CN112329340B - 一种常导高速磁浮单向运行线路辅助停车区布置优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种常导高速磁浮单向运行线路辅助停车区布置优化方法，该方法包括以下步骤：根据线路情况获取候选辅助停车区；基于目标速度曲线和约束条件，以及候选辅助停车区的安全制动曲线、最小速度曲线、最大速度曲线和安全悬浮曲线，建立目标函数与候选辅助停车区数量和区间追踪间隔时间有关的辅助停车区布置模型；利用改进遗传算法对辅助停车区布置模型进行迭代优化求解，得到候选辅助停车区优化布置方案。与现有技术相比，解决了复杂工况下的候选辅助停车区布置问题，能够为工程人员提供辅助决策，提高安全性、效率并节约成本，也能提高线路设计的科学性，即使得候选辅助停车区总数量尽可能少且区间追踪时间尽可能小。

Description

一种常导高速磁浮单向运行线路辅助停车区布置优化方法

技术领域

本发明涉及磁浮线路设计与列车运行控制领域，尤其是涉及一种常导高速磁浮单向运行线路辅助停车区布置优化方法。

背景技术

当前，高速磁浮线路建设经验尚十分有限，常导磁浮线路需要布置辅助停车区来应对应急需求。对于辅助停车区的布置，一般根据车长和坡度计算辅助停车区的长度，并根据速度和坡度来定义辅助停车区之间的距离。但这种基于名义值的方式，难以应对复杂工况，且速度参考范围有限。基于此，虞翊等2019年发表在《同济大学学报(自然科学版)》的文献“基于防护速度的高速磁浮候选辅助停车区设置”提出了基于防护速度曲线的单向运营线路辅助停车区布置方法。该方法是一种以终点站为第一个基准辅助停车区，进而根据防护速度曲线依次向起点站逼近的递推布置策略。公开号为CN109050585A的专利“一种高速磁浮列车线路轨道运行辅助停车区确定方法”提出了一种以起点站为第一个基准辅助停车区，进而模拟列车运行，确定下一个辅助停车区的递推布置方式。以上两种递推布置方法具有一定的通用性，但均未充分考虑复杂工况。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种常导高速磁浮单向运行线路辅助停车区布置优化方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种常导高速磁浮单向运行线路辅助停车区布置优化方法，该方法包括以下步骤：

步骤S1：根据线路情况获取候选辅助停车区；

步骤S2：基于目标速度曲线和约束条件，以及候选辅助停车区的安全制动曲线、最小速度曲线、最大速度曲线和安全悬浮曲线，建立目标函数与辅助停车区数量和区间追踪间隔时间有关的辅助停车区布置模型；

步骤S3：利用改进遗传算法对辅助停车区布置模型进行迭代优化求解，得到辅助停车区优化布置方案。

辅助停车区布置模型以最小化目标函数为目标，所述的目标函数F(x_i)为：

其中，f_p为惩罚项，f(x_i)表示为：

其中，f₁(x_i)为候选辅助停车区数量，f₂(x_i)为区间追踪间隔时间，w₁和w₂为权重。

所述辅助停车区数量的计算公式为：

其中，x_i为决策变量，取1时，代表选择第i个候选辅助停车区作为正式辅助停车区，取0时，则不选择第i个候选辅助停车区作为正式辅助停车区；

所述区间追踪间隔时间的计算公式为：

其中，LV为列车的长度，

为目标速度曲线p驶入分区k时的区间追踪间隔时间，

为列车依据目标速度曲线p驶入分区k时的安全制动距离，PD为前方分区有列车时当前目标候选辅助停车区应距离前方分区边界的作为防护要求的最小距离，P为列车运行目标速度曲线集合，LR_k为距离分区k最近且满足防护要求的候选辅助停车区末端与分区k边界之间的距离，LD_k为分区k的长度，

