CN112034707B - 无模型自适应控制的改进方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种无模型自适应控制的改进方法，基于多输入多输出系统的紧格式动态线性化无模型自适应控制的改进方法，属于控制算法设计领域。首先，在CFDL‑MFAC中加入比例控制，用来改善原控制系统的响应速度慢、超调大的问题；其次，在以上控制结构中加入执行机构抗饱和控制算法，使得执行机构在达到上限或下限饱和时不再进行超限运算，当控制指令再次进入非饱和区时，执行机构能够快速做出控制响应，提高系统的控制精度；接着，通过严格的分析证明了改进的控制算法可以保证一定条件下跟踪误差和BIBO稳定性；最后，将上述控制算法应用于航空发动机控制系统，通过数值实验可以得出上述控制算法的有效性和优越性。
Description
技术领域
本发明公开一种基于多输入多输出系统的紧格式动态线性化无模型自适应控制的改进方法，属于控制算法设计领域。
背景技术
随着技术创新和产业进步，人们对飞机的安全，稳定，高效控制的要求越来越高，基于模型的控制理念受到建模精度的极大影响。此外，由于未建模的动力学问题和发动机机械磨损，通过数学建模获得的模型将逐渐偏离实际的控制对象。这些控制盲点导致控制效果随着使用时间的延长而越来越差。因此，无模型自适应控制(MFAC)算法应运而生。
MFAC是一种数据驱动的控制方法，其参数设计不依赖于控制对象结构，即无需对控制对象进行建模或参数辨识，而只通过控制系统的输入输出数据进行控制参数设计。该方法最早由侯忠生提出，包括新的动态线性化方法和伪Jacobian矩阵(PJM)的概念。其中伪Jacobian矩阵可由输入输出数据直接估计得出。在过去的二十年中，该方法在理论和应用方面均已经取得了重要的研究成果。已有研究表明，MFAC方法比其它DDC方法，如IFT和VRFT方法，更易于使用且具有更好的控制效果。
最近，许多文献都提到了MFAC算法的扩展研究和应用，例如自适应迭代学习控制、自适应在线学习控制和无模型自适应解耦控制等等。另外，近五年， MFAC算法与迭代学习相结合的研究热潮逐渐增加。例如，采用自适应迭代学习控制方法来解决坡道控制的宏观公路交通密度控制问题、随机丢包问题和火车站停车控制和火车轨迹跟踪控制问题。此外，神经网络与MFAC相结合的应用也已得到应用。然而，以往大多数航空发动机控制研究都集中在基于模型的控制上。因此，将MFAC扩展到航空发动机控制领域具有重要的现实意义。MFAC控制策略通过参数估计算法，运用系统的输入和输出数据实时更新系统的PJM，从而使得控制器参数得到实时更新，以便在飞行环境发生严重变化时，控制器也可以对飞机进行及时、稳定的控制，从而确保飞机在不同的飞行高度和大气环境下安全飞行。
发明内容
针对现有基于紧格式动态线性化无模型自适应控制方法在复杂模型上的离散仿真应用存在的不足，本发明提出一种基于多输入多输出系统的紧格式动态线性化无模型自适应控制的改进方法，适用于控制系统设计与应用领域，可用于提高控制系统性能，主要解决无模型自适应控制方法中存在的响应速度慢、超调大和执行机构饱和问题。
本发明的技术方案：
一种基于多输入多输出系统的紧格式动态线性化无模型自适应控制 (CFDL-MFAC)的改进方法，步骤如下：
步骤A、分析已有的基于紧格式动态线性化无模型自适应控制方法，通过实验结果得出，其应用过程中在响应时间和稳定性方面存在不足；
多输入多输出离散时间非线性系统表示如下形式：
y(k+1)＝f(y(k)，…，y(k-ny)，u(k)，…，u(k-nu)) (1)
其中，u(k)和y(k)分别是k时刻的系统输入和系统输出；ny和nu是两个未知整数；
f(…)＝(f1(…)，…，fm(…))是一个未知的非线性函数；
当f存在连续偏导数的条件且公式(1)满足广义Lipschiz条件时，公式(1)表示为如下的CFDL数据模型的形式：
Δy(k+1)＝Φc(k)Δu(k) (2)
其中，
