CN112415559A - 一种基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法 - Google Patents

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CN112415559A
CN112415559A CN202011164514.2A CN202011164514A CN112415559A CN 112415559 A CN112415559 A CN 112415559A CN 202011164514 A CN202011164514 A CN 202011164514A CN 112415559 A CN112415559 A CN 112415559A
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孙冲
陈建林
袁源
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Abstract

本发明公开了一种基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法，涉及卫星的轨道确定领域。通过动态地调整估计过程中的测量误差协方差矩阵，确保其与实际的测量误差相匹配，从而提高非线性高阶容错扩展卡尔曼滤波器的滤波一致性和对错误测量的鲁棒性，提高卫星轨道确定的精度。本发明方法综合考虑了动力学方程和测量方程的非线性特性，在滤波器预测阶段，采用高阶泰勒多项式逼近高精度预测卫星状态，在保证估计精度的要求下，有助于减少滤波器对测量新息的更新需求和降低滤波器对测量频率的要求；容错策略的设计进一步保证了滤波器的鲁棒性。能够普遍用于卫星、空间碎片等的轨道确定，可缓解测量设备的测量负担并保持对错误测量的鲁棒性。

Description

一种基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法
技术领域
本发明属于卫星轨道确定领域，涉及一种基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法。
背景技术
近年来，随着航天活动的精细化，要求在轨卫星轨道确定的精度不断增加，致使传统轨道确定方法需要计算大量的测量数据，加剧了与地面有限的观测系统之间的矛盾。相比于卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器、无味卡尔曼滤波器和粒子滤波器等传统的滤波器，基于泰勒多项式展开技术的非线性高阶扩展卡尔曼滤波器很好地平衡了滤波器的精度和计算效率。同时，由于非线性高阶扩展卡尔曼滤波器采用高阶泰勒多项式逼近非线性的卫星轨道动力学方程，卫星状态的预测精度得到了明显的提升，因此可以降低对测量频率的要求。这个优点很好的缓和了大量在轨卫星的测量需求和有限测控站之间的矛盾。
一般而言，航天器轨道的观测数据由于受到观测过程误差甚至是偶然错误的影响，往往会引起滤波器的估计错误。类似于传统的扩展卡尔曼滤波器、无味卡尔曼滤波器和粒子滤波器等，非线性高阶扩展卡尔曼滤波器也面临着相同的问题。测量过程中，随机测量错误或者测量设备的固有偏差，会导致滤波器无法对卫星在某一时刻的状态进行准确估计。如何克服测量错误对非线性高阶扩展卡尔曼滤波器滤波过程的影响，具有非常重要的实际意义。
发明内容
本发明的目的在于克服上述现有技术中，非线性高阶扩展卡尔曼滤波器因存在随机测量错误而无法准确估计卫星在某一时刻的状态的缺点，提供一种基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法。
为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：
一种基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法，包括如下步骤：
步骤一，建立卫星轨道动力学方程；
步骤二，建立航天器的观测方程；
步骤三，基于泰勒展开多项式分别对步骤一的卫星轨道动力学方程和步骤二的观测方程进行非线性预测，得到卫星轨道的状态预测值和航天器的观测预测值，并结合真实观测值计算预测误差，得到协方差矩阵；
步骤四，根据步骤三得到的测量误差，设计缩放矩阵因子，自适应调整测量协方差矩阵，保证滤波一致性；
步骤五，设置观测时间，对步骤三的卫星轨道的状态预测值进行更新，得到任意时刻航天器的轨道估计状态。
优选地，步骤一所述的卫星轨道动力学方程为：
Figure BDA0002745350760000021
式(1)中，x表示n维状态矢量，t表示时间。
优选地，步骤二所述的观测方程为：
