CN112560283A - 一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法 - Google Patents

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CN112560283A CN202011551512.9A CN202011551512A CN112560283A CN 112560283 A CN112560283 A CN 112560283A CN 202011551512 A CN202011551512 A CN 202011551512A CN 112560283 A CN112560283 A CN 112560283A
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Abstract

本发明公开一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，用于对结构疲劳寿命的分析和结构安全性分析设计中，首先确定未知参数，基于贝叶斯可靠性理论分析得到未知参数的后验分布；然后引入帕累托分布，基于区间边界的不确定性分析强度确定而应力不确定下的区间边界和可靠度；再基于区间边界的不确定性分析应力确定而强度不确定下的区间边界和可靠度；最后基于区间边界的不确定性分析强度和应力均不确定下的区间边界和可靠度；研究了应力不确定、强度不确定和应力与强度均不确定三种失效形式，验证了该方法的有效性和同传统置信可靠度相比较的优越性，此方法可用于对结构疲劳寿命的分析和结构安全性分析设计中。

Description

一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法
技术领域
本发明涉及结构可靠性分析和优化设计以及结构的安全性评估等领域，尤其涉及一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法。
背景技术
结构可靠性是指描述一个结构在给定时期、给定条件下的性能特点的方法，也被用来作为描述一个结构安全的概率的属性。通常，在航空航天结构的设计上，可靠性涉及两类问题：现在结构的可靠性(评估或分析)和未来或未完成的结构的可靠性(预测)。结构可靠性的分析和预测同结构工程中力学分析是完全不同的。前者对应力结果和构件变形等行为关注较少，而更关注这些行为的不确定性与应力、载荷和材料强度的相互作用。也就是说，我们需要考虑结构设计过程中的各种不确定性，这些不确定性会导致系统响应的不确定性，从而导致未知的结构失效和影像整个系统的可靠性
可靠性的概念在最近几年里得到了广泛的研究，尤其是基于可靠性的结构优化设计。目前，传统概率可靠性分析方法假定不确定性参数的概率分布函数是精确已知的。分析这些特点和传递这些不确定性是一项挑战也是可靠性分析和基于可靠性优化设计的关键所在。对于概率可靠性分析，先后出现了一阶可靠性模型、二阶可靠性模型、直接积分法和蒙特卡洛法等。虽然有上述提到的方法，但是要首先确定概率密度函数才能得到最终的可靠性，然而并不是在任何情况下我们都可以获得参数的概率密度函数。在航空航天领域，我们能够使用的样本的尺寸通常都很小，所以得到不确定参数的真实统计数据是很困难的。为了解决概率方法的难题，诸如区间集法和凸模型法等非概率方法登上历史的舞台。在过去的十年里，非概率区间理论在多个方向发展，包括不确定性传播分析，结构优化设计和非概率可靠性分析。虽然非概率方法能够有效地解决概率方法面临的困境，但是实现非概率区间可靠性分析的前提是获得不确定性参数的区间。因此，基于非概率区间模型的可靠性不能被新的试样更新。同时，由于样本的限制，通常给出的区间范围相对较宽且比较保守，越来越多的证据表明，区间算法本身将会继续在可靠性分析中引入保守性。而且，先前基于非概率可靠性模型的研究未能通过引入新样本的方法缩小区间。更重要的是，现有的区间非概率不能对所获得的可靠度得出一个可信度。
为了解决传统概率可靠度分析方法和非概率区间可靠度模型的可信度和模型更新的问题，本发明提出了一种提出一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度的分析方法。
发明内容
针对上述问题，本发明提供了一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，以解决传统概率可靠度分析方法和非概率区间可靠度模型的可信度和模型更新的不足，基于贝叶斯理论，提出一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度的分析方法，用于分析具有区间参数的结构安全性。
