CN112571452B - 一种基于刚度模型的机器人刚度设计方法与终端 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于刚度模型的机器人刚度设计方法与终端，所述方法包括以下步骤：根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型；选择机器人刚度设计的基准位姿；构建包含刚度综合评价函数、约束条件以及初始值的刚度优化综合模型；求解刚度优化综合模型获得刚度设计变量的最优解。本发明能够在机器人末端刚度约束下，寻找机器人刚度参数的最优分配方案，使机器人刚度和结构设计更加合理，对降低机器人制造成本有重要意义。

Description

一种基于刚度模型的机器人刚度设计方法与终端

技术领域

本发明属于工业机器人设计领域，特别是一种基于刚度模型的机器人刚度设计方法与终端。

背景技术

机器人系统刚度是指机器人系统抵抗外力变形的能力，表现为机器人末端在外力作用下的弹性变形。以往的机器人刚度研究大多集中在机器人整机刚度建模、辨识以及补偿等几个方面，对于机械臂的刚度设计研究较少。对于一般的工业机器人而言，机器人系统刚度的设计原则为刚度愈大越好，刚度性能的提高有利于机器人获得良好的运动、动态性能，但是绝对刚体并不存在。同时，一些包含弹性元件如SEA、扭力传感器等的刚柔或柔体机器人对机器人的整机刚度或柔度有一定的要求，所以在机器人机构或结构设计过程中必须考虑机器人的刚度性能。

文献“基于串联弹性驱动器的柔顺机械臂的设计与实验研究”中针对SEA串联机器人中弹簧的设计提出了一种基于任务的关节刚度设计方法，该方法利用速度和力雅可比矩阵的映射关系，求解末端刚度约束下的关节刚度，通过若干典型位姿下的关节刚度加权求和求得最终的关节刚度。该方法只适用于非冗余机器人，容易出现局部最优，且没有考虑其他零部件的刚度性能。文献“Stiffness design for a spatial three degrees offreedom serial compliant manipulator based on impact configurationdecomposition”中将三自由度机械臂拆分为两自由度和一自由度机器人进行刚度设计，所获得的关节刚度能够保证在发生碰撞时机器人自身的安全，该方法仅对特定构型机器人适用，对于六自由度甚至是七自由度机器人并不适用。文献“Development of a 7DOF softmanipulator arm for the compliant humanoid robot COMAN”中通过离散的方式对拟人机械臂的关节刚度进行刚度设计以使机械臂的储能性能(安全性)和动态性能同时最大化，该方法仅考虑了关节扭转刚度，且离散的方式容易出现局部最优。文献“Safety designand performance analysis of humanoid rehabilitation robot with compliantjoint”中基于非线性人机碰撞模型对影响机器人安全性能的刚度和速度进行优化设计，用于权衡机器人安全和工作性能，但如何通过关节刚度设计实现指定的末端刚度并没有涉及。综上所述，现有的机器人刚度设计方法存在以下问题：仅关注机器人关节扭转刚度，对于影响机器人末端刚度的其他因素如倾覆刚度，线性刚度等没有考虑；目前的研究大多针对于少自由度(2-3)机器人进行刚度设计，对六自由度甚至是冗余自由度机器人并没有涉及；现有的刚度优化设计方法容易出现局部最优。

发明内容

本发明的目的在于针对上述现有技术中机器人刚度设计存在的问题，提供一种基于刚度模型的机器人刚度设计方法。在机器人机构或结构设计阶段，将机器人刚度性能设计指标通过各种分析手段定量的确定下来，以刚度参数(关节或连杆扭转刚度、倾覆刚度、线性刚度等)作为设计参数，通过优化综合方法寻找机器人刚度参数的最优分配方案，使机器人刚度和结构设计更加合理。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于刚度模型的机器人刚度设计方法，所述方法包括以下步骤：

