CN112446140A - 一种含脱层复合材料层合板ⅱ型裂纹扩展的分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法，包括以下步骤：S1、建立含脱层复合材料层合板的数学模型；S2、基于一阶剪切变形理论，确定非线性几何变形场和控制方程组；S3、求解控制方程组，得到含脱层复合材料层合板的非线性后屈曲响应；S4、计算求解含脱层复合材料层合板的弹性能，外力功及表面能，得出系统势能的改变量；S5、求解能量释放率和临界扩展荷载。本发明建立了一种通用的预测Ⅱ型裂纹扩展的计算方法，该计算方法不受脱层参数和几何尺寸的约束，可以广泛应用于复合材料脱层薄壁结构的Ⅱ型裂纹扩展分析，为含脱层复合材料层合板脱层扩展以及剩余强度评估提供了理论基础和参考方法。

Description

一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法

技术领域

本发明涉及复合材料层合结构层间失效计算技术领域，具体涉及一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法。

背景技术

复合材料由于其良好的性能在各领域得到广泛的应用，尤其是复合材料层合结构。层合板的基体多为树脂，用纤维作为增强体，通过单层板的铺设制成，层间性能主要取决于较弱的基体，因此层间脱层破坏是众多损伤模式中最主要的损伤模式。脱层不仅直接导致了层合板承载能力的下降，随着外载荷的增加，层间裂纹还会进一步扩展，直至结构破坏失效。

根据具体的服役工况和承载情况，复合材料脱层扩展模式主要分为Ⅰ型张开型、Ⅱ型滑移型和Ⅲ型撕开型，且Ⅰ型和Ⅱ型工程中较多。由板壳理论假设可知，对于承受面内压缩载荷作用的层板，厚度方面的正应力很小，不足以导致Ⅰ型裂纹扩展的发生，故此时含初始脱层的面板主要发生的是由于剪应力累积发生的Ⅱ型扩展。

由于层间应力场的奇异性，用应力强度因子分析层合板裂纹扩展方法有一些局限性，因此标志着层间断裂能量变化情况的能量释放率已被证明且广泛应用于裂纹扩展的理论计算。针对含脱层复合材料层合板承受面内荷载作用下Ⅱ型裂纹扩展的能量释放率的计算问题，如何寻求一个准确的数学模型，同时考虑到剪切变形等理论的影响，如何引入初始脱层损伤，都是需要考虑的因素。因此，建立准确高效的含脱层损伤复合材料层合板裂纹扩展的评估方法，是工程实践中复合材料层合结构设计分析工作的关键。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有技术中的上述缺陷，基于一阶剪切变形理论、Griffith断裂理论和可动边界变分原则，提供一种含脱层复合材料层合板在轴压作用下Ⅱ型裂纹发生扩展的应变能量释放率理论计算方法，可便捷得出不同脱层情况和几何尺寸下的临界扩展载荷，以进行强度校核。

本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：

一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法，所述分析方法包括以下步骤：

S1、建立含脱层复合材料层合板的数学模型；

S2、基于一阶剪切变形理论，确定非线性几何变形场和控制方程组；

S3、求解步骤S2中的控制方程组，得到含脱层复合材料层合板的非线性后屈曲响应；

S4、计算含脱层复合材料层合板的弹性能、外力功及表面能；

S5、求解能量释放率和临界扩展荷载。

进一步地，所述步骤S1过程如下：

建立全局坐标系，初始脱层沿着Y方向贯穿，预扩展方向沿着X轴，根据贯穿脱层的实际位置，沿着脱层前沿边界线，将层合板进行划分为四个子板，依次备注为子板1、子板2、子板3和子板4，其中脱层位于子板2和子板3之间，子板1或子板4分别子板2与子板3之间通过力和位移连续性条件加以约束，子板2和子板3之间的接触界面考虑法向接触效应，保证分析得出的数学模型与实际的含脱层复合材料层合板一致。

进一步地，所述步骤S2过程如下：

S21、根据一阶剪切变形理论，建立各子板的位移场(u⁽ⁱ⁾，v⁽ⁱ⁾，w⁽ⁱ⁾)：

其中u₀ ⁽ⁱ⁾、v₀ ⁽ⁱ⁾、w₀ ⁽ⁱ⁾为i子板的中面位移，φ_x ⁽ⁱ⁾和φ_y ⁽ⁱ⁾分别为i子板横截面沿x方向和y方向的转角，i＝1,2,3,4，分别表示四个子板，z为横向截面任一点的坐标值；

