CN112114164A - 一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法，步骤：(1)建立硅微谐振式加速度计的谐振梁非线性振动模型；(2)硅微谐振式加速度计非线性振动的不确定分析；(3)硅微谐振式加速度计输入参数对非线性振动的影响。忽略梳齿的转动惯量，简化梳齿为质点，建立带梳齿结构的谐振器非线性振动模型；建立样本随机模型，对输入参数进行随机收敛分析得到最小样本数，将确定的输入参数代入谐振梁非线性振动模型得到对应的输出参数；根据输出参数四分位差随输入参数方差系数的变化，分析输入参数对非线性振动的影响。本发明克服由于输入和输出参数的不确定性，无法分析其对非线性振动的影响程度问题。

Description

一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法

技术领域

本发明属于惯性技术领域，涉及一种硅微谐振式加速度计，特别涉及一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法，适用于谐振器结构参数设计以及非线性振动分析等。

背景技术

硅微谐振式加速度计是利用谐振原理直接检测谐振器的谐振频率变化检测加速度。由于硅微谐振式加速度计的谐振器尺寸微小，对加工精度有着极高的要求，细微的加工误差会使谐振梁非线性振动更加明显，从而使传感器的测量精度降低，严重时甚至会造成传感器不能正常工作。现阶段关于改善硅微谐振式加速度计非线性振动的方法并不多，大多从机械耦合、温度特性、工艺材料和封装这几个方面入手。本发明提出了一种利用不确定方法确定硅微谐振式加速度计非线性振动的方法，不确定方法最先于1987年应用于板桩围堰设计，而后Padmanabhan和Pitchumani应用随机模型研究了非等温填充过程和填充材料的不确定性对填充过程的影响。经过模型的改进，Hanawa和Mawardi采用基于采样的随机模型研究了光纤拉伸过程中的不确定性对折射率、残余应力、最大张力和缺陷浓度变异性的影响。到目前为止，随机模型已在工艺系统安全评估、树脂模塑、热熔基复合材料、质子交换膜(PEM)燃料电池、活体生物组织激光热损伤、测量流量脉动等方面得到了成功的应用。

在传感器的应用方面，2015年史慧超等在期刊《Sensors and Actuators》上发表的文章Nonlinear dynamics study based on uncertainty analysis inelectrothermal excited mems resonant sensor中运用不确定分析方法对电热激励的MEMS谐振式压力传感器做非线性分析，发现直流激励电压对硅微谐振式压力传感器非线性动力学的重要影响。但由于硅微谐振式加速度计的谐振器为梳齿结构的双端固支音叉，比膜片式结构更为复杂，针对梳齿驱动的硅微谐振式加速度计振动带来的非线性还无法确定。

随后他又在期刊《Microsystem Technologies》上发表的文章Design andoptimization of detf resonator based on uncertainty analysis in a micro-accelerometer中运用不确定方法分析了结构参数对硅微谐振式加速度计灵敏度和固有频率的影响，但并未进一步探究结构参数带来的振动非线性。本发明给出了一种确定谐振器的尺寸参数和单个梳齿质量对硅微谐振式加速度计振动非线性的方法，并进一步确定四个输入参数中对谐振器非线性振动影响较大者。因此本发明一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法将成为提高硅微谐振式加速度计性能的有力工具，将为硅微谐振式加速度计的应用带来非常广阔的前景，也会对惯性导航领域的技术发展做出突出的贡献。

发明内容

本发明的技术解决问题：克服由于输入和输出参数的不确定性，无法分析输入参数对硅微谐振式加速度计非线性振动影响程度的问题，提出一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法，建立了硅微谐振式加速度计的谐振梁非线性振动模型和样本随机模型，结合统计学理论，确定硅微谐振式加速度计的结构参数和单个梳齿质量对非线性振动的影响，大大提高了传感器的性能。