步骤1，根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型；

步骤2，选择机器人刚度设计的基准位姿；

步骤3，构建包含刚度综合评价函数、约束条件以及初始值的刚度优化综合模型；

步骤4，求解刚度优化综合模型获得刚度设计变量的最优解。

进一步地，步骤1所述根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型，具体过程包括：

步骤1-1，确定机器人刚度设计参数，包括关节或连杆的扭转刚度、倾覆刚度、线性刚度、耦合刚度；

步骤1-2，将步骤1-1确定的机器人刚度设计参数等效为虚拟关节，采用虚拟关节法构建机器人刚度模型：

由外力引起的虚拟关节柔性变形满足以下公式：

Γ＝K_ΘΔΘ (1)

式中，K_Θ＝diag.([k₁,k₂,…,k_n])表示虚拟关节空间刚度矩阵，k_i表示第i个虚拟关节的刚度，ΔΘ表示虚拟关节柔性变形，Γ表示机器人虚拟关节空间所受外力；

机器人虚拟关节空间受力到机器人末端执行器受力的映射为：

Γ＝J^TF (2)

式中，F表示机器人末端执行器所受外力，J表示机器人的雅克比矩阵；

机器人末端执行器所受外力与末端柔性变形的关系表示为：

F＝K_XΔX (3)

式中，K_X表示机器人笛卡尔空间刚度矩阵，ΔX表示机器人末端在笛卡尔空间中的柔性变形；

将公式(1)相对于虚拟关节位移Θ进行求导，表示如下：

式中，

为机器人刚度矩阵的补充刚度矩阵；

忽略补充刚度矩阵对整机刚度矩阵的影响，则机器人刚度模型为：

K_X＝J^-TK_ΘJ^-1 (5)

C_X＝JC_ΘJ^T (6)

式中，

分别表示机器人笛卡尔空间和虚拟关节空间的柔度矩阵；机器人虚拟关节刚度与末端弹性变形以及外力的关系为：

进一步地，步骤2所述选择机器人刚度设计的基准位姿，具体过程包括：

步骤2-1，确定选取基准位姿的机器人性能指标：选取基于Frobenius范数的雅克比矩阵条件数的倒数

作为选取基准位姿的指标，如下式：

式中，tr(·)表示矩阵的迹，n为雅可比矩阵的维数；

步骤2-2，基于所述机器人性能指标选取基准位姿：

通过蒙特卡洛法遍历机器人工作空间，寻找

最大值的机器人位姿，即机器人灵活性最优位姿，将该位姿作为机器人刚度设计的基准位姿。

进一步地，步骤3所述构建包含刚度综合评价函数、约束条件以及初始值的刚度优化综合模型，具体过程包括：

步骤3-1，构建刚度综合评价函数，包括：

S1：刚度最低化单目标评价函数

该评价函数中，用各关节刚度之和表示其刚度的高低，公式如下：

式中，k_i为第i关节的刚度，n为关节总数；

S2：误差波动最小化单目标评价函数

将典型轨迹离散为m个节点，该评价函数为：

式中，kx_i,ky_i,kz_i分别表示机器人在节点i上的沿x,y,z三个方向的刚度，kx^c,ky^c,kz^c分别为设定的沿x,y,z三个方向的刚度；

S3：综合刚度和误差波动的多目标评价函数

用于平衡上面的两种评价函数，该多目标评价函数为：

式中，f₁和

分别表示刚度最小化单目标函数和最优值；f₂和

分别表示误差波动最小化单目标函数和最优值；λ₁和λ₂为加权系数，可根据设计要求选择；

步骤3-2，设定约束条件，该约束条件包括关节空间刚度约束和笛卡尔空间刚度约束；

其中，关节空间刚度约束是指关节刚度应低于所能达到的最高值；

式中，

表示机器人刚度参数能够达到的最大刚度；

笛卡尔空间刚度约束是指机器人末端刚度应小于某一设定值：

g＝kx-kx^c≤0 (13)

g＝ky-ky^c≤0 (14)

g＝kz-kz^c≤0 (15)

步骤3-3，选取刚度设计变量初始值：

将每个关节对应的所设计选取的传动或支撑或其他元件的刚度值，作为该关节刚度设计变量的初始值；

步骤3-4，构建机器人刚度优化综合模型，该模型描述为：

求取设计变量矢量x＝[k₁,k₂,…,k_n]^T，使得满足：

一种终端，所述终端包括存储器、输入单元、显示单元、处理器；所述存储器用于储存计算机程序；所述输入单元用于接收用户输入的各种指令或参数；所述显示单元用于显示终端的各种输出信息；所述处理器执行所述计算机程序以使所述终端实现上述基于刚度模型的机器人刚度设计方法的步骤：

