CN112068799B - 一种最优带符号二进制快速计算方法以及椭圆曲线标量乘法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种最优带符号二进制快速计算方法，以及基于该计算方法的群优化算法和加法群上的椭圆曲线标量乘法优化算法；最优带符号二进制快速计算方法，能够解决带符号二进制算法的最优化问题，包括群上的优化算法，其中加法群上的椭圆曲线标量乘法的优化算法，根据目标系统椭圆曲线上的三个基本运算点加ECADD，倍点ECDBL和点逆ECINV的运算耗费，对标量因子S进行优化，从S的所有(3/2)ⁿ个带符号的二进制表达式中，在O(n)时间复杂度和O(1)空间复杂度下，输出计算量最小的那一个带符号二进制表达式，通过计算椭圆曲线上的标量乘法得到运算结果。

Description

一种最优带符号二进制快速计算方法以及椭圆曲线标量乘法

技术领域

本发明涉及群特别是加法群算法领域，尤其是一种最优带符号二进制快速计算方法以及椭圆曲线标量乘法。

背景技术

在很多算法中，经常遇到大整数标量乘法，直接计算比较耗时，一般转化成原始二进制，采用二进制算法来计算，但是转化后的原始二进制还是比较大，需要进行优化。在加法群上的运算中同样存在这个问题，特别是在作为加法群的标量乘法中。

标量乘法是计算领域，特别是椭圆曲线密码学领域里的一个经典问题，在计算椭圆曲线上的标量乘法(Scalar Multiplication)Q＝SP时，P(x₁,y₁)和Q(x₂,y₂)是椭圆曲线上的两个点，其中x₁,y₁，x₂,y₂和S都是长度大于160bit的大整数。这个问题的优化，在椭圆曲线密码学的书Elliptic Curves in Cryptography中，经典的标量乘法快速运算所使用的算法如下：

以上算法1.1和1.2是二进制快速标量乘法算法，算法1.3和1.4是带符号二进制(BSD)标量乘法算法，文献中还提出了NAF算法，通过引入-1(为了方便，以下记为

)，能够降低标量因子S的二进制表示中非零值的个数，从而降低计算开销，达到快速计算的目的。在标量因子S中，记为(s_n,s_n-1,...,s₀)_BSD,

文献“On binarysigned digit representations of integers”中给出了S的所有带符号二进制表达式的总数量为(3/2)ⁿ个。

但是显然NAF算法并不能总是加快标量乘法的计算，例如：当S为十进制数11，

其中

是NAF表达式，其中没有任意两个非零的二进制位相邻，假如我们用ECADD来表示椭圆曲线上的点加运算(P+Q),用ECDBL来表示椭圆曲线上的倍点运算(P+P)，以及用ECINV来表示椭圆曲线上的点逆运算(-P)，这时就可以得到SP：

cost((1011)_BSDP)＝3ECADD+3ECDBL (1-4)

从以上可以看出，采用NAF算法的NAF表达式(1-1)并不能够得到最优的计算结果，最优的计算结果是(1-4)。

发明内容

本发明的发明目的在于：针对上述存在的问题，提供一种最优带符号二进制快速计算方法以及椭圆曲线标量乘法，通过最优带符号二进制快速计算方法，筛选出计算量最小的带符号二进制表达式，解决了大整数二进制的优化问题，同时在群这种代数系统中，特别是加法群上的椭圆曲线标量乘法中，在O(n)时间复杂度和O(1)空间复杂度内，找到最优的，计算最快速的带符号二进制表达式，从而使在带符号二进制椭圆曲线标量乘法运算的运算耗时最小，速度最快。

本发明采用的技术方案如下：

本发明一种最优带符号二进制快速计算方法，包括以下步骤：

S1：把数值S表示为二进制(s_n-1,s_n-2,...,s₀)₂,

用r＝(k,cost(k,i))来记录S从0扫描到第i位的计算耗费值，并用集合R来存放r记录，集合T初始化为空，用来做临时存储；

S2：初始化R＝{r＝(s,cost(s,-1))}；

S3：i从0开始，扫描每一个s_i，直到i等于n后结束；

S4：当i扫描到n以后结束，在R中查找耗费最小的那个记录r，并把r中的s值输出。

作为优选，所述S3具体包括：

S31：从集合R中取出每一个记录r，直到把集合R中的元素全部取出为止；

S32：集合R中的记录全部取完后，用过滤算法对T进行裁剪优化，然后把裁剪优化后的T赋值给R，T赋值为空，返回S3。

作为优选，S32为：T直接赋值给R，T赋值为空，i再增加1，开始扫描时对上一步的转换结果R进行裁剪优化。

作为优选，所述S31具体包括：

S311：把每一个取出来的记录r放入T中；

S312：考察r记录中的s[i]是否等于1，若不等于1，返回S31；若等于1，在当前位进行convert()变换，即加1形成进位，再加个-1把值还原回来，并且把变换后的记录加入T中，然后返回S31。

