CN112363389B - 一种针对单主多从遥操作模式的共享自主编队规划控制方法 - Google Patents

一种针对单主多从遥操作模式的共享自主编队规划控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种针对单主多从遥操作模式的共享自主编队规划控制方法，属于遥操作人机交互领域。采用基于无源分解的方法，将机器人动力学模型在不引入额外能量的情况下，分解为三部分：1)受控系统，表示从端多机器人的整体行为；2)构型保持系统，表示从端各机器人的位置；3)受控系统和构型保持系统的耦合部分。通过分别控制受控系统和构成保持系统，只需要从端各机器人的位置和速度信息，而不需要机器人的关节角加速度信息，简化了控制器设计，更加实用。

Description

一种针对单主多从遥操作模式的共享自主编队规划控制方法
技术领域
本发明属于遥操作人机交互领域，具体涉及在单主多从遥操作模式下的一种多从端编队规划控制方法。
背景技术
传统的单主单从遥操作模式已难以适应复杂多变的操作环境，且随着新的操作场景和任务的出现，从端仅使用一个机器人来完成操作任务越来越难以实现。目前，一类从端采用多个机器人的单主多从遥操作模式应运而生，相比单主单从的模式，其可以提供更强的鲁棒性和实现复杂场景下的人机交互任务，比如无人机编队飞行、巡视，水下航行器避障，深空探测下多空间机器人的协同操作等，都需要对从端多智能体的情况进行研究。
单主多从协同遥操作是一种主端人员操作单机器人，控制从端多个机器人共同完成既定任务的模式，为了解决主从位置同步和时延影响，以往文献主要采用基于行为的控制方法、跟踪-追随控制方法和虚拟结构控制方法。但是，基于行为的方法其收敛性和稳定性难以被证明，适用性狭窄；跟踪-追随的控制结构，从端各机器人无法反馈其位置、速度等信息，造成操作透明性不够；而虚拟结构控制方法需要求解额外的动力学微分方程，增加了运算成本。因此，需要设计一种切实可靠有用单主多从协同编队规划控制方法，显得愈发急迫。
发明内容
要解决的技术问题
为了解决现有控制方法的计算量大和控制精度低的不足，本发明针对主多从机器人协同操作和多从端构型保持的问题，基于遥操作控制架构，提出一种基于无源分解的单主多从分层控制模式，多机器人之间通过被分解为受控系统和构型保持系统，以及可以被补偿掉的耦合部分，保证了整体系统的动能为受控系统和构型保持系统各自动能之和，从端多机器人既能保持一定构型，又能跟随受控受控系统，实现主从协同的操作需求。
技术方案
一种针对单主多从遥操作模式的共享自主编队规划控制方法，其特征在于步骤如下：
步骤1：对多机器人进行划分和分层
假设用来完成相应任务的各个机器人是完全一样的，具有六自由度可控的位姿，且采用同构操作方式；
1)划分：考虑N个机器人，划分为两部分：第一部分为被主端操作者直接进行操作的机器人，使用Δ表示；第二部分为其余从端多个机器人的集合，用
Figure BDA0002771811580000021
表示，
Figure BDA0002771811580000022
表示从端协同机器人的集合；因此，用
Figure BDA0002771811580000023
表示整个单主多从模式下的遥操作系统中机器人数量关系，其中N表示机器人总体数量，m表示主端被操作者直接控制的机器人，
Figure BDA0002771811580000024
表示n个从端机器人；
2)分层：将Δ和
Figure BDA0002771811580000025
分别看作被控对象；其次，在Δ中的机器人用Δm表示，Δm对
Figure BDA0002771811580000026
中的多机器人组进行控制；
步骤2：建立控制目标
考虑主端一个机器人，从端n个机器人，其整体动力学方程如下：
Figure BDA0002771811580000027
其中，qm,si、
Figure BDA0002771811580000028
和
Figure BDA0002771811580000029
i＝1,…,N-1分别表示主端和从端机器人关节角的位置、速度和角速度，下标m,si,i＝1,…,N-1分表表示主端机器人和从端机器人，
Figure BDA0002771811580000031
i＝1,…,N-1表示惯性矩阵，
Figure BDA0002771811580000032
i＝1,…,N-1表示科氏力和离心力矩阵，
Figure BDA0002771811580000033
i＝1,…,N-1表示重力矩阵，
Figure BDA0002771811580000034
i＝1,…,N-1表示设计的控制力矩，
Figure BDA0002771811580000035
i＝1,…,N-1表示关节角的雅克比矩阵的转置矩阵，Fh表示人手操作力，Fsi,i＝1,…,N-1表示施加在从端机器人上的环境力，n＝1,…,N-1表示从端N-1个机器人；
对于控制目标，是期望从端多机器人能够按照既定路线运动，且各个机器人之间保持一定的构型编队，因此，选取以下变量形式表示机器人之间的相互关系