步骤1，根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型；

步骤2，选择机器人刚度设计的基准位姿；

步骤3，构建包含刚度综合评价函数、约束条件以及初始值的刚度优化综合模型；

步骤4，求解刚度优化综合模型获得刚度设计变量的最优解。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：

1)建立的机器人刚度模型不仅考虑了机器人关节扭转刚度，也考虑了机器人关节或连杆的倾覆刚度、线性刚度等，完善了机器人刚度建模理论。

2)在刚度设计时不仅能考虑关节扭转刚度还能考虑其他结构的刚度，使机器人刚度设计或优化综合理论更加完善，避免了结构设计中的偶然性和盲目性，使机器人刚度和结构设计更加合理，对降低机器人制造成本有重要意义。

3)适应性更广，能够应用于串联、并联以及串并联等机器人刚度设计中，使机器人设计更加合理。

4)采用优化函数求解机器人刚度优化综合模型，实现了全局寻优，避免出现局部最优解。

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

附图说明

图1为一个实施例中本发明基于刚度模型的机器人刚度设计方法的流程示意图。

图2为一个实施例中机器人构型及坐标系布局图。

图3为一个实施例中涉及的虚拟关节等效图。

图4为一个实施例中涉及的扩展运动学模型示意图。

图5为一个实施例中提供的一种终端的结构示意图。图中：1为存储器、2为输入单元、3为显示单元、4为处理器。

具体实施方式

为了使本申请的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本申请进行进一步详细说明。应当理解，此处描述的具体实施例仅仅用以解释本申请，并不用于限定本申请。

在一个实施例中，结合图1，提供了一种基于刚度模型的机器人刚度设计方法，所述方法包括以下步骤：

步骤1，根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型；

步骤2，选择机器人刚度设计的基准位姿；

步骤3，构建包含刚度综合评价函数、约束条件以及初始值的刚度优化综合模型；

步骤4，求解刚度优化综合模型获得刚度设计变量的最优解。

进一步地，在其中一个实施例中，步骤1所述根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型，具体过程包括：

步骤1-1，确定机器人刚度设计参数，包括关节或连杆的扭转刚度、倾覆刚度、线性刚度、耦合刚度；

步骤1-2，将步骤1-1确定的机器人刚度设计参数等效为虚拟关节，采用虚拟关节法构建机器人刚度模型：

由外力引起的虚拟关节柔性变形满足以下公式：

Γ＝K_ΘΔΘ (17)

式中，K_Θ＝diag.([k₁,k₂,…,k_n])表示虚拟关节空间刚度矩阵，k_i表示第i个虚拟关节的刚度，ΔΘ表示虚拟关节柔性变形，Γ表示机器人虚拟关节空间所受外力；

机器人虚拟关节空间受力到机器人末端执行器受力的映射为：

Γ＝J^TF (18)

式中，F表示机器人末端执行器所受外力，J表示机器人的雅克比矩阵；

机器人末端执行器所受外力与末端柔性变形的关系表示为：

F＝K_XΔX (19)

式中，K_X表示机器人笛卡尔空间刚度矩阵，ΔX表示机器人末端在笛卡尔空间中的柔性变形；

将公式(1)相对于虚拟关节位移Θ进行求导，表示如下：

式中，

为机器人刚度矩阵的补充刚度矩阵；

忽略补充刚度矩阵对整机刚度矩阵的影响，则机器人刚度模型为：

K_X＝J^-TK_ΘJ^-1 (21)

C_X＝JC_ΘJ^T (22)

