CN112541264B - 一种基于隐式建模的高效曲面增厚方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于隐式建模的高效曲面增厚方法，首先获取目标板材的几何形态，对已知几何表达的板材，对其几何表达直接采样，获取精确点云信息；对未知几何表达的实体模型进行测量，提取表面点云信息；其次，基于隐式建模将所得的点云信息拟合成隐式曲面；再次，使用近似距离将隐曲面表达为符号距离函数，再用简单的代数加、减生成隐式曲面的偏移曲面；再对偏移曲面进行减操作，生成厚度均匀的板材几何形态；最后根据得到的板材几何形态，利用增材制作技术生成板材实物。本发明利用隐式隐函数几何表达能力强、几何体混合方法灵活、算法对并行计算友好等优点，通过将普通隐曲面转换为符号距离函数，达到曲面快速增厚生成板材并付诸制造的目的。

Description

一种基于隐式建模的高效曲面增厚方法

技术领域

本发明属于计算机图形学、几何重建技术领域，具体涉及一种基于隐式建模的高效曲面增厚方法。

背景技术

板材通常指有均匀厚度的扁平矩形材料，亦可是具有厚度的各种造型的薄板。对于形状复杂的板材，一般先使用CAD方法来设计其造型曲面，再通过某种方式增厚曲面，来达到可生产的目的。

而曲面是CAD/CAM中基本几何体，被大量用于几何造型设计和重建。但曲面是无厚度的几何体，在数学上不包含厚度信息。如果需要对此种曲面进行增材制造，必需先将无厚度的曲面转化为有厚度的薄板，其厚度均匀且不自交。现实中的薄板通常含有内部结构，与之对应的增厚薄板也需要有内嵌结构。

目前的常用方法是使用显函数表达曲面，例如参数曲面和网格等，尽管这些方法易于几何造型，但不易进行增厚处理，需要大量重新参数化运算。对于复杂几何曲面，这种方法的计算量极大甚至不可行。使用参数曲面的方法将复杂内部结构嵌入增厚薄板代价更大。

为了对曲面进行增厚，现有方法需要克服或避免计算量过大的重新参数化运算。

发明内容

针对上述问题，本发明提供一种基于隐式建模的高效曲面增厚方法，基于隐式建模，避免了重新参数化，提高了转换效率。

实现本发明目的的技术解决方案为：

一种基于隐式建模的高效曲面增厚方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：对已知几何表达的板材，对其几何表达直接采样，获取精确点云信息；对未知几何表达的实体模型进行测量，提取表面点云信息；

步骤2：基于隐式建模将所得的点云信息拟合成隐式曲面；

步骤3：使用近似距离将隐曲面表达为符号距离函数，再用简单的代数加、减生成隐式曲面的偏移曲面；

步骤4：对得到的偏移曲面进行减操作，生成厚度均匀的隐式薄板曲面；

步骤5：根据得到的隐式薄板曲面，利用增材制作技术生成板材实物。

进一步地，步骤2的具体操作步骤包括：

步骤21：定义3D空间中的场函数：f:

且当f＝0时表示一个曲面，当f＞0或f＜0时表示实体；

步骤22：根据点云信息，找到一个隐函数f:

使得：

其中，Z(f)是f的0等曲面，d(·,·)是一个距离函数，P_i是点云中一个点；

步骤23：得到该板材的隐几何表达f(x,y,z)＝0，即为该板材的隐式曲面。

进一步地，拟合得到的所述隐式曲面封闭且不自交。

进一步地，步骤3的具体操作步骤包括：

步骤31：令f:

为一隐函数，/>

是空间一点，/>

则P到S的距离可近似表达为近似距离：

步骤32：对任意

令Q∈Z(f)，使得Q＝P-ε，且ε为一足够小的正数，则有：

f(Q)＝f(P-ε)＝0 (3)，

根据泰勒展开式可得：

当ε足够小时，可得：

步骤33：令

为点P到曲面Z(f)的距离，则/>

可得：

其中，

为梯度且该梯度值恒为1；

步骤34：使用隐式混合算子，定义厚度值d，使用代数加法或代数减法，得到与原隐式曲面等距的偏移曲面：

进一步地，步骤4的具体操作步骤包括：定义曲面S的偏移曲面为

和

使得：

其中，Ξ为厚度均匀的隐式薄板曲面，

为符号距离函数，d₀、d₁为距离值，且d₁＞d₀。

本方法与现有技术相比，具有以下有益效果：

第一、本发明的方法以隐函数为数学基础，使用隐几何体表达曲面和实体，通过隐式建模和隐式混合生成内嵌复杂结构的隐式薄板，该方法不仅运算量小、精度高，且对增材制作技术友好，适合在几何造型实体生成和复杂结构增材制造领域进行推广应用。