Figure BDA0002771811580000036
其中，符号:＝表示定义，
Figure BDA0002771811580000037
表示构型变量，
Figure BDA0002771811580000038
表示期望构型矩阵的转置矩阵，qi,i＝1,…,N-1表示从端第i个机器人，即控制目标是在一定时间内，
Figure BDA0002771811580000039
步骤3：无源分解
根据无源散射理论，将N个机器人，即Δ和
Figure BDA00027718115800000310
分为三部分：1)受控系统L：表示从端多个机器人的整体行为；2)构型保持系统E，表示从端多个机器人协同编队或共同抓持动作；3)动力学耦合部分C，即受控系统与构型保持系统之间的动力学耦合；
从控制能量角度，在切向空间内，机器人的关节角速度被分解为
Figure BDA00027718115800000311
和
Figure BDA00027718115800000312
两部分，定义如下：
Figure BDA00027718115800000313
其中，
Figure BDA00027718115800000314
Ξi(q):＝[M1(q1)+M1(q1)+…+Mn(qn)]-1Mi(qi)，i＝1,…,N-1，由于是非奇异的，因此，
Ξ1(q1)+Ξ2(q2)+…+Ξn(qn)＝I (4)
在这里，取式(3)右边第一个矩阵，定义为
Figure BDA0002771811580000041
可以得出S(q)矩阵是非奇异的；
定义构型保持系统E的系统速度如下
Figure BDA0002771811580000042
其中，qE(·)是式(2)对时间的微分；
定义受控系统L的系统速度如下
Figure BDA0002771811580000043
利用式(5)，可定义如下转换关系
Figure BDA0002771811580000044
其中，τL,E和FL,E分别是受控系统和构型保持系统的控制力矩和从端环境作用力；根据S-T(q)＝(S-1)T，得到
Figure BDA0002771811580000045
其中，Γi(q)＝Ξi(q)+Ξi+1(q)+…+Ξn(q)，由式(3)可知，Γ1(q)＝I，且Γn(q)＝Ξn(q)；
因此，据以上推导，可以将式(1)中的惯性矩阵
Figure BDA0002771811580000046
i＝1,…,N-1分解为
Figure BDA0002771811580000047
其中，符号＝:表示记作，ML(q)和ME(q)分别表示受控系统和构型保持系统的惯性矩阵，其具有对称和正定的特性；式(10)表明式(1)所表达的整体机器人的动能也可以被分解为受控系统和构型保持系统之和；
根据式(3)和式(5)，以及式(10)，式(1)可以被分解后，用以下两各式子表示
Figure BDA0002771811580000051
Figure BDA0002771811580000052
式(11)表示分解后的受控系统动力学表达式，即在受控系统速度vL和受控系统惯性矩阵ML(q)的作用下，表示从端多机器人整体的操控策略，其中
Figure BDA0002771811580000053
Figure BDA0002771811580000054
是受控系统的耦合项，FL＝F1+F2+…+Fn表示总的环境扰动作用在受控系统L上的力，其中，F1、F2……Fn分别表示环境扰动作用在从端各个机器人上的力，τL表示设计的受控系统L的控制力；
式(12)表示分解后的构型保持系统的动力学表达式，ME(q)表示构型保持系统的惯量，可由式(10)获得，
Figure BDA0002771811580000055
是构型保持系统的耦合项，
Figure BDA0002771811580000056
FE表示总的环境扰动作用在构型保持系统E上的力，τE表示设计的受控系统E的控制力；
步骤4：集中式控制
将式(1)中的关节角变量映射到任务空间，即
Figure BDA0002771811580000057
其中，
Figure BDA0002771811580000058
是任务控制坐标系下的向量Xm,si的一阶微分，Jm,si(qm,si)表示任务空间的雅克比矩阵，
Figure BDA0002771811580000059
表示关节角速度；
对关节角求导，得
Figure BDA00027718115800000510
其中，
Figure BDA00027718115800000511
和
Figure BDA00027718115800000512
分别为机器人末端执行机构的速度和加速度，
Figure BDA00027718115800000513
是雅克比矩阵Jm,si(qm,si)的一阶微分项；
将式(13)和式(14)带入式(1)，得
Figure BDA0002771811580000061
其中，Mxm,xsi(Xm,si)＝J-T m,si(qm,si)Mm,si(qm,si)J-1 m,si(qm,si),i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的惯性矩阵，