首先提出如下假设：
假设1：Φc(k)作为系统的伪Jacobian应为对角占优矩阵，满足如下条件： |φij|≤b1,b2≤|φii(k)|≤αb2,α≥1,b2＞b1(2α+1)(m-1),i＝1,...,m,j＝1,...,m,i≠j，设b1、b2为有界的常数，i和j为矩阵的行、列索引，且Φc(k)中所有元素的符号对任意时刻k 保持不变；
控制输入准则函数如式(3)所示：
J(u(k))＝||y*(k+1)-y(k+1)||2+λ||u(k)-u(k-1)||2 (3)
其中，λ＞0代表权重因子，用于惩罚过度控制输入量的变化；y*(k+1)是期望的输出信号；
将式(2)带入式(3)，对u(k)求导，并令其等于0，得控制输入算法如下：
考虑如下参数估计算法准则函数：
其中，μ为权重因子，用来惩罚PJM估计值的过大变化，
为Φc(k)的估计值；
将式(5)对Φc(k)求导，并另其等于0，得参数估计算法如下：
以上所述控制参数估计算法在每个k都要进行参数估计，而后才能给出该时刻的控制输入；然而参数估计算法的计算需要占用一定的时间，导致系统响应变慢，导致对于控制周期要求较小的系统，该控制算法使用受限，且从实验结果来看系统在非理想条件下震荡较大；
步骤B、基于以上存在响应慢和存在震荡的问题考虑如下改进方案；
Δu(k)Δum(k)′+Δup(k) (7)
其中，um(k)′是MFAC控制器输出，Δup(k)是比例控制器输出，用以下公式表示：
Δup(k)＝βK(y*(k+1)-y(k))-βK(y*(k)-y(k-1)) (9)
并提出以下抗饱和算法作为所提出的控制算法的一部分：当致动器处于饱和上限且仍有增长趋势时，或者当致动器处于饱和下限且仍在下降时，将停止更新积分器；否则，积分器正常工作；也就是说，在饱和的情况下，只执行有助于降低饱和程度的积分运算；它由以下公式表示：
Δum(k)′＝Δum(k)f(k) (10)
其中，u_max和u_min是致动器的上限和下限。
基于公式(6)、(7)、(8)、(9)，提出以下控制方案：
其中，
是
的初值；
步骤C、对于以上所述的改进控制算法，通过理论推导，分析跟踪误差的收敛性和有界输入有界输出的稳定性；
首先，定义以下系统输出误差：
e(k)＝y*(k)-y(k) (15)
将公式(2)和公式(14)替换为公式(15)，当f(k)＝1时，得：
其中z是矩阵
的特征值， Dj,j＝1,2,...,m是Gerschgorin圆盘；
公式(17)等价于公式(18)；
由重置算法(12)和(13)得，
和
由假设1得，|φij|≤b1，b2≤|φii(k)|≤αb2，i＝1，…，m；j＝1，...，m；i≠j；
由以上条件得下式
由重置算法公式(11)和假设1得，
因此存在λmin，使得当λ＞λmin时，下式成立。
因此选择0＜ρ≤1和λ＞λmin，使得
对于任意的λ＞λmin，显然下式成立
由式(21)、(23)、(24)，知
由式(18)和式(24)得，
其中s(M)是M的谱半径；
令
B＝||βΦc(k)K)||v，由矩阵谱半径的结论得，存在一个任意小的正数ε1，使得
其中，||M||v是矩阵M的相容范数；
存在β使得B满足如下不等式：
1＞1-A≥M1-ε1＞B＞0 (28)
由式(16)和式(28)得：
||e(k+1)||v≤A||e(k)||v+B||e(k-1)||v＜(1-B)||e(k)||v+B||e(k-1)||v (29)
移项后得：
||e(k+1)||v-||e(k)||v＜-B(||e(k)||v-||e(k-1)||v) (30)
基于式(30)，从以下四个方面讨论e(k)的形式：
1.当||e(k+1)||v＞||e(k)||v且||e(k)||v＞||e(k-1)||v时，可得
||e(k+1)||v-||e(k)||v＞-B(||e(k)||v-||e(k-1)||v) (31)
不等式结果与式(30)相反，因此，此假设不存在。