z＝h(x,t)+u (2)
其中，z表示t时刻的观测量，x表示t时刻的状态值，u表示t时刻的观测噪声。
优选地，步骤三的具体操作为：
假设tk时刻航天器的标称状态为
Figure BDA0002745350760000022
初始偏差为δxk，状态多项式变量为微分方程
Figure BDA0002745350760000031
微分方程在tk+1时刻的解为
Figure BDA0002745350760000032
对该解在标称状态
Figure BDA0002745350760000033
处做泰勒展开，得到高阶展开式
Figure BDA0002745350760000034
其中
Figure BDA0002745350760000035
表示状态邻域[xk+1]对初始邻域大小δxk的非线性依赖关系；
得到卫星轨道的预测状态为：
Figure BDA0002745350760000036
其中，状态矢量的索引值为i，标称状态
Figure BDA0002745350760000037
初始偏差δxk＝[δxk,1,…,δxk,n]T，泰勒展开式系数为
Figure BDA0002745350760000038
各状态偏差分量的指数γ＝[γ1,…,γn]T；
计算得到预测状态均值
Figure BDA0002745350760000039
和协方差矩阵
Figure 100002_1
Figure BDA00027453507600000311
Figure BDA00027453507600000312
式中，E[]表示期望值，γ＝[γ1,…,γn]T和l＝[l1,…,ln]T表示变量偏差分量的指数，
Figure 100002_2
表示过程噪声的协方差矩阵；式(5)中，
Figure BDA00027453507600000314
和
Figure BDA00027453507600000315
其余的
Figure BDA00027453507600000316
和
Figure BDA00027453507600000317
与对应的
Figure BDA00027453507600000318
均相等。
优选地，步骤三所述的航天器的预测观测值为：
zk+1＝h(xk+1,tk+1)+uk+1 (6)
其中，zk+1表示tk+1时刻的观测量，xk+1表示tk+1时刻的状态预测值，uk+1表示 tk+1时刻的观测噪声；
在tk+1时刻，将式(6)在标称状态
Figure BDA00027453507600000319
处做泰勒展开，得到高阶展开式为：
Figure BDA0002745350760000041
式(7)中，p表示m维测量矢量的索引值，
Figure BDA0002745350760000042
表示对应于标称观测值，系数
Figure BDA0002745350760000043
表示泰勒展开系数；
在tk+1时刻，预测观测值的均值
Figure BDA0002745350760000044
如下：
Figure BDA0002745350760000045
式(8)中，E[]表示期望值。
优选地，步骤四所述的更新具体为：
通过观测设备得到tk+1时刻新的观测值
Figure BDA0002745350760000046
时，将其融合到步骤三得到的预测值中，其公式为：
Figure BDA0002745350760000047
Figure BDA0002745350760000048
其中，
Figure 100002_3
为卫星轨道预测状态的协方差矩阵；γ＝[γ1,…,γn]T和l＝[l1,…,ln]T，表示变量偏差分量的指数，p和q表示测量矢量的索引值，i表示状态的索引值，
Figure BDA00027453507600000410
表示观测噪声的协方差矩阵，系数
Figure BDA00027453507600000411
与
Figure BDA00027453507600000412
表示泰勒展开项的系数。
优选地，步骤四的缩放矩阵的设计过程具体为：
定义测量新息矢量为
Figure BDA00027453507600000413
Figure BDA00027453507600000414
其中
Figure BDA0002745350760000051
L表示数据采集的窗口宽度，默认为3；因此，缩放矩阵通过以下公式得到，
Figure BDA0002745350760000052
最终的缩放矩阵
Figure BDA0002745350760000053
I表示m维单位矩阵，缩放矩阵
Figure BDA0002745350760000054
进一步用于计算卡尔曼滤波器的增益，
Figure BDA0002745350760000055
优选地，步骤五更新后得到预测状态均值