Figure BDA0002771811580000062
表示任务空间坐标系下的惯性矩阵科氏力和离心力矩阵，Gxm,xsi(Xm,si)＝J-T m,si(qm,si)gm,si(qm,si),i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的重力矩阵，
Figure BDA0002771811580000063
i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的控制力矩，Fxh表示任务空间坐标系下的人手操作力，Fxsi,i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的施加在从端机器人上的环境力，
Figure BDA0002771811580000064
是雅克比矩阵Jm,si(qm,si)的一阶微分项，n＝1,…,N-1表示从端N-1个机器人；
依据式(11)和式(12)的无源分解的结果，以及将环境力补偿到每一个控制器里，设计如下控制器
Figure BDA0002771811580000065
Figure BDA0002771811580000066
其中，τL和τE分别为受控系统和构型保持系统的控制力矩，ML和ME分别表示受控系统和构型保持系统的惯性矩阵和，是对称和正定的，
Figure BDA0002771811580000067
和
Figure BDA0002771811580000068
分别为受控系统和构型保持系统的期望轨迹，
Figure BDA0002771811580000069
和
Figure BDA00027718115800000610
以及
Figure BDA00027718115800000611
和
Figure BDA00027718115800000612
分别是
Figure BDA00027718115800000613
和
Figure BDA00027718115800000614
的一阶导数和二阶导数，
Figure BDA00027718115800000615
表示受控系统的几何变量，
Figure BDA00027718115800000616
是XL的一阶导数
Figure BDA00027718115800000617
表示构型保持系统的几何变量，
Figure BDA00027718115800000618
是XE的一阶导数，其中，Xi,i＝1,2,…,N表示第i个机器人的位置，mi,i＝1,2,…,N表示第i个机器人的质量，
Figure BDA00027718115800000619
Figure BDA0002771811580000071
和
Figure BDA0002771811580000072
分别是受控系统和构型保持系统的比例-微分控制系数，它们都是对称和正定的。
有益效果
本发明提出的一种针对单主多从遥操作模式的共享自主编队规划控制方法，与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
1)无源分解的过程保证了系统没有额外能量的引进，不会改变整体系统的能量耗散情况，能够保证整个系统的稳定性；
2)相比从端完全自主编队规划运动，通过引入人的操作，既提高了系统的智能性，增加了系统了灵活度，也能很好地处理突发事件，及时规避风险；
3)相比于传统领导者-跟随者，从端多机器人自主性不够且无法相互传递信息，通过本发明的分解分层操作之后，操作者只关心受控系统的运动，其余机器人形成的构型保持系统，只需要按照受控系统的期望位置保持自己位置即可。
附图说明
图1分层控制示意图
具体实施方式
现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：
为了实现单主多从协同编队控制，本发明采用基于无源分解的方法，将机器人动力学模型在不引入额外能量的情况下，分解为三部分：1)受控系统，表示从端多机器人的整体行为；2)构型保持系统，表示从端各机器人的位置；3)受控系统和构型保持系统的耦合部分。通过分别控制受控系统和构成保持系统，只需要从端各机器人的位置和速度信息，而不需要机器人的关节角加速度信息，简化了控制器设计，更加实用。
针对单主多从模式的遥操作系统，提出一种解决从端多机器人之间的协同规划编队问题，该方法为人机协同交互提供了一种解决方法。包括以下步骤：
步骤一：对多机器人进行划分和分层
假设用来完成相应任务的各个机器人是完全一样的，具有六自由度可控的位姿，且采用同构操作方式。
1)划分。考虑N个机器人，人为指明两部分，1)被主端操作者直接进行操作的机器人用Δ表示；2)其余从端多个机器人的集合，用
Figure BDA0002771811580000081
表示，
Figure BDA0002771811580000082
表示从端协同机器人的集合。因此，用
Figure BDA0002771811580000083