本发明的技术解决方案：一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法，其特点在于：忽略梳齿的转动惯量，简化梳齿为质点，建立带梳齿结构的谐振梁非线性振动模型；建立样本随机模型，对输入参数进行随机收敛分析得到最小样本数，将输入参数的样本集合代入建立的谐振梁非线性振动模型中，得到输出参数的样本集合，输入参数的不确定性导致输出参数的不确定性，从而获得输出参数的不确定程度；根据输出参数四分位差随输入参数方差系数的变化，分析输入参数对硅微谐振式加速度计非线性振动的影响。具体步骤如下：

第一步，忽略硅微谐振式加速度计的梳齿的转动惯量，简化梳齿为附加在双端固支梁上的质点，利用伽辽金原理和多尺度法得出微谐振式加速度计谐振器尺寸参数和单个梳齿质量与谐振器非线性振动的关系，建立谐振梁非线性振动模型。

第二步，假设谐振器尺寸参数和单个梳齿质量对应的选值集合都服从高斯分布，由于这些输入参数具有不确定性，对每个输入参数选值集合随机采样并组合成输入参数样本集合。先选择600个样本集合，分别对输入参数这600个样本集合进行随机收敛，收敛稳定时对应的样本数为输入参数的最小样本数Ns。定义非线性频率偏移与线性固有频率的比值为比例因子，输出参数包括线性固有频率、非线性频率偏移和比例因子。将Ns组输入参数的样本集合代入建立的确定的谐振梁振动模型中，得到输出参数的样本集合，从而获得输出参数的不确定程度。并对输出参数的样本集合进行随机收敛分析，若输出参数的样本集合也在最小样本数Ns处稳定收敛，则该最小样本数Ns满足要求，否则要增大最小样本数至使输出参数稳定收敛；

第三步，硅微谐振式加速度计非线性振动影响程度的确定。定义各输入参数分布的标准偏差与均值的比值即μ/σ为方差系数，代表输入参数的不确定性程度，其中平均值μ由输入参数的标称值表示，标准差σ表示输入参数的变化程度。四分位差为第25和75百分位处的输出参数值之差，代表输出参数的不确定度。根据输出参数的四分位差随输入参数的方差系数的变化曲线，确定输入参数对硅微谐振式加速度计非线性振动的影响。最终得到：谐振梁的长度和厚度是产生非线性振动的主要因素，谐振梁的宽度B和单个梳齿质量m_c的影响几乎可以忽略。

所述步骤一的具体实现过程：

(1)忽略梳齿的转动惯量，将梳齿简化为附加在双端固支梁上的质点，由欧拉-伯努利梁模型可得谐振梁的非线性振动方程，根据伽辽金原理求解该非线性振动方程，硅微谐振式加速度计的谐振梁非线性振动模型可用如下二阶微分方程表示：

k₁和k₃分别为等效线性刚度系数和非线性刚度系数：

k₁＝1

F_eq为等效激励力幅值为：

其中，u₁表示谐振梁的一阶振型对应的广义坐标，φ₁(x)为谐振梁的第一阶振型，Q表示谐振梁的一阶模态振动机械品质因数，ω表示谐振梁的驱动频率，

表示谐振梁的线性固有频率，t为时间，

表示谐振梁振动的线性固有频率，m_c为谐振梁上的单个梳齿集中质量，N为谐振梁上的梳齿电容对数，ε₀为真空中的介电常数8.85×10^-12F/m，b_e为谐振梁上梳齿的宽度，g为谐振梁上梳齿电容两极板间隙，U_p为加在结构电极上的直流电压，U_p＝10U_d，