作为优选，所述S32中过滤算法对T进行裁剪优化的方法：

A:用r0来存放当前s[i]等于0的记录，并把cost值初始化为最大；用r1来存放当前s[i]等于1的记录，并把cost值初始化为最大；用r2来存放当前s[i]等于-1的记录，也把cost值初始化为最大；

B：从T中把每一个r记录取出用于过滤优化；

C：直到T中没有任何元素，然后把r0，r1和r2加入T集合中；

D:输出T集合。

作为优选，所述B中，若当前记录r中的s[i]等于0，比较r中的cost值是否小于r0中的cost值，把r和当前r0中cost值小的那个记录存入r0中；若当前记录r中的s[i]等于1，比较r中的cost值是否小于r1中的cost值，把r和当前r1中cost值小的那个记录存入r1中；若当前记录r中的s[i]等于-1，比较r中的cost值是否小于r2中的cost值，把r和当前r2中cost值小的那个记录存入r2中。

本发明一种加法群上的最优带符号二进制快速计算方法，包括以下步骤：将加法群中待转换的数值，转成原始二进制数值；利用最优带符号二进制快速计算方法，找到最优带符号二进制表达式，将最优带符号二进制表达式带入加法群中运算。

本发明基于最优带符号二进制快速计算方法的椭圆曲线标量乘法，包括以下步骤：

步骤一：分别测算椭圆曲线上的点加运算ECADD、倍点运算ECDBL和点逆运算ECINV的运算耗费值；

步骤二：根据运算耗费值，利用最优带符号二进制快速计算方法，得到标量因子S最优的带符号二进制表达式S’＝(s′_n,s′_n-1,...,s′₀)_BSD,

步骤三：通过计算椭圆曲线上的标量乘法Q＝S’P，得到运算结果。

作为优选，所述标量因子S为N进制数(N＝2,3,4......)或带符号N进制数(N＝2,3,4......)。

综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：

1、得到大整数二进制算法中计算量最小的带符号二进制表达式，运算耗费小，加快运算速度。

2、找到标量因子S的计算量最小的带符号二进制表达式，加快椭圆曲线标量乘法的运算速度。在本发明的技术方案中，当对标量因子S的各个位上计算耗费值的记录进行扫描时，对记录进行裁剪优化，筛选出计算量最小的带符号二进制表达式。

3、本发明技术方案能够找到椭圆曲线标量乘法运算中标量因子的最优的二进制表达式，而且是在O(n)时间复杂度，O(1)空间复杂度下，找到最优的二进制表达式。

4、本方案的标量因子S，可以是N进制数，甚至是带符号的N进制数(N＝2,3,4……)，只需要按权重展开转换成十进制数，然后再把该十进制数转成原始二进制数，或者直接从N进制直接转换为标准二进制，输入算法，都可以得到该标量因子S的最优二进制表达式。

5、本发明技术方案能够适用于所有群代数系统，根据目标系统的具体基础运算：扫描二进制表达式中(如本实例中的s[i])，每一步都会产生的运算的运算耗费(如本实例的ECDBL)，根据每一个s[i]的值会产生的运算耗费(如本实例中若s[i]等于1会产生ECADD，若s[i]等于-1会产生ECADD和ECINV)，根据这些基础运算的运算耗费进行计算，不局限于特定的三个基本运算的运算耗费；具体到椭圆曲线上的标量乘法这个实例，一般理论上ECADD和ECDBL运算耗费值接近且较大而ECINV的运算耗费值比较小，但是在实际中，三个基本运算的运算耗费有差异，本发明不受差异的影响，基于目标系统实际的运算耗费的测量值作为输入来计算就可以。

6、本发明所提出的椭圆曲线标量乘法只是群上的一个代表，所有的群上凡是可以用二进制算法解决的问题(算法1.1和1.2)，都能转化为带符号二进制算法(算法1.3和1.4)，也就都能用本发明去解决这一类问题，本发明能解决所有群上的带符号二进制算法的最优化问题。

