CN112101731A - 一种基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法，该方法需要构建一个融合基元模型、核典型相关分析、Nystrom近似技术、Hotelling T²和SPE检测图方法的混合核典型相关分析模型，再通过构建的混合核典型相关分析模型监测污水厂的运行情况：利用基元模型对污水厂的数据进行清洗和信息融合，通过Nystrom近似技术对高维数据进行压缩，同时通过Hotelling T²和SPE统计量分别构建质量相关检测图和质量不相关检测图；最后，利用核密度估计设置检测图的控制线，从而实现对污水厂质量相关的故障进行有效监测。本发明简单实用、在线辨识精度高、控制便捷，为污水厂难测故障的实时监测提供了一种方法。

Description

一种基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法

技术领域

本发明涉及污水厂在线故障监测的技术领域，尤其是指一种基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法。

背景技术

在线监测是当前研究的热门课题，尤其是对于污水厂来说。由于污水厂故障会直接导致出水水质不达标。当不达标的污水排到河流中，不仅会给环境造成巨大的破坏。同时也会给社区居民身体带来不可逆的伤害。而高效的在线监测技术，可以为污水厂提供及时的报警和指导。从而为污水厂节省相当数量的设备更换和维修费用，以及环境监管部门的巨额罚单。

污水处理厂存储的数据里面通常含有设备操作和生化反应的信息。如果可以利用模型提取这些有用信息，就能够为污水厂提供有效监测。现有的在线监测方法中，有利用主成分分析和神经网络进行在线监测。但是这些方法都没有同时考虑数据的非线性和在线监测是实时性问题。为了应对这些这些问题，核主成分分析被提出去监测非线性化工过程。虽然相比于神经网络比较省时，但是仍然无法满足污水处理过程是实时性要求。最重要的一点是，这些方法都无法对出水水质相关故障进行有效的在线监测。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提出了一种基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法，能够实现对水质相关的故障进行在线监测。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：一种基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法，该方法需要构建一个融合了基元模型、核典型相关分析、Nystrom近似技术、Hotelling T²和SPE检测图方法的混合核典型相关分析模型，再通过构建的混合核典型相关分析模型监测污水厂的运行情况，其过程是：首先，利用基元模型对污水厂的数据进行清洗和信息融合，然后利用映射函数把数据映射到高维特征空间，为了减少运算时间，通过Nystrom近似技术对高维数据进行压缩，同时通过Hotelling T²和SPE统计量分别构建质量相关检测图和质量不相关检测图；最后，利用核密度估计设置检测图的控制线，从而实现对污水厂质量相关的故障进行有效监测。

所述的基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法，包括以下步骤：

1)数据采集和基元建模

1.1)首先确定污水厂数据采集的传感器和采样间隔，然后对采集的数据进行整理；

1.2)利用基元模型对采集的数据样本进行融合处理：

利用采集的数据建立如下的离线状态基元：

式中，

是指系统在t时刻建立的状态基元，其中θ是指一个系统；x＝[x₁,x₂,…,x_m]是指m个传感器采集的数据，x_m表示第m个传感器采集的数据；

是指传感器采集数据的统计状态值(可以指极值，方差，均值等)；x_mt表示第m个传感器在t时刻采集的数据；

表示第m个传感器采集数据的统计状态值；

根据数据建立经典域基元和节域基元：

其中，

表示系统θ^norm在正常工况下抽象的经典域；x＝[x₁,x₂…,x_p+q]是指p+q个传感器采集的数据，x₁和x_p+q分别表示第1个和第p+q个传感器采集的数据；

表示系统第一个传感器采集数据的统计状态值，x_1n是指第一个传感器第n次采样数据；本研究提取的统计状态值是极大值和极小值，x_1,min和x_1,max分别表示极小值和极大值；

是指第p+q个传感器采集数据的极大值和极小值；

是指系统θ^norm在正常工况下抽象的节域，是通过可拓学理论和工程师经验扩展的；由于实际工业过程中，采样的次数是有限的，而且，扰动和过程不确定性的存在，经典域很难完整描述系统状态，所以建立新的节域对原有的基元模型进行拓展；