表示整个单主多从模式下的遥操作系统中机器人数量关系，其中N表示机器人总体数量，m表示主端被操作者直接控制的机器人，
Figure BDA0002771811580000084
表示n个从端机器人。
2)分层。如图1所示，首先，将Δ和
Figure BDA0002771811580000085
分别看作被控对象；其次，在Δ中的机器人用Δm表示，
Figure BDA0002771811580000086
中的多机器人用虚线圈出，表示一组被Δm控制的机器群组。
步骤二：建立控制目标。
考虑主端一个机器人，从端n个机器人，其整体动力学方程如下：
Figure BDA0002771811580000087
其中，qm,si、
Figure BDA0002771811580000088
和
Figure BDA0002771811580000089
i＝1,…,N-1分别表示主端和从端机器人关节角的位置、速度和角速度，下标m,si,i＝1,…,N-1分表表示主端机器人和从端机器人，
Figure BDA00027718115800000810
i＝1,…,N-1表示惯性矩阵，
Figure BDA00027718115800000811
i＝1,…,N-1表示科氏力和离心力矩阵，
Figure BDA00027718115800000812
i＝1,…,N-1表示重力矩阵，
Figure BDA00027718115800000813
i＝1,…,N-1表示设计的控制力矩，
Figure BDA00027718115800000814
i＝1,…,N-1表示关节角的雅克比矩阵的转置矩阵，Fh表示人手操作力，Fsi,i＝1,…,N-1表示施加在从端机器人上的环境力，n＝1,…,N-1表示从端N-1个机器人。
对于控制目标，是期望从端多机器人能够按照既定路线运动，且各个机器人之间保持一定的构型编队，因此，选取以下变量形式表示机器人之间的相互关系
Figure BDA0002771811580000091
其中，符号:＝表示定义，
Figure BDA0002771811580000092
表示构型变量，
Figure BDA0002771811580000093
表示期望构型矩阵的转置矩阵，qi,i＝1,…,N-1表示从端第i个机器人，即控制目标是在一定时间内，
Figure BDA0002771811580000094
步骤三：无源分解。
根据无源散射理论，将N个机器人，即Δ和
Figure BDA0002771811580000095
分为三部分：1)受控系统L：表示从端多个机器人的整体行为；2)构型保持系统E，表示从端多个机器人协同编队或共同抓持动作；3)动力学耦合部分C，即受控系统与构型保持系统之间的动力学耦合。
从控制能量角度，在切向空间内，机器人的关节角速度被分解为
Figure BDA0002771811580000096
和
Figure BDA0002771811580000097
两部分，定义如下：
Figure BDA0002771811580000098
其中，
Figure BDA0002771811580000099
Ξi(q):＝[M1(q1)+M1(q1)+…+Mn(qn)]-1Mi(qi)，i＝1,…,N-1，由于是非奇异的，因此，
Ξ1(q1)+Ξ2(q2)+…+Ξn(qn)＝I (4)
在这里，取式(3)右边第一个矩阵，定义为
Figure BDA00027718115800000910
可以得出S(q)矩阵是非奇异的。
定义构型保持系统E的系统速度如下
Figure BDA0002771811580000101
其中，qE(·)是式(2)对时间的微分。
定义受控系统L的系统速度如下
Figure BDA0002771811580000102
利用式(5)，可定义如下转换关系
Figure BDA0002771811580000103
其中，τL,E和FL,E分别是受控系统和构型保持系统的控制力矩和从端环境作用力。根据S-T(q)＝(S-1)T，我们得到
Figure BDA0002771811580000104
其中，Γi(q)＝Ξi(q)+Ξi+1(q)+…+Ξn(q)，由式(3)可知，Γ1(q)＝I，且Γn(q)＝Ξn(q)。
因此，据以上推导，可以将式(1)中的惯性矩阵
Figure BDA0002771811580000105
i＝1,…,N-1分解为
Figure BDA0002771811580000106
其中，符号＝:表示记作，ML(q)和ME(q)分别表示受控系统和构型保持系统的惯性矩阵，其具有对称和正定的特性。式(10)表明式(1)所表达的整体机器人的动能也可以被分解为受控系统和构型保持系统之和。
根据式(3)和式(5)，以及式(10)，式(1)可以被分解后，用以下两各式子表示
Figure BDA0002771811580000107
Figure BDA0002771811580000108
式(11)表示分解后的受控系统动力学表达式，即在受控系统速度vL和受控系统惯性矩阵ML(q)的作用下，表示从端多机器人整体的操控策略，其中
Figure BDA0002771811580000111