为了解决上述问题，本发明提供了一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，用于对结构疲劳寿命的分析和结构安全性分析设计中，包括以下实现步骤：
步骤一：确定未知参数，基于贝叶斯可靠性理论分析得到未知参数的后验分布；
步骤二：引入帕累托分布，基于区间边界的不确定性分析强度确定而应力不确定下的区间边界和可靠度；
步骤三：基于区间边界的不确定性分析应力确定而强度不确定下的区间边界和可靠度；
步骤四：基于区间边界的不确定性分析强度和应力均不确定下的区间边界和可靠度；
进一步改进在于：在所述步骤一中，通过基于新样本更新得到的近似概率密度函数来进行描述表示变量不确定性的参数的概率密度函数；所述近似概率密度函数为：
Figure BDA0002858074630000031
式中，m(y)＝∫f(S|θ)p(θ)dθ，θ为不确定变量，x为样本；假设结构应力总体的样本分布为高斯分布，且方差σ2已知，均值μ的先验分布也为高斯分布N(μ0,σ0)，样本为S1,S2,...,SN；根据公式，得到参数μ的后验分布：
Figure BDA0002858074630000041
在获得参数μ的后验分布之后，基于后验分布得到参数μ的可信区间，从而计算相应的可靠度，即可信贝叶斯可靠度。
进一步改进在于：在所述步骤二中引入帕累托分布，基于区间边界的不确定性分析强度确定而应力不确定下的区间边界和可靠度具体包括：
假设应力变量的不确定性通过区间来表示
Figure BDA0002858074630000042
式中，
Figure BDA0002858074630000043
为区间长度；首先确定区间下界和区间长度来获得可靠度，为了简化，假设区间下界S已知而区间上界
Figure BDA0002858074630000045
未知，则公式(3)表示为
Figure BDA0002858074630000044
式中，S为常数，公式中的未知量ΔS转化为公式中的θ，确定ΔS和确定参数θ是等价的；如果结构强度是区间变量，则区间下界与应力和挠度等是直接相关的，上述区间进一步简化为
Figure BDA0002858074630000051
引入帕累托分布作为参数
Figure BDA0002858074630000052
的先验分布，来确定可靠地建立结构可靠性模型，其概率密度函数为
Figure BDA0002858074630000053
β是不确定变量
Figure BDA0002858074630000054
的最小可能值，γ是形状参数，称作尾部指数，二者都是常数；
Figure BDA0002858074630000055
用来强调未知量
Figure BDA0002858074630000056
为一个不确定变量，以区别于参数确定的置信可靠度分析；基于贝叶斯公式得到
Figure BDA0002858074630000057
式中，
Figure BDA0002858074630000058
表明参数
Figure BDA0002858074630000059
的后验分布是关于参数β和
Figure BDA00028580746300000510
的帕累托分布；
给定置信度1-α，参数
Figure BDA00028580746300000511
的值由下式获得
Figure BDA00028580746300000512
从而得到θ在置信水平1-α下的值
Figure BDA00028580746300000513
由于应力下界已知，在给定置信水平1-α下的应力区间是确定的，计算带有1-α置信度的可靠度
Figure BDA0002858074630000061
进一步改进在于：若果无法确定参数
Figure BDA0002858074630000062
确切的先验分布，只确定其先验区间；或者，假设参数
Figure BDA0002858074630000063
在该区间上取任意值都是等可能的，则基于贝叶斯林轮得到的后验分布为
Figure BDA0002858074630000064
给定置信水平1-α，参数
Figure BDA0002858074630000065
的值由下式获得
Figure BDA0002858074630000066
从而得到
Figure BDA0002858074630000067
在置信水平1-α下的值
Figure BDA0002858074630000068
根据公式，相应的可靠度表达式为
Figure BDA0002858074630000069
若果用区间
Figure BDA00028580746300000610
表示区间上界θ的不确定性，则后验分布为
Figure BDA0002858074630000071
给定置信水平1-α，θ1-α的值为