是指p+q个传感器采集的数据通过可拓学理论和规则拓展的统计状态向量；

表示系统第一个传感器采集数据通过可拓学理论和规则拓展的统计状态值；x'_1,min和x'_1,max分别表示第一个传感器采集的数据经可拓学规则拓展的最大值和最小值，其中x'_1,min＝x_1,min-ξ(x_1,max-x_1,min)，x'_1,max＝x_1,max+ξ(x_1,max-x_1,min)，ξ表示罚参数，用来调整节域范围；为了消除量纲的影响，需要构建一个合理的关联度函数来评估系统转换的临界范围，关联度函数是用来定量描述离线模型的基元和测试数据的关系，建立如下的关联度函数：

其中，ρ(x_ij,M^C(*))是指x_ij和经典域M^C(*)的距离，x_ij表示第i个传感器的第j次采样；δ(x_ij,M^C(*),M^S(*))是指x_ij和M^C(*),M^S(*)的距离，M^C(*)和M^S(*)分别指经典域基元和节域基元；通过基元模型和关联度函数，可以对在线测试数据节域内的损失数据进行补偿，节域外的故障数据进行放大；然后利用模糊信息处理规则对关联度函数不同层级的信息进行融合处理；

2)非线性映射和Nystrom近似

通过上述基元模型对数据进行可拓化处理后，假设训练数据矩阵为U_train＝[U_X,U_Y]∈R^(p+q)*n，测试数据矩阵为V_test∈R^(p+q)*n；其中，U_X和U_Y分别表示训练数据的过程数据和输出数据；R^(p+q)*n表示维数为(p+q)*n的数据空间；p+q是指传感器个数，n是采样次数；为了呈现非线性数据的内部结构，首先将数据映射到高维数据空间：

其中，φ是映射函数，φ(U_X)和φ(U_Y)分别表示过程数据矩阵和输出数据矩阵在高维空间的映射；φ(x_n)和φ(y_n)分别表示第n次采样数据的映射；为了避免维数灾难，通过核track的思想，定义相应核函数一般表达式为K_X＝<φ(U_X),φ(U_X)>＝φ(U_X)^Tφ(U_X)，K_Y＝φ(U_Y)^Tφ(U_Y)；K_X是指过程数据的核矩阵；K_Y是指输出数据的核矩阵；虽然核函数能够避免映射函数求解和其带来的维数灾难，但高维核函数仍然会带来耗时问题，为了解决这个问题，相应的低秩近似如下所示：

其中，

是核矩阵K的Nystrom近似；

表示特征向量矩阵，

表示特征值矩阵；

和

是相应的特征值和特征向量，计算公式如下所示：

其中，τ是核函数空间的任意低维子空间维数，m≤τ≤n；

表示任意维数为τ的子空间的特征值，

表示对应的特征向量；K_n,τ是K的子矩阵；

3)检测图构建

假设H_X和H_Y分别是φ(U_X)＝[φ(x₁)…φ(x_n)]和φ(U_Y)＝[φ(y₁)…φ(y_n)]张成的完备内积空间，其中φ(*)是指映射函数；由完备内积空间的性质可知，完备空间H_X和H_Y的任意变量，都可以用它们的一组基表示；所以存在f₁∈H_X和f₂∈H_Y，使得：

其中，φ(x_i)和φ(y_i)分别表示第i次采样数据的映射；f₁和f₂分别表示完备空间H_X和H_Y的任意变量；

和

表示相应权重系数；典型相关分析的核心是求特征向量W_X和W_Y使得f₁ ^Tφ(U_X)和

有最大的相关性，为了便于后续推导，令φ(U_X)＝φ(X)，φ(U_Y)＝φ(Y)；φ(X)和φ(Y)分被表示输入数据和输出数据经过在高维空间的映射；求解公式能够构造如下公式：

其中，

表示两组变量的典型相关分析公式；针对映射函数φ(*)的表达式难以求解，能够利用核函数代替映射函数，这里核函数是经过Nystrom近似获得的；然后通过拉格朗日乘子法和广义特征值求解相应的特征向量W_X和W_Y；