为列车依据目标速度曲线p运行时在区间追踪间隔

中的平均速度，t_r为列车区间追踪间隔时间的冗余量，w_p为目标速度曲线p的权重，N^dec为包括起点站和终点站的牵引分区数量。

所述候选辅助停车区根据磁浮线路站间区间按照候选辅助停车区长度划分，且互相不重叠。

所述辅助停车区布置模型的约束条件包括：

辅助停车区不能骑跨在分区边界：

其中，SSA_i表征第i个候选辅助停车区是否骑跨在分区边界；

辅助停车区不能位于坡度变化点：

其中，SCA_i表征第i个候选辅助停车区是否位于坡度变化点；

除了起点站和终点站，每个牵引分区内均有辅助停车区：

其中，N^dec表示包括起点站和终点站的牵引分区数量，DSA_k表征第k个牵引分区内是否有候选辅助停车区；

需求区段上需要有辅助停车区：

其中，N^req为候选辅助停车区的需求区段的数量，RSA_l表征第l个需求区段是否有候选辅助停车区，L为需求区段集合；

辅助停车区的坡度不能超过一定的范围：

其中，SA_max为对候选辅助停车区所在坡度规定的最大值，|SA_i|表征第i个候选辅助停车区的坡度；

辅助停车区的总长低于某一数值：

其中，L^max为预期候选辅助停车区最大总长，LA_i表征第i个候选辅助停车区长度，I表示候选辅助停车区集合；

辅助停车区的布置满足列车的停车点步进条件：

其中，

为列车根据目标速度曲线p由停车点j切换到停车点j⁺的步进时间，

通过目标速度曲线p与候选辅助停车区j⁺的最小速度曲线的交点和目标速度曲线p与候选辅助停车区j的最大速度曲线的交点之间的时间间隔获取，ST_min为对停车点步进时间要求的最小值，S_s和S_t分别代表始发站和终点站，P为目标速度曲线集合。

所述候选辅助停车区长度LA_i的计算公式为：

其中，LV为列车的长度，SA_i表示第i个候选辅助停车区的坡度。

安全制动曲线的表达式为：

其中，

为安全制动曲线的速度分量；

为安全制动曲线的里程分量；

为安全制动曲线对应的不利条件下t时刻列车的加速度，Δt为采样间隔；

最大速度曲线的表达式为：

其中，

为最大速度防护曲线第t时刻的速度分量，

为最大速度防护曲线第t时刻的里程分量，

为最大速度曲线对应的最大加速度，Δtt为牵引切断命令发出至涡流制动完成过程中的系统延时，Δv为测速误差，Δs为定位误差；

安全悬浮速度曲线的表达式为：

其中，

为安全悬浮曲线t时刻的速度分量，

为安全悬浮曲线t时刻的里程分量，

为安全悬浮速度曲线对应的不利条件下t时刻列车的加速度；

最小速度曲线的表达式为：

其中，

为最小速度曲线上的速度分量，

为距离分量，Δtt为牵引切断命令发出至涡流制动启用过程中的系统延时，

为最小速度曲线对应的最大加速度。

所述的改进遗传算法基于概率P_k生成初始种群，概率P_k的表达式为：

其中，

为初始概率，初始概率的表达式为：

其中，

表示候选辅助停车区所在分区参考速度曲线前半部分速度与前一个分区参考速度曲线后半部分速度的平均值，

表示参考速度曲线的最大值，K表示牵引分区集合。

所述改进遗传算法的适应度函数为目标函数，所述改进遗传算法的选择算子为轮盘赌法。

所述改进遗传算法的染色体交叉与变异操作点的位置，以及交叉与变异的长度均随机选取。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

面向多目标速度曲线单向运行常导高速磁浮线路，所构建的辅助停车区布置模型着眼于保证列车运行安全、线路运营效率以及线路建设的经济性，所设计优化算法具有较高的求解效率。基于模型与算法，可以解决复杂工况的候选辅助停车区布置问题，能够为工程人员提供辅助决策，提高安全性、效率并节约成本，也能提高线路设计的科学性，即使得候选辅助停车区总数量尽可能少且区间追踪时间尽可能小。