2.当||e(k+1)||v＞||e(k)||v且||e(k)||v＜||e(k-1)||v时，由式(30)得：
即在三个相邻采样时刻，e(k)的减小量大于增加量，所以总体趋势呈下降趋势。
3.当||e(k+1)||v＜||e(k)||v且||e(k)||v＜||e(k-1)||v时,可得
满足式(30)，此条件下，e(k)呈下降趋势。
4.当||e(k+1)||v＜||e(k)||v且||e(k)||v＞||e(k-1)||v时，由式(30)可得，该情况有可能存在。在 k+2时刻存在两种可能性：如果存在||e(k+2)||v＞||e(k+1)||v，我们可以得到与第二种情况相同的结论；如果||e(k+2)||v＜||e(k+1)||v，我们可以得到与第三种情况相同的结论。简而言之，在这种情况下，e(k)仍然呈下降趋势。
当f(k)＝0时，上述证明方法依然适用。综上所述，误差e(k)总体呈下降趋势。因此，误差的收敛性得证。
步骤D、将以上控制算法应用于航空发动机模型的控制，选取三种不同的情况进行结果对比，用以验证控制算法的有效性和优越性；首先，比较标准条件下的MFAC+Kp、CFDL-MFAC和PID的控制效果，说明了所述改进控制器的有效性；然后，选择不同的高度和不同的延迟来比较控制效果，以说明控制器的优越性。
第一种情况，在标准条件下进行不同算法的控制效果对比。在飞行高度H＝0、 Ma＝0、无噪声和无延迟的标称条件下三种算法的控制效果如图2所示。可以看出，MFAC+Kp算法的上升时间介于MFAC算法和PID算法之间，但其优于 MFAC算法的优点是超调量小，满足控制算法对性能的严格稳定性要求。
第二种情况，用于说明控制器可以自适应地控制飞机的宽飞行包线，选取不同的飞行高度进行控制效果分析，结果如图3所示。从仿真结果来看，MFAC+Kp 算法可以实现不同飞行高度的稳定控制。飞行高度越高，超调越大，但该算法仍能快速稳定系统输出，具有较强的自适应能力。此外，与相同条件下的MFAC 控制效果相比，说明该控制算法具有更强的稳定性。
第三种情况，验证了控制算法在存在延时的情况下对模型的稳定控制。在 H＝10和Ma＝1的飞行条件下，选择四种不同大小的延时进行模拟。结果表明， MFAC+Kp算法能够对不同程度的延时进行稳定快速的控制。从图4可看出，当执行结构饱和时，所提出的抗饱和算法可以使模型快速脱离饱和区，但在相同条件下，MFAC算法由于在饱和后仍然继续运算，故需要很长时间才能脱离饱和区域。
本发明的有益效果：
(1)CFDL-MFAC+Kp控制算法，提高了原MFAC的响应速度和鲁棒性。并在现有MFAC稳定性证明的基础上进行了理论分析，证明改进算法的稳定性。
(2)在上述控制算法结构下，融入执行机构抗饱和算法被同时考虑在内，通过实验分析验证了上述控制算法的抗饱和效果。
附图说明
图1是控制器结构图。
图2是MFAC+Kp、MFAC、PID三种控制算法效果对比图。
图3是不同飞行高度下的控制效果对比。
图4是不同延时下的控制效果对比。
具体实施方式
为使本发明提出的技术方案、解决的技术问题更加清晰，以下结合附图对本发明的技术方案进行具体阐述。
本发明所述改进控制算法结构框图如图1所示，其中控制器主要包括三部分：MFAC、比例控制和抗饱和控制。该控制算法融合了三种算法的优点，即使对十分复杂的非线性模型也能实现稳定、快速的控制，且具有较好的鲁棒性。
该控制算法各部分的具体组成如下：
(1)MFAC算法，在每一个采样时间点都会由估计算法更新控制算法的参数，使得控制算法能够自适应地改变以达到对控制对象的良好控制效果，具有一定的鲁棒性。但由于其估计算法的加入，控制器的响应时间变慢且易受干扰影响。为了满足对控制器快速性及鲁棒性的需求，考虑在该控制算法的基础上加入比例控制环节。
(2)比例控制算法，运算简单，耗时短，且能够减小稳态误差，加快控制响应，弥补MFAC算法的不足，改善控制性能。