为了监测污水厂质量相关的故障，需要构建相应的检测图，首先根据核典型相关分析提取的输入-输出的数据空间信息，利用两者差值构建如下的质量相关T²检测图：

这里

Z表示输出空间和输入空间的残差矩阵，W_X和W_Y分别是输入空间和输出空间的特征向量；

和

是相应的负载矩阵；K_X和K_Y分别表示输入空间和输出空间的核矩阵；协方差矩阵

Λ_r表示特征值矩阵，Λ_r＝diag(λ₁,,…,λ_r)，λ_r表示第r个特征值；I_r表示维数为r的单位矩阵；

另外，为了对污水处理过程产生的质量不相关故障进行监测，相应的SPE检测图构建如下：

其中，I表示单位矩阵，SPE是指均方预测误差，SPE检测图能够对污水处理过程的非质量相关的故障进行监测；

4)控制线设置

核密度估计是概率论中重要的非参数估计方法，在此，利用核密度估计设计上述检测图的控制线，对应的公式如下：

表示核密度函数p(T²)在区间

上的积分，P(SPE＜UCL_SPE)表示核密度函数p(SPE)在区间[-∞ UCL_SPE]的积分；

是指置信上界，

和ULC_SPE分别表示T²和SPE的控制线；

5)混合核典型相关分析在线监测

基于离线数据训练混合核典型相关分析模型，并获得相应的控制线；然后利用训练好的混合核典型相关分析模型监测污水厂的运行情况，如果实时数据出现如下情况：

或者SPE＞ULC_SPE

这就表示污水厂出现故障，混合核典型相关分析模型会给出报警指令。

本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：

1、本发明能够对污水厂的难测故障进行实时监测，特别是污水厂的质量相关故障。

2、本发明不需要对污水厂的水质测试，也不需要对污水厂的设备进行全部检修和评估，只需要通过离线数据训练提出的混合核典型相关分析模型，模型会提取数据中蕴含的系统状态信息。

3、在污水厂的不同节点配备本发明提出的混合核典型相关分析模型，混合核典型相关分析模型会在故障出现的时候及时给出报警指令，现场工程师可以根据不同部位的报警指令及时给出相应的策略。

4、本发明能够对污水厂复杂的故障进行有效辨识，尤其是当数据的非线性特性掩盖了故障信号时，本发明可以对这类工况的故障进行有效辨识。

5、本发明的故障识别的响应更加迅速，故障诊断精度和灵敏度更高。

6、本发明主要依靠数据来驱动，因此只需要一台笔记本就可以完成对污水厂的实时监测，这样不仅可以为污水厂节省大量的水质测试费用，也可以为污水厂减少人力物力的消耗；另外，本发明对污水厂进行实时监测，也一定程度上可以辅助污水厂的安全高效运行。

附图说明

图1是本发明方法流程图。

图2是本发明的质量相关故障检测图。

图3是本发明的非质量相关故障的检测图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步说明。

本实施例提供了一种基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法，该方法需要构建一个融合了基元模型、核典型相关分析、Nystrom近似技术、Hotelling T²和SPE检测图方法的混合核典型相关分析模型，再通过构建的混合核典型相关分析模型监测污水厂的运行情况，其过程是：首先，利用基元模型对污水厂的数据进行清洗和信息融合，然后利用映射函数把数据映射到高维特征空间，为了减少运算时间，通过Nystrom近似技术对高维数据进行压缩，同时通过Hotelling T²和SPE统计量分别构建质量相关检测图和质量不相关检测图；最后，利用核密度估计设置检测图的控制线，从而实现对污水厂质量相关的故障进行有效监测。