附图说明

图1为本发明实施例的流程图；

图2为本发明实施例的区间追踪间隔示意图；

图3为本发明实施例个体的染色体编码示意图；

图4为本发明实施例参考速度曲线抽象加权拟合过程示意图；

图5为本发明实施例交叉操作算子示意图；

图6为本发明实施例变异操作算子示意图；

图7为本发明实施例种群初始化策略得到的布置结果；

图8为基于均匀分布的种群初始化策略得到的布置结果；

图9为现有技术布置结果。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

实施例

本实施例提供一种常导高速磁浮单向运行线路辅助停车区布置优化方法，该方法包括以下步骤：

步骤S1：根据线路情况获取候选辅助停车区；

步骤S2：基于目标速度曲线和约束条件，以及候选辅助停车区的安全制动曲线、最小速度曲线、最大速度曲线和安全悬浮曲线，建立目标函数与辅助停车区数量和区间追踪间隔时间有关的辅助停车区布置模型；

步骤S3：利用改进遗传算法对辅助停车区布置模型进行迭代优化求解，得到辅助停车区优化布置方案。

辅助停车区布置模型的原理如下：

运行在常导磁浮线路上的列车以“停车点步进”的模式运行，列车连续步进过程中总是以当前辅助停车区为目标停车点，以最大速度曲线、最小速度曲线以及区间限速为安全防护要求，仅当越过下一个辅助停车区的最小速度曲线，且未超过当前辅助停车区的最大速度曲线时，执行步进，进而以下一个辅助停车区为目标停车点。因此，辅助停车区的布置应满足列车的连续步进需求。

同时，辅助停车区不能位于大坡度坡面等危险区段，不能位于变坡点，也不能跨越牵引分区，这些构成了辅助停车区布置的不建议区段。此外，辅助停车区还得在有需求的区段进行布置(需求区段)，如方便疏散的区段。即列车的连续步进需求以及其他的一些布置要求对问题的求解构成约束。作为决策，应选择恰当的区段作为辅助停车区。

本实施例中，上述方法在求解模块中进行，与仿真模块配合，可实现仿真模块中候选辅助停车区的优化布置。

(1)实施步骤整体情况

如图1所示，仿真模块用于模拟列车运行环境与运行状态，并输出用于判断候选辅助停车区的布置方案的可行性和适宜性的信息，包括列车的步进时间和区间追踪时间。求解模块用于更新与优化候选辅助停车区的布置方案。结合仿真模块与求解模块的具体步骤可概述如下。

步骤一，仿真模块初始化。初始化仿真模块中基础信息，涉及线路坡度数据、车辆长度与重量数据、环境的风速数据、目标速度曲线以及参考速度曲线(参考速度曲线由多个目标速度曲线组合得到)。根据上述的线路数据、车辆数据和环境数据得到安全防护速度曲线(包括最小速度曲线、最大速度曲线、安全悬浮速度曲线和安全制动速度曲线)，同时，将整个线路的站间区间按照候选辅助停车区长度划分成不重叠的候选辅助停车区集合，定义每个候选辅助停车区的属性，并在线路上定义便于疏散的需求区段。

步骤二，求解模块初始化。初始化求解模块中的参数，即包括交叉概率、变异概率、遗传代数、种群数量、精英数量等遗传算法参数，并根据参考速度曲线计算候选辅助停车区被选择的概率，进而根据染色体编码形式初始化种群。