Figure BDA0002745350760000056
和协方差矩阵
Figure 4
的最终估计值分别为：
Figure BDA0002745350760000058
Figure BDA0002745350760000059
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
本发明公开了一种基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法，通过动态地监测测量新息，动态调整协方差矩阵用以匹配实际的测量误差特性，提出一种自适应容错策略。在滤波器使用高阶非线性泰勒展开式对状态预测过程结束后，通过计算滤波过程中的测量新息并检验滤波一致性特性，动态地设计一个缩放矩阵用以调节测量误差协方差矩阵，保证其匹配真实的测量误差和测量错误。提出的滤波器充分利用了高阶泰勒展开多项式能够精确逼近非线性过程的特点，减少滤波器在预测过程和更新过程中的精度丢失，进而提高精度。同时，高阶泰勒展开是一种半解析方法，相比于传统的非线性滤波方法可以加快运算速度。本发明提出的容错设计方法改善了传统的非线性高阶扩展卡尔曼滤波器对错误测量的鲁棒性，不仅保持原有非线性高阶扩展卡尔曼滤波特性，即高精度、高效率，适用于强非线性系统和低测量频率情况，而且可以规避由于测量错误导致的滤波发散问题。综合考虑动力学方程和测量方程的非线性特性，在滤波器预测阶段，采用高阶泰勒多项式逼近高精度预测卫星状态，在保证估计精度的要求下，有助于减少滤波器对测量新息的更新需求和降低滤波器对测量频率的要求；容错策略的设计进一步保证了滤波器的鲁棒性。本发明提出的基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法普遍用于卫星、空间碎片等的轨道确定，可缓解测量设备的测量负担并保持对错误测量的鲁棒性。
进一步地，缩放矩阵Gk+1本身是一个对角矩阵，且由于测量元器件在任务执行过程中一般不可以进一步提升性能，各元素均大于1，因此，最终的缩放矩阵设计为
Figure BDA0002745350760000061
I表示m维单位矩阵。缩放矩阵
Figure BDA0002745350760000062
可以进一步用于计算卡尔曼滤波器的增益。
附图说明
图1为标准的高阶非线性扩展卡尔曼滤波器和本发明提出的高阶非线性容错扩展卡尔曼滤波器得到的位置误差示意图；
图2为标准的高阶非线性扩展卡尔曼滤波器和本发明提出的高阶非线性容错扩展卡尔曼滤波器得到的速度误差示意图；
图3为标准的高阶非线性扩展卡尔曼滤波器和本发明提出的高阶非线性容错扩展卡尔曼滤波器夫人新息平方归一化值示意图。
具体实施方式
为了使本技术领域的人员更好地理解本发明方案，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本发明保护的范围。
需要说明的是，本发明的说明书和权利要求书及上述附图中的术语是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本发明的实施例能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。此外，术语“包括”和“具有”以及他们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包含，例如，包含了一系列步骤或单元的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或单元，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或单元。
下面结合附图对本发明做进一步详细描述：
为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对本发明内容做进一步说明。
实施例1：
本实例公开一种基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法，具体实现步骤如下：
步骤一：建立无量纲的卫星轨道状态方程为
Figure BDA0002745350760000071
其中
Figure BDA0002745350760000072
分别表示无量纲的时间，卫星的无量纲位置矢量和角速度值，t，r，ω表示相应的有量纲值，
Figure BDA0002745350760000073
表示卫星无量纲位置矢量的范数；另外，卫星的标称角速度
Figure BDA0002745350760000074
表示卫星在半长轴为a＝8788km的轨道上运行的平均的轨道角速度，μe表示地球的引力常数。
步骤二：建立非线性测量方程，包括径向距离，赤经和赤纬，