式中，

分别表示机器人笛卡尔空间和虚拟关节空间的柔度矩阵；机器人虚拟关节刚度与末端弹性变形以及外力的关系为：

进一步地，在其中一个实施例中，步骤2所述选择机器人刚度设计的基准位姿，具体过程包括：

步骤2-1，确定选取基准位姿的机器人性能指标：选取基于Frobenius范数的雅克比矩阵条件数的倒数

作为选取基准位姿的指标，如下式：

式中，tr(·)表示矩阵的迹，n为雅可比矩阵的维数；

步骤2-2，基于所述机器人性能指标选取基准位姿：

通过蒙特卡洛法遍历机器人工作空间，寻找

最大值的机器人位姿，即机器人灵活性最优位姿，将该位姿作为机器人刚度设计的基准位姿。

进一步地，在其中一个实施例中，步骤3所述构建包含刚度综合评价函数、约束条件以及初始值的刚度优化综合模型，具体过程包括：

步骤3-1，构建刚度综合评价函数，包括：

S1：刚度最低化单目标评价函数

该评价函数中，用各关节刚度之和表示其刚度的高低，公式如下：

式中，k_i为第i关节的刚度，n为关节总数；

S2：误差波动最小化单目标评价函数

将典型轨迹离散为m个节点，该评价函数为：

式中，kx_i,ky_i,kz_i分别表示机器人在节点i上的沿x,y,z三个方向的刚度，kx^c,ky^c,kz^c分别为设定的沿x,y,z三个方向的刚度；

S3：综合刚度和误差波动的多目标评价函数

用于平衡上面的两种评价函数，该多目标评价函数为：

式中，f₁和

分别表示刚度最小化单目标函数和最优值；f₂和

分别表示误差波动最小化单目标函数和最优值；λ₁和λ₂为加权系数，可根据设计要求选择；

步骤3-2，设定约束条件，该约束条件包括关节空间刚度约束和笛卡尔空间刚度约束；

其中，关节空间刚度约束是指关节刚度应低于所能达到的最高值；

式中，

表示机器人刚度参数能够达到的最大刚度；

笛卡尔空间刚度约束是指机器人末端刚度应小于某一设定值：

g＝kx-kx^c≤0 (29)

g＝ky-ky^c≤0 (30)

g＝kz-kz^c≤0 (31)

步骤3-3，选取刚度设计变量初始值：

将每个关节对应的所设计选取的传动或支撑或其他元件的刚度值，作为该关节刚度设计变量的初始值；

步骤3-4，构建机器人刚度优化综合模型，该模型描述为：

求取设计变量矢量x＝[k₁,k₂,…,k_n]^T，使得满足：

进一步地，在其中一个实施例中，步骤4所述求解刚度优化综合模型获得刚度设计参数的最优解，具体为：利用约束最小化函数求解机器人刚度优化综合模型，获得机器人刚度设计变量的最优值。

在一个实施例中，提供了一种终端，所述终端包括存储器、输入单元、显示单元、处理器；所述存储器用于储存计算机程序；所述输入单元用于接收用户输入的各种指令或参数；所述显示单元用于显示终端的各种输出信息；所述处理器执行所述计算机程序以使所述终端实现基于刚度模型的机器人刚度设计方法的以下步骤：

步骤1，根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型；

步骤2，选择机器人刚度设计的基准位姿；

步骤3，构建包含刚度综合评价函数、约束条件以及初始值的刚度优化综合模型；

步骤4，求解刚度优化综合模型获得刚度设计变量的最优解。

关于每一步的具体限定可以参见上文中对于基于刚度模型的机器人刚度设计方法的限定，在此不再赘述。

作为一种具体示例，在其中一个实施例中，对本发明基于刚度模型的机器人刚度设计方法进行进一步验证说明。

本实施例以一种七自由度串联机器人为例，该机器人的构型及坐标系布局如图2所示，该机器人的连杆参数表如下表1所示。

表1连杆参数表

i	a<sub>i-1</sub>(mm)	α<sub>i-1</sub>(°)	d<sub>i</sub>(mm)	θ<sub>i</sub>(°)	范围
						1	0	0	286	0	±170°
2	0	90°	0	0	±120°
						3	0	-90°	450	0	±170°
4	0	90°	0	0	±120°
						5	0	-90°	450	0	±170°
6	0	90°	0	0	±120°
						7	0	-90°	207	0	±170°