为梳齿集中质量距离谐振梁某一固支端的距离，

为第i个梳齿集中质量的坐标，ρ和E分别为谐振梁材料密度和杨氏模量，L为谐振梁长度，B为谐振梁宽度，H为谐振梁厚度，I为谐振梁的惯性矩，

为谐振梁横截面回转半径，δ为单位冲激函数；

(2)从谐振梁非线性振动模型中，根据非线性刚度系数k₃解算出线性固有频率的表达式为

表示谐振梁振动的线性固有频率。利用多尺度法可到谐振梁的幅频响应和相频响应方程：

其中，

a为实数，

为谐振梁横截面回转半径，ε为多尺度法中的小参数，μ＝1/2Qε，K＝F_eq/ε，γ为谐振梁相移。

采用锁相闭环电路跟踪加速度计的固有频率时，谐振梁相移γ被锁定于

时可得频率跟踪误差E_r，进而得到非线性频率偏移的表达式为

比例因子的表达式为

所述步骤二的具体实现过程：

(1)假设谐振器尺寸参数和单个梳齿质量对应的选值集合都服从高斯分布，由于这些输入参数具有不确定性，采用蒙特卡罗抽样方法随机选取各个输入参数集合中的选值，并组合成输入参数样本集合。先选择600个样本集合，分别对输入参数这600个样本集合进行随机收敛。在随机收敛过程中，输入参数的均值和标准差将收敛到高斯分布的名义均值和标准差，收敛稳定时对应的样本数为输入参数的最小样本数；

(2)定义非线性频率偏移与线性固有频率的比值为比例因子，输出参数包括线性固有频率、非线性频率偏移和比例因子。将输入参数的样本集合代入建立的确定的谐振梁非线性振动模型中，得到输出参数的样本集合，输入参数的不确定性导致输出参数的不确定性，从而获得输出参数的不确定程度。对输出参数做随机收敛分析，若输出参数的均值和标准差在最小样本数处的波动幅度为3％之内，则该最小样本数满足要求。

所述步骤三的具体实现过程：

(1)选择谐振梁尺寸参数及单个梳齿质量作为输入参数，假设所有输入参数都服从高斯分布，定义各输入参数分布的标准偏差与均值的比值即μ/σ为方差系数，代表输入参数的不确定性程度，其中平均值μ由不确定度参数的标称值表示，标准差σ表示输入参数的变化程度。四分位差为第25和75百分位处的输出参数值之差，代表输出参数的不确定度。输出参数线性固有频率、非线性频率偏移和比例系数的四分位差为输入参数谐振梁的长度L、宽度B、厚度H和单个梳齿质量m_c的方差系数的函数。当某一个输入参数的方差系数从0.01到0.09变化时，其他输入参数的方差系数保持为0.01不变。由此得到输出参数的四分位差随该输入参数的方差系数的变化，同理可得出输出参数的四分位差随各个输入参数的方差系数变化的函数；

(2)根据输出参数的四分位差随输入参数方差系数的函数关系变化曲线，确定谐振器尺寸参数和单个梳齿质量对硅微谐振式加速度计非线性振动的影响程度，如果输出参数随输入参数变化的曲线陡峭，则说明该输入参数对谐振器非线性振动的影响大；反之，若该函数关系变化曲线趋势为平缓，则表明与之对应的输入参数对谐振器非线性振动影响小，即得到结果为：谐振梁的长度L和厚度H是产生硅微谐振式加速度计非线性振动的主要因素，谐振梁的宽度B和单个梳齿质量m_c的影响可忽略。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)由于硅微谐振式加速度计的谐振器尺寸微小，对加工精度有着极高的要求，而细微的加工误差会使谐振梁非线性振动更加明显，从而使传感器的测量精度降低，严重时甚至会造成传感器不能正常工作。本发明解决了由于输入和输出参数的不确定性，无法分析输入参数对硅微谐振式加速度计非线性振动影响程度的问题，并进一步确定四种尺寸参数中对谐振器非线性振动影响较大者，大大减小频率输出失真度，从而在后期生产制造时提供指导与参考。具有分析可靠、有效的特点。

(2)本发明量化分析谐振梁尺寸参数和单个梳齿质量对硅微谐振式加速度计非线性振动的影响程度，为谐振器设计提供了有力的依据，有效地提高了传感器性能。

附图说明

图1为本发明一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法示意图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明进行详细说明。