Figure BDA0002745350760000081
其中u＝[u1,u2,u3]T表示测量噪声矢量，径向距离的测量噪声满足零均值标准差为1米的高斯分布，赤经和赤纬的测量噪声满足零均值标准差为1.745×10-6 rad的高斯分布。同时，我们假设每个轨道可以获得12个等间距的测量值。
步骤三：基于泰勒多项式展开的非线性状态预测：假设tk时刻航天器的标称状态为
Figure BDA0002745350760000082
初始偏差为δxk，状态多项式变量为
Figure BDA0002745350760000083
微分方程在tk+1时刻的解为
Figure BDA0002745350760000084
对该解在标称状态
Figure BDA0002745350760000085
处做泰勒展开，得到高阶展开式
Figure BDA0002745350760000086
其中
Figure BDA0002745350760000087
表示状态t1状态邻域[xk+1]对初始邻域大小δxk的非线性依赖关系。
Figure BDA0002745350760000088
其中，状态矢量的索引值为i，标称状态
Figure BDA0002745350760000089
初始偏差δxk＝[δxk,1,…,δxk,n]T，泰勒展开式系数为
Figure BDA00027453507600000810
各状态偏差分量的指数γ＝[γ1,…,γn]T；
在区间[tk,tk+1]上，预测状态均值
Figure BDA00027453507600000811
和协方差矩阵
Figure BDA00027453507600000812
如下
Figure BDA00027453507600000813
Figure BDA00027453507600000814
式中，E[]表示期望值，γ＝[γ1,…,γn]T和l＝[l1,…,ln]T表示变量偏差分量的指数，
Figure 5
表示过程噪声的协方差矩阵；式(5)中的系数
Figure BDA00027453507600000816
与
Figure BDA00027453507600000817
除了
Figure BDA0002745350760000091
和
Figure BDA0002745350760000092
之外，
Figure BDA0002745350760000093
与对应的
Figure BDA0002745350760000094
均相等。
航天器的预测观测值为：
zk+1＝h(xk+1，tk+1)+uk+1 (6)
其中，zk+1表示tk+1时刻的观测量，xk+1表示tk+1时刻的状态预测值，uk+1表示 tk+1时刻的观测噪声；
在tk+1时刻，将式(6)在标称状态
Figure BDA0002745350760000095
处做泰勒展开，得到高阶展开式为：
Figure BDA0002745350760000096
式(7)中，p表示m维测量矢量的索引值，
Figure BDA0002745350760000097
表示对应于标称观测值，系数
Figure BDA0002745350760000098
表示泰勒展开系数；
在tk+1时刻，预测观测值的均值
Figure BDA0002745350760000099
如下：
Figure BDA00027453507600000910
式(8)中，E[]表示期望值。
步骤四：非线性状态更新
通过观测设备得到tk+1时刻新的观测值
Figure BDA00027453507600000911
时，将其融合到预测值中，其公式为：
Figure BDA00027453507600000912
Figure BDA00027453507600000913
其中，
Figure 6
为卫星轨道预测状态的协方差矩阵；γ＝[γ1，…，γn]T和l＝[l1，…，ln]T，表示变量偏差分量的指数，p和q表示测量矢量的索引值，i表示状态的索引值，
Figure BDA00027453507600000915
表示观测噪声的协方差矩阵，系数
Figure BDA00027453507600000916
与
Figure BDA00027453507600000917
表示泰勒展开项的系数。
进一步的，定义测量新息矢量为
Figure BDA0002745350760000101
通过设计一个缩放矩阵Gk+1，来动态的调整估计得到的测量协方差矩阵进而匹配真实的测量误差。具体的过程如下，首先定义
Figure BDA0002745350760000102
其中
Figure BDA0002745350760000103
vi表示新息矩阵矢量(见公式11)； L表示数据采集的窗口宽度，默认为3。于是，缩放矩阵可以通过以下公式得到，