为缩短机器人研发周期，避免在机器人设计时出现“设计-调试-修改”的问题。按照本发明方法对该机器人进行刚度设计，步骤如下：

A:根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型。

A1：根据机器人的机构或结构特点确定机器人刚度设计参数，示范性地，本实施例假设除关节扭转刚度外，由机器人关节倾覆刚度引起的弹性变形不可忽略。所以，本实施例需要对机器人关节的扭转刚度和倾覆刚度进行刚度设计。

A2：依据上述分析，采用虚拟关节法构建机器人刚度模型，由于在刚度设计时需要考虑关节扭转刚度和倾覆刚度，所以机器人每一个驱动关节可以等效为三个虚拟关节，分别对应一个扭转刚度和两个倾覆刚度。如图3所示，所涉及的机器人刚度模型的虚拟关节数由7(驱动关节数目)扩展为21个。O₀表示机器人基坐标系，O₁,…,O₇表示机器人驱动关节坐标系，O_v1,…,O_v18表示扩展后添加的虚拟坐标系，其与驱动关节坐标系原点重合。扩展后的机器人运动学模型可以使用mDH变换表示，为了遵循变换原则，防止自由度降维，构造不对称构型。在机器人水平关节处添加三个附加坐标系，用于构造不对称构型，如O_v3,O_v8,O_v13坐标系。最终，可以获得一个具有25个坐标系的21自由度的扩展运动学模型，如图4所示。依据图4所示的运动学模型，对七自由度机器人进行刚度建模。本步骤所涉及的机器人刚度建模可通过数值分析软件MATLAB实现。

由于外力引起的机器人柔性变形满足机器人微分运动条件，所以由外力引起的虚拟关节柔性变形满足以下公式：

Γ＝K_ΘΔΘ (33)

式中，K_Θ＝diag.([k₁,k₂,…,k_n])表示虚拟关节空间刚度矩阵，k_i表示第i个虚拟关节的刚度，ΔΘ表示虚拟关节柔性变形，Γ表示机器人虚拟关节空间所受外力；

机器人虚拟关节空间受力到机器人末端执行器受力的映射为：

Γ＝J^TF (34)

式中，F表示机器人末端执行器所受外力，J表示机器人的雅克比矩阵；

机器人末端执行器所受外力与末端柔性变形的关系表示为：

F＝K_XΔX (35)

式中，K_X表示机器人笛卡尔空间刚度矩阵，ΔX表示机器人末端在笛卡尔空间中的柔性变形；

将公式(1)相对于虚拟关节位移Θ进行求导，表示如下：

式中，

为机器人刚度矩阵的补充刚度矩阵；

所以机器人刚度模型可以表示如下：

K_X＝J^-T(K_Θ-K_C)J^-1 (37)

忽略补充刚度矩阵对整机刚度矩阵的影响，则机器人刚度模型为：

K_X＝J^-TK_ΘJ^-1 (38)

C_X＝JC_ΘJ^T (39)

式中，

分别表示机器人笛卡尔空间和虚拟关节空间的柔度矩阵；机器人虚拟关节刚度与末端弹性变形以及外力的关系为：

B:选择机器人刚度设计的基准位姿，本步骤可通过数值分析软件MATLAB实现。

B1:确定选取基准位姿的机器人性能指标，机器人刚度的决定因素主要有两个：一是机器人的位姿。二是机器人各虚拟关节的刚度。所以在进行刚度优化综合时，需选择合理的刚度综合基准位姿，以保证优化结果的合理性。选取基于Frobenius范数的雅克比矩阵条件数的倒数

作为选取基准位姿的指标，如下式(41)所示。

式中，tr(·)表示矩阵的迹，n为雅可比矩阵的维数；

B2:基于机器人性能指标选取基准位姿；采用数值计算软件MATLAB通过蒙特卡洛法遍历机器人工作空间，离散点数量选取为一百万。

该机器人在工作空间内的

最大值为0.8699，对应的各关节角度为Q＝[-65.63°,-86.57°,97.33°,119.44°,4.40°,119.85°,138.02°]^T。选取该位姿作为机器人刚度设计的基准位姿。