Figure BDA0002858074630000072
在置信水平1-α显得可靠度为
Figure BDA0002858074630000073
进一步改进在于：在所述步骤三中，基于区间边界的不确定性分析应力确定而强度不确定下的区间边界和可靠度具体包括：
如果结构强度为一个不确定变量，用区间描述为
Figure BDA0002858074630000074
同公式，假设参数θ的概率密度函数为
Figure BDA0002858074630000075
其函数图像与公式所表达的函数图像在形状上是对称的，β是不确定变量
Figure BDA0002858074630000076
的最小可能值，γ是形状参数，称作尾部指数，二者都是常数；基于贝叶斯理论得到θ的后验分布
Figure BDA0002858074630000081
Figure BDA0002858074630000082
式中，
Figure BDA0002858074630000083
给定置信水平1-α，θ的值由下式确定
Figure BDA0002858074630000084
在置信水平1-α下的θ值
Figure BDA0002858074630000085
得到参数的置信估计之后，基于区间非概率可靠度分析方法得到具有给定置信水平的可靠度
Figure BDA0002858074630000086
如果不知道参数θ确切的先验分布，使用区间
Figure BDA0002858074630000087
量化参数θ的不确定性，基于贝叶斯理论，得到其后验分布
Figure BDA0002858074630000091
给定置信水平1-α，θ的值由下式确定
Figure BDA0002858074630000092
解出公式，得到θ1-α
Figure BDA0002858074630000093
获得非概率可靠度
Figure BDA0002858074630000094
进一步改进在于：在所述步骤四中，基于区间边界的不确定性分析应力和强度均不确定下的区间边界和可靠度具体包括：
首先需要确定低置信水平下强度区间的下界和高置信水平下的应力上界：
假设应力S有区间SI＝[SL,Sθ]表示，下界SL确定而上界Sθ未知，且Sθ用区间表示为
Figure BDA0002858074630000101
强度用区间RI＝[Rθ,RU]表示，上界RU确定而下界Rθ由区间
Figure BDA0002858074630000102
表示，给定置信水平1-α，分别基于公式和公式得到Sθ,1-α和Rθ,1-α
Figure BDA0002858074630000103
确定Sθ,1-α和Rθ,1-α之后，计算非概率可靠度如下
Figure BDA0002858074630000104
由于应力和强度相互独立，则失效概率为
Figure BDA0002858074630000105
本发明的有益效果是：本发明一方面能够弥补传统概率可靠度分析方法和非概率区间可靠度模型的可信度和模型更新的不足，既能实现模型更新又能对所得的可靠度提供一个可信度；另一方面，本发明所给出的方法能够通过引入新样本的方式缩小样本的区间，从而降低所得区间的保守性，从而有利于提高计算的效率和精度。
本发明公开的一种用于区间参数结构的非概率可信贝叶斯可靠度分析方法，用于研究具有区间参数的结构安全性。本方法主要由样本区间边界的先验分布和后验分布两部分组成，先验分布是基于经验假设的区间边界的不确定性，后验分布是基于贝叶斯理论和置信可靠度分析得到的更新的样本区间。本发明集中研究了应力不确定、强度不确定和应力与强度均不确定三种失效形式，验证了该方法的有效性和同传统置信可靠度相比较的优越性，这种方法将来可用于对结构疲劳寿命的分析和结构安全性分析设计中。
附图说明
图1为本发明的目标结构受力图。
图2为本发明的校核试验和验证试验的示意图。
图3为本发明的三种情况下区间下界的后验分布曲线。
图4为本发明的非概率贝叶斯可靠度随显著性水平的变化趋势。
具体实施方式
为了加深对本发明的理解，下面将结合实施例对本发明做进一步详述，本实施例仅用于解释本发明，并不构成对本发明保护范围的限定。
实施例一
本实施例提供了一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，用于对结构疲劳寿命的分析和结构安全性分析设计中，包括以下步骤：
步骤一：确定未知参数，基于贝叶斯可靠性理论分析得到未知参数的后验分布；
步骤二：引入帕累托分布，基于区间边界的不确定性分析强度确定而应力不确定下的区间边界和可靠度；
步骤三：基于区间边界的不确定性分析应力确定而强度不确定下的区间边界和可靠度；
步骤四：基于区间边界的不确定性分析强度和应力均不确定下的区间边界和可靠度；