Figure BDA0002771811580000112
是受控系统的耦合项，FL＝F1+F2+…+Fn表示总的环境扰动作用在受控系统L上的力，其中，F1、F2……Fn分别表示环境扰动作用在从端各个机器人上的力，τL表示设计的受控系统L的控制力(见步骤四)；
式(12)表示分解后的构型保持系统的动力学表达式，ME(q)表示构型保持系统的惯量，可由式(10)获得，
Figure BDA0002771811580000113
是构型保持系统的耦合项，
Figure BDA0002771811580000114
FE表示总的环境扰动作用在构型保持系统E上的力，τE表示设计的受控系统E的控制力(见步骤四)。
步骤四：集中式控制。
将式(1)中的关节角变量映射到任务空间，即
Figure BDA0002771811580000115
其中，
Figure BDA0002771811580000116
是任务控制坐标系下的向量Xm,si的一阶微分，Jm,si(qm,si)表示任务空间的雅克比矩阵，
Figure BDA0002771811580000117
表示关节角速度。
对关节角求导，得
Figure BDA0002771811580000118
其中，
Figure BDA0002771811580000119
和
Figure BDA00027718115800001110
分别为机器人末端执行机构的速度和加速度，
Figure BDA00027718115800001111
是雅克比矩阵Jm,si(qm,si)的一阶微分项。
将式(13)和式(14)带入式(1)，得
Figure BDA00027718115800001112
其中，Mxm,xsi(Xm,si)＝J-T m,si(qm,si)Mm,si(qm,si)J-1 m,si(qm,si),i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的惯性矩阵，
Figure BDA00027718115800001113
i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的惯性矩阵科氏力和离心力矩阵，Gxm,xsi(Xm,si)＝J-T m,si(qm,si)gm,si(qm,si),i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的重力矩阵，
Figure BDA0002771811580000121
i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的控制力矩，Fxh表示任务空间坐标系下的人手操作力，Fxsi,i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的施加在从端机器人上的环境力，
Figure BDA0002771811580000122
是雅克比矩阵Jm,si(qm,si)的一阶微分项，n＝1,…,N-1表示从端N-1个机器人。
依据式(11)和式(12)的无源分解的结果，以及将环境力补偿到每一个控制器里，设计如下控制器
Figure BDA0002771811580000123
Figure BDA0002771811580000124
其中，τL和τE分别为受控系统和构型保持系统的控制力矩，ML和ME分别表示受控系统和构型保持系统的惯性矩阵和，是对称和正定的，
Figure BDA0002771811580000125
和
Figure BDA0002771811580000126
分别为受控系统和构型保持系统的期望轨迹，
Figure BDA0002771811580000127
和
Figure BDA0002771811580000128
以及
Figure BDA0002771811580000129
和
Figure BDA00027718115800001210
分别是
Figure BDA00027718115800001211
和
Figure BDA00027718115800001212
的一阶导数和二阶导数，
Figure BDA00027718115800001213
表示受控系统的几何变量，
Figure BDA00027718115800001214
是XL的一阶导数
Figure BDA00027718115800001215
表示构型保持系统的几何变量，
Figure BDA00027718115800001216
是XE的一阶导数，其中，Xi,i＝1,2,…,N表示第i个机器人的位置，mi,i＝1,2,…,N表示第i个机器人的质量，
Figure BDA00027718115800001217
Figure BDA00027718115800001218
和
Figure BDA00027718115800001219
分别是受控系统和构型保持系统的比例-微分控制系数，它们都是对称和正定的。
以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。