第二、本发明的方法使用了近似距离生成隐曲面的距离函数，使用有限差分法为计算方法，快速将给定曲面增厚为厚度均匀的薄板。

第三、本发明的方法可以对任意几何形状进行操作，不仅可将复杂结构分解为可并行计算的简单结构高效转换，还可以在转换的同时进行形状编辑，将复杂结构内嵌于薄板中，从而显著提高曲面增厚效率，在增材制作中带来明显效果。

附图说明

图1是隐几何表达为式(9)的隐式实体的示意图；

图2是隐几何表达为式(10)的隐曲面的示意图；

图3(a)-(b)是参数曲面采样并生成隐式实体的例子示意图；

图4(a)-(b)是具体实施方式中d＝0.2时生成的薄板示意图；

图5是隐函数f(x,y)＝(0.8x²-1)²+2y²-1.2的近似距离结果图；

图6(a)-(c)分别为三个根据符号距离的偏移曲面生成的隐式薄板曲面的示例图；

图7为经典Utah茶壶转换后生成的板材实物图。

具体实施方式

为了使本领域的普通技术人员能更好的理解本发明的技术方案，下面结合附图和实施例对本发明的技术方案做进一步的描述。

文中使用“曲面”表示无厚度的几何曲面，“薄板曲面”表示已增厚的几何曲面。

1、隐几何体

隐几何体被定义为3D空间中的场函数：f:

当f＝0时表示一个曲面，当f＞0或f＜0时表示实体。隐几何体表达可以很容易的判断一点是否在其内部、外部或者表面。

例如，附图1为一隐式实体，其隐几何表达为：

附图2为一隐曲面，它是Clebsch曲面的一个局部曲面，其隐几何体表达为：

2、隐混合算子

隐混合算子是一个满足映射关系g:

的复合函数g＝g(f₀,f₁)，其中f₀:/>

和f₁:/>

是隐函数。对于几何重建问题：n＝{2,3}。

再令

和/>

为2个隐几何体，定义隐混合算子/>

则O₀和O₁之间的隐式并、交、减可定义为：

其中，f₀:

f₁:/>

3、隐式重建

隐式重建一般是指隐式曲面重建，是使用隐函数的等曲面拟合数据点的重建技术。

令

为曲面/>

上的n个离散点，则隐式曲面重建旨在找到一个隐函数f:/>

使得：

其中Z(f)是f的0等曲面，d(·,·)是一个距离函数，P_i是点云中一个点；

附图3(a)-(b)给出了一个从参数曲面采样并生成隐式实体的例子，图3(a)为UtahTeapot壶嘴的右半部分，使用一个三次Bezier曲面表示，可以通过其参数表达式计算得到精确采样点，得到的精确采样点如图3(b)中的绿点所示；图3(b)为使用隐式建模将采样点拟合为隐式实体后的Utah Teapot壶嘴的右半部分。

4、基于隐式建模的高效曲面-薄板转换

简单使用隐式混合因子，简单增加一个常数隐式曲面可直接增厚为一个薄板，其形式为：

Ξ＝g\(S,S+d)

其中，S为生成曲面，d为距离。

但是这种方式无法控制薄板厚度，因为d没有几何意义。附图4(a)和图4(b)展示了一个当d＝0.2时，用这种方式生成的薄板，其中图4(a)为薄板未转换为距离函数，其厚度不均匀；图4(b)所示的薄板基于已转换为距离函数的隐几何体生成，厚度均匀；

为了实现高效曲面增厚，一个简单的方法就是把曲面转换为符号距离函数，使得d具有几何意义。

4.1距离函数

符号距离函数是一个由距离值定义的隐函数，其基本形式为：

而符号距离函数的重要性质之一是

因此d具有几何意义，可以正确表达厚度。

通过将隐曲面表达为符号距离函数，可以直接计算出与其距离均匀的偏移曲面，进而生成厚度均匀的薄板，实现高效曲面增厚。

但若直接对隐式曲面薄板曲面基于隐式重建，将隐曲面表达为符号距离函数，使得其偏移曲面的计算简单直接。

4.2近似距离

令f:

为一隐函数，/>

是空间一点，/>

则P到S的距离可近似表达为近似距离：

此距离可以由泰勒展开式解释；

对任意

令Q∈Z(f)，使得Q＝P-ε，则有：

f(Q)＝f(P-ε)＝0 (3)，

根据泰勒展开式，有：

因为f(Q)＝0，则当ε足够小时可得：

令

为点P到曲面Z(f)的距离，则/>

故有：

当梯度

不存在时，可使用有限差分法获得其值。令f＝f(x,y,z)为一隐函数，其x方向的一阶中心差分为：

同理，可得其y和z方向的一阶中心差分，则梯度

可定义为：

当

时，可使用其邻域的梯度平均近似。

使用隐式混合算子，定义厚度值d，使用代数加法或代数减法，得到与原隐式曲面等距的偏移曲面，使用已经距离函数化了的隐曲面，才能保证等距，其计算公式为：

附图5为隐函数f(x,y)＝(0.8x²-1)²+2y²-1.2的近似距离，等曲线的值分别为：0.0,0.1,0.2,0.3和0.4，从图中可以看出，距离值越小，近似结果越好。