步骤三，方案评估。对种群中的个体信息进行解码，分别输入到仿真模块中，进而根据适应度函数与约束信息，得到每个个体的适应度情况。

步骤四，方案更新。基于个体的适应度值和染色体编码，执行选择、交叉、变异、适应度计算、替换等操作。

步骤五，优化终止判断。判断是否达到预设的终止条件。若达到，输出当前种群中的最优个体。否则，返回步骤三。

(2)最大、最小速度曲线的计算

安全制动曲线的计算考虑了不利条件下的受力特性。不利条件包括列车满载、遭遇顺风作用、涡流制动系统部分故障、轨道面与列车滑撬摩擦系数变小。安全制动曲线的表达式为：

其中，

为安全制动曲线的速度分量；

为安全制动曲线的里程分量；

为安全制动曲线对应的不利条件下t时刻列车的加速度，Δt为采样间隔。

根据安全制动曲线，计算最大速度曲线的表达式为：

其中，

为最大速度防护曲线第t时刻的速度分量，

为最大速度防护曲线第t时刻的里程分量，

为最大速度曲线对应的最大加速度，Δtt为牵引切断命令发出至涡流制动完成过程中的系统延时，Δv为测速误差，Δs为定位误差；

安全悬浮速度曲线的表达式为：

其中，

为安全悬浮曲线t时刻的速度分量，

为安全悬浮曲线t时刻的里程分量，

为安全悬浮速度曲线对应的不利条件下t时刻列车的加速度，不利条件包括列车空载、遭遇逆风作用、轨道面与列车滑撬摩擦系数变大。

最小速度曲线与安全悬浮曲线之间同样存在安全裕量。最小速度曲线的表达式为：

其中，

为最小速度曲线上的速度分量，

为距离分量，Δtt为牵引切断命令发出至涡流制动启用过程中的系统延时，

为最小速度曲线对应的最大加速度。

(3)优化模型

将候选辅助停车区布置优化问题视为优化决策问题，即对站间区间上的候选辅助停车区的选择进行决策。其中，每一个候选辅助停车区i包括6个属性(RP_i,HP_i,LA_i,SA_i,SCA_i,SSA_i)，分别代表候选辅助停车区的可达点位置(候选辅助停车区首端)、危险点位置(候选辅助停车区末端)、长度、坡度、坡度变化情况(位于变坡点时取1，否则取0)、跨牵引分区情况(横跨两个分区时取1，否则取0)，且候选辅助停车区i属于候选辅助停车区集合I；每一个牵引分区k包括3个属性(DS_k,LD_k,DSA_k)，分别代表牵引分区k的范围，长度，以及是否有辅助停车区在该牵引分区上(有取1，否则取0)，且牵引分区k属于牵引分区集合K；每一个需求区段l包括2个属性(RS_l,RSA_l)，分别代表第l个区段的范围，以及是否有辅助停车区在该区段上(有取1，否则取0)，需求区段l属于需求区段集合L。同时，定义目标速度曲线集合P，目标速度曲线p属于集合P。

在实现候选辅助停车区总数量尽可能少时，考虑了列车的区间追踪间隔。第一目标函数是最小化辅助停车区数量，该数量由决策变量取值累加得到。

其中，x_i为决策变量，0-1变量，取1时，代表选择第i个候选辅助停车区作为正式辅助停车区。取0时，则不选择第i个候选辅助停车区作为正式辅助停车区。

第二目标函数是最小化区间追踪间隔时间，即尽可能地为列车运行较大的发车频率提供空间。如图2所示，只有当列车A出牵引分区k时，列车B才能以牵引分区k中的辅助停车区为目标停车点进行步进。否则，列车B只能以牵引分区k之前的辅助停车区为目标停车点，且该辅助停车区末端距离分区边界的距离应大于PD。即当列车A在牵引分区k中时，列车B不能进入牵引分区k，且它的目标辅助停车区的末端距离牵引分区k的边界要满足防护要求。若牵引分区k-1中某辅助停车区末端满足防护要求，且距离牵引分区k最近，该候助停车区可以作为较理想的目标停车点。否则，列车只能以牵引分区k-1或牵引分区k-2中其他辅助停车区为目标停车点。由此可知，辅助停车区的布置对列车区间运行追踪间隔有影响，过少的辅助停车区也会压缩列车的发车频率。

