一步，步骤S203所述的制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型具体为：第j个机械臂在接收到与其连通的邻居节点机械臂的状态信息时，制定第j个机械臂带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型为
Figure BSA0000229718590000024
其中：
Figure BSA0000229718590000025
表示为3维空间中的第j个机械臂在t时刻的位移状态信息，同理，Xk为与第j个机械臂相邻的机械臂的位移状态信息；Nj为与第j个机械臂相邻的机械臂节点集合；τ为延迟时间；假设第j个机械臂含有m个关节，
Figure BSA0000229718590000026
为第j个机械臂的雅克比矩阵，存储了第j个机械臂各个关节角速度状态信息和位移状态信息的线性关系；所有关节对应的角速度状态信息
Figure BSA0000229718590000027
其中，
Figure BSA0000229718590000028
为第1个关节的角位移
Figure BSA0000229718590000029
对应的角速度；φj为第j个机械臂与中央控制器的连接权重，当第j个机械臂接收到中央控制器的指令时，φj＝1，否则，φj＝0；
Figure BSA00002297185900000210
为中央控制器的位移控制指令在第j个机械臂上的投影，
Figure BSA00002297185900000211
分别为第j个机械臂的末端执行器在x轴、y轴和z轴方向上的期望位移；
Figure BSA00002297185900000212
为中央控制器的速度控制指令，为
Figure BSA00002297185900000213
关于时间t的导数。
进一步，步骤S3针对第j个机械臂所述的多级优化性能指标设计过程为：
S301：设计针对关节漂移的性能指标为：
Figure BSA00002297185900000214
其中，
Figure BSA0000229718590000031
为设计参数，
Figure BSA0000229718590000032
为机械臂j所有关节的角加速度，θj(0)为机械臂j所有关节的初始时刻的角度；
S302：设计针对终止速度非零问题的性能指标为：
Figure BSA0000229718590000033
其中，λ∈[0，1]为最小化角速度指标效果的权重；
S303：综合针对关节漂移的性能指标和针对终止速度非零的性能指标，设计多级优化性能指标为：
Figure BSA0000229718590000034
其中，
Figure BSA0000229718590000035
为一个非线性映射函数，T为分配给执行中央控制器指令的时间。
特别地，设计参数α、β越大越好，但是太大会增加计算量，一般选50左右较优；λ直接反映最小加速度和最小速度谁呈现主要作用，当λ＜0.5时，最小加速度占主要影响，当λ≥0.5时，最小速度占主要影响；较优地，可以通过采用深度学习等方式求得。
进一步，所述的步骤S4具体为：
S401：将单个机械臂的带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型作为约束条件、多级优化性能指标作为优化目标函数，建立单个机械臂的二次规划优化模型；
S402：将所有机械臂的二次规划优化模型整合改写成机械臂系统的二次规划优化模型；
S403：利用拉格朗日乘子法将机械臂系统的二次规划优化模型转化为一个非线性方程，进一步，基于该方程设计机械臂系统的分布式控制协议。
更进一步，步骤S402所述的机械臂系统的二次规划优化模型为：
目标函数：
Figure BSA0000229718590000036
约束条件：
Figure BSA0000229718590000037
其中，
Figure BSA0000229718590000038
为机械臂系统所有关节的角位移，同理，
Figure BSA0000229718590000039
为机械臂系统所有关节的角速度和角加速度；
Figure BSA00002297185900000310
为机械臂系统的雅克比矩阵，
Figure BSA00002297185900000311
为J关于时间t的导数，I3为3×3单位矩阵，
Figure BSA00002297185900000312
为所有机械臂的位移状态信息，
Figure BSA00002297185900000313
为中央控制器的位移控制指令，
Figure BSA0000229718590000041
为机械臂接收指令矩阵，
Figure BSA0000229718590000042
为元素全为1的向量，
Figure BSA0000229718590000043
表示张量积，
Figure BSA0000229718590000044
为xd(t)关于时间t的二次导数。