在步骤一种，确定未知变量和相应的不确定参数，基于贝叶斯可靠性理论得到后验分布：
贝叶斯可靠性的基石是基于先前的经验或数据获得的先验分布和更新之后的后验分布相结合的贝叶斯推论，表示变量不确定性的参数的概率密度函数是不确定的；也就是说，我们对于参数的取值是不确定的，这种不确定性可通过基于新样本更新得到的近似概率密度函数进行描述；这一近似概率密度函数为：
Figure BDA0002858074630000121
式中，m(y)＝∫f(S|θ)p(θ)dθ，θ为不确定变量，x为样本。假设结构应力总体的样本分布为高斯分布，且方差σ2已知，均值μ的先验分布也为高斯分布N(μ0,σ0)，样本为S1,S2,...,SN。根据公式，可以得到参数μ的后验分布：
Figure BDA0002858074630000131
获得参数μ的后验分布之后，可以基于后验分布得到参数μ的可信区间，从而计算相应的可靠度，即可信贝叶斯可靠度。
在所述步骤二中，引入帕累托分布，如果所给不确定变量的区间上界对可靠度的分析有意义，则可基于区间边界的不确定性分析强度确定而应力不确定下的区间边界和可靠度：
假设应力变量的不确定性可以通过区间来表示
Figure BDA0002858074630000132
式中，
Figure BDA0002858074630000133
为区间长度。事实上，我们需要确定区间下界和区间长度来获得可靠度。为了简化，假设区间下界S已知而区间上界
Figure BDA0002858074630000134
未知，则公式(3)可表示为
Figure BDA0002858074630000135
式中，S为常数，公式中的未知量ΔS就可以转化为公式中的θ，确定ΔS和确定参数θ是等价的。这种转化在结构可靠度分析中是合理的，即通常情况下，结构输出的上限与应力、挠度或加速度等直接相关。因此，在这种情况下确定区间下界将是一个挑战。同样地，如果结构强度是区间变量，则区间下界与应力和挠度等是直接相关的，确定区间上界将是一个挑战。为了简化问题且不失一般性，上述区间可进一步简化为
Figure BDA0002858074630000141
为了可靠地建立结构可靠性模型，我们引入了帕累托分布作为参数
Figure BDA0002858074630000142
的先验分布，其概率密度函数为
Figure BDA0002858074630000143
β是不确定变量
Figure BDA0002858074630000144
的最小可能值，γ是形状参数，称作尾部指数，二者都是常数。
Figure BDA0002858074630000145
用来强调未知量
Figure BDA0002858074630000146
为一个不确定变量，这区别于参数确定的置信可靠度分析。基于贝叶斯公式可以得到
Figure BDA0002858074630000147
式中，
Figure BDA0002858074630000148
表明参数
Figure BDA0002858074630000149
的后验分布是关于参数β和
Figure BDA00028580746300001410
的帕累托分布。
给定置信度1-α，参数
Figure BDA00028580746300001411
的值由下式获得
Figure BDA00028580746300001412
从而可以得到θ在置信水平1-α下的值
Figure BDA0002858074630000151
由于应力下界已知，所以在给定置信水平1-α下的应力区间是确定的，基于此，我们可以计算带有1-α置信度的可靠度
Figure BDA0002858074630000152
如果不知道参数
Figure BDA0002858074630000153
确切的先验分布，只知道其先验区间
Figure BDA0002858074630000154
或者，假设参数
Figure BDA0002858074630000155
在该区间上取任意值都是等可能的。则基于贝叶斯林轮得到的后验分布为
Figure BDA0002858074630000156
给定置信水平1-α，参数
Figure BDA0002858074630000157
的值由下式获得
Figure BDA0002858074630000158
从而可以得到
Figure BDA0002858074630000159
在置信水平1-α下的值
Figure BDA0002858074630000161
根据公式，相应的可靠度表达式为
Figure BDA0002858074630000162
事实上，如果我们用区间
Figure BDA0002858074630000163
表示区间上界θ的不确定性，则后验分布为
Figure BDA0002858074630000164
同样地，给定置信水平1-α，θ1-α的值为