如图1所示，上述的污水厂在线故障监测方法，包括如下步骤：

1)数据采集和基元建模

1.1)首先确定污水厂数据采集的传感器和采样间隔，然后对采集的数据进行整理；

1.2)利用基元模型对采集的数据样本进行融合处理：

利用采集的数据建立如下的离线状态基元：

式中，

是指系统在t时刻建立的状态基元，其中θ是指一个系统；x＝[x₁,x₂,…,x_m]是指m个传感器采集的数据，x_m表示第m个传感器采集的数据；

是指传感器采集数据的统计状态值(可以指极值，方差，均值等)；x_mt表示第m个传感器在t时刻采集的数据；

表示第m个传感器采集数据的统计状态值；

根据数据建立经典域基元和节域基元：

其中，

表示系统θ^norm在正常工况下抽象的经典域；x＝[x₁,x₂…,x_p+q]是指p+q个传感器采集的数据，x₁和x_p+q分别表示第1个和第p+q个传感器采集的数据；

表示系统第一个传感器采集数据的统计状态值，x_1n是指第一个传感器第n次采样数据；本实施例提取的统计状态值是极大值和极小值，x_1,min和x_1,max分别表示极小值和极大值；

是指第p+q个传感器采集数据的极大值和极小值；

是指系统θ^norm在正常工况下抽象的节域，是通过可拓学理论和工程师经验扩展的；由于实际工业过程中，采样的次数是有限的，而且，扰动和过程不确定性的存在，经典域很难完整描述系统状态，所以建立新的节域对原有的基元模型进行拓展；

是指p+q个传感器采集的数据通过可拓学理论和规则拓展的统计状态向量；

表示系统第一个传感器采集数据通过可拓学理论和规则拓展的统计状态值；x'_1,min和x'_1,max分别表示第一个传感器采集的数据经可拓学规则拓展的最大值和最小值，其中x'_1,min＝x_1,min-ξ(x_1,max-x_1,min)，x'_1,max＝x_1,max+ξ(x_1,max-x_1,min)，ξ表示罚参数，用来调整节域范围；为了消除量纲的影响，需要构建一个合理的关联度函数来评估系统转换的临界范围，关联度函数是用来定量描述离线模型的基元和测试数据的关系，建立如下的关联度函数：

其中，ρ(x_ij,M^C(*))是指x_ij和经典域M^C(*)的距离，x_ij表示第i个传感器的第j次采样；δ(x_ij,M^C(*),M^S(*))是指x_ij和M^C(*),M^S(*)的距离，M^C(*)和M^S(*)分别指经典域基元和节域基元；通过基元模型和关联度函数，我们可以对在线测试数据节域内的损失数据进行补偿，节域外的故障数据进行放大；然后利用模糊信息处理规则对关联度函数不同层级的信息进行融合处理；

2)非线性映射和Nystrom近似

通过上述基元模型对数据进行可拓化处理后，假设训练数据矩阵为U_train＝[U_X,U_Y]∈R^(p+q)*n，测试数据矩阵为V_test∈R^(p+q)*n；其中，U_X和U_Y分别表示训练数据的过程数据和输出数据；R^(p+q)*n表示维数为(p+q)*n的数据空间；p+q是指传感器个数，n是采样次数；为了呈现非线性数据的内部结构，首先将数据映射到高维数据空间：

其中，φ是映射函数，φ(U_X)和φ(U_Y)分别表示过程数据矩阵和输出数据矩阵在高维空间的映射；φ(x_n)和φ(y_n)分别表示第n次采样数据的映射；为了避免维数灾难，通过核track的思想，定义相应核函数一般表达式为K_X＝<φ(U_X),φ(U_X)>＝φ(U_X)^Tφ(U_X)，K_Y＝φ(U_Y)^Tφ(U_Y)；K_X是指过程数据的核矩阵；K_Y是指输出数据的核矩阵；虽然核函数能够避免映射函数求解和其带来的维数灾难，但高维核函数仍然会带来耗时问题，为了解决这个问题，相应的低秩近似如下所示：