更进一步，步骤S403所述的非线性方程为Θ(t)·u(t)＝η(t)；
其中：
Figure BSA0000229718590000045
为机械臂系统的系统矩阵；
Figure BSA0000229718590000046
为状态变量向量；
Figure BSA0000229718590000047
为机械臂系统的控制向量；其中，ξ(t)＝[ξ1，ξ2，...ξ3mp]为拉格朗日乘子向量；
Figure BSA0000229718590000048
为性能指标向量；约束向量为
Figure BSA0000229718590000049
所述的机械臂系统的分布式控制协议为：
Figure BSA00002297185900000410
其中，( )-1为对矩阵或向量的求逆操作。
进一步，针对分布式协议计算出的状态变量控制量
Figure BSA00002297185900000411
采用离散的差分的方式，可以实现机械臂系统全局状态信息变量的估计结果，驱动完成对机械臂系统的多级优化协调控制。
本发明的有益效果在于：本发明提供了一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，通过引入时间延迟函数，综合考虑了并克服了关节漂移和终止速度非零问题，构建了多级优化性能指标，并设计了分布式控制协议，有效的实现了机械臂系统的协调控制，保证了系统控制的稳定性和准确性。
附图说明
为了使本发明的目的、技术方案，本发明提供如下附图进行说明：
图1为一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法流程图；
图2为本发明实施例1的通信拓扑图；其中，1、2、3、4分别为机械臂；
图3为本发明实施例1的单个机械臂末端跟踪误差仿真结果，横坐标为时间(单位：秒)，纵坐标为位移(单位：米)；
图4为本发明实施例1的单个机械臂末端跟踪速度仿真结果，横坐标为时间(单位：秒)，纵坐标为速度(单位：米/秒)；
图5为本发明实施例1的终止时刻单个机械臂的各关节角位移误差结果，纵坐标为角位移(单位：弧度)；
图6为为本发明实施例1的机械臂系统运动轨迹仿真图。
具体实施方式
为使本发明的目的和技术方案更加清晰明白，下面结合附图及实施例对本发明进行详细的描述。
实施例：假设一个机械臂系统的控制场景为由4个同构的六关节机械臂(PUMA560)构成的机械臂系统，由带有中央控制器的指令中心进行控制，采用邻间通信的方式，其中，指令中心直接与机械臂1通信传送指令，机械臂1与机械臂2之间有双向通信，机械臂2与机械臂3之间有双向通信，机械臂3与机械臂4之间有双向通信。
由于机械臂系统中仅机械臂1能够接收到由指令中心发出的指令，故∏＝diag([1，0，0，0])；由于同构，假设每个机械臂的雅可比矩阵J1＝J2＝J3＝J4取决于受控制的机械臂型号，可通过型号PUMA 560查询出，为已知量；指令中心的中央控制器发出的位移控制指令xd(t)取决于所要执行的任务，假设本次任务为执行圆路径跟踪任务，xd(t)＝[0.3sin(t)+0.3；0.3cos(t)-0.4；0.5]。
考虑机械臂之间通信时滞的存在以及单个机械臂关节漂移和终止速度非零问题，本实施例提供“一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法”，结合图1，该方法包含以下步骤：
步骤一：将机械臂系统，按照各个机械臂作为通信节点，p＝4为机械臂的个数，如图2所示，建立无向型、指定对象通信连通的连接方式、固定拓扑结构的通信拓扑关系。
步骤二：针对每个机械臂，结合其在机械臂系统的通信拓扑中连通关系，获取邻居节点的状态信息，并制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型；
具体为：
(201)根据机械臂系统的通信协议设计需求确定通信拓扑图；
(202)根据通信拓扑图确定邻接矩阵
Figure BSA0000229718590000051
度矩阵D＝diag(1，2，2，1)和拉普拉斯矩阵
Figure BSA0000229718590000052
明确连通关系；
(203)获取邻居节点的状态信息，并制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型。
进一步，步骤S203所述的制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型具体为：第j个机械臂在接收到与其连通的邻居节点机械臂的状态信息时，制定第j个机械臂带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型为
Figure BSA0000229718590000053
其中：
Figure BSA0000229718590000061
表示为3维空间中的第j个机械臂在t时刻的位移状态信息，同理，Xk为与第j个机械臂相邻的机械臂的位移状态信息；Nj为与第j个机械臂相邻的机械臂节点集合；τ为延迟时间，为1毫秒；假设第j个机械臂含有6个关节，