Figure BDA0002745350760000104
由于缩放矩阵Gk+1的作用是作用于测量误差协方差矩阵的对角元素，因此，缩放矩阵Gk+1本身是一个对角矩阵，且由于测量元器件在任务执行过程中一般不可以进一步提升性能，各元素均大于1，因此，最终的缩放矩阵
Figure BDA0002745350760000105
I表示m维单位矩阵。缩放矩阵
Figure BDA0002745350760000106
进一步用于计算卡尔曼滤波器的增益，
Figure BDA0002745350760000107
最后，
Figure BDA0002745350760000108
和
Figure BDA0002745350760000109
表示变量的均值和协方差矩阵的最终估计值，
Figure BDA00027453507600001010
Figure BDA00027453507600001011
其中，Kk+1表示卡尔曼滤波器的增益，
Figure BDA00027453507600001012
表示tk+1时刻的观测量。
步骤五：反复执行上述算法，得到任意时刻航天器的轨道状态。
本发明方法的实例验证：
运行在一个低地球轨道上的卫星的初始状态为
Figure BDA0002745350760000111
初始状态误差为真实状态的0.1％，同时假设在时间区间[136.6,182.2]min上，赤经赤纬的测量值上存在一个常值的测量偏差0.00001rad，其他时间测量只存在测量误差而没有测量偏差。
图1和图2展示了分别由标准的高阶非线性扩展卡尔曼滤波器和本发明提出的高阶非线性容错扩展卡尔曼滤波器得到的位置和速度误差。结果表明高阶非线性容错扩展卡尔曼滤波器具有良好的估计精度并对错误测量具有强健的鲁棒性，相反，标准的高阶非线性扩展卡尔曼滤波器无法处理错误测量并表现出一定程度的精度损失。
图3展示了新息平方归一化值(NIS)并与卡方检验临界值进行了比较，结果表明，标准的高阶非线性扩展卡尔曼滤波器在[136.6,182.2]min上的NIS值超出了临界值，表明在这一段时间内，由于错误测量的影响，滤波器的一致性遭到了破坏，导致了标准的高阶非线性扩展卡尔曼滤波器精度损失。
综上所述，本发明提出的基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法，通过动态地调整估计过程中的测量误差协方差矩阵，确保其与实际的测量误差相匹配，从而提高非线性高阶容错扩展卡尔曼滤波器的滤波一致性和对错误测量的鲁棒性，提高卫星轨道确定的精度。本发明方法不仅保持原有非线性高阶扩展卡尔曼滤波特性，即高精度、高效率，适用于强非线性系统和低测量频率情况，而且可以规避由于测量错误导致的滤波发散问题。该方法不仅适用于可操作的自主人造航天器，同样适用于空间碎片的轨道确定。本发明所提出的滤波方法不仅适用于卫星定轨，同样适用于强非线性系统的状态估计问题。
以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于多项式展开技术的高阶容错卫星轨道确定方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一，建立卫星轨道动力学方程；
步骤二，建立航天器的观测方程；
步骤三，基于泰勒展开多项式分别对步骤一的卫星轨道动力学方程和步骤二的观测方程进行非线性预测，得到卫星轨道的状态预测值和航天器的观测预测值，并结合真实观测值计算预测误差，得到协方差矩阵；
步骤四，根据步骤三得到的测量误差，设计缩放矩阵因子，自适应调整测量协方差矩阵，保证滤波一致性；
步骤五，设置观测时间，对步骤三的卫星轨道的状态预测值进行更新，得到任意时刻航天器的轨道估计状态。
2.根据权利要求1所述的高阶容错卫星轨道确定方法，其特征在于，步骤一所述的卫星轨道动力学方程为：
Figure FDA0002745350750000011
式(1)中，x表示n维状态矢量，t表示时间。
3.根据权利要求1所述的高阶容错卫星轨道确定方法，其特征在于，步骤二所述的观测方程为：
z＝h(x,t)+u (2)
其中，z表示t时刻的观测量，x表示t时刻的状态值，u表示t时刻的观测噪声。
4.根据权利要求1所述的高阶容错卫星轨道确定方法，其特征在于，步骤三的具体操作为：
假设tk时刻航天器的标称状态为
Figure FDA0002745350750000021
初始偏差为δxk，状态多项式变量为微分方程
Figure FDA0002745350750000022
微分方程在tk+1时刻的解为
Figure FDA0002745350750000023
对该解在标称状态
Figure FDA0002745350750000024
处做泰勒展开，得到高阶展开式
Figure FDA0002745350750000025