S22、建立复合材料层合板的本构关系表达式：

其中，矩阵[N⁽ⁱ⁾]、[M⁽ⁱ⁾]表示为i子板的内力分量、弯矩分量，Q_x ⁽ⁱ⁾、Q_y ⁽ⁱ⁾分别为i子板在x轴、y轴方向上的剪力，[e⁽ⁱ⁾]为i子板的中面应变，[κ⁽ⁱ⁾]为i子板中面的曲率分量，

为i子板在xz方向的横向剪应变，

为i子板在yz方向的横向剪应变，拉伸刚度矩阵[A⁽ⁱ⁾]为i子板的面内力与中面应变有关的刚度系数，耦合刚度矩阵[B⁽ⁱ⁾]表示i子板的弯曲、拉伸之间耦合关系的刚度系数，弯曲刚度矩阵[D⁽ⁱ⁾]为i子板的内力矩与曲率及扭曲率有关的刚度系数，

为i子板的Q_x ⁽ⁱ⁾与

有关的刚度系数，

为i子板的Q_x ⁽ⁱ⁾与

或者Q_y ⁽ⁱ⁾与

有关的耦合刚度系数，

为i子板的Q_y ⁽ⁱ⁾与

有关的刚度系数，根据板壳力学知识，建立含脱层复合材料层合板的控制方程组。

进一步地，所述步骤S4过程如下：

S41、根据Griffith断裂理论，裂纹扩展时需要考虑的能量包括机械能和表面能，裂纹发生扩展的必要条件是裂纹前沿边界要释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量，含脱层复合材料层合板整体的总势能∏为：

其中，Ω_i为i子板的积分区域，C_i为i子板的脱层前沿边界，W_i为i子板的弹性应变能，P_j ⁽ⁱ⁾和u_j ⁽ⁱ⁾分别为i子板的广义外力和广义位移，dx、dy和dC_i表示对坐标x、y和边界C_i求微分运算；

S42、裂纹发生扩展伴随着边界的变动，在变分边界上对位移场进行变分：

其中，δn_i为i子板的脱层扩展方向，U_i表示i子板的所有位移场量，即

为U_i在脱层前沿边界处的变分。

进一步地，所述步骤S5包括以下步骤：

S51、基于断裂力学求解含脱层复合材料层合板裂纹前沿处的能量释放率：

其中，A为初始脱层面积，δA为初始脱层面积的变分，δΠ为裂纹扩展δA时的总势能变分；

当裂纹前沿处的能力释放率满足G≥G_C，则判定裂纹扩展，其中G_C为材料的断裂韧性；

S52、确定临界扩展载荷：针对Ⅱ型裂纹扩展，能力释放的累积源于层合板层间剪力的增加，而层间剪力伴随着后屈曲变形的增大而增大，因此确定能力释放率G与后屈曲振幅位移w的关系，结合步骤S3中的后屈曲结果，即得出任意幅值时刻下层合板的临界扩展荷载。

本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：

本发明针对含初始脱层的复合材料层合板，建立了一种通用的预测Ⅱ型裂纹扩展的计算方法，该计算方法不受脱层参数和几何尺寸的约束，可以广泛应用于复合材料脱层薄壁结构的Ⅱ型裂纹扩展分析，为含脱层结构脱层扩展以及剩余强度评估提供了理论基础和参考方法。

附图说明

图1是本发明实施例中公开的一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法的流程图；

图2是本发明实施例中建立的含脱层复合材料层合板数学模型示意图；

图3是本发明实施例中使用的可动边界变分原理示意图；

图4是本发明实施例中含脱层复合材料层合板在后屈曲阶段发生Ⅱ型裂纹扩展示意图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例

本实施例具体公开了一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法，如图1所示，该分析方法步骤如下：

S1、针对一个含有矩形贯穿脱层的含脱层复合材料层合板，数学模型如图2所示，该模型四边简支，在x轴方向的左右两边受大小相等、方向相反的薄膜压力N_x作用。由板壳力学可知沿着板厚度方向的正应力忽略不计，可以判断此裂纹为Ⅱ型裂纹，即裂纹扩展方向为向两边滑移扩展。确定其材料参数和几何参数，其中基本材料参数包括：纤维方向杨氏模量E₁₁，横向杨氏模量E₂₂，剪切模量G₁₂、G₁₃、G₂₃，泊松比μ₁₂；几何尺寸包括：层合板的整体尺寸a×b×h，初始脱层尺寸h₂×l₂，铺层方式为[0°/90°/0°]对称铺设。根据图2所示方式，将含脱层复合材料层合板划分为四个子板(i＝1,2,3,4)，每个子板分别建立控制方程组，通过边界条件和连续条件保证模型的一致和方程的可解性。