其中，

是核矩阵K的Nystrom近似；

表示特征向量矩阵，

表示特征值矩阵；

和

是相应的特征值和特征向量，计算公式如下所示：

其中，τ是核函数空间的任意低维子空间维数，m≤τ≤n；

表示任意维数为τ的子空间的特征值，

表示对应的特征向量；K_n,τ是K的子矩阵；

3)检测图构建

假设H_X和H_Y分别是φ(U_X)＝[φ(x₁)…φ(x_n)]和φ(U_Y)＝[φ(y₁)…φ(y_n)]张成的完备内积空间，其中φ(*)是指映射函数；由完备内积空间的性质可知，完备空间H_X和H_Y的任意变量，都可以用它们的一组基表示；所以存在f₁∈H_X和f₂∈H_Y，使得：

其中，φ(x_i)和φ(y_i)分别表示第i次采样数据的映射；f₁和f₂分别表示完备空间H_X和H_Y的任意变量；

和

表示相应权重系数；典型相关分析的核心是求特征向量W_X和W_Y使得f₁ ^Tφ(U_X)和

有最大的相关性，为了便于后续推导，令φ(U_X)＝φ(X)，φ(U_Y)＝φ(Y)；φ(X)和φ(Y)分被表示输入数据和输出数据经过在高维空间的映射；求解公式能够构造如下公式：

其中，

表示两组变量的典型相关分析公式；针对映射函数φ(*)的表达式难以求解，能够利用核函数代替映射函数，这里核函数是经过Nystrom近似获得的；然后通过拉格朗日乘子法和广义特征值求解相应的特征向量W_X和W_Y；

为了监测污水厂质量相关的故障，需要构建相应的检测图，首先根据核典型相关分析提取的输入-输出的数据空间信息，利用两者差值构建如下的质量相关T²检测图：

这里

Z表示输出空间和输入空间的残差矩阵，W_X和W_Y分别是输入空间和输出空间的特征向量；

和

是相应的负载矩阵；K_X和K_Y分别表示输入空间和输出空间的核矩阵；协方差矩阵

Λ_r表示特征值矩阵，Λ_r＝diag(λ₁,,…,λ_r)，λ_r表示第r个特征值；I_r表示维数为r的单位矩阵；

另外，为了对污水处理过程产生的质量不相关故障进行监测，相应的SPE检测图构建如下：

其中，I表示单位矩阵，SPE是指均方预测误差，SPE检测图能够对污水处理过程的非质量相关的故障进行监测；

4)控制线设置

核密度估计是概率论中重要的非参数估计方法，在此，利用核密度估计设计上述检测图的控制线，对应的公式如下：

表示核密度函数p(T²)在区间

上的积分，P(SPE＜UCL_SPE)表示核密度函数p(SPE)在区间[-∞ UCL_SPE]的积分；

是指置信上界，

和ULC_SPE分别表示T²和SPE的控制线；

5)混合核典型相关分析在线监测

基于离线数据训练混合核典型相关分析模型，并获得相应的控制线；然后利用训练好的混合核典型相关分析模型监测污水厂的运行情况，如果实时数据出现如下情况：

或者SPE＞ULC_SPE

这就表示污水厂出现故障，混合核典型相关分析模型会给出报警指令。

为了验证本实施例上述污水厂在线故障监测方法的有效性，采用以下方式进行验证：

如图2和图3所示，是本发明提出的混合核典型相关分析模型对污水厂的氧气含量异常进行监测。氧气含量超标会影响污水处理过程的生化反应，进而导致出水水质菌类含量超标。

从图2和图3的实验结果来看，检测图精确的呈现了污水厂运行状态。图2是对质量相关故障的检测，图3是对非质量相关故障的检测。横坐标表示采样次数，纵坐标表示污水厂运行状态曲线。横线表示相应的控制线，控制线上方表示系统出现了故障。根据污水厂的具体情况，现场工程师每15分钟采集一次数据。模型监测显示，在污水厂运行到第700次采样的时候出现了故障。根据现场分析，该故障是由于污水厂氧气含量异常导致的。由于本发明开发的混合核典型相关分析模型及时给出了报警指令，现场工作人员采取了有效的应对措施来降低故障的影响。针对这一类型的故障，混合核典型相关分析模型在后续的表现均能满足污水厂的需求，首先运行时间比为进行Nystrom近似模型降低了1.07％。质量相关的故障诊断精度为99.41％，质量无关的故障诊断精度为99.55％。