Figure BSA0000229718590000062
为第j个机械臂的雅克比矩阵；所有关节对应的角速度状态信息
Figure BSA0000229718590000063
其中，
Figure BSA0000229718590000064
为第1个关节的角位移
Figure BSA0000229718590000065
对应的角速度；φj为第j个机械臂与中央控制器的连接权重，φ1＝1，其余为0；
Figure BSA0000229718590000066
为中央控制器的位移控制指令在第j个机械臂上的投影，
Figure BSA0000229718590000067
分别为第j个机械臂的末端执行器在x轴、y轴和z轴方向上的期望位移；
Figure BSA0000229718590000068
为中央控制器的速度控制指令在第j个机械臂上的投影，为
Figure BSA0000229718590000069
关于时间t的导数。
步骤三：针对机械臂在运动过程中的关节漂移及终止速度非零的问题，设计用于机械臂系统稳定运行的多级优化性能指标；
具体为：
(301)设计针对关节漂移的性能指标为：
Figure BSA00002297185900000610
其中，
Figure BSA00002297185900000611
为设计参数，本实施例都取50；
Figure BSA00002297185900000612
为机械臂j所有关节的角加速度，θj(0)为机械臂j所有关节的初始角度；
(302)设计针对终止速度非零问题的性能指标为：
Figure BSA00002297185900000613
其中，λ∈[0，1]为最小化角速度指标效果的权重，本实施例取0.5；
(303)综合针对关节漂移的性能指标和针对终止速度非零的性能指标，设计多级优化性能指标为：
Figure BSA00002297185900000614
其中，
Figure BSA00002297185900000615
为一个非线性映射函数，T＝2π为分配给执行中央控制器指令的时间。
步骤四：基于带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型及多级优化性能指标，设计机械臂系统的分布式控制协议；
进一步，所述的步骤S4具体为：
(401)将单个机械臂的带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型作为约束条件、多级优化性能指标作为优化目标函数，建立单个机械臂的二次规划优化模型；
(402)将所有机械臂的二次规划优化模型整合改写成机械臂系统的二次规划优化模型；
(403)利用拉格朗日乘子法将机械臂系统的二次规划优化模型转化为一个非线性方程，进一步，基于该方程设计机械臂系统的分布式控制协议。
更进一步，步骤(402)所述的机械臂系统的二次规划优化模型为：
目标函数：
Figure BSA0000229718590000071
约束条件：
Figure BSA0000229718590000072
其中，
Figure BSA0000229718590000073
为机械臂系统所有关节的角位移，同理，
Figure BSA0000229718590000074
为机械臂系统所有关节的角速度和角加速度；
Figure BSA0000229718590000075
为机械臂系统的雅克比矩阵，
Figure BSA0000229718590000076
为J关于时间t的导数，I3为3×3单位矩阵，
Figure BSA0000229718590000077
为所有机械臂的位移状态信息，
Figure BSA0000229718590000078
为中央控制器的位移控制指令，
Figure BSA0000229718590000079
为机械臂接收指令矩阵，
Figure BSA00002297185900000710
为元素全为1的向量，
Figure BSA00002297185900000711
表示张量积，
Figure BSA00002297185900000712
为xd(t)关于时间t的二次导数。
更进一步，步骤(403)所述的非线性方程为Θ(t)·u(t)＝η(t)；
其中：
Figure BSA00002297185900000713
为机械臂系统的系统矩阵；
Figure BSA00002297185900000714
为状态变量向量；
Figure BSA00002297185900000715
为机械臂系统的控制向量；其中，ξ(t)＝[ξ1，ξ2，...ξ3mp]为拉格朗日乘子向量；
Figure BSA00002297185900000716
为性能指标向量；约束向量为
Figure BSA00002297185900000717
所述的机械臂系统的分布式控制协议为：
Figure BSA00002297185900000718