C：构建刚度优化综合模型，本步骤可通过数值分析软件MATLAB实现。

C1：构建刚度综合评价函数。

本实施例分别采用三种刚度综合评价函数对机器人进行刚度设计，刚度综合评价函数构建如下：

S1：刚度最低化单目标评价函数。

S2：误差波动最小化单目标评价函数。

假定机器人工作轨迹由以下五个位姿组成，分别为P₁、P₂、P₃、P₄和P₅，这五个位姿对应的关节位移为：

则误差波动最小化单目标评价函数为：

式中，kx_i,ky_i,kz_i表示机器人在节点i上的沿x,y,z三个方向的刚度；

S3：综合考虑刚度和误差波动的多目标评价函数。

本实施例中假设λ₁＝λ₂＝1，则评价函数可表示如下：

式中，f₁和

分别表示刚度最小化单目标函数和最优值；f₂和

分别表示误差波动最小化单目标函数和最优值。

C2：设定约束条件。

约束条件包括关节空间刚度约束和笛卡尔空间刚度约束两部分，关节空间刚度约束是指关节刚度应低于所能达到的最高值，示例性地，构建关节空间约束：

笛卡尔空间刚度约束是指机器人末端刚度应小于某一设定值，示例性地，机器人末端刚度应小于75000N/m，则：

kx-75000≤0 (47)

ky-75000≤0 (48)

kz-75000≤0 (49)

C3：选取设计变量初始值。

在选定基准位姿后，机器人的刚度性能取决于刚度设计参数的初始值，将所设计选取的传动、支撑等元件刚度性能作为优化变量的初始值。示例性地，该机器人各虚拟关节刚度优化参数初始值为：

C4：机器人刚度优化综合模型可以描述为：

求设计变量矢量x＝[k₁,k₂,…,k₂₁]^T，使

D：求解机器人刚度优化综合模型，本步骤可通过数值分析软件MATLAB实现。

采用MATLAB优化工具箱中的有约束最小化函数来求解机器人刚度优化综合模型，获得机器人刚度设计变量的最优值。

S1：刚度最低化单目标评价函数的求解结果为：

x₀＝[47171,186719,186719,47171,186719,186719,12562,260230,260230,12562,260230,260230,3738,

99209,99209,3738,99209,99209,3738,99209,99209]^T(Nm/rad)

S2：误差波动最小化单目标评价函数的求解结果为：

S3：综合考虑刚度和误差波动的多目标评价函数的求解结果为：

作为一种具体示例，在其中一个实施例中，提供了一种终端，该终端包括存储器(1)、输入单元(2)、显示单元(3)、处理器(4)；所述存储器(1)用于储存计算机程序；所述输入单元(2)用于接收用户输入的各种指令或参数；所述显示单元(3)用于显示终端的各种输出信息；所述处理器(4)执行所述计算机程序以使所述终端实现所述的一种基于刚度模型的机器人刚度设计方法。

综上，本发明在刚度设计时不仅能考虑关节扭转刚度还能考虑关节倾覆刚度，能够适用于多自由度机器人的刚度设计，使机器人刚度设计或优化综合理论更加完善，避免了结构设计中的偶然性和盲目性，使机器人刚度和结构设计更加合理，对降低机器人制造成本有重要意义。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征及优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (5)

1.一种基于刚度模型的机器人刚度设计方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1，根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型；

步骤2，选择机器人刚度设计的基准位姿；

步骤3，构建包含刚度综合评价函数、约束条件以及初始值的刚度优化综合模型；具体过程包括：

步骤3-1，构建刚度综合评价函数，包括：

S1：刚度最小化单目标评价函数

该评价函数中，用各关节刚度之和表示其刚度的高低，公式如下：

式中，k_i为第i关节的刚度，n为关节总数；

S2：误差波动最小化单目标评价函数

将典型轨迹离散为m个节点，该评价函数为：

式中，kx_i,ky_i,kz_i分别表示机器人在节点i上的沿x,y,z三个方向的刚度，kx^c,ky^c,kz^c分别为设定的沿x,y,z三个方向的刚度；

S3：综合刚度和误差波动的多目标评价函数

用于平衡上面的两种评价函数，该多目标评价函数为：

式中，f₁和

分别表示刚度最小化单目标函数和最优值；f₂和

分别表示误差波动最小化单目标函数和最优值；λ₁和λ₂为加权系数，可根据设计要求选择；

步骤3-2，设定约束条件，该约束条件包括关节空间刚度约束和笛卡尔空间刚度约束；

其中，关节空间刚度约束是指关节刚度应低于所能达到的最高值；

式中，

表示机器人刚度参数能够达到的最大刚度；

笛卡尔空间刚度约束是指机器人末端刚度应小于某一设定值：

g_x＝kx-kx^c≤0 (5)

g_y＝ky-ky^c≤0 (6)

g_z＝kz-kz^c≤0 (7)