(3)抗饱和算法，由于控制系统中，执行机构的上、下限限制，因此控制算法的输出有可能超出执行机构的执行能力，使得执行机构陷入饱和，这将影响控制器的响应速度和控制精度。抗饱和算法可在执行机构达到饱和时，停止运算，使得控制算法在给出正常指令时，执行机构能够像未陷入饱和时一样快速做出响应。
衡量控制算法的基本标准是其控制的准确性、稳定性和快速性，本发明在满足以上标准的同时还兼具抗饱和性，本发明无模型自适应控制的改进方法主要具有以下优点：
(1)准确性好。由图3和图4可知，本发明所述控制算法能够在不同的高度和不同的延时条件下达到良好的控制效果，说明该算法具备良好的准确性。
(2)稳定性优。由图2、图3和图4可知，通过相同情况下与MFAC和PID算法的对比，本发明所述控制算法具有优异的稳定性，在所述的不同飞行高度和不同延时情况下都能实现稳定的控制，且稳定性明显优于原MFAC算法。
(3)快速性强。图3和图4可知，通过相同情况下与MFAC和PID算法的对比，本发明所述控制算法具有优异的快速性，在所述的不同飞行高度和不同延时情况下都能实现稳定的控制，且稳定性明显优于原MFAC算法。
(4)抗饱和性好。由图4可知，本发明所述抗饱和算法在执行机构达到饱和后会停止继续累加，防止进一步陷入饱和，并在控制器输出正常值后，执行机构能够快速响应，与原MFAC算法相比响应速度更快。
以下即为本发明中提出的无模型自适应控制的改进方法，具体步骤如下：
步骤A、分析已有的基于紧格式动态线性化无模型自适应控制方法，通过实验结果得出，其应用过程中在响应时间和稳定性方面存在不足；
多输入多输出离散时间非线性系统表示如下形式：
y(k+1)＝f(y(k)，…，y(k-ny)，u(k)，…，u(k-nu)) (1)
其中，u(k)和y(k)分别是k时刻的系统输入和系统输出；ny和nu是两个未知整数；
f(…)＝(f1(…)，…，fm(…))是一个未知的非线性函数；
当f存在连续偏导数的条件且公式(1)满足广义Lipschiz条件时，公式(1)表示为如下的CFDL数据模型的形式：
Δy(k+1)＝Φc(k)Δu(k) (2)
其中，
首先提出如下假设：
假设1：Φc(k)作为系统的伪Jacobian应为对角占优矩阵，满足如下条件： |φij|≤b1,b2≤|φii(k)|≤αb2,α≥1,b2＞b1(2α+1)(m-1),i＝1,...,m,j＝1,...,m,i≠j，设b1、b2为有界的常数，i和j为矩阵的行、列索引，且Φc(k)中所有元素的符号对任意时刻k 保持不变；
控制输入准则函数如式(3)所示：
J(u(k))＝||y*(k+1)-y(k+1)||2+λ||u(k)-u(k-1)||2 (3)
其中，λ＞0代表权重因子，用于惩罚过度控制输入量的变化；y*(k+1)是期望的输出信号；
将式(2)带入式(3)，对u(k)求导，并令其等于0，得控制输入算法如下：
考虑如下参数估计算法准则函数：
其中，μ为权重因子，用来惩罚PJM估计值的过大变化，
为Φc(k)的估计值；
将式(5)对Φc(k)求导，并另其等于0，得参数估计算法如下：
以上所述控制参数估计算法在每个k都要进行参数估计，而后才能给出该时刻的控制输入；然而参数估计算法的计算需要占用一定的时间，导致系统响应变慢，导致对于控制周期要求较小的系统，该控制算法使用受限，且从实验结果来看系统在非理想条件下震荡较大；
步骤B、基于以上存在响应慢和存在震荡的问题考虑如下改进方案；
Δu(k)＝Δum(k)′+Δup(k) (7)
其中，um(k)′是MFAC控制器输出，Δup(k)是比例控制器输出，用以下公式表示：
Δup(k)＝βK(y*(k+1)-y(k))-βK(y*(k)-y(k-1)) (9)
基于公式(6)和公式(7)，提出以下控制方案：
其中，
是
的初值。
提出以下抗饱和算法作为所提出的控制算法的一部分：当致动器处于饱和上限且仍有增长趋势时，或者当致动器处于饱和下限且仍在下降时，将停止更新积分器；否则，积分器正常工作；也就是说，在饱和的情况下，只执行有助于降低饱和程度的积分运算；它由以下公式表示：