S2、采用解析法求解含脱层复合材料层合板的控制方程组

具体步骤如下

S21、根据一阶剪切变形理论，计算各子板的位移场(u⁽ⁱ⁾，v⁽ⁱ⁾，w⁽ⁱ⁾)：

建立复合材料层合板的本构关系表达式：

S22、根据S21，得出含脱层复合材料层合板的非线性后屈曲控制方程组

其中f[w⁽ⁱ⁾，φ_x ⁽ⁱ⁾，φ_y ⁽ⁱ⁾]表示由三个未知变量(w⁽ⁱ⁾，φ_x ⁽ⁱ⁾，φ_y ⁽ⁱ⁾)组成的偏微分方程组。在模型基础上，给出本实例含脱层复合材料层合板的四边简支边界条件和连续性条件；

边界条件

连续性条件

其中T_L和T_R分别表示脱层的左边界和右边界。

S3、通过用假设模态法确定位移解的模态。根据边界条件，三个未知变量(w⁽ⁱ⁾，φ_x ⁽ⁱ⁾，φ_y ⁽ⁱ⁾)可以取如下所示的形式解；

其中F⁽ⁱ⁾，F_x ⁽ⁱ⁾，F_y ⁽ⁱ⁾为i子板的三个未知变量(w⁽ⁱ⁾，φ_x ⁽ⁱ⁾，φ_y ⁽ⁱ⁾)的模态系数，r⁽ⁱ⁾为i子板的模态根。结合给出的边界条件，并应用伽辽金法，获得含脱层复合材料层合板的后屈曲响应：

N_x＝N_cr+N_2h·w₀ ²

其中，N_x为含脱层复合材料层合板承受的x轴方向荷载，N_cr为含脱层复合材料层合板的临界屈曲荷载，N_2h为后屈曲载荷增量，w₀为后屈曲变形的幅值。

S4、根据Griffith断裂理论，裂纹扩展时需要考虑的能量包括机械能和表面能，裂纹发生扩展的必要条件是裂纹前沿边界要释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量。含脱层复合材料层合板整体的总势能Π为：

S5、在变分边界上，当裂纹扩展δn时，会引起脱层区域面积的变化δA，在本算例脱层前沿处：

脱层区域面积扩展δA时，含脱层复合材料层合板前沿边界也发生变动，此时能量泛函的变分包括：位移场的变分(U₁→U₂)带来的能量变分(δΠ₂₁)和边界改变带来的位移场变分(U₁→U₂)带来的能量变分(δΠ₂₂)两个部分，如图3可动边界的变分原理图示，位移场量U_i的可动边界变分为：

根据Griffith断裂理论和能量释放率的定义，本实施例中含脱层复合材料层合板的能量释放率为：

其中l_i为i子板在x轴向边界处的方向余弦。上式给出含脱层复合材料层合板在四边简支边界下的能量释放率求解通用表达式。可以看出，横向剪力Q_x ⁽ⁱ⁾起主导作用，本发明中考虑一阶剪切变形理论得到的结果比传统经典理论(忽略横向剪切变形)的结果更为准确。

如果裂纹前沿处的能力释放满足G≥G_C，则判定裂纹失稳扩展，其中G_C为材料的断裂韧性。

确定临界扩展载荷。针对Ⅱ型裂纹扩展，能力释放的累积源于层合板层间剪力的增加，而层间剪力伴随着后屈曲变形的增大而增大，因此首先确定能力释放率G与后屈曲变形的幅值w₀的关系，结合步骤S3中后屈曲响应结果，得此算例下含脱层复合材料层合板的临界扩展荷载：

其中，N_pl为含脱层复合材料层合板发生Ⅱ型裂纹扩展时的临界扩展荷载。开发MATLAB计算程序，输入不同复合材料层合板的尺寸和脱层尺寸，可得相应的临界扩展荷载，图4为含脱层复合材料层合板在后屈曲阶段发生Ⅱ型裂纹扩展的示意图，表示了含脱层复合材料层合板在受轴压作用发生后屈曲变形后，随着挠度的增加，子板2和子板3之间的剪力不断增加，直至脱层裂纹前沿处的能量释放达到材料的断裂韧性，而后开始发生Ⅱ型裂纹扩展(δn)。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法，其特征在于，所述分析方法包括以下步骤：