如图1所示，本发明包括以下三个基本步骤：(1)建立硅微谐振式加速度计的谐振梁非线性振动模型；(2)硅微谐振式加速度计非线性振动的不确定分析；(3)硅微谐振式加速度计输入参数对谐振梁非线性振动的影响。忽略梳齿的转动惯量，简化梳齿为质点，建立带梳齿结构的谐振器非线性振动模型；建立样本随机模型，对输入参数进行随机收敛分析得到最小样本数，将确定的输入参数代入谐振梁非线性振动模型中得到对应的输出参数；根据输出参数四分位差随输入参数方差系数的变化，分析输入参数对谐振梁非线性振动的影响。本发明克服由于输入和输出参数的不确定性，无法分析其对非线性振动的影响程度问题。结合统计学理论，确定硅微谐振式加速度计的尺寸参数和单个梳齿质量对非线性振动的影响，大大提高了实际生产中传感器的性能。

如图1所示，本发明具体实现如下。

(1)建立硅微谐振式加速度计的谐振梁非线性振动模型

1)忽略梳齿的转动惯量，将梳齿简化为附加在双端固支梁上的质点，由欧拉-伯努利梁模型可得谐振梁的非线性振动方程为：

其中c为谐振梁横向振动阻尼系数，m_c为谐振梁上单个梳齿集中质量，N为谐振梁上的梳齿电容对数，

为梳齿集中质量距离谐振梁某一固支端的距离，

为第i个梳齿集中质量的坐标，

为单个驱动梳齿产生的静电力，

为谐振梁横向振动位移，t为时间，ρ和E分别为谐振梁材料密度和杨氏模量，I为谐振梁的惯性矩，L为谐振梁长度，B为谐振梁宽度，H为谐振梁厚度，N为谐振梁上的梳齿电容对数，N_a为被测加速度引起的谐振梁轴向惯性力，N_r为残余应力，δ为单位冲激函数。

根据伽辽金原理，利用振型函数经运算处理可得到非线性振动方程的降阶模型。由于静电力分布关于谐振梁中点对称分布，且静电力频率接近谐振梁的一阶固有频率，因此可以认为谐振梁近似按一阶模态振动，可得到谐振梁振动的精确近似。处理后的非线性振动微分方程为：

k₁和k₃分别为等效线性刚度系数和非线性刚度系数：

k₁＝1 (3)

F_eq为等效激励力幅值为：

其中，u₁表示谐振梁的一阶振型对应的广义坐标，φ₁(x)为谐振梁的第一阶振型，Q表示谐振梁的一阶模态振动机械品质因数，ω表示谐振梁的驱动频率，t为时间，

表示谐振梁振动的线性固有频率，m_c为谐振梁上的单个梳齿集中质量，N为谐振梁上的梳齿电容对数，ε₀为真空中的介电常数8.85×10^-12F/m，b_e为谐振梁上梳齿的宽度，g为谐振梁上梳齿电容两极板间隙，U_p为加在结构电极上的直流电压，U_p＝10U_d，

为梳齿集中质量距离谐振梁某一固支端的距离，

为第i个梳齿集中质量的坐标，ρ和E分别为谐振梁材料密度和杨氏模量，L为谐振梁长度，B为谐振梁宽度，H为谐振梁厚度，I为谐振梁的惯性矩，

为谐振梁横截面回转半径，δ为单位冲激函数。

2)k₃/k₁为谐振梁非线性刚度系数和线性刚度系数之比，它能反映谐振梁振动非线性的强弱。根据非线性刚度系数k₃解算出线性固有频率的表达式为

采用多尺度法可以得到(2)式的近似解析解，由于非线性刚度系数k₃＜＜1，可将k₃指定为多尺度法中的小参数ε。通常情况下，硅微谐振式加速度计的谐振器工作于真空环境以获得高机械品质因数Q。加速度计工作时谐振梁近似按一阶固有频率振动，因此令ω＝1+ελ，其中λ为解谐参数。谐振梁按固有频率振动时，小的激励幅值即可引起谐振梁的大幅振动。采用多尺度法，将(2)式的解用不同的时间尺度表示，可得到谐振梁的幅频响应和相频响应方程：