Δum(k)′＝Δum(k)f(k) (13)
其中，u_max和u_min是致动器的上限和下限；
步骤C、对于以上所述的改进控制算法，通过理论推导，分析跟踪误差的收敛性和有界输入有界输出的稳定性；
首先，定义以下系统输出误差：
e(k)＝y*(k)-y(k) (15)
将公式(2)和公式(12)替换为公式(15)，当f(k)＝1时，得：
其中z是矩阵
的特征值， Dj,j＝1,2,...,m是Gerschgorin圆盘；
公式(17)等价于公式(18)；
由重置算法(10)和(11)得，
和
由假设1得，|φij|≤b1，b2≤|φii(k)|≤αb2，i＝1，…，m；j＝1，...，m；i≠j；
由以上条件得下式
由重置算法公式(11)和假设1得，
因此存在λmin，使得当λ＞λmin时，下式成立。
因此选择0＜ρ≤1和λ＞λmin，使得
对于任意的λ＞λmin，显然下式成立
由式(21)、(23)、(24)，知
由式(18)和式(24)得，
其中s(M)是M的谱半径；
令
B＝||βΦc(k)K)||v，由矩阵谱半径的结论得，存在一个任意小的正数ε1，使得
其中，||M||v是矩阵M的相容范数；
存在β使得B满足如下不等式：
1＞1-A≥M1-ε1＞B＞0 (28)
由式(16)和式(28)得：
||e(k+1)||v≤A||e(k)||v+B||e(k-1)||v＜(1-B)||e(k)||v+B||e(k-1)||v (29)
移项后得：
||e(k+1)||v-||e(k)||v＜-B(||e(k)||v-||e(k-1)||v) (30)
基于式(30)，从以下四个方面讨论e(k)的形式：
1.当||e(k+1)||v＞||e(k)||v且||e(k)||v＞||e(k-1)||v时，可得
||e(k+1)||v-||e(k)||v＞-B(||e(k)||v-||e(k-1)||v) (31)
不等式结果与式(30)相反，因此，此假设不存在。
2.当||e(k+1)||v＞||e(k)||v且||e(k)||v＜||e(k-1)||v时，由式(30)得：
即在三个相邻采样时刻，e(k)的减小量大于增加量，所以总体趋势呈下降趋势。
3.当||e(k+1)||v＜||e(k)||v且||e(k)||v＜||e(k-1)||v时,可得
满足式(30)，此条件下，e(k)呈下降趋势。
4.当||e(k+1)||v＜||e(k)||v且||e(k)||v＞||e(k-1)||v时，由式(30)可得，该情况有可能存在。在 k+2时刻存在两种可能性：如果存在||e(k+2)||v＞||e(k+1)||v，我们可以得到与第二种情况相同的结论；如果||e(k+2)||v＜||e(k+1)||v，我们可以得到与第三种情况相同的结论。简而言之，在这种情况下，e(k)仍然呈下降趋势。
当f(k)＝0时，上述证明方法依然适用。综上所述，误差e(k)总体呈下降趋势。因此，误差的收敛性得证。
步骤D、将以上控制算法应用于航空发动机模型的控制，选取三种不同的情况进行结果对比，用以验证控制算法的有效性和优越性；首先，比较标准条件下的MFAC+Kp、CFDL-MFAC和PID的控制效果，说明了所述改进控制器的有效性；然后，选择不同的高度和不同的延迟来比较控制效果，以说明控制器的优越性。
第一种情况，在标准条件下进行不同算法的控制效果对比。在飞行高度H＝0、Ma＝0、无噪声和无延迟的标称条件下三种算法的控制效果如图2所示。可以看出，MFAC+Kp算法的上升时间介于MFAC算法和PID算法之间，但其优于 MFAC算法的优点是超调量小，满足控制算法对性能的严格稳定性要求。
第二种情况，用于说明控制器可以自适应地控制飞机的宽飞行包线，选取不同的飞行高度进行控制效果分析，结果如图3所示。从仿真结果来看，MFAC+Kp 算法可以实现不同飞行高度的稳定控制。飞行高度越高，超调越大，但该算法仍能快速稳定系统输出，具有较强的自适应能力。此外，与相同条件下的MFAC 控制效果相比，说明该控制算法具有更强的稳定性。