其中
Figure FDA0002745350750000026
表示状态邻域[xk+1]对初始邻域大小δxk的非线性依赖关系；
得到卫星轨道的预测状态为：
Figure FDA0002745350750000027
其中，状态矢量的索引值为i，标称状态
Figure FDA0002745350750000028
初始偏差δxk＝[δxk,1,…,δxk,n]T，泰勒展开式系数为
Figure FDA0002745350750000029
各状态偏差分量的指数γ＝[γ1,…,γn]T；
计算得到预测状态均值
Figure FDA00027453507500000210
和协方差矩阵
Figure FDA00027453507500000211
Figure FDA00027453507500000212
Figure FDA00027453507500000213
式中，E[]表示期望值，γ＝[γ1,…,γn]T和l＝[l1,…,ln]T表示变量偏差分量的指数，
Figure 1
表示过程噪声的协方差矩阵；式(5)中，
Figure FDA00027453507500000215
和
Figure FDA00027453507500000216
其余的
Figure FDA00027453507500000217
和
Figure FDA00027453507500000218
与对应的
Figure FDA00027453507500000219
均相等。
5.根据权利要求4所述的高阶容错卫星轨道确定方法，其特征在于，步骤三所述的航天器的预测观测值为：
zk+1＝h(xk+1,tk+1)+uk+1(6)
其中，zk+1表示tk+1时刻的观测量，xk+1表示tk+1时刻的状态预测值，uk+1表示tk+1时刻的观测噪声；
在tk+1时刻，将式(6)在标称状态
Figure FDA0002745350750000031
处做泰勒展开，得到高阶展开式为：
Figure FDA0002745350750000032
式(7)中，p表示m维测量矢量的索引值，
Figure FDA0002745350750000033
表示对应于标称观测值，系数
Figure FDA0002745350750000034
表示泰勒展开系数；
在tk+1时刻，预测观测值的均值
Figure FDA0002745350750000035
如下：
Figure FDA0002745350750000036
式(8)中，E[]表示期望值。
6.根据权利要求5所述的高阶容错卫星轨道确定方法，其特征在于，步骤四所述的更新具体为：
通过观测设备得到tk+1时刻新的观测值
Figure FDA0002745350750000037
时，将其融合到步骤三得到的预测值中，其公式为：
Figure FDA0002745350750000038
Figure FDA0002745350750000039
其中，
Figure 3
为卫星轨道预测状态的协方差矩阵；γ＝[γ1,…,γn]T和l＝[l1,…,ln]T，表示变量偏差分量的指数，p和q表示测量矢量的索引值，i表示状态的索引值，
Figure FDA00027453507500000311
表示观测噪声的协方差矩阵，系数
Figure FDA00027453507500000312
与
Figure FDA00027453507500000313
表示泰勒展开项的系数。
7.根据权利要求6所述的高阶容错卫星轨道确定方法，其特征在于，步骤四的缩放矩阵的设计过程具体为：
定义测量新息矢量为
Figure FDA0002745350750000041
Figure FDA0002745350750000042
其中
Figure FDA0002745350750000043
L表示数据采集的窗口宽度，默认为3；因此，缩放矩阵通过以下公式得到，
Figure FDA0002745350750000044
最终的缩放矩阵
Figure FDA0002745350750000045
I表示m维单位矩阵，缩放矩阵
Figure FDA0002745350750000046
进一步用于计算卡尔曼滤波器的增益，
Figure FDA0002745350750000047
8.根据权利要求7所述的高阶容错卫星轨道确定方法，其特征在于，步骤五更新后得到预测状态均值
Figure FDA0002745350750000048
和协方差矩阵
Figure 2
的最终估计值分别为：
Figure FDA00027453507500000410
Figure FDA00027453507500000411
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