Figure BDA0002858074630000165
相应地，在置信水平1-α显得可靠度为
Figure BDA0002858074630000166
在所述步骤三中，所给不确定变量的区间下界对可靠度分析有意义，则可基于区间边界的不确定性分析应力确定而强度不确定下的区间边界和可靠度：
如果结构强度是一个不确定变量，用区间描述为
Figure BDA0002858074630000171
同公式，假设参数θ的概率密度函数为
Figure BDA0002858074630000172
其函数图像与公式所表达的函数图像在形状上是对称的，β是不确定变量
Figure BDA0002858074630000173
的最小可能值，γ是形状参数，称作尾部指数，二者都是常数。基于贝叶斯理论得到θ的后验分布
Figure BDA0002858074630000174
需要指出的是，公式和公式是完全不同的，且直接对分母进行积分是比较困难的。本发明找到了一条捷径如下
Figure BDA0002858074630000175
式中，
Figure BDA0002858074630000176
虽然上式并不严格成立，但是它只存在一个因子的差异，且分布趋势完全正确，可用于工程计算。给定置信水平1-α，θ的值由下式确定
Figure BDA0002858074630000181
在置信水平1-α下的θ值
Figure BDA0002858074630000182
得到参数的置信估计之后，基于区间非概率可靠度分析方法可以得到具有给定置信水平的可靠度
Figure BDA0002858074630000183
类似地，如果不知道参数θ确切的先验分布，使用区间
Figure BDA0002858074630000184
量化参数θ的不确定性，基于贝叶斯理论，我们可以得到其后验分布
Figure BDA0002858074630000185
给定置信水平1-α，θ的值由下式确定
Figure BDA0002858074630000191
解出公式，得到θ1-α
Figure BDA0002858074630000192
获得非概率可靠度
Figure BDA0002858074630000193
在所述步骤四中，对于计算可靠度时需要比较的两个不确定变量，类似于应力和强度的比较，则可基于区间边界的不确定性分析应力和强度均不确定下的区间边界和可靠度具体包括：
很多情况下，应力和强度都是区间变量。从上述的推导中，应力的区间上界和强度的区间下界对可靠度分析和可信度评估是有直接意义的。当我们讨论可靠度的时候，我们关心的是结构安全的概率至少是某个值，即结构的可靠度比Ps更大。因此，我们需要确定低置信水平下强度区间的下界和高置信水平下的应力上界。
假设应力S有区间SI＝[SL,Sθ]表示，下界SL确定而上界Sθ未知，且Sθ可用区间表示为
Figure BDA0002858074630000194
类似地，强度用区间RI＝[Rθ,RU]表示，上界RU确定而下界Rθ由区间
Figure BDA0002858074630000195
表示，给定置信水平1-α，分别基于公式和公式可以得到Sθ,1-α和Rθ,1-α
Figure BDA0002858074630000201
确定Sθ,1-α和Rθ,1-α之后，计算非概率可靠度如下
Figure BDA0002858074630000202
由于应力和强度相互独立，则失效概率
Figure BDA0002858074630000203
实施例二
如图1-图4所示，本实施例针对一个静态模型验证试验对所提出的用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法进行验证。之后，为了验证所提出的用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，本实施例针对静态模型验证试验进行了可靠度分析的验证。
在模型验证试验中，目标结构受力图如图1所示，需要计算出梁BC的中点P的垂向位移小于3mm的概率。弹性模量是该验证试验中唯一的一个不确定变量，所有的杆件(AB,BD,CD)和梁(BC)材料相同。图2为校核试验和验证试验的示意图，其中校核试验的样本数据如表1所示，样本容量依次为5，20，30，该试验的数据用来确定先验分布；验证试验的样本数据如表2所示，样本容量依次为2，4，10，该试验的数据用来更新区间参数的概率密度函数。由于在该模型中，P点的垂向位移与弹性模量呈现相反的趋势。因此，我们需要估计弹性模量的最小值从而提高可靠度的可信度，则我们可以将样本区间的下界作为不确定参数，同上述强度不确定的情况类似进行可靠度分析。图3给出了三种情况下区间下界的后验分布曲线。基于后验分布，我们就可以计算出在给定置信水平下未知参数的值，从而使我们得到的可靠度具有特定的可信度。表3和表4分别给出了在置信水平为90％和99％下的非概率贝叶斯可靠度。对比表3和表4，当置信水平由90％增加到99％时，非概率贝叶斯可靠度有所降低。图4给出了非概率贝叶斯可靠度随显著性水平的变化趋势，对于Case2和Case3两种情况，变化趋势和表3与表4对比的结论相同，而对Case1的情况，图中的结果表明在我们给定的先验区间下，该结构不会失效。