Claims (1)

1.一种针对单主多从遥操作模式的共享自主编队规划控制方法，其特征在于步骤如下：
步骤1：对多机器人进行划分和分层
假设用来完成相应任务的各个机器人是完全一样的，具有六自由度可控的位姿，且采用同构操作方式；
1)划分：考虑N个机器人，划分为两部分：第一部分为被主端操作者直接进行操作的机器人，使用Δ表示；第二部分为其余从端多个机器人的集合，用▽＝∑j(j＝1,…,n)表示，▽表示从端协同机器人的集合；因此，用
Figure FDA0003610926690000011
表示整个单主多从模式下的遥操作系统中机器人数量关系，其中N表示机器人总体数量，m表示主端被操作者直接控制的机器人，
Figure FDA0003610926690000012
表示n个从端机器人；
2)分层：将Δ和▽分别看作被控对象；其次，在Δ中的机器人用Δm表示，Δm对▽中的多机器人组进行控制；
步骤2：建立控制目标
考虑主端一个机器人，从端n个机器人，其整体动力学方程如下：
Figure FDA0003610926690000013
其中，qm,si、
Figure FDA0003610926690000014
和
Figure FDA0003610926690000015
分别表示主端和从端机器人关节角的位置、速度和角速度，下标m,si,i＝1,…,N-1分别表示主端机器人和从端机器人，
Figure FDA0003610926690000016
表示惯性矩阵，
Figure FDA0003610926690000017
表示科氏力和离心力矩阵，
Figure FDA0003610926690000018
表示重力矩阵，
Figure FDA0003610926690000019
表示设计的控制力矩，
Figure FDA00036109266900000110
表示关节角的雅克比矩阵的转置矩阵，Fh表示人手操作力，Fsi,i＝1,…,N-1表示施加在从端机器人上的环境力，n＝1,…,N-1表示从端N-1个机器人；
对于控制目标，是期望从端多机器人能够按照既定路线运动，且各个机器人之间保持一定的构型编队，因此，选取以下变量形式表示机器人之间的相互关系
Figure FDA0003610926690000021
其中，符号:＝表示定义，
Figure FDA0003610926690000022
表示构型变量，
Figure FDA0003610926690000023
表示期望构型矩阵的转置矩阵，qi,i＝1,…,N-1表示从端第i个机器人，即控制目标是在一定时间内，
Figure FDA0003610926690000024
步骤3：无源分解
根据无源散射理论，将N个机器人，即Δ和▽分为三部分：1)受控系统L：表示从端多个机器人的整体行为；2)构型保持系统E，表示从端多个机器人协同编队或共同抓持动作；3)动力学耦合部分C，即受控系统与构型保持系统之间的动力学耦合；
从控制能量角度，在切向空间内，机器人的关节角速度被分解为
Figure FDA0003610926690000025
和
Figure FDA0003610926690000026
两部分，定义如下：
Figure FDA0003610926690000027
其中，
Figure FDA0003610926690000028
Ξi(q):＝[M1(q1)+M1(q1)+…+Mn(qn)]-1Mi(qi)，i＝1,…,N-1，由于是非奇异的，因此，
Ξ1(q1)+Ξ2(q2)+…+Ξn(qn)＝I (4)
在这里，取式(3)右边第一个矩阵，定义为
Figure FDA0003610926690000029
可以得出S(q)矩阵是非奇异的；
定义构型保持系统E的系统速度如下
Figure FDA0003610926690000031
其中，qE(·)是式(2)对时间的微分；
定义受控系统L的系统速度如下
Figure FDA0003610926690000032
利用式(5)，可定义如下转换关系
Figure FDA0003610926690000033
其中，τL表示受控系统的控制力矩，FL表示构型保持系统的控制力矩，τE表示从端环境作用于受控系统的力，FE表示从端环境作用于构型保持系统的力；根据S-T(q)＝(S-1)T，得到
Figure FDA0003610926690000034
其中，Γi(q)＝Ξi(q)+Ξi+1(q)+…+Ξn(q)，由式(3)可知，Γ1(q)＝I，且Γn(q)＝Ξn(q)；
因此，据以上推导，可以将式(1)中的惯性矩阵
Figure FDA0003610926690000035
分解为
Figure FDA0003610926690000036
其中，符号＝:表示记作，ML(q)和ME(q)分别表示受控系统和构型保持系统的惯性矩阵，其具有对称和正定的特性；式(10)表明式(1)所表达的整体机器人的动能也可以被分解为受控系统和构型保持系统之和；
根据式(3)和式(5)，以及式(10)，式(1)可以被分解后，用以下两各式子表示