以上所述实施例只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (2)

1.一种基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法，其特征在于：该方法需要构建一个融合基元模型、核典型相关分析、Nystrom近似技术、Hotelling T²和SPE检测图方法的混合核典型相关分析模型，再通过构建的混合核典型相关分析模型监测污水厂的运行情况，其过程是：首先，利用基元模型对污水厂的数据进行清洗和信息融合，然后利用映射函数把数据映射到高维特征空间，为了减少运算时间，通过Nystrom近似技术对高维数据进行压缩，同时通过Hotelling T²和SPE统计量分别构建质量相关检测图和质量不相关检测图；最后，利用核密度估计设置检测图的控制线，从而实现对污水厂质量相关的故障进行有效监测。

2.根据权利要求1所述的一种基于混合核典型相关分析的污水厂在线故障监测方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)数据采集和基元建模

1.1)首先确定污水厂数据采集的传感器和采样间隔，然后对采集的数据进行整理；

1.2)利用基元模型对采集的数据样本进行融合处理：

利用采集的数据建立如下的离线状态基元：

式中，

是指系统在t时刻建立的状态基元，其中θ是指一个系统；x＝[x₁,x₂,…,x_m]是指m个传感器采集的数据，x_m表示第m个传感器采集的数据；

是指传感器采集数据的统计状态值；x_mt表示第m个传感器在t时刻采集的数据；

表示第m个传感器采集数据的统计状态值；

根据数据建立经典域基元和节域基元：

其中，

表示系统θ^norm在正常工况下抽象的经典域；x＝[x₁,x₂…,x_p+q]是指p+q个传感器采集的数据，x₁和x_p+q分别表示第1个和第p+q个传感器采集的数据；

表示系统第一个传感器采集数据的统计状态值，x_1n是指第一个传感器第n次采样数据；x_1,min和x_1,max分别表示极小值和极大值；

是指第p+q个传感器采集数据的极大值和极小值；

是指系统θ^norm在正常工况下抽象的节域，是通过可拓学理论和工程师经验扩展的；由于实际工业过程中，采样的次数是有限的，而且，扰动和过程不确定性的存在，经典域很难完整描述系统状态，所以建立新的节域对原有的基元模型进行拓展；

是指p+q个传感器采集的数据通过可拓学理论和规则拓展的统计状态向量；

表示系统第一个传感器采集数据通过可拓学理论和规则拓展的统计状态值；x'_1,min和x'_1,max分别表示第一个传感器采集的数据经可拓学规则拓展的最大值和最小值，其中x'_1,min＝x_1,min-ξ(x_1,max-x_1,min)，x'_1,max＝x_1,max+ξ(x_1,max-x_1,min)，ξ表示罚参数，用来调整节域范围；为了消除量纲的影响，需要构建一个合理的关联度函数来评估系统转换的临界范围，关联度函数是用来定量描述离线模型的基元和测试数据的关系，建立如下的关联度函数：

其中，ρ(x_ij,M^C(*))是指x_ij和经典域M^C(*)的距离，x_ij表示第i个传感器的第j次采样；δ(x_ij,M^C(*),M^S(*))是指x_ij和M^C(*),M^S(*)的距离，M^C(*)和M^S(*)分别指经典域基元和节域基元；通过基元模型和关联度函数，能够对在线测试数据节域内的损失数据进行补偿，节域外的故障数据进行放大；然后利用模糊信息处理规则对关联度函数不同层级的信息进行融合处理；

2)非线性映射和Nystrom近似

通过上述基元模型对数据进行可拓化处理后，假设训练数据矩阵为U_train＝[U_X,U_Y]∈R^(p+q)*n，测试数据矩阵为V_test∈R^(p+q)*n；其中，U_X和U_Y分别表示训练数据的过程数据和输出数据；R^(p+q)*n表示维数为(p+q)*n的数据空间；p+q是指传感器个数，n是采样次数；为了呈现非线性数据的内部结构，首先将数据映射到高维数据空间：