根据图2与实际的目标速度曲线，区间追踪间隔可表示为：

进一步考虑时间冗余量，可将列车的区间追踪间隔时间表示为：

其中，LV为列车的长度，

为列车依据目标速度曲线p驶入分区k时的区间追踪间隔时间，

为列车依据目标速度曲线p驶入分区k时的安全制动距离，PD为前方分区有列车时当前目标候选辅助停车区应距离前方分区边界的作为防护要求的最小距离，LR_k为距离分区k最近且满足防护要求的候选辅助停车区末端与分区k边界之间的距离，LD_k为分区k的长度，

为列车依据目标速度曲线p运行时在区间追踪间隔

中的平均速度，t_r为列车区间追踪间隔时间的冗余量，w_p为目标速度曲线p的权重，N^dec为包括起点站和终点站的牵引分区数量。

若仅考虑一条列车运行的目标速度曲线，则区间追踪间隔时间最小可表示为

考虑多个目标速度曲线时，可通过引入权重将量纲相同的不同区间追踪时间进行求和。此时，有目标函数：

根据候选辅助停车区布置问题背景，考虑了以下的约束。其中，约束(9)-(15)也体现了布置候选辅助停车区的安全性原则与经济性原则。

辅助停车区不能骑跨在分区边界，即

辅助停车区不能位于坡度变化点，即

除了起点站和终点站，每个牵引分区内均有辅助停车区，即

其中，N^dec为牵引分区的数量，包括起点站和终点站。

需求区段上需要有辅助停车区，即

其中，N^req为候选辅助停车区的需求区段的数量。

辅助停车区的坡度不能超过一定的范围，即

其中，SA_max为对候选辅助停车区所在坡度规定的最大值。

辅助停车区的总长低于某一数值，即

其中，L^max为预期候选辅助停车区最大总长。

辅助停车区的布置满足列车的停车点步进条件，且有一定的冗余，即：

其中，

为目标速度曲线p由停车点j切换到停车点j⁺的步进时间，即目标速度曲线p与候选辅助停车区j⁺最小速度曲线的交点和该目标速度曲线与候选辅助停车区j最大速度曲线的交点之间的时间间隔；ST_min为对停车点步进时间要求的最小值。S_s和S_t分别代表始发站和终点站。

决策变量为0-1变量，即

对于候选辅助停车区长度LA_i，根据经验，结合列车的长度LV可按照公式17计算。

由于所建立的优化模型为多目标优化模型，且存在多个复杂约束。对此，首先采用线性加权方式，根据f₁(x_i)的最小值

和最大值

f₂(x_i)的最小值

和最大值

以及二者的权重w₁和w₂，将多目标函数(f₁(x_i)，f₂(x_i))转换为单目标函数f(x_i)。

进而，采用惩罚值的方式对不满足约束的解进行惩罚，使之能在运算中被快速淘汰。由于单目标函数f(x_i)最大值为1，因此，惩罚值设置为大于1即可。此时，有带惩罚项的目标函数F(x_i)。

其中，f_p为惩罚项，取不小于1的数。

(4)用于求解优化模型的改进遗传算法

优化模型的求解过程如图1中求解模块所示，该模块借助于改进遗传算法。在求解模块中，个体采用向量的形式进行储存，每个个体代表一个解。由于优化模型中决策变量为0-1变量，本文采用二进制对个体进行编码，如图3所示。该方式也简化了解码步骤。

在种群初始化方面，对于二进制编码的染色体，可采用均匀分布。同时，根据高速磁浮候选辅助停车区的布置具有“低速区密集、高速区稀疏”的一般特征，提出了基于该特征的初始种群生成方法，以改进常规遗传算法计算效率。该方法根据列车运行的方向，考虑了多个目标速度曲线构成的参考速度曲线。即根据候选辅助停车区所在分区参考速度曲线前半部分速度与前一个分区参考速度曲线后半部分速度的平均值