第三种情况，验证了控制算法在存在延时的情况下对模型的稳定控制。在 H＝10和Ma＝1饿飞行条件下，选择四种不同大小的延时进行模拟。结果表明， MFAC+Kp算法能够对不同程度的延时进行稳定快速的控制。从图4可以看出，当执行结构饱和时，所提出的抗饱和算法可以使模型快速脱离饱和区，但在相同条件下，MFAC算法由于在饱和后仍然继续运算，故需要很长时间才能脱离饱和区域。
综上，本发明无模型自适应控制的改进方法提出了一种新的无模型自适应控制方法，通过增加比例控制来改善MFAC超调和振荡。同时，它还集成了积分抗饱和的思想来提高了控制性能。通过严格分析，证明了改进后的控制算法在满足假设的条件下具有跟踪误差收敛性和BIBO稳定性。最后，将改进的MFAC 应用于航空发动机模型的控制，从不同角度进行了三个实验，验证了本发明所述控制算法在不同飞行高度和不同延时情况下的抗饱和性、快速性和稳定性，结果优于MFAC算法和PID算法。结果表明，本文提出的控制算法对航空发动机控制系统具有稳定快速的控制效果，验证了算法的有效性。
需要说明的是，本领域的技术人员应当理解：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制，在不同实施例中出现的不同技术特征可以进行组合，以取得有益效果。本领域的研究人员在说明书、权利要求书的基础上结合附图应能理解并实现所揭示的实施例的其他变化的实施例。需要指出的是，以上已参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，其对前述各实施例提到的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。
Claims (1)
1.一种无模型自适应控制的改进方法，其特征在于，步骤如下：
步骤A、分析已有的基于紧格式动态线性化无模型自适应控制方法，通过实验结果得出，其应用过程中在响应时间和稳定性方面存在不足；
多输入多输出离散时间非线性系统表示如下形式：
y(k+1)＝f(y(k)，…，y(k-ny)，u(k)，…，u(k-nu)) (1)
其中，u(k)和y(k)分别是k时刻的系统输入和系统输出；ny和nu是两个未知整数；f(…)＝(f1(…)，…，fm(…))是一个未知的非线性函数；
当f存在连续偏导数的条件且公式(1)满足广义Lipschiz条件时，公式(1)表示为如下的CFDL数据模型的形式：
Δy(k+1)＝Φc(k)Δu(k) (2)
其中，
首先提出如下假设：
假设1：Φc(k)作为系统的伪Jacobian应为对角占优矩阵，满足如下条件：|φij|≤b1，b2≤|φii(k)|≤αb2，α≥1，b2＞b1(2α+1)(m-1)，i＝1，...，m，j＝1，...，m，i≠j，设b1、b2为有界的常数，i和j为矩阵的行、列索引，且Φc(k)中所有元素的符号对任意时刻k保持不变；
控制输入准则函数如式(3)所示：
J(u(k))＝||y*(k+1)-y(k+1)||2+λ||u(k)-u(k-1)||2 (3)
其中，λ＞0代表权重因子，用于惩罚过度控制输入量的变化；y*(k+1)是期望的输出信号；
将式(2)带入式(3)，对u(k)求导，并令其等于0，得控制输入算法如下：
考虑如下参数估计算法准则函数：
其中，μ为权重因子，用来惩罚PJM估计值的过大变化，
为Φc(k)的估计值；
将式(5)对Φc(k)求导，并另其等于0，得参数估计算法如下：
以上参数估计算法在每个k都要进行参数估计，而后才能给出该时刻的控制输入；然而参数估计算法的计算需要占用一定的时间，导致系统响应变慢，导致对于控制周期要求较小的系统，该参数估计算法使用受限，且从实验结果来看系统在非理想条件下震荡较大；
步骤B、基于以上存在响应慢和存在震荡的问题考虑如下改进方案；
Δu(k)＝Δum(k)′+Δup(k) (7)
其中，um(k)′是MFAC控制器输出，Δup(k)是比例控制器输出，用以下公式表示：