其中，φ是映射函数，φ(U_X)和φ(U_Y)分别表示过程数据矩阵和输出数据矩阵在高维空间的映射；φ(x_n)和φ(y_n)分别表示第n次采样数据的映射；为了避免维数灾难，通过核track的思想，定义相应核函数表达式为K_X＝<φ(U_X),φ(U_X)>＝φ(U_X)^Tφ(U_X)，K_Y＝φ(U_Y)^Tφ(U_Y)；K_X是指过程数据的核矩阵；K_Y是指输出数据的核矩阵；虽然核函数能够避免映射函数求解和其带来的维数灾难，但高维核函数仍然会带来耗时问题，为了解决这个问题，相应的低秩近似如下所示：

其中，

是核矩阵K的Nystrom近似；

表示特征向量矩阵，

表示特征值矩阵；

和

是相应的特征值和特征向量，计算公式如下所示：

其中，τ是核函数空间的任意低维子空间维数，m≤τ≤n；

表示任意维数为τ的子空间的特征值，

表示对应的特征向量；K_n,τ是K的子矩阵；

3)检测图构建

假设H_X和H_Y分别是φ(U_X)＝[φ(x₁) … φ(x_n)]和φ(U_Y)＝[φ(y₁) … φ(y_n)]张成的完备内积空间，其中φ(*)是指映射函数；由完备内积空间的性质可知，完备空间H_X和H_Y的任意变量，都能够用它们的一组基表示；所以存在f₁∈H_X和f₂∈H_Y，使得：

其中，φ(x_i)和φ(y_i)分别表示第i次采样数据的映射；f₁和f₂分别表示完备空间H_X和H_Y的任意变量；

和

表示相应权重系数；典型相关分析的核心是求特征向量W_X和W_Y使得f₁ ^Tφ(U_X)和

有最大的相关性，为了便于后续推导，令φ(U_X)＝φ(X)，φ(U_Y)＝φ(Y)；φ(X)和φ(Y)分被表示输入数据和输出数据经过在高维空间的映射；求解公式能够构造如下公式：

其中，

表示两组变量的典型相关分析公式；针对映射函数φ(*)的表达式难以求解，能够利用核函数代替映射函数，这里核函数是经过Nystrom近似获得的；然后通过拉格朗日乘子法和广义特征值求解相应的特征向量W_X和W_Y；

为了监测污水厂质量相关的故障，需要构建相应的检测图，首先根据核典型相关分析提取的输入-输出的数据空间信息，利用两者差值构建如下的质量相关T²检测图：

这里

Z表示输出空间和输入空间的残差矩阵，W_X和W_Y分别是输入空间和输出空间的特征向量；

和

是相应的负载矩阵；K_X和K_Y分别表示输入空间和输出空间的核矩阵；协方差矩阵

Λ_r表示特征值矩阵，Λ_r＝diag(λ₁,,…,λ_r)，λ_r表示第r个特征值；I_r表示维数为r的单位矩阵；

另外，为了对污水处理过程产生的质量不相关故障进行监测，相应的SPE检测图构建如下：

其中，I表示单位矩阵，SPE是指均方预测误差，SPE检测图能够对污水处理过程的非质量相关的故障进行监测；

4)控制线设置

核密度估计是概率论中重要的非参数估计方法，在此，利用核密度估计设计上述检测图的控制线，对应的公式如下：

表示核密度函数p(T²)在区间

上的积分，P(SPE＜UCL_SPE)表示核密度函数p(SPE)在区间[-∞ UCL_SPE]的积分；

是指置信上界，

和ULC_SPE分别表示T²和SPE的控制线；

5)混合核典型相关分析在线监测

基于离线数据训练混合核典型相关分析模型，并获得相应的控制线；然后利用训练好的混合核典型相关分析模型监测污水厂的运行情况，如果实时数据出现如下情况：

或者SPE＞ULC_SPE

这就表示污水厂出现故障，混合核典型相关分析模型会给出报警指令。

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