(如果前一个分区是车站，仅考虑当前分区前半部分平均速度)、参考速度曲线的最大值

计算初始概率

并进行了归一化得到最终概率P_k，如公式(20)和(21)所示。

如图4所示，参考速度曲线的计算方法如下：

其中，

是参考速度曲线速度分量；

与s_i均为里程分量；

代表第n个目标速度曲线位置i时的速度大小。

遗传算法涉及的遗传操作算子主要包括选择、交叉、变异与替换，用于实现群体演化。本实施例首先记忆当前种群中的若干精英个体(即适应度值最小的若干个体)，并在当前种群中选择出同等规模的个体构成交配池，进而借助交叉、变异与替换算子来获取带有精英个体的新一代种群，实现种群的更新，即解的更新。当满足一定的迭代次数后，输出适应度值最小的个体作为模型的解，即最优的候选辅助停车区布置方案。

其中，本实施例所采用的选择算子为轮盘赌法，采用的交叉与变异算子如图5和图6所示，即染色体交叉与变异操作点的位置及其长度均随机选取，并按照预设的交叉概率与变异进行随机交换与随机突变。替换算子是将精英个体纳入新一代种群，该过程同样基于适应度值，用精英个体替换适应度值大的若干子代个体，也可随机替换子代个体。适应度值可根据适应度函数计算，本发明的适应度函数为带惩罚项的目标函数F(x_i)，即公式(19)。

同时，本发明结合实际算例分析了方法的有效性。涉及的线路全长98900m，共5个站间分区，设置有4个需求区间。涉及的目标速度曲线有两个，最大运行速度分别为450km/h和300km/h，区间追踪时间权重分别0.7和0.3。并取交叉概率与变异概率分别为0.8和0.2，精英群体数量为0.1倍的群体数量，群体数量和迭代次数分别为200和100。根据本实施例种群初始化方式，站间分区中候选辅助停车区被选为正式辅助停车区的概率分别为0.500、0.366、0.192、0.192、0.193。若采用均匀分布，则这些概率均为0.5。同时，惩罚项取值为2，对目标函数线性加权时的权重w₁与w₂分别取0.3和0.7。

采用本实施例种群初始化方式和和基于均匀分布的方式计算得到的结果分别如图7和图8所示。对于相同情景，现有技术计算得到的结果如图9所示。根据图7和图8，在相同的种群规模、迭代次数以及交叉与变异的情况下，适应度值分别为0.0227和0.0682，计算时间分别为115.532s和205.365s，即本实施例的种群初始化策略输出方案较基于均匀分布的种群初始化策略更为合理，且效率更高，适用性更强。对于现有技术，可以发现，该技术获得候选辅助停车区的数量最少，但并未充分考虑布置原则，对于复杂工况的适用性有限。

Claims (1)

1.一种常导高速磁浮单向运行线路辅助停车区布置优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤S1：根据线路情况获取候选辅助停车区；

步骤S2：基于目标速度曲线和约束条件，以及候选辅助停车区的安全制动曲线、最小速度曲线、最大速度曲线和安全悬浮曲线，建立目标函数与辅助停车区数量和区间追踪间隔时间有关的辅助停车区布置模型；

步骤S3：利用改进遗传算法对辅助停车区布置模型进行迭代优化求解，得到辅助停车区优化布置方案；

辅助停车区布置模型以最小化目标函数为目标，所述的目标函数F(x_i)为：

其中，f_p为惩罚项，f(x_i)表示为：

其中，f₁(x_i)为候选辅助停车区数量，f₂(x_i)为区间追踪间隔时间，w₁和w₂为权重；

所述辅助停车区数量的计算公式为：

其中，x_i为决策变量，取1时，代表选择第i个候选辅助停车区作为正式辅助停车区，取0时，则不选择第i个候选辅助停车区作为正式辅助停车区；

所述区间追踪间隔时间的计算公式为：

其中，LV为列车的长度，

为列车依据目标速度曲线p驶入分区k时的区间追踪间隔时间，

为列车依据目标速度曲线p驶入分区k时的安全制动距离，PD为前方分区有列车时当前目标候选辅助停车区应距离前方分区边界的作为防护要求的最小距离，P为列车运行目标速度曲线集合，LR_k为距离分区k最近且满足防护要求的候选辅助停车区末端与分区k边界之间的距离，LD_k为分区k的长度，