具体实施方式

本说明书中公开的所有特征，或公开的所有方法或过程中的步骤，除了互相排斥的特征和/或步骤以外，均可以以任何方式组合。

本说明书(包括任何附加权利要求、摘要)中公开的任一特征，除非特别叙述，均可被其他等效或具有类似目的的替代特征加以替换。即，除非特别叙述，每个特征只是一系列等效或类似特征中的一个例子而已。

实施例一：

本发明一种最优带符号二进制快速计算方法，包括以下步骤：

S1：把数值S表示表示为二进制(s_n,s_n-1,...,s₀)₂,

用r＝(s,cost(s,i))来记录s从0扫描到第i位的计算耗费值，并用集合R来存放r记录，集合T初始化为空，用来做临时存储；

S2：初始化R＝{r＝(s,cost(s,-1))}；

S3：从0开始，扫描每一个s_i，直到i等于n后结束；(最多产生一位进位)

S31：从集合R中取出每一个记录r，直到把集合R中的元素全部取出为止；

S311：把每一个取出来的记录r放入T中；

S312：考察r记录中的s[i]是否等于1，若不等于1，返回S31；若等于1，在当前位进行convert()变换，即加1形成进位，再加个-1把值还原回来，并且把变换后的记录加入T中，然后返回S31；

S32：集合R中的记录全部取完后，用过滤算法对T进行裁剪优化，然后把优化后的T赋值给R，T再次赋值为空，返回S3；

对T进行裁剪优化，可以放在当前i扫描变换完成后对T裁剪后再赋值给R，也可以T直接赋值给R后，在新一轮(i增加1)开始时对上一轮的结果R进行裁剪；

S4：当i扫描到n结束以后，在R中查找耗费最小的那个记录r，并把r中的s值输出。

在实施例中，所述S32中用过滤算法对T进行裁剪优化的方法：

A:用r0来存放当前s[i]等于0的记录，并把cost值初始化为最大；用r1来存放当前s[i]等于1的记录，并把cost值初始化为最大；用r2来存放当前s[i]等于-1的记录，也把cost值初始化为最大；

B：从T中把每一个r记录取出；

所述B中，若当前记录r中的s[i]等于0，比较r中的cost值是否小于r0中的cost值，把r和当前r0中cost值小的那个记录存入r0中；若当前记录r中的s[i]等于1，比较r中的cost值是否小于r1中的cost值，把r和当前r1中cost值小的那个记录存入r1中；若当前记录r中的s[i]等于-1，比较r中的cost值是否小于r2中的cost值，把r和当前r2中cost值小的那个记录存入r2中；

C：确认目前T中没有元素，然后把r0，r1和r2加入T集合中；

D:输出T集合。

在另一个实施例中，与实施例一相比，S32为：T直接赋值给R，T赋值为空，在i增加1，开始扫描时对上一步的转换结果R进行裁剪优化。

实施例二：

在本实施例中，公开了一种群上的最优带符号二进制快速计算方法：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构。将群中的某个元素称为标量，对这个标量进行多次群上的运算，例如在本例中P就是集合中的一个元素，“+”为这个集合所定义的唯一的二元运算，这时候如果做P+P+......+P(S个P相加)，就可以写成SP，这时SP就可以用算法1.1和1.2计算。本发明可以把S转成原始二进制数值；利用实施例一中的最优带符号二进制快速计算方法，找到最优带符号二进制表达式，将最优带符号二进制表达式带入算法1.3和1.4中运算得到SP的结果。

实施例三：

在本实施例中，公开了一种基于最优带符号二进制快速计算方法的椭圆曲线标量乘法，包括以下步骤：

步骤一：分别测算椭圆曲线上的点加运算ECADD、倍点运算ECDBL和点逆运算ECINV的运算耗费值；

步骤二：根据运算耗费值，利用实施例一中的最优带符号二进制快速计算方法，得到标量因子S最优的带符号二进制表达式S’＝(s′_n,s′_n-1,...,s′₀)_BSD,

步骤三：通过计算椭圆曲线上的标量乘法Q＝S’P，得到运算结果。

在步骤一中，根据当前系统，测定出3个基本运算点加运算ECADD、倍点运算ECDBL和点逆运算ECINV的运算耗费，实验测出具体数值。

在记录s从0扫描到第i位的计算耗费前，需要确认当前系统的带符号的二进制算法，可以是算法1.3从左到右的，也可以是算法1.4从右到左的带符号二进制算法，算法1.3和算法1.4的INV的运算次数有差别；通常ECINV的理论值较小，远远小于另外两个运算的耗费；

在步骤二中的最优带符号二进制快速计算方法，算法细节如下：

Algorithm 1.5:Optimal Signed Binary algorithm

Input:S＝(s_n-1,s_n-2,...,s₀)₂,P is a point.