其中，( )-1为对矩阵或向量的求逆操作。
步骤五：针对分布式协议计算出的状态变量控制量
Figure BSA00002297185900000719
采用离散的差分的方式，可以实现机械臂系统全局状态信息变量的估计结果，驱动完成对机械臂系统的多级优化协调控制。
本实施例中，在MATLAB软件上经过2π秒的仿真，仿真实验结果分别如图3、图4、图5、图6所示。图3所示的单个机械臂末端跟踪误差相对于控制指令要求来说十分的小，能够满足正常的控制需求，当然，本发明还可以通过调整设计参数等方式来进一步提升精度；与图5所示的终止时刻单个机械臂的各关节角位移误差相互印证。图4所示的单个机械臂末端跟踪速度可见约3秒系统跟踪速度趋于一致，表明本发明能够协助机械臂系统快速的实现准确的路径追踪，稳定性较好。图6所示的机械臂系统运动轨迹能够直观的发映出4个机械臂运动的轨迹，是一个逐渐趋近于圆的过程。
综上所述，本发明方法有效的实现了机械臂系统的协调控制，保证了系统控制的稳定性和准确性。
最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其做出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (9)

1.一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，其特征在于，该方法包含以下步骤：
S1：将机械臂系统中的各个机械臂作为通信节点建立通信拓扑；
S2：针对每个机械臂，结合其在机械臂系统的通信拓扑中连通关系，获取邻居节点的状态信息，并制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型；
S3：针对机械臂在运动过程中的关节漂移及终止速度非零的问题，设计用于机械臂系统稳定运行的多级优化性能指标；
S4：基于带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型及多级优化性能指标，设计机械臂系统的分布式控制协议；
S5：在机械臂系统分布式控制协议的驱动下，完成对机械臂系统的多级优化协调控制。
2.根据权利要求1所述的一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，其特征在于，所述的步骤S2具体为：
S201：根据机械臂系统的通信协议设计需求确定通信拓扑图；
S202：根据通信拓扑图确定邻接矩阵A，度矩阵D和拉普拉斯矩阵L，明确连通关系；
S203：获取邻居节点的状态信息，并制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型。
3.根据权利要求2所述的一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，其特征在于，步骤S201所述的通信拓扑图由节点信息V和边信息E构成，其中，各个机械臂节点集合V＝{vj|j＝1，…，p}，各个机械臂之间连通关系集合E＝{(vj，vk)|vj∈V，vk∈V}，p≥2为机械臂系统中机械臂的个数。
4.根据权利要求2所述的一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，其特征在于，步骤S202所述的邻接矩阵
Figure FSA0000229718580000011
其中，当(vj，vk)∈E时，ajk＝1，否则ajk＝0；所述的度矩阵
Figure FSA0000229718580000012
其中，diag(·)为对角化操作；所述的拉普拉斯矩阵
Figure FSA0000229718580000013
5.根据权利要求2所述的一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，其特征在于，步骤S203所述的制定带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型具体为：第j个机械臂在接收到与其连通的邻居节点机械臂的状态信息时，制定第j个机械臂带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型为
Figure FSA0000229718580000014
其中：
Figure FSA0000229718580000015
表示为3维空间中的第j个机械臂在t时刻的位移状态信息，同理，Xk为与第j个机械臂相邻的机械臂的位移状态信息；Nj为与第j个机械臂相邻的机械臂节点集合；τ为延迟时间；假设第j个机械臂含有m个关节，
Figure FSA0000229718580000016
为第j个机械臂的雅克比矩阵，存储了第j个机械臂各个关节角速度状态信息和位移状态信息的线性关系；所有关节对应的角速度状态信息
Figure FSA0000229718580000021
其中，