为列车依据目标速度曲线p运行时在区间追踪间隔

中的平均速度，t_r为列车区间追踪间隔时间的冗余量，w_p为目标速度曲线p的权重，N^dec为包括起点站和终点站的牵引分区数量；

所述候选辅助停车区根据磁浮线路站间区间按照候选辅助停车区长度划分，且互相不重叠；

所述辅助停车区布置模型的约束条件包括：

辅助停车区不能骑跨在分区边界：

其中，SSA_i表征第i个候选辅助停车区是否骑跨在分区边界；

辅助停车区不能位于坡度变化点：

其中，SCA_i表征第i个候选辅助停车区是否位于坡度变化点；

除了起点站和终点站，每个牵引分区内均有辅助停车区：

其中，N^dec表示包括起点站和终点站的牵引分区数量，DSA_k表征第k个牵引分区内是否有候选辅助停车区；

需求区段上需要有辅助停车区：

其中，N^req为候选辅助停车区的需求区段的数量，RSA_l表征第l个需求区段是否有候选辅助停车区，L为需求区段集合；

辅助停车区的坡度不能超过一定的范围：

其中，SA_max为对候选辅助停车区所在坡度规定的最大值，|SA_i|表征第i个候选辅助停车区的坡度；

辅助停车区的总长低于某一数值：

其中，L^max为预期候选辅助停车区最大总长，LA_i表征第i个候选辅助停车区长度，I表示候选辅助停车区集合；

辅助停车区的布置满足列车的停车点步进条件：

其中，

为列车根据目标速度曲线p由停车点j切换到停车点j⁺的步进时间，

通过目标速度曲线p与候选辅助停车区j⁺的最小速度曲线的交点和目标速度曲线p与候选辅助停车区j的最大速度曲线的交点之间的时间间隔获取，ST_min为对停车点步进时间要求的最小值，S_s和S_t分别代表始发站和终点站，P为目标速度曲线集合；

所述候选辅助停车区长度LA_i的计算公式为：

其中，LV为列车的长度，SA_i表示第i个候选辅助停车区的坡度；

安全制动曲线的表达式为：

其中，

为安全制动曲线的速度分量；

为安全制动曲线的里程分量；

为安全制动曲线对应的不利条件下t时刻列车的加速度，Δt为采样间隔；

最大速度曲线的表达式为：

其中，

为最大速度防护曲线第t时刻的速度分量，

为最大速度防护曲线第t时刻的里程分量，

为最大速度曲线对应的最大加速度，Δtt为牵引切断命令发出至涡流制动完成过程中的系统延时，Δv为测速误差，Δs为定位误差；

安全悬浮速度曲线的表达式为：

其中，

为安全悬浮曲线t时刻的速度分量，

为安全悬浮曲线t时刻的里程分量，

为安全悬浮速度曲线对应的不利条件下t时刻列车的加速度；

最小速度曲线的表达式为：

其中，

为最小速度曲线上的速度分量，

为距离分量，Δtt为牵引切断命令发出至涡流制动启用过程中的系统延时，

为最小速度曲线对应的最大加速度；

所述的改进遗传算法基于概率P_k生成初始种群，概率P_k的表达式为：

其中，

为初始概率，初始概率的表达式为：

其中，

表示候选辅助停车区所在分区参考速度曲线前半部分速度与前一个分区参考速度曲线后半部分速度的平均值，

表示参考速度曲线的最大值，K表示牵引分区集合；

所述改进遗传算法的适应度函数为目标函数，所述改进遗传算法的选择算子为轮盘赌法；

所述改进遗传算法的染色体交叉与变异操作点的位置，以及交叉与变异的长度均随机选取。

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