S1、建立含脱层复合材料层合板的数学模型；

S2、基于一阶剪切变形理论，确定非线性几何变形场和控制方程组；

S3、求解步骤S2中的控制方程组，得到含脱层复合材料层合板的非线性后屈曲响应；

S4、计算含脱层复合材料层合板的弹性能、外力功及表面能；

S5、求解能量释放率和临界扩展荷载。

2.根据权利要求1所述的一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法，其特征在于，所述步骤S1过程如下：

建立全局坐标系，初始脱层沿着Y方向贯穿，预扩展方向沿着X轴，根据贯穿脱层的实际位置，沿着脱层前沿边界线，将层合板进行划分为四个子板，依次备注为子板1、子板2、子板3和子板4，其中脱层位于子板2和子板3之间，子板1或子板4分别子板2与子板3之间通过力和位移连续性条件加以约束，子板2和子板3之间的接触界面考虑法向接触效应，保证分析得出的数学模型与实际的含脱层复合材料层合板一致。

3.根据权力要求2所述的一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法，其特征在于，所述步骤S2过程如下：

S21、根据一阶剪切变形理论，建立各子板的位移场(u⁽ⁱ⁾，v⁽ⁱ⁾，w⁽ⁱ⁾)：

其中u₀ ⁽ⁱ⁾、v₀ ⁽ⁱ⁾、w₀ ⁽ⁱ⁾为i子板的中面位移，φ_x ⁽ⁱ⁾和φ_y ⁽ⁱ⁾分别为i子板横截面沿x方向和y方向的转角，i＝1,2,3,4，分别表示四个子板，z为横向截面任一点的坐标值；

S22、建立复合材料层合板的本构关系表达式：

其中，矩阵[N⁽ⁱ⁾]、[M⁽ⁱ⁾]表示为i子板的内力分量、弯矩分量，Q_x ⁽ⁱ⁾、Q_y ⁽ⁱ⁾分别为i子板在x轴、y轴方向上的剪力，[e⁽ⁱ⁾]为i子板的中面应变，[κ⁽ⁱ⁾]为i子板中面的曲率分量，

为i子板在xz方向的横向剪应变，

为i子板在yz方向的横向剪应变，拉伸刚度矩阵[A⁽ⁱ⁾]为i子板的面内力与中面应变有关的刚度系数，耦合刚度矩阵[B⁽ⁱ⁾]表示i子板的弯曲、拉伸之间耦合关系的刚度系数，弯曲刚度矩阵[D⁽ⁱ⁾]为i子板的内力矩与曲率及扭曲率有关的刚度系数，

为i子板的Q_x ⁽ⁱ⁾与

有关的刚度系数，

为i子板的Q_x ⁽ⁱ⁾与

或者Q_y ⁽ⁱ⁾与

有关的耦合刚度系数，

为i子板的Q_y ⁽ⁱ⁾与

有关的刚度系数，根据板壳力学知识，建立含脱层复合材料层合板的控制方程组。

4.根据权力要求3所述的一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法，其特征在于，所述步骤S4过程如下：

S41、根据Griffith断裂理论，裂纹扩展时需要考虑的能量包括机械能和表面能，裂纹发生扩展的必要条件是裂纹前沿边界要释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量，含脱层复合材料层合板整体的总势能∏为：

其中，Ω_i为i子板的积分区域，C_i为i子板的脱层前沿边界，W_i为i子板的弹性应变能，P_j ⁽ⁱ⁾和u_j ⁽ⁱ⁾分别为i子板的广义外力和广义位移，dx、dy和dC_i表示对坐标x、y和边界C_i求微分运算；

S42、裂纹发生扩展伴随着边界的变动，在变分边界上对位移场进行变分：

其中，δn_i为i子板的脱层扩展方向，U_i表示i子板的所有位移场量，即

为U_i在脱层前沿边界处的变分。

5.根据权力要求4所述的一种含脱层复合材料层合板Ⅱ型裂纹扩展的分析方法，其特征在于，所述步骤S5包括以下步骤：

S51、基于断裂力学求解含脱层复合材料层合板裂纹前沿处的能量释放率：

其中，A为初始脱层面积，δA为初始脱层面积的变分，δΠ为裂纹扩展δA时的总势能变分；

当裂纹前沿处的能力释放率满足G≥G_C，则判定裂纹扩展，其中G_C为材料的断裂韧性；

S52、确定临界扩展载荷：针对Ⅱ型裂纹扩展，能力释放的累积源于层合板层间剪力的增加，而层间剪力伴随着后屈曲变形的增大而增大，因此确定能力释放率G与后屈曲振幅位移w的关系，结合步骤S3中的后屈曲结果，即得出任意幅值时刻下层合板的临界扩展荷载。

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