步骤3-3，选取刚度设计变量初始值：

将每个关节对应的所设计选取的传动或支撑或其他元件的刚度值，作为该关节刚度设计变量的初始值；

步骤3-4，构建机器人刚度优化综合模型，该模型描述为：

求取设计变量矢量x＝[k₁,k₂,…,k_n]^T，使得满足：

步骤4，求解刚度优化综合模型获得刚度设计变量的最优解。

2.根据权利要求1所述的基于刚度模型的机器人刚度设计方法，其特征在于，步骤1所述根据机器人结构及刚度设计参数建立机器人刚度模型，具体过程包括：

步骤1-1，确定机器人刚度设计参数，包括关节或连杆的扭转刚度、倾覆刚度、线性刚度、耦合刚度；

步骤1-2，将步骤1-1确定的机器人刚度设计参数等效为虚拟关节，采用虚拟关节法构建机器人刚度模型：

由外力引起的虚拟关节柔性变形满足以下公式：

Γ＝K_ΘΔΘ (9)

式中，K_Θ＝diag.([k₁,k₂,…,k_n])表示虚拟关节空间刚度矩阵，k_i表示第i个虚拟关节的刚度，ΔΘ表示虚拟关节柔性变形，Γ表示机器人虚拟关节空间所受外力；

机器人虚拟关节空间受力到机器人末端执行器受力的映射为：

Γ＝J^TF (10)

式中，F表示机器人末端执行器所受外力，J表示机器人的雅克比矩阵；

机器人末端执行器所受外力与末端柔性变形的关系表示为：

F＝K_XΔX (11)

式中，K_X表示机器人笛卡尔空间刚度矩阵，ΔX表示机器人末端在笛卡尔空间中的柔性变形；

将公式(9)相对于虚拟关节位移Θ进行求导，表示如下：

式中，

为机器人刚度矩阵的补充刚度矩阵；

忽略补充刚度矩阵对整机刚度矩阵的影响，则机器人刚度模型为：

K_X＝J^-TK_ΘJ^-1 (13)

C_X＝JC_ΘJ^T (14)

式中，

分别表示机器人笛卡尔空间和虚拟关节空间的柔度矩阵；

机器人虚拟关节刚度与末端弹性变形以及外力的关系为：

3.根据权利要求2所述的基于刚度模型的机器人刚度设计方法，其特征在于，步骤2所述选择机器人刚度设计的基准位姿，具体过程包括：

步骤2-1，确定选取基准位姿的机器人性能指标：选取基于Frobenius范数的雅克比矩阵条件数的倒数

作为选取基准位姿的指标，如下式：

式中，tr(·)表示矩阵的迹，n为雅可比矩阵的维数；

步骤2-2，基于所述机器人性能指标选取基准位姿：

通过蒙特卡洛法遍历机器人工作空间，寻找

最大值的机器人位姿，即机器人灵活性最优位姿，将该位姿作为机器人刚度设计的基准位姿。

4.根据权利要求1所述的基于刚度模型的机器人刚度设计方法，其特征在于，步骤4所述求解刚度优化综合模型获得刚度设计参数的最优解，具体为：利用约束最小化函数求解机器人刚度优化综合模型，获得机器人刚度设计变量的最优值。

5.一种终端，其特征在于，所述终端包括存储器、输入单元、显示单元、处理器；所述存储器用于储存计算机程序；所述输入单元用于接收用户输入的各种指令或参数；所述显示单元用于显示终端的各种输出信息；所述处理器执行所述计算机程序以使所述终端实现权利要求1-4中任一项所述的基于刚度模型的机器人刚度设计方法。

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