其中，

a为实数，

为谐振梁横截面回转半径，ε为多尺度法中的小参数，μ＝1/2Qε，K＝F_eq/ε，γ为谐振梁相移。

采用锁相闭环电路跟踪加速度计的固有频率时，谐振梁相移γ被锁定于

将

代入相频响应方程(7)得谐振梁振动频率，根据幅频响应方程(6)可得到加速度计锁相闭环系统的频率跟踪误差E_r，进而可得非线性频率偏移的表达式为

比例因子为

由此便建立了输入参数与输出参数之间的联系。

(2)硅微谐振式加速度计非线性振动的不确定分析

1)选择谐振梁的尺寸参数及单个梳齿质量作为输入参数，并假设所有输入参数对应的选值集合都服从高斯分布。高斯分布由平均值μ和标准偏差σ定义，其中平均值由输入参数的标称值表示，标准偏差表示输入参数偏离均值的程度。分别选择谐振梁长度L、宽度B、厚度H和单个梳齿质量m_c的标称平均值。

2)在确定输入参数的分布后，由于这些输入参数具有不确定性，采用蒙特卡罗抽样方法随机选取各个输入参数集合中的选值，并组合成输入参数样本集合。先选择600个样本集合，分别对输入参数这600个样本集合进行随机收敛，收敛稳定时对应的样本数为输入参数的最小样本数。在随机收敛过程中，输入参数的均值和标准差将收敛到高斯分布的名义均值和标准差。对输入参数均值的随机收敛分析，输入参数的平均值收敛很快，当样本数大于某个数值时，各输入参数的均值波动幅度收敛。对输入参数标准差的随机收敛分析，当样本数大于某个数值时，各输入参数的标准偏差波动幅度收敛。综合考虑输入参数均值和标准偏差的随机收敛结果，选择能使输入参数的均值和标准差波动幅度控制在3％之内的样本数为最小样本数Ns。

3)定义非线性频率偏移与线性固有频率的比值为比例因子，输出参数包括线性固有频率、非线性频率偏移和比例因子。将Ns组输入参数的样本集合代入建立的确定的硅微谐振式加速度计的谐振梁非线性振动模型中，得到输出参数的样本集合，输入参数的不确定性导致输出参数的不确定性，从而获得输出参数的不确定程度。并对输出参数的样本集合进行随机收敛分析，使输出参数线性固有频率、非线性频率偏移和比例系数的均值和标准差在最小样本数处的波动幅度控制在3％之内，则该最小样本数满足要求。

(3)硅微谐振式加速度计输入参数对非线性振动的影响

1)定义各输入参数分布的标准偏差与均值的比值即μ/σ为方差系数，代表输入参数的不确定性程度，其中平均值μ由输入参数的标称值表示，标准差σ表示输入参数的变化程度。可见，当输入参数的均值很小而标准差很大时，方差系数很大，而确定参数的方差系数为零。用四分位差表示输出参数的不确定程度，该值代表输出参数分布中25％概率位置对应值与75％概率位置对应值的差值。输出参数线性固有频率、非线性频率偏移和比例系数的四分位差为输入参数谐振梁的长度L、宽度B、厚度H和单个梳齿质量m_c的方差系数的函数。当某一个输入参数的方差系数从0.01到0.09变化时，其他输入参数的方差系数保持为0.01不变。由此得到输出参数的四分位差随该输入参数的方差系数的变化，同理可得出输出参数的四分位差随各个输入参数的方差系数变化的函数。