Δup(k)＝βK(y*(k+1)-y(k))-βK(y*(k)-y(k-1)) (9)
并提出以下抗饱和算法作为所提出的控制算法的一部分：当致动器处于饱和上限且仍有增长趋势时，或者当致动器处于饱和下限且仍在下降时，将停止更新积分器；否则，积分器正常工作；也就是说，在饱和的情况下，只执行有助于降低饱和程度的积分运算；它由以下公式表示：
Δum(k)′＝Δum(k)f(k) (10)
其中，u_max和u_min是致动器的上限和下限；
基于公式(6)、(7)、(8)、(9)，提出以下改进控制算法：
其中，
是
的初值；
步骤C、对于以上所述的改进控制算法，通过理论推导，分析跟踪误差的收敛性和有界输入有界输出的稳定性；
首先，定义以下系统输出误差：
e(k)＝y*(k)-y(k) (15)
将公式(2)和公式(14)替换为公式(15)，当f(k)＝1时，得：
其中z是矩阵
的特征值，Dj，j＝1，2，...，m是Gerschgorin圆盘；
公式(17)等价于公式(18)；
由重置算法(12)和(13)得，
和
由假设1得，|φij|≤b1，b2≤|φii(k)|≤αb2，i＝1，…，m；j＝1，...，m；i≠j；
由以上条件得下式
由重置算法公式(11)和假设1得，
因此存在λmin，使得当λ＞λmin时，下式成立；
因此选择0＜ρ≤1和λ＞λmin，使得
对于任意的λ＞λmin，显然下式成立
由式(21)、(23)、(24)，知
由式(18)和式(24)得，
其中s(M)是M的谱半径；
令
B＝||βΦc(k)K)||υ，由矩阵谱半径的结论得，存在一个任意小的正数ε1，使得
其中，||M||v是矩阵M的相容范数；
存在β使得B满足如下不等式：
1＞1-A≥M1-ε1＞B＞0 (28)
由式(16)和式(28)得：
||e(k+1)||υ≤A||e(k)||υ+B||e(k-1)||υ＜(1-B)||e(k)||υ+B||e(k-1)||υ (29)
移项后得：
||e(k+1)||υ-||e(k)||υ＜-B(||e(k)||υ-||e(k-1)||υ) (30)
基于式(30)，从以下四个方面讨论e(k)的形式：
第一种情况，当||e(k+1)||v＞||e(k)||v且||e(k)||v＞||e(k-1)||v时，得
||e(k+1)||v-||e(k)||v＞-B(||e(k)||v-||e(k-1)||v) (31)
不等式结果与式(30)相反，因此，此假设不存在；
第二种情况，当||e(k+1)||v＞||e(k)||v且||e(k)||v＜||e(k-1)||v时，由式(30)得：
即在三个相邻采样时刻，e(k)的减小量大于增加量，所以总体趋势呈下降趋势；
第三种情况，当||e(k+1)||v＜||e(k)||v且||e(k)||v＜||e(k-1)||v时，得
满足式(30)，此条件下，e(k)呈下降趋势；
第四种情况，当||e(k+1)||v＜||e(k)||v且||e(k)||v＞||e(k-1)||v时，由式(30)得，该情况有可能存在；在k+2时刻存在两种可能性：如果存在||e(k+2)||v＞||e(k+1)||v，得到与第二种情况相同的结论；如果||e(k+2)||v＜||e(k+1)||v，得到与第三种情况相同的结论；简而言之，在这种情况下，e(k)仍然呈下降趋势；
当f(k)＝0时，上述证明方法依然适用；综上所述，误差e(k)总体呈下降趋势；因此，误差的收敛性得证；
步骤D、将以上控制算法应用于航空发动机模型的控制，选取三种不同的情况进行结果对比，用以验证控制算法的有效性和优越性；首先，比较标准条件下的MFAC+Kp、CFDL-MFAC和PID的控制效果，说明了改进控制器的有效性；然后，选择不同的高度和不同的延迟来比较控制效果，以说明控制器的优越性。
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