Output:S’＝(s′_n,s′_n-1,...,s′₀)_OSB

其中过滤裁剪算法如下：

虽然算法具体实现会根据不同的编程语言而有所不同，但是算法原理相同，属于相同的技术方案，以上只是其中一种类C语言的实现，不局限于实现的具体编程语言。在以上实施例中，算法中的S311和S312是可以交换的，还有在B中的几个步骤也是可以任意交换的。

在一个实施例中，标量因子S表示为二进制1011011,通过NAF算法得到的S’为

通过本发明的算法1.5得到的S’为

相对于原标量因子二进制和NAF表示，本发明得到的S’值计算量更小，找到了最优的也是计算量最小的那个带符号二进制表达式，进一步通过带符号二进制标量乘法运算来得到最终计算结果。

本发明并不局限于前述的具体实施方式。本发明扩展到任何在本说明书中披露的新特征或任何新的组合，以及披露的任一新的方法或过程的步骤或任何新的组合。

Claims (6)

1.一种最优带符号二进制快速计算方法，其特征在于：包括以下步骤：

S1：把数值S表示为二进制

；用r=(S,cost(S,i))来记录S从0扫描到第i位的计算耗费值，并用集合R来存放r记录，集合T初始化为空，用来做临时存储；

S2：初始化R={ r=(S,cost(S,-1))}；

S3：i从0开始，扫描每一个Si，直到i等于n后结束；

S4：当i扫描到n以后结束，在R中查找耗费最小的那个记录r，并把r中的S值输出；

所述S3具体包括：

S31：从集合R中取出每一个记录r，直到把集合R中的元素全部取出为止；

S32：集合R中的记录全部取完后，用过滤算法对T进行裁剪优化，然后把裁剪优化后的T赋值给R，T赋值为空，返回S3；

所述S31具体包括：

S311：把每一个取出来的记录r放入T中；

S312：考察r记录中的s[i]是否等于1，若不等于1，返回S31；若等于1，在当前位进行convert()变换，即加1形成进位，再加个-1把值还原回来，并且把变换后的记录加入T中，然后返回S31；

所述S32中过滤算法对T进行裁剪优化的方法：

A:用r0来存放当前s[i]等于0的记录，并把cost值初始化为最大；用r1来存放当前s[i]等于1的记录，并把cost值初始化为最大；用r2来存放当前s[i]等于-1的记录，也把cost值初始化为最大；

B：从T中把每一个r记录取出用于过滤优化；

C：直到T中没有任何元素，然后把r0，r1和r2加入T集合中；

D: 输出T集合。

2.根据权利要求1所述的最优带符号二进制快速计算方法，其特征在于：S32为：T直接赋值给R，T赋值为空，i再增加1，开始扫描时，对上一步的转换结果R进行裁剪优化。

3.根据权利要求1所述的最优带符号二进制快速计算方法，其特征在于：所述B中，若当前记录r中的s[i]等于0，比较r中的cost值是否小于r0中的cost值，把r和当前r0中cost值小的那个记录存入r0中；若当前记录r中的s[i]等于1，比较r中的cost值是否小于r1中的cost值，把r和当前r1中cost值小的那个记录存入r1中；若当前记录r中的s[i]等于-1，比较r中的cost值是否小于r2中的cost值，把r和当前r2中cost值小的那个记录存入r2中。

4.一种加法群上的最优带符号二进制快速计算方法，其特征在于：包括以下步骤：将加法群中待转换的数值，转成原始二进制数值；利用权利要求1-3之一所述的最优带符号二进制快速计算方法，找到最优带符号二进制表达式，将最优带符号二进制表达式带入加法群中运算。

5.一种基于权利要求1-3之一所述的最优带符号二进制快速计算方法的椭圆曲线标量乘法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：分别测算椭圆曲线上的点加运算ECADD、倍点运算ECDBL和点逆运算ECINV的运算耗费值；

步骤二 ：根据运算耗费值，利用权利要求1-3之一所述的最优带符号二进制快速计算方法，得到标量因子S最优的带符号二进制表达式

；

步骤三：通过计算椭圆曲线上的标量乘法Q=S’P，得到运算结果。

6.根据权利要求5所述的基于最优带符号二进制快速计算方法的椭圆曲线标量乘法，其特征在于：所述标量因子S为N进制数，N=2,3,4......。