表1
Figure BDA0002858074630000211
表2
Figure BDA0002858074630000221
表3
Figure BDA0002858074630000222
表4
Figure BDA0002858074630000223
Figure BDA0002858074630000231
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (6)

1.一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，用于对结构疲劳寿命的分析和结构安全性分析设计中，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一：确定未知参数，基于贝叶斯可靠性理论分析得到未知参数的后验分布；
步骤二：引入帕累托分布，基于区间边界的不确定性分析强度确定而应力不确定下的区间边界和可靠度；
步骤三：基于区间边界的不确定性分析应力确定而强度不确定下的区间边界和可靠度；
步骤四：基于区间边界的不确定性分析强度和应力均不确定下的区间边界和可靠度。
2.根据权利要求1所述的一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，其特征在于：在所述步骤一中，通过基于新样本更新得到的近似概率密度函数来进行描述表示变量不确定性的参数的概率密度函数；所述近似概率密度函数为：
Figure FDA0002858074620000011
式中，m(y)＝∫f(S|θ)p(θ)dθ，θ为不确定变量，x为样本；假设结构应力总体的样本分布为高斯分布，且方差σ2已知，均值μ的先验分布也为高斯分布N(μ0,σ0)，样本为S1,S2,...,SN；根据公式，得到参数μ的后验分布：
Figure FDA0002858074620000021
在获得参数μ的后验分布之后，基于后验分布得到参数μ的可信区间，从而计算相应的可靠度，即可信贝叶斯可靠度。
3.根据权利要求1所述的一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，其特征在于：在所述步骤二中引入帕累托分布，基于区间边界的不确定性分析强度确定而应力不确定下的区间边界和可靠度具体包括：
假设应力变量的不确定性通过区间来表示
Figure FDA0002858074620000022
式中，
Figure FDA0002858074620000023
为区间长度；首先确定区间下界和区间长度来获得可靠度，为了简化，假设区间下界S已知而区间上界
Figure FDA0002858074620000025
未知，则公式(3)表示为
Figure FDA0002858074620000024
式中，S为常数，公式中的未知量ΔS转化为公式中的θ，确定ΔS和确定参数θ是等价的；如果结构强度是区间变量，则区间下界与应力和挠度等是直接相关的，上述区间进一步简化为
Figure FDA0002858074620000031
引入帕累托分布作为参数
Figure FDA0002858074620000032
的先验分布，来确定可靠地建立结构可靠性模型，其概率密度函数为
Figure FDA0002858074620000033
β是不确定变量
Figure FDA0002858074620000034
的最小可能值，γ是形状参数，称作尾部指数，二者都是常数；
Figure FDA0002858074620000035
用来强调未知量
Figure FDA0002858074620000036
为一个不确定变量，以区别于参数确定的置信可靠度分析；基于贝叶斯公式得到
Figure FDA0002858074620000037
式中，
Figure FDA0002858074620000038
表明参数
Figure FDA0002858074620000039
的后验分布是关于参数β和
Figure FDA00028580746200000310
的帕累托分布；
给定置信度1-α，参数
Figure FDA00028580746200000311
的值由下式获得
Figure FDA00028580746200000312