Figure FSA0000229718580000022
为第1个关节的角位移
Figure FSA0000229718580000023
对应的角速度；φj为第j个机械臂与中央控制器的连接权重，当第j个机械臂接收到中央控制器的指令时，φj＝1，否则，φj＝0；
Figure FSA0000229718580000024
为中央控制器的位移控制指令在第j个机械臂上的投影，
Figure FSA0000229718580000025
Figure FSA0000229718580000026
分别为第j个机械臂的末端执行器在x轴、y轴和z轴方向上的期望位移；
Figure FSA0000229718580000027
为中央控制器的速度控制指令在第j个机械臂上的投影，为
Figure FSA0000229718580000028
关于时间t的导数。
6.根据权利要求1所述的一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，其特征在于，步骤S3针对第j个机械臂所述的多级优化性能指标设计过程为：
S301：设计针对关节漂移的性能指标为：
Figure FSA0000229718580000029
其中，
Figure FSA00002297185800000210
为设计参数，
Figure FSA00002297185800000211
为机械臂j所有关节的角加速度，θj(0)为机械臂j所有关节的初始角度；
S302：设计针对终止速度非零问题的性能指标为：
Figure FSA00002297185800000212
其中，λ∈[0，1]为最小化角速度指标效果的权重；
S303：综合针对关节漂移的性能指标和针对终止速度非零的性能指标，设计多级优化性能指标为：
Figure FSA00002297185800000213
其中，
Figure FSA00002297185800000214
为一个非线性映射函数，T为分配给执行中央控制器指令的时间。
7.根据权利要求1所述的一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，其特征在于，所述的步骤S4具体为：
S401：将单个机械臂的带有通信时滞的二阶机械臂系统控制模型作为约束条件、多级优化性能指标作为优化目标函数，建立单个机械臂的二次规划优化模型；
S402：将所有机械臂的二次规划优化模型整合改写成机械臂系统的二次规划优化模型；
S403：利用拉格朗日乘子法将机械臂系统的二次规划优化模型转化为一个非线性方程，进一步，基于该方程设计机械臂系统的分布式控制协议。
8.根据权利要求7所述的一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，其特征在于，步骤S402所述的机械臂系统的二次规划优化模型为：
目标函数：
Figure FSA0000229718580000031
约束条件：
Figure FSA0000229718580000032
其中，
Figure FSA0000229718580000033
为机械臂系统所有关节的角位移，
Figure FSA0000229718580000034
为机械臂系统的雅克比矩阵，
Figure FSA0000229718580000035
为J关于时间t的导数，I3为3×3单位矩阵，
Figure FSA0000229718580000036
为所有机械臂的位移状态信息，
Figure FSA0000229718580000037
为中央控制器的位移控制指令，
Figure FSA0000229718580000038
为机械臂接收指令矩阵，
Figure FSA0000229718580000039
为元素全为1的向量，
Figure FSA00002297185800000310
表示张量积，
Figure FSA00002297185800000311
为xd(t)关于时间t的二次导数。
9.根据权利要求7所述的一种面向通信时滞的机械臂系统多级优化协调控制方法，其特征在于，步骤S403所述的非线性方程为Θ(t)·u(t)＝η(t)；
其中：
Figure FSA00002297185800000312
为机械臂系统的系统矩阵；
Figure FSA00002297185800000313
为状态变量向量；
Figure FSA00002297185800000314
为机械臂系统的控制向量；其中，ξ(t)＝[ξ1，ξ2，…ξ3mp]为拉格朗日乘子向量；
Figure FSA00002297185800000315
为性能指标向量；
Figure FSA00002297185800000316
为约束向量；
所述的机械臂系统的分布式控制协议为：
Figure FSA00002297185800000317
其中，( )-1为对矩阵或向量的求逆操作。
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