4.3基于符号距离的偏移曲面

由于

为符号距离函数，可以定义S的偏移曲面/>

和/>

使得：

Ξ为一隐式薄板曲面，其中，d₁＞d₀为距离值。

利用符号距离函数可保证此薄板曲面的厚度均匀，附图6(a)-(c)分别给出了3个例子。其中图6(a)是基于Clebsch隐曲面生成，图6(b)是基于Utah Teapot的右半部分生成，图6(c)是基于真实人体胫骨的扫描数据生成；通过这三个实例能够证明本发明可分别将隐曲面、参数曲面和真实物体点云数据快速转换为厚度均匀的薄板。

基于以上的数学原理，可以得到一种基于隐式建模的高效曲面增厚方法，包括以下步骤：

步骤1：获取目标板材的几何形态。对于已参数化表达的板材，其几何状态已由参数方程精确描述，可以方便的提取采样点，得到点云信息；对于几何表达未知的板材，如实物板材，可通过数字扫描方法获取其表面点云，再进行下一步操作。

步骤2：使用隐式建模方法将点云信息拟合成隐式曲面。由于隐式曲面本质上是一个标量域函数，其几何形态必定封闭且不自交。

步骤3：使用近似距离将隐函数转换为符号距离函数，再用简单的代数加减生成隐式曲面的偏移曲面。

步骤4：对偏移曲面进行减操作，生成厚度均匀的板材几何形态。

步骤5：根据板材几何形态，使用增材制造技术生产板材实物。

实施例

首先，获取经典Utah茶壶的几何形态，其几何形态已由参数方程精确描述，提取相应的采样点，得到点云信息；

再次，使用隐式建模方法将电云信息拟合成隐式曲面。由于隐式曲面本质上是一个标量域函数，其几何形状必定封闭且不自交。

再使用近似距离将隐函数转换为符号距离函数，再用简单的代数加减生成隐式曲面的偏移曲面。

对生成的偏移曲面进行减操作，生成厚度均匀的板材几何形态。

最后，根据板材几何形态得到使用增材制作技术生成的板材实物，如附图7所示。

本说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。尽管参照前述实施例对本发明专利进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.基于隐式建模的高效曲面增厚方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：对已知几何表达的板材，对其几何表达直接采样，获取精确点云信息；对未知几何表达的实体模型进行测量，提取表面点云信息；

步骤2：基于隐式建模将所得的点云信息拟合成隐式曲面；

步骤3：使用近似距离将隐曲面表达为符号距离函数，再用简单的代数加、减生成隐式曲面的偏移曲面；

步骤4：对得到的偏移曲面进行减操作，生成厚度均匀的隐式薄板曲面；

步骤5：根据得到的隐式薄板曲面，利用增材制作技术生成板材实物；

步骤2的具体操作步骤包括：

步骤21：定义3D空间中的场函数：

且当f＝0时表示一个曲面，当f＞0或f＜0时表示实体；

步骤22：根据点云信息，找到一个隐函数

使得：

其中，Z(f)是f的0等曲面，d(·,·)是一个距离函数，P_i是点云中一个点；

步骤23：得到该板材的隐几何表达f(x,y,z)＝0，即为该板材的隐式曲面；

拟合得到的所述隐式曲面封闭且不自交；

步骤3的具体操作步骤包括：

步骤31：令

为一隐函数，/>

是空间一点，/>

则P到S的距离可近似表达为近似距离：

步骤32：对任意

令Q∈Z(f)，使得Q＝P-ε，且ε为一足够小的正数，则有：

f(Q)＝f(P-ε)＝0 (3)，

根据泰勒展开式可得：

当ε足够小时，可得：

步骤33：令

为点P到曲面Z(f)的距离，则/>

可得：

其中，

为梯度且该梯度值恒为1；

步骤34：使用隐式混合算子，定义厚度值d，使用代数加法或代数减法，得到与原隐式曲面等距的偏移曲面：

步骤4的具体操作步骤包括：定义曲面S的偏移曲面为

和/>

使得：

其中，Ξ为厚度均匀的隐式薄板曲面，

为符号距离函数，d₀、d₁为距离值，且d₁＞d₀；

步骤21中的隐式实体的隐几何表达为：

隐曲面的隐几何体表达为:

f(x，y，z)＝81(x³+y³+z³)-189(x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y)+54xyz+1２6(xy+xz+yz)-9(x^２+y²+z^２)-9(x+y+z)+1；

步骤22中的隐混合算子是一个满足映射关系

的复合函数g＝g(f₀，f₁),其中，/>

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是隐函数；对于几何重建问题:n＝{2,3}；再令

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为2个隐几何体，定义隐混合算子

则0₀和0₁之间的隐式并、交、减定义为:

其中,

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为曲面/>

上的n个离散点,则隐式曲面重建旨在找到一个隐函数/>

使得:/>

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