从而得到θ在置信水平1-α下的值
Figure FDA00028580746200000313
由于应力下界已知，在给定置信水平1-α下的应力区间是确定的，计算带有1-α置信度的可靠度
Figure FDA0002858074620000041
4.根据权利要求3所述的一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，其特征在于：若果无法确定参数
Figure FDA0002858074620000042
确切的先验分布，只确定其先验区间；或者，假设参数
Figure FDA0002858074620000043
在该区间上取任意值都是等可能的，则基于贝叶斯林轮得到的后验分布为
Figure FDA0002858074620000044
给定置信水平1-α，参数
Figure FDA0002858074620000045
的值由下式获得
Figure FDA0002858074620000046
从而得到
Figure FDA0002858074620000047
在置信水平1-α下的值
Figure FDA0002858074620000048
根据公式，相应的可靠度表达式为
Figure FDA0002858074620000049
若果用区间
Figure FDA00028580746200000410
表示区间上界θ的不确定性，则后验分布为
Figure FDA0002858074620000051
给定置信水平1-α，θ1-α的值为
Figure FDA0002858074620000052
在置信水平1-α显得可靠度为
Figure FDA0002858074620000053
5.根据权利要求1所述的一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，其特征在于：在所述步骤三中，基于区间边界的不确定性分析应力确定而强度不确定下的区间边界和可靠度具体包括：如果结构强度为一个不确定变量，用区间描述为
Figure FDA0002858074620000054
同公式，假设参数θ的概率密度函数为
Figure FDA0002858074620000055
其函数图像与公式所表达的函数图像在形状上是对称的，β是不确定变量
Figure FDA0002858074620000061
的最小可能值，γ是形状参数，称作尾部指数，二者都是常数；基于贝叶斯理论得到θ的后验分布
Figure FDA0002858074620000062
Figure FDA0002858074620000063
式中，
Figure FDA0002858074620000064
给定置信水平1-α，θ的值由下式确定
Figure FDA0002858074620000065
在置信水平1-α下的θ值
Figure FDA0002858074620000066
得到参数的置信估计之后，基于区间非概率可靠度分析方法得到具有给定置信水平的可靠度
Figure FDA0002858074620000067
如果不知道参数θ确切的先验分布，使用区间
Figure FDA0002858074620000068
量化参数θ的不确定性，基于贝叶斯理论，得到其后验分布
Figure FDA0002858074620000071
给定置信水平1-α，θ的值由下式确定
Figure FDA0002858074620000072
解出公式，得到θ1-α
Figure FDA0002858074620000073
获得非概率可靠度
Figure FDA0002858074620000074
6.根据权利要求1所述的一种用于区间参数结构的可信贝叶斯可靠度分析方法，其特征在于：在所述步骤四中，基于区间边界的不确定性分析应力和强度均不确定下的区间边界和可靠度具体包括：
首先需要确定低置信水平下强度区间的下界和高置信水平下的应力上界：
假设应力S有区间SI＝[SL,Sθ]表示，下界SL确定而上界Sθ未知，且Sθ用区间表示为
Figure FDA0002858074620000081
强度用区间RI＝[Rθ,RU]表示，上界RU确定而下界Rθ由区间
Figure FDA0002858074620000082
表示，给定置信水平1-α，分别基于公式和公式得到Sθ,1-α和Rθ,1-α
Figure FDA0002858074620000083
确定Sθ,1-α和Rθ,1-α之后，计算非概率可靠度如下
Figure FDA0002858074620000084
由于应力和强度相互独立，则失效概率为
Figure FDA0002858074620000085
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