Figure FDA0003610926690000041
Figure FDA0003610926690000042
式(11)表示分解后的受控系统动力学表达式，即在受控系统速度vL和受控系统惯性矩阵ML(q)的作用下，表示从端多机器人整体的操控策略，其中
Figure FDA0003610926690000043
Figure FDA0003610926690000044
是受控系统的耦合项，FL＝F1+F2+…+Fn表示总的环境扰动作用在受控系统L上的力，其中，F1、F2……Fn分别表示环境扰动作用在从端各个机器人上的力，τL表示设计的受控系统L的控制力；
式(12)表示分解后的构型保持系统的动力学表达式，ME(q)表示构型保持系统的惯量，可由式(10)获得，
Figure FDA0003610926690000045
是构型保持系统的耦合项，
Figure FDA0003610926690000046
FE表示总的环境扰动作用在构型保持系统E上的力，τE表示设计的受控系统E的控制力；
步骤4：集中式控制
将式(1)中的关节角变量映射到任务空间，即
Figure FDA0003610926690000047
其中，
Figure FDA0003610926690000048
是任务控制坐标系下的向量Xm,si的一阶微分，Jm,si(qm,si)表示任务空间的雅克比矩阵，
Figure FDA0003610926690000049
表示关节角速度；
对关节角求导，得
Figure FDA00036109266900000410
其中，
Figure FDA00036109266900000411
和
Figure FDA00036109266900000412
分别为机器人末端执行机构的速度和加速度，
Figure FDA00036109266900000413
是雅克比矩阵Jm,si(qm,si)的一阶微分项；
将式(13)和式(14)带入式(1)，得
Figure FDA0003610926690000051
其中，Mxm,xsi(Xm,si)＝J-T m,si(qm,si)Mm,si(qm,si)J-1 m,si(qm,si),i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的惯性矩阵，
Figure FDA0003610926690000052
表示任务空间坐标系下的惯性矩阵科氏力和离心力矩阵，Gxm,xsi(Xm,si)＝J-T m,si(qm,si)gm,si(qm,si),i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的重力矩阵，
Figure FDA0003610926690000053
表示任务空间坐标系下的控制力矩，Fxh表示任务空间坐标系下的人手操作力，Fxsi,i＝1,…,N-1表示任务空间坐标系下的施加在从端机器人上的环境力，Jm,si(qm,si)是雅克比矩阵Jm,si(qm,si)的一阶微分项，n＝1,…,N-1表示从端N-1个机器人；
依据式(11)和式(12)的无源分解的结果，以及将环境力补偿到每一个控制器里，设计如下控制器
Figure FDA0003610926690000054
Figure FDA0003610926690000055
其中，τL和τE分别为受控系统和构型保持系统的控制力矩，ML和ME分别表示受控系统和构型保持系统的惯性矩阵和，是对称和正定的，
Figure FDA0003610926690000056
和
Figure FDA0003610926690000057
分别为受控系统和构型保持系统的期望轨迹，
Figure FDA0003610926690000058
和
Figure FDA0003610926690000059
以及
Figure FDA00036109266900000510
和
Figure FDA00036109266900000511
分别是
Figure FDA00036109266900000512
和
Figure FDA00036109266900000513
的一阶导数和二阶导数，
Figure FDA00036109266900000514
表示受控系统的几何变量，
Figure FDA00036109266900000515
是XL的一阶导数
Figure FDA00036109266900000516
表示构型保持系统的几何变量，
Figure FDA00036109266900000517
是XE的一阶导数，其中，Xi,i＝1,2,…,N表示第i个机器人的位置，mi,i＝1,2,…,N表示第i个机器人的质量，
Figure FDA00036109266900000518
Figure FDA00036109266900000519
和
Figure FDA00036109266900000520
分别是受控系统和构型保持系统的比例-微分控制系数，它们都是对称和正定的。
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