2)通过线性固有频率的四分位差随各个输入参数的方差系数的变化结果可以看出，当谐振梁长度L的方差系数增加时，线性固有频率的四分位差显著增加。此外，当谐振梁厚度H的方差系数逐渐增加时，线性固有频率的四分位差也相应增加。因此，谐振梁的长度L和谐振梁的厚度H对硅微谐振式加速度计的线性固有频率的四分位差影响较大，其他输入参数影响较小。通过非线性频率偏移的四分位差随每个输入参数的方差系数的变化结果可以看出，当谐振梁厚度H的方差系数逐渐增加时，非线性频率偏移的四分位差显著增加。此外，当谐振梁长度L的方差系数逐渐增加时，非线性频率偏移的四分位差也相应增加。因此，谐振梁的长度L和厚度H对硅微谐振式加速度计的非线性频率偏移影响较大。比例因子是非线性频率偏移与固有频率的比值，代表着输入参数对非线性振动的影响程度。从比例因子的四分位差随每个输入参数的方差系数的变化结果看出，谐振梁的长度L和厚度H的方差系数对比例因子的四分位差影响大。

综上，四个输入参数中，谐振梁的长度L和厚度H是使谐振梁非线性振动更加明显的主要因素，谐振梁的宽度B和单个梳齿质量m_c的影响几乎可以忽略。在加工和优化传感器的过程中，要调整谐振梁长度和厚度，使谐振器工作在最佳状态。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

提供以上实施仅仅是为了描述本发明的目的，而并非要限制本发明的范围。本发明的范围由所附权利要求限定。不脱离本发明的精神和原理而做出的各种等同替换和修改，均应涵盖在本发明的范围之内。

Claims (4)

1.一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法，其特征在于，步骤如下：

第一步，忽略硅微谐振式加速度计的梳齿的转动惯量，简化梳齿为附加在双端固支梁上的质点，利用伽辽金原理和多尺度法得出微谐振式加速度计谐振器尺寸参数和单个梳齿质量与谐振器非线性振动的关系，建立谐振梁非线性振动模型；

第二步，硅微谐振式加速度计非线性振动的不确定分析，假设谐振器尺寸参数和单个梳齿质量对应的选值集合都服从高斯分布，由于这些输入参数具有不确定性，对每个输入参数选值集合随机采样并组合成输入参数样本集合；先选择600个样本集合，分别对输入参数这600个样本集合进行随机收敛，收敛稳定时对应的样本数为输入参数的最小样本数Ns；定义非线性频率偏移与线性固有频率的比值为比例因子，输出参数包括线性固有频率、非线性频率偏移和比例因子；将Ns组输入参数的样本集合代入建立的确定的谐振梁非线性振动模型中，得到输出参数的样本集合，从而获得输出参数的不确定程度，并对输出参数的样本集合进行随机收敛分析，若输出参数的样本集合也在最小样本数Ns处稳定收敛，则该最小样本数Ns满足要求，否则要增大最小样本数至使输出参数稳定收敛；

第三步，定义各输入参数分布的标准偏差与均值的比值即μ/σ为方差系数，代表输入参数的不确定性程度，其中平均值μ由输入参数的标称值表示，标准差σ表示输入参数的变化程度，四分位差为第25和75百分位处的输出参数值之差，代表输出参数的不确定度；根据输出参数的四分位差随输入参数的方差系数的变化曲线，确定输入参数对硅微谐振式加速度计非线性振动的影响，得到结果是谐振梁的长度和厚度是产生硅微谐振式加速度计非线性振动的主要因素，谐振梁的宽度和单个梳齿质量的影响几乎忽略。

2.根据权利要求1所述一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法，其特征在于：所述第一步，具体实现过程：

(1)忽略梳齿的转动惯量，将梳齿简化为附加在双端固支梁上的质点，由欧拉-伯努利梁模型得到谐振梁的非线性振动方程，根据伽辽金原理求解该非线性振动方程，谐振梁非线性振动模型用如下二阶微分方程表示：

k₁和k₃分别为谐振梁等效线性刚度系数和非线性刚度系数：

k₁＝1

F_eq为等效激励力幅值为：

其中，u₁表示谐振梁的一阶振型对应的广义坐标，φ₁(x)为谐振梁的第一阶振型，Q表示谐振梁的一阶模态振动机械品质因数，ω表示谐振梁的驱动频率，t为时间，

表示谐振梁振动的线性固有频率，m_c为谐振梁上的单个梳齿集中质量，N为谐振梁上的梳齿电容对数，ε₀为真空中的介电常数8.85×10^-12F/m，b_e为谐振梁上梳齿的宽度，g为谐振梁上梳齿电容两极板间隙，U_p为加在结构电极上的直流电压，U_p＝10U_d，

为梳齿集中质量距离谐振梁某一固支端的距离，

为第i个梳齿集中质量的坐标，ρ和E分别为谐振梁材料密度和杨氏模量，L为谐振梁长度，B为谐振梁宽度，H为谐振梁厚度，I为谐振梁的惯性矩，

为谐振梁横截面回转半径，δ为单位冲激函数；

(2)从谐振梁非线性振动模型中，根据非线性刚度系数k₃解算出线性固有频率的表达式为

表示谐振梁振动的线性固有频率，利用多尺度法得到谐振梁的幅频响应和相频响应方程：

其中，

a为实数，

为谐振梁横截面回转半径，ε为多尺度法中的小参数，μ＝1/2Qε，K＝F_eq/ε，γ为谐振梁相移；

采用锁相闭环电路跟踪加速度计的固有频率时，谐振梁相移γ被锁定于

时得频率跟踪误差E_r，进而得到非线性频率偏移的表达式为

比例因子的表达式为

3.根据权利要求1所述一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法，其特征在于：所述第二步，具体实现过程：

(1)设谐振器尺寸参数和单个梳齿质量对应的选值集合都服从高斯分布，由于这些输入参数具有不确定性，采用蒙特卡罗抽样方法随机选取各个输入参数集合中的选值，并组合成输入参数样本集合；先选择600个样本集合，分别对输入参数这600个样本集合进行随机收敛；在随机收敛过程中，输入参数的均值和标准差将收敛到高斯分布的名义均值和标准差，收敛稳定时对应的样本数为输入参数的最小样本数；

(2)定义非线性频率偏移与线性固有频率的比值为比例因子，输出参数包括线性固有频率、非线性频率偏移和比例因子；将输入参数的样本集合代入建立的确定的谐振梁非线性振动模型中，得到输出参数的样本集合，输入参数的不确定性导致输出参数的不确定性，从而获得输出参数的不确定程度；对输出参数做随机收敛分析，若输出参数的均值和标准差在最小样本数处的波动幅度为3％之内，则该最小样本数满足要求。

4.根据权利要求1所述一种硅微谐振式加速度计非线性振动确定方法，其特征在于：所述第三步，具体实现过程如下：

(1)选择谐振梁尺寸参数及单个梳齿质量作为输入参数，假设所有输入参数都服从高斯分布，定义各输入参数分布的标准偏差与均值的比值即μ/σ为方差系数，代表输入参数的不确定性程度，其中平均值μ由不确定度参数的标称值表示，标准差σ表示输入参数的变化程度；四分位差为第25和75百分位处的输出参数值之差，代表输出参数的不确定度；输出参数线性固有频率、非线性频率偏移和比例系数的四分位差为输入参数谐振梁的长度L、宽度B、厚度H和单个梳齿质量m_c的方差系数的函数；当某一个输入参数的方差系数从0.01到0.09变化时，其他输入参数的方差系数保持为0.01不变；由此得到输出参数的四分位差随该输入参数的方差系数的变化，同理可得出输出参数的四分位差随各个输入参数的方差系数变化的函数；

(2)根据输出参数的四分位差随输入参数方差系数的函数关系变化曲线，确定谐振器尺寸参数和单个梳齿质量对硅微谐振式加速度计非线性振动的影响程度，如果输出参数随输入参数变化的曲线陡峭，则说明该输入参数对谐振器非线性振动的影响大；反之，若该函数关系变化曲线趋势为平缓，则表明与之对应的输入参数对谐振器非线性振动影响小，即得到结果为：谐振梁的长度L和厚度H是产生硅微谐振式加速度计非线性振动的主要因素，谐振梁的宽度B和单个梳齿质量m_